જો વર્તુળની બે છેદતી જીવાઓ તેમના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વ્યાસ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે,તો સાબિત કરો કે તે જીવાઓ સમાન છે.

(N/A) ધારો કે $AB$ અને $CD$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની બે જીવાઓ છે,જે $E$ બિંદુમાં છેદે છે. $PQ$ એ $E$ માંથી પસાર થતો વ્યાસ છે,જેથી $\angle AEQ = \angle DEQ$ થાય. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $AB = CD$.
જીવા $AB$ અને $CD$ પર અનુક્રમે લંબ $OL$ અને $OM$ દોરો.
$\Delta OLE$ માં,$\angle OLE = 90^{\circ}$. તેથી,$\angle LOE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle LEO = 90^{\circ} - \angle LEO$.
$\angle LEO = \angle AEQ$ હોવાથી (અભિકોણો),આપણને મળે છે $\angle LOE = 90^{\circ} - \angle AEQ$.
તે જ રીતે,$\Delta OME$ માં,$\angle OME = 90^{\circ}$. તેથી,$\angle MOE = 90^{\circ} - \angle MEO = 90^{\circ} - \angle DEQ$.
આપેલ છે કે $\angle AEQ = \angle DEQ$,તેથી $\angle LOE = \angle MOE$ થાય છે.
હવે,ત્રિકોણ $OLE$ અને $OME$ માં:
$1$. $\angle LEO = \angle MEO$ (આપેલ છે કે $\angle AEQ = \angle DEQ$ અને અભિકોણો)
$2$. $\angle LOE = \angle MOE$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$3$. $EO = EO$ (સામાન્ય બાજુ)
$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OLE \cong \Delta OME$.
$CPCT$ મુજબ,$OL = OM$.
વર્તુળના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે આવેલી જીવાઓ સમાન લંબાઈની હોય છે,તેથી $AB = CD$ સાબિત થાય છે.