एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण एक बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $O$ से होकर एक रेखा खींची जाती है जो $AD$ को $P$ पर और $BC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $PQ$ समांतर चतुर्भुज को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है।

(N/A) दिया है: एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक रेखा $PQ$,$O$ से होकर गुजरती है जहाँ $P$,$AD$ पर और $Q$,$BC$ पर स्थित है।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(quad. APQB) = \operatorname{ar}(quad. PQCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
उपपत्ति:
$\triangle AOP$ और $\triangle COQ$ में:
$1$. $AO = CO$ (समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)।
$2$. $\angle AOP = \angle COQ$ (शीर्षाभिमुख कोण)।
$3$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (एकांतर अंतः कोण,क्योंकि $AD \parallel BC$)।
अतः,$ASA$ सर्वांगसमता नियम से $\triangle AOP \cong \triangle COQ$ है।
इसका अर्थ है कि $\operatorname{ar}(\triangle AOP) = \operatorname{ar}(\triangle COQ)$ (सर्वांगसम आकृतियों का क्षेत्रफल समान होता है)।
अब,दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(quad. OPCD)$ जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\triangle AOP) + \operatorname{ar}(quad. OPCD) = \operatorname{ar}(\triangle COQ) + \operatorname{ar}(quad. OPCD)$
$\operatorname{ar}(quad. APQD) = \operatorname{ar}(\triangle OCD + \triangle COQ) = \operatorname{ar}(\triangle OCD + \triangle AOP) = \operatorname{ar}(\triangle ADC)$.
चूंकि $AC$ एक विकर्ण है,$\operatorname{ar}(\triangle ADC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
अतः,$\operatorname{ar}(quad. APQD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
इसी प्रकार,दूसरा भाग $quad. PQCB$ का क्षेत्रफल भी $\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$ होगा।