જો વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ વર્તુળની અંદર એકબીજાને છેદે,તો સાબિત કરો કે એક જીવાના બે ભાગ બીજી જીવાના અનુરૂપ ભાગોને સમાન છે.

(N/A) ધારો કે $O$ કેન્દ્રિત એક વર્તુળ છે. $AB$ અને $CD$ બે સમાન જીવાઓ છે જે વર્તુળની અંદર બિંદુ $E$ પર છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AE = DE$ અને $CE = BE$.
રચના: $OM \perp AB$ અને $ON \perp CD$ દોરો. $OE$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. $AB = CD$ (આપેલ છે),તેથી જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે છે. તેથી,$OM = ON$.
$2$. $\Delta OME$ અને $\Delta ONE$ માં:
- $OM = ON$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
- $OE = OE$ (સામાન્ય બાજુ)
- $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (રચના મુજબ)
$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OME \cong \Delta ONE$.
$3$. $CPCT$ દ્વારા,$ME = NE$ (સમીકરણ $1$).
$4$. $OM \perp AB$ હોવાથી,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AM = MB = \frac{1}{2} AB$.
$5$. $ON \perp CD$ હોવાથી,$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $CN = ND = \frac{1}{2} CD$.
$6$. $AB = CD$ હોવાથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$,જેનો અર્થ છે $AM = ND$ (સમીકરણ $2$).
$7$. સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $AM + ME = ND + NE$,જે આપણને $AE = DE$ આપે છે.
$8$. $AB = CD$ માંથી $AE = DE$ બાદ કરતા,$AB - AE = CD - DE$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $BE = CE$.
આમ,એક જીવાના ભાગો બીજી જીવાના અનુરૂપ ભાગોને સમાન છે.