કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,જો $\angle A$ નો ખૂણા દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક એકબીજાને છેદે,તો સાબિત કરો કે તેઓ ત્રિકોણ $ABC$ ના પરિવર્તુળ પર છેદે છે.

(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ એક વર્તુળમાં અંતર્ગત છે જેનું કેન્દ્ર $O$ છે.
ધારો કે $\angle A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક પરિવર્તુળને બિંદુ $E$ પર છેદે છે. આપણે સાબિત કરવું છે કે $E$ એ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે.
કારણ કે $AE$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle BAE = \angle CAE$.
સમાન ખૂણાઓ પરિઘ પર સમાન ચાપ આંતરે છે,તેથી $\text{ચાપ } BE = \text{ચાપ } EC$.
પરિણામે,આ ચાપને અનુરૂપ જીવાઓ સમાન થાય,એટલે કે જીવા $BE = \text{જીવા } CE$.
ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $\Delta BDE$ અને $\Delta CDE$ માં:
$BE = CE$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$BD = CD$ ($D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$DE = DE$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta BDE \cong \Delta CDE$.
તેથી,$\angle BDE = \angle CDE$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ભાગો).
કારણ કે $BC$ એક સીધી રેખા છે,$\angle BDE + \angle CDE = 180^{\circ}$.
આમ,$\angle BDE = \angle CDE = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $DE \perp BC$.
કારણ કે $DE$ એ $BC$ ના મધ્યબિંદુ $D$ માંથી પસાર થાય છે અને $BC$ ને લંબ છે,તેથી $DE$ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે. આમ,$\angle A$ નો ખૂણા દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક પરિવર્તુળ પરના બિંદુ $E$ પર છેદે છે.