Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(B) द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
डी ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,$V$ विभव से त्वरित इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ होती है।
इस मान को फ्रिंज चौड़ाई के सूत्र में रखने पर,हमें $\beta = \frac{hD}{d\sqrt{2mqV}}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $\beta \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$ है।
अतः,फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ को बढ़ाने के लिए,त्वरक वोल्टेज $V$ को कम करना आवश्यक है।

(C) पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है और $\delta$ कलांतर है।
दिया गया है $I = \frac{I_0}{4}$,इसलिए $\frac{I_0}{4} = I_0 \cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right)$.
$\cos^2 \left( \frac{\delta}{2} \right) = \frac{1}{4} \implies \cos \left( \frac{\delta}{2} \right) = \frac{1}{2}$.
$\frac{\delta}{2} = \frac{\pi}{3} \implies \delta = \frac{2\pi}{3}$.
पथ अंतर $\Delta x$ कलांतर से $\delta = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
$\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x \implies \Delta x = \frac{\lambda}{3}$.
कोणीय स्थिति $\theta$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ होता है।
$\frac{\lambda}{3} = d \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{\lambda}{3d}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1} \left( \frac{\lambda}{3d} \right)$.

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\beta_\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कोणीय चौड़ाई $\beta_\theta$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे समानुपाती होती है (अर्थात $\beta_\theta \propto \lambda$),यदि कोणीय चौड़ाई को $10\%$ बढ़ाया जाता है,तो तरंगदैर्ध्य को भी $10\%$ बढ़ाना होगा।
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5890 \ \mathring A$ दी गई है।
तरंगदैर्ध्य में आवश्यक परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda$ का $10\% = 5890 \times \frac{10}{100} = 589 \ \mathring A$ होगा।
अतः,तरंगदैर्ध्य में $589 \ \mathring A$ की वृद्धि की जानी चाहिए।

(C) दीप्त फ्रिंजों के संपाती होने के लिए,स्थिति $x$ दोनों तरंगदैर्घ्यों के लिए समान होनी चाहिए:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$
इसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ पूर्णांक हैं।
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5200 \, \mathring{A}}{6500 \, \mathring{A}} = \frac{4}{5}$
न्यूनतम दूरी के लिए,हम सबसे छोटे पूर्णांक मान लेते हैं: $n_1 = 4$ और $n_2 = 5$।
अब,$n_1 = 4$ और $\lambda_1 = 6500 \, \mathring{A}$ का उपयोग करके दूरी $x$ की गणना करें:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{4 \times 6500 \times 10^{-10} \, m \times 1.2 \, m}{2 \times 10^{-3} \, m}$
$x = \frac{4 \times 6500 \times 1.2 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-3}} = 2 \times 6500 \times 1.2 \times 10^{-4} \, m$
$x = 15600 \times 10^{-4} \, m = 1.56 \times 10^{-2} \, m = 0.156 \, cm$.

(D) केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों स्थितियों के लिए अवलोकन बिंदु समान है,इसलिए स्थिति $y$ स्थिर रहती है।
अतः,$y = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$।
यह समीकरण $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है: $n_1 = 3$,$\lambda_1 = 700 \, nm$,और $n_2 = 5$।
मान रखने पर: $3 \times 700 = 5 \times \lambda_2$।
$\lambda_2 = \frac{2100}{5} = 420 \, nm$।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$।
दिए गए मान हैं:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$।
पर्दे की दूरी $D = 1 \, m$।
स्लिटों के बीच की दूरी $d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{(6 \times 10^{-7} \, m) \times (1 \, m)}{10^{-3} \, m}$।
$\beta = 6 \times 10^{-4} \, m$।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रायोगिक सेटअप ($D$ और $d$) अपरिवर्तित रहता है,इसलिए फ्रिंज चौड़ाई प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है: $\beta \propto \lambda$.
अतः,$\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
दिया गया है: $\lambda_1 = 5000 \, \mathring{A}$,$\beta_1 = 1 \, mm$,और $\lambda_2 = 6000 \, \mathring{A}$.
मान रखने पर: $\beta_2 = \beta_1 \times \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 1 \times \frac{6000}{5000} = 1.2 \, mm$.
इस प्रकार,नई फ्रिंज चौड़ाई $1.2 \, mm$ होगी।

(B) केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की दूरी का सूत्र है:
$x_n = \frac{n D \lambda}{d}$
दिए गए मान:
$n = 3$
$D = 120 \, cm = 1.2 \, m$
$\lambda = 6500 \, \mathring A = 6500 \times 10^{-10} \, m$
$d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x_3 = \frac{3 \times 1.2 \times 6500 \times 10^{-10}}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = \frac{3 \times 1.2 \times 6.5 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = 1.17 \times 10^{-3} \, m$
$x_3 = 1.17 \, mm$

(B) सुसंगत स्रोतों के लिए,परिणामी तीव्रता $I_{coherent} = (\sqrt{I} + \sqrt{I})^2 = 4I$ द्वारा दी जाती है।
असंगत स्रोतों के लिए,परिणामी तीव्रता व्यक्तिगत तीव्रताओं का योग होती है,$I_{noncoherent} = I + I = 2I$.
इसलिए,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I}{2I} = 2$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में व्यतिकरण उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $n$ उच्चिष्ठ का क्रम है।
दिया गया है कि $d = 2 \lambda$,इसलिए शर्त $2 \lambda \sin \theta = n \lambda$ हो जाती है,जो सरल होकर $2 \sin \theta = n$ बन जाती है।
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ ($\theta = 90^{\circ}$ पर) होता है,इसलिए $n$ के संभावित मान $|n| \le 2$ द्वारा सीमित हैं।
अतः,$n$ के मान $-2, -1, 0, 1, 2$ हो सकते हैं।
इन मानों की गणना करने पर,हमें कुल $5$ संभावित उच्चिष्ठ प्राप्त होते हैं।

(D) निर्वात में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{\lambda_0}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है और $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है। चूंकि हवा का अपवर्तनांक $(n_{air} \approx 1.0003)$ निर्वात $(n_{vac} = 1)$ से अधिक होता है,इसलिए जब चैंबर को निर्वातित किया जाता है तो तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ जाती है।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $D$ पर्दे की दूरी है और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है। अतः,$\beta$ सीधे $\lambda$ के समानुपाती होता है $(\beta \propto \lambda)$।
इसलिए,जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य बढ़ती है,व्यतिकरण फ्रिंजों की चौड़ाई भी बढ़ जाती है।

(C) जब व्यतिकरण करने वाली किरणों में से एक के पथ में एक पतली अभ्रक (mica) की शीट रखी जाती है,तो प्रकाशीय पथ की लंबाई बदल जाती है,जिससे कलांतर उत्पन्न होता है। फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ केवल तरंगदैर्घ्य $\lambda$,स्लिट्स के बीच की दूरी $d$ और पर्दे की दूरी $D$ पर निर्भर करती है। चूंकि ये पैरामीटर स्थिर रहते हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई अपरिवर्तित रहती है। हालांकि,पूरा व्यतिकरण पैटर्न उस दिशा में विस्थापित हो जाता है जिस ओर अभ्रक की शीट रखी गई है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त पथान्तर $\Delta x = n\lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ फ्रिंज का क्रम दर्शाता है।
पथान्तर $\Delta x$ और कलान्तर $\delta\phi$ के बीच का संबंध $\delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
कलान्तर के सूत्र में $\Delta x = n\lambda$ रखने पर,हमें $\delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (n\lambda) = 2n\pi$ प्राप्त होता है।
तीसरी दीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 3$ है।
अतः,कलान्तर $\delta\phi = 2 \times 3 \times \pi = 6\pi$ रेडियन होगा।

(D) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली शीट को किसी एक किरण के पथ में रखा जाता है,तो उत्पन्न अतिरिक्त पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ होता है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज का विस्थापन $S = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,विस्थापन फ्रिंज की चौड़ाई के बराबर है,इसलिए $S = \beta$.
अतः,$\frac{(\mu - 1)tD}{d} = \frac{\lambda D}{d}$.
यह समीकरण $(\mu - 1)t = \lambda$ में सरल हो जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $(\mu - 1) \times 12 \times 10^{-7} = 6 \times 10^{-7}$.
$\mu - 1 = \frac{6 \times 10^{-7}}{12 \times 10^{-7}} = 0.5$.
$\mu = 1 + 0.5 = 1.5$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन और स्लिट के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = 0.2 \, mm = \frac{\lambda D}{d}$ दी गई है।
प्रश्न के अनुसार,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda + 0.10\lambda = 1.1\lambda$ और नई स्लिट दूरी $d' = d + 0.10d = 1.1d$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2 = \frac{\lambda' D}{d'} = \frac{1.1\lambda D}{1.1d} = \frac{\lambda D}{d}$ होगी।
चूँकि $\frac{\lambda D}{d} = \beta_1$,इसलिए $\beta_2 = \beta_1 = 0.2 \, mm$ प्राप्त होता है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
यहाँ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ में $10\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda + 0.1\lambda = 1.1\lambda$ है।
स्लिटों के बीच की दूरी $d$ में भी $10\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई दूरी $d' = d + 0.1d = 1.1d$ है।
नई फ्रिंज की चौड़ाई $\beta'$ के लिए: $\beta' = \frac{\lambda' D}{d'} = \frac{(1.1\lambda) D}{(1.1d)} = \frac{\lambda D}{d} = \beta$.
अतः,चूँकि $\beta = 0.2 \, mm$ है,नई फ्रिंज की चौड़ाई $\beta'$ भी $0.2 \, mm$ ही रहेगी।

(B) $Y.D.S.E.$ में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्रयोग को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में किया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ होता है।
चूंकि पानी का अपवर्तनांक $\mu > 1$ होता है,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई $\beta'$ हवा में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ से कम होगी।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई घट जाएगी।

(A) यंग का द्वि-स्लिट प्रयोग व्यतिकरण (interference) की घटना को प्रदर्शित करता है,जो तरंगों का एक विशिष्ट गुण है। पर्दे पर व्यतिकरण पैटर्न का अवलोकन करके,यह निष्कर्ष निकाला गया कि प्रकाश एक तरंग के रूप में व्यवहार करता है।

(D) अदीप्त फ्रिंज (dark fringe) के लिए सूत्र: $y_n = (2n-1) \frac{\lambda D}{2d}$ है।
यहाँ, $n=2$ (दूसरी अदीप्त फ्रिंज के लिए), $d = 0.90 \times 10^{-3} \, m$, $D = 1 \, m$, और $y_2 = 10^{-3} \, m$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $10^{-3} = (2(2)-1) \frac{\lambda \times 1}{2 \times 0.90 \times 10^{-3}}$.
$10^{-3} = 3 \times \frac{\lambda}{1.8 \times 10^{-3}}$.
$\lambda = \frac{10^{-3} \times 1.8 \times 10^{-3}}{3} = 0.6 \times 10^{-6} \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \times 10^2 \, cm = 0.6 \times 10^{-4} \, cm = 6 \times 10^{-5} \, cm$.

(B) किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है। चूंकि स्लिट समान हैं,$I_1 = I_2 = I_0$,इसलिए $I = 2I_0(1 + \cos \phi) = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$।
बिंदु $P$ पर,पथ अंतर $\Delta x = 0$ है। कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = 0$ है।
तीव्रता $I_P = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$ है।
बिंदु $Q$ पर,पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ है। कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
तीव्रता $I_Q = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 4I_0 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$ है।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ होगा।

(D) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 5896 \times 10^{-10} \, m$,$D = 1 \, m$,$d = 0.2 \, cm = 2 \times 10^{-3} \, m$.
हवा में $\beta$ की गणना:
$\beta = \frac{5896 \times 10^{-10} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 2948 \times 10^{-7} \, m = 0.2948 \, mm \approx 0.295 \, mm$.
जब प्रणाली को पानी में डुबोया जाता है,तो तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda_w = \frac{\lambda}{\mu_w}$ हो जाती है।
इसलिए,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_w = \frac{\beta}{\mu_w} = \frac{0.2948}{4/3} = 0.2948 \times 0.75 = 0.2211 \, mm$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, केंद्रीय फ्रिंज के लिए पथ अंतर श्वेत प्रकाश की सभी तरंगदैर्ध्यों के लिए शून्य होता है। अतः, केंद्र में सभी रंग एक-दूसरे पर अध्यारोपित हो जाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप केंद्रीय फ्रिंज श्वेत प्राप्त होती है। अन्य स्थितियों के लिए, पथ अंतर तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करता है $(\Delta x = d \sin \theta = n\lambda)$, जिसके कारण विभिन्न रंग अलग-अलग स्थानों पर फ्रिंज बनाते हैं, जिससे रंगीन फ्रिंज प्राप्त होती हैं।

(A) हवा में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta_{air} = \frac{\lambda D}{d} = 0.8 \, mm$ है।
जब पूरे उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नई फ्रिंज की चौड़ाई $\beta_{liquid} = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta_{air}}{\mu}$ होती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\beta_{liquid} = \frac{0.8 \, mm}{1.6} = 0.5 \, mm$.

(A) फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{c}{f}$,जहां $c$ प्रकाश की गति है और $f$ आवृत्ति है,हम लिख सकते हैं कि $\beta = \frac{c D}{f d}$।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $\beta \propto \frac{1}{f}$।
यदि आवृत्ति $f$ को दोगुना कर दिया जाए $(f' = 2f)$,तो नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\beta}{2}$ या $\frac{1}{2} \beta$ होगा।

(A) $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की कोणीय स्थिति $\theta_n = (2n-1) \frac{\lambda}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम अदीप्त फ्रिंज $(n=1)$ के लिए,कोणीय स्थिति $\theta = \frac{\lambda}{2d}$ होगी।
दिया गया है: $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \, m$,$d = \frac{0.1}{\pi} \, mm = \frac{0.1}{\pi} \times 10^{-3} \, m = \frac{10^{-4}}{\pi} \, m$.
मान रखने पर:
$\theta = \frac{5 \times 10^{-7}}{2 \times (10^{-4} / \pi)} = \frac{5 \times 10^{-7} \times \pi}{2 \times 10^{-4}} = 2.5 \times 10^{-3} \times \pi \text{ रेडियन}$.
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करने पर:
$\theta_{deg} = (2.5 \times 10^{-3} \times \pi) \times \frac{180}{\pi} = 2.5 \times 10^{-3} \times 180 = 0.45^o$.

(D) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\lambda$ एकवर्णी प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब एक किरण के मार्ग में कांच की प्लेट रखी जाती है,तो यह एक अतिरिक्त पथ अंतर उत्पन्न करती है,जिससे संपूर्ण व्यतिकरण पैटर्न में विस्थापन होता है।
हालाँकि,$\lambda$,$D$ और $d$ पैरामीटर अपरिवर्तित रहते हैं।
इसलिए,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ स्थिर रहती है और इसमें कोई बदलाव नहीं होता है।

(D) फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई या दृश्य क्षेत्र में दिखाई देने वाली फ्रिंजों की कुल संख्या उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे संबंध $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,$n_1 = 92$,$\lambda_1 = 5898 \, \mathring A$,और $\lambda_2 = 5461 \, \mathring A$ है।
मान रखने पर: $92 \times 5898 = n_2 \times 5461$.
$n_2 = \frac{92 \times 5898}{5461}$.
$n_2 \approx 99.35$.
चूंकि फ्रिंजों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए हम $99$ मान लेंगे।

(D) माना प्रारंभिक तीव्रता $I_1 = I_2 = I_0$ है। अधिकतम तीव्रता $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (2\sqrt{I_0})^2 = 4I_0$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = 0$ है।
अब,एक झिरी की तीव्रता आधी कर दी जाती है,अर्थात $I_1 = I_0$ और $I_2 = I_0/2$।
नई अधिकतम तीव्रता $I'_{max} = (\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0/2})^2 = I_0(1 + 1/\sqrt{2})^2 \approx 2.91 I_0$ है,जो मूल $4I_0$ से कम है।
नई न्यूनतम तीव्रता $I'_{min} = (\sqrt{I_0} - \sqrt{I_0/2})^2 = I_0(1 - 1/\sqrt{2})^2 \approx 0.086 I_0$ है,जो मूल $0$ से अधिक है।
अतः,दीप्त फ्रिंज कम चमकीली हो जाएंगी और अदीप्त फ्रिंज कम गहरी (अधिक चमकीली) हो जाएंगी।

(A) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट के कारण फ्रिंज पैटर्न में विस्थापन $\Delta x = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t$ द्वारा दिया जाता है।
जब $t_1$ और $t_2$ मोटाई की दो प्लेटों को दो अलग-अलग पुंजों के पथ में रखा जाता है,तो पहली प्लेट द्वारा उत्पन्न विस्थापन $\Delta x_1 = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t_1$ है और दूसरी प्लेट द्वारा उत्पन्न विस्थापन $\Delta x_2 = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t_2$ है।
चूंकि प्लेटें दो अलग-अलग पुंजों के पथ में रखी गई हैं,इसलिए कुल विस्थापन व्यक्तिगत विस्थापनों का अंतर होगा:
$\Delta x_{net} = |\Delta x_1 - \Delta x_2| = \left| \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t_1 - \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t_2 \right|$.
इसे सरल करने पर,हमें $\Delta x_{net} = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) (t_1 - t_2)$ प्राप्त होता है।

(A) $Y.D.S.E.$ में,समान पथ अंतर वाले बिंदुओं का बिंदुपथ एक अतिपरवलय (hyperbola) होता है।
इसलिए,पर्दे पर बनने वाली व्यतिकरण फ्रिंजों का आकार अतिपरवलयाकार होता है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है, और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$, तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे समानुपाती होती है $(\beta \propto \lambda)$।
इसलिए, यदि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को कम किया जाता है, तो फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ भी कम हो जाएगी।

(B) $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की केंद्रीय फ्रिंज से दूरी का सूत्र है: $x_n = n \frac{\lambda D}{d}$।
दी गई मान हैं:
$n = 3$
$\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$
$D = 200 \, cm = 2 \, m$
$d = 0.2 \, mm = 0.2 \times 10^{-3} \, m = 2 \times 10^{-4} \, m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x_3 = 3 \times \frac{(5 \times 10^{-7} \, m) \times (2 \, m)}{2 \times 10^{-4} \, m}$
$x_3 = 3 \times \frac{10 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-4}}$
$x_3 = 3 \times 5 \times 10^{-3} \, m$
$x_3 = 15 \times 10^{-3} \, m = 1.5 \times 10^{-2} \, m = 1.5 \, cm$।
अतः,दूरी $1.5 \, cm$ है।

(D) फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
जब पर्दे को $\Delta D$ विस्थापित किया जाता है,तो फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \frac{\lambda \Delta D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\Delta \beta = 3 \times 10^{-5} \, m$,$\Delta D = 5 \times 10^{-2} \, m$,और $d = 10^{-3} \, m$।
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{(\Delta \beta) d}{\Delta D}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^{-5} \, m) \times (10^{-3} \, m)}{5 \times 10^{-2} \, m}$
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} \, m = 0.6 \times 10^{-6} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,केंद्रीय उच्चिष्ठ पर तीव्रता $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों स्लिट्स की तीव्रता समान $I$ है,इसलिए $I_0 = (\sqrt{I} + \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I})^2 = 4I$ प्राप्त होता है।
अतः,एक स्लिट की तीव्रता $I = I_0 / 4$ है।
जब एक स्लिट को बंद कर दिया जाता है,तो केवल दूसरी स्लिट से आने वाला प्रकाश ही पर्दे पर पहुँचता है।
इस प्रकार,केंद्र पर नई तीव्रता एक स्लिट की तीव्रता के बराबर यानी $I = I_0 / 4$ होगी।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में व्यतिकरण और विवर्तन दोनों घटनाएँ होती हैं।
प्रत्येक स्लिट पर प्रकाश का विवर्तन होता है,जो प्रकाश के स्रोत के रूप में कार्य करता है।
पर्दे पर इन दो स्लिटों से आने वाली प्रकाश तरंगों के बीच व्यतिकरण होता है।

(B) प्रकाश के व्यतिकरण की घटना का सर्वप्रथम अध्ययन थॉमस यंग द्वारा उनके प्रसिद्ध डबल-स्लिट प्रयोग में $1801$ में किया गया था। इस प्रयोग ने प्रकाश की तरंग प्रकृति के लिए ठोस प्रमाण प्रदान किए।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
यह दिया गया है कि दोनों प्रयोगों में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ समान है,इसलिए $\beta_1 = \beta_2$.
अतः,$\frac{\lambda_1 D_1}{d_1} = \frac{\lambda_2 D_2}{d_2}$.
दूरी के अनुपात $\frac{D_1}{D_2}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\frac{D_1}{D_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \times \frac{d_1}{d_2}$.
दिया गया है कि $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{2}$ (इसलिए $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 2$) और $\frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{1} = 2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{D_1}{D_2} = 2 \times 2 = 4$.
इस प्रकार,अनुपात $4:1$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$।
दिए गए मान हैं:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 550 \,nm = 550 \times 10^{-9} \,m$।
स्लिटों के बीच की दूरी $d = 1.10 \,mm = 1.10 \times 10^{-3} \,m$।
पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी $D = 1 \,m$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{550 \times 10^{-9} \times 1}{1.10 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{550}{1.10} \times 10^{-6} \,m$
$\beta = 500 \times 10^{-6} \,m = 0.5 \times 10^{-3} \,m$।
चूंकि $10^{-3} \,m = 1 \,mm$,इसलिए $\beta = 0.5 \,mm$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, Å = 6 \times 10^{-7} \, m$.
स्लिटों के बीच की दूरी $d = 0.1 \, cm = 10^{-3} \, m$.
उच्चिष्ठ का क्रम $n = 10$.
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$ वें उच्चिष्ठ के लिए कोणीय स्थिति $\theta_n$ का सूत्र $\sin \theta_n = \frac{n \lambda}{d}$ है।
छोटे कोणों के लिए, $\sin \theta_n \approx \theta_n$ लेने पर।
अतः, $\theta_n = \frac{n \lambda}{d} = \frac{10 \times 6 \times 10^{-7} \, m}{10^{-3} \, m}$.
$\theta_n = 6 \times 10^{-3} \, rad$.

(B) जब यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में एक किरण के पथ में $t$ मोटाई की धातु की प्लेट रखी जाती है,तो प्रकाश किरण धातु की प्लेट द्वारा पूरी तरह से अवरुद्ध हो जाती है।
चूंकि धातु अपारदर्शी होती है,इसलिए यह प्रकाश को अपने से होकर गुजरने नहीं देती है।
परिणामस्वरूप,उस विशिष्ट स्रोत से प्रकाश पर्दे तक नहीं पहुँच पाता है।
चूंकि व्यतिकरण के लिए दो कला-संबद्ध स्रोतों से प्रकाश का अध्यारोपण आवश्यक है,और यहाँ एक स्रोत अवरुद्ध हो गया है,इसलिए व्यतिकरण प्रतिरूप नहीं बनेगा।
अतः,फ्रिंज गायब हो जाती हैं।

(B) प्रकाश के स्थायी व्यतिकरण के लिए शर्तें: $(i)$ स्रोत कला-संबद्ध (coherent) होने चाहिए। $(ii)$ स्रोत एकवर्णी (monochromatic) होने चाहिए।
फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
पहली स्थिति के लिए: $\beta_1 = \frac{\lambda_1 D_1}{d_1}$,जहाँ $\lambda_1 = 400 \, nm$ है।
दूसरी स्थिति के लिए: $\beta_2 = \frac{\lambda_2 D_2}{d_2}$,जहाँ $\lambda_2 = 600 \, nm$ और $d_2 = \frac{d_1}{2}$ है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई समान रहती है,$\beta_1 = \beta_2$:
$\frac{\lambda_1 D_1}{d_1} = \frac{\lambda_2 D_2}{d_2}$
$\frac{D_1}{D_2} = \frac{\lambda_2 d_1}{\lambda_1 d_2} = \frac{600}{400} \times \frac{d_1}{d_1/2} = \frac{3}{2} \times 2 = 3$.
अतः,दूरियों का अनुपात $3:1$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\theta$ का सूत्र: $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है।
यहाँ,$\lambda = 4800 \, \mathring{A} = 4800 \times 10^{-10} \, m$ और $\theta = \frac{\pi}{200} \, rad$ है।
स्लिटों के बीच की दूरी $d$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$d = \frac{\lambda}{\theta} = \frac{4800 \times 10^{-10}}{\pi / 200}$.
$d = \frac{4800 \times 10^{-10} \times 200}{\pi}$.
$d = \frac{960000 \times 10^{-10}}{\pi} = \frac{9.6 \times 10^5 \times 10^{-10}}{\pi} = \frac{9.6 \times 10^{-5}}{\pi} \, m$.

(C) प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के सीधे समानुपाती होती है,इसलिए $I_1/I_2 = w_1/w_2 = 1/25$ है।
माना $I_1 = I_0$ और $I_2 = 25I_0$ है। तब आयाम $a_1 = \sqrt{I_0}$ और $a_2 = \sqrt{25I_0} = 5\sqrt{I_0}$ होंगे।
अधिकतम तीव्रता $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{I_0} + 5\sqrt{I_0})^2 = (6\sqrt{I_0})^2 = 36I_0$ होती है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{min} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2 = (5\sqrt{I_0} - \sqrt{I_0})^2 = (4\sqrt{I_0})^2 = 16I_0$ होती है।
अतः अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $I_{max}/I_{min} = 36I_0 / 16I_0 = 36/16 = 9/4$ यानी $9:4$ होगा।

(D) फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 1000 \, \mathring{A} = 1000 \times 10^{-10} \, m = 10^{-7} \, m$.
स्लिटों के बीच की दूरी $d = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$.
पर्दे की दूरी $D = 7 \, cm = 7 \times 10^{-2} \, m$.
मान रखने पर:
$\beta = \frac{10^{-7} \times 7 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-2}}$
$\beta = \frac{7}{3} \times 10^{-7} \, m$
$\beta \approx 2.33 \times 10^{-7} \, m$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda}{d}$ है, जिसका अर्थ है $\beta \propto \lambda$.
माना प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 5890 \, \mathring{A}$ और प्रारंभिक कोणीय चौड़ाई $\beta_1 = 0.20^o$ है।
नई कोणीय चौड़ाई $\beta_2 = \beta_1 + 10\% \text{ of } \beta_1 = 0.20 + 0.02 = 0.22^o$ है।
समानुपातिकता $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{0.20}{0.22} = \frac{5890}{\lambda_2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda_2 = 5890 \times \frac{0.22}{0.20} = 5890 \times 1.1 = 6479 \, \mathring{A}$।
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = 6479 - 5890 = 589 \, \mathring{A}$ है।
अतः, तरंगदैर्ध्य में $589 \, \mathring{A}$ की वृद्धि होगी।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $D$ और $d$ प्रयोगात्मक सेटअप के लिए स्थिर हैं,इसलिए फ्रिंज चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है: $\beta \propto \lambda$.
अतः,हम अनुपात लिख सकते हैं: $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
दिया गया है: $\lambda_1 = 630 \, nm$,$\beta_1 = 8.1 \, mm$,और $\beta_2 = 7.2 \, mm$.
मान रखने पर: $\lambda_2 = \frac{\beta_2}{\beta_1} \times \lambda_1$.
$\lambda_2 = \frac{7.2}{8.1} \times 630$.
$\lambda_2 = \frac{8}{9} \times 630 = 8 \times 70 = 560 \, nm$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिए गए प्रायोगिक सेटअप के लिए,स्लिट्स के बीच की दूरी $(d)$ और स्लिट्स तथा स्क्रीन के बीच की दूरी $(D)$ स्थिर रहती है।
इसलिए,फ्रिंज चौड़ाई उपयोग किए गए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है: $\beta \propto \lambda$.
हम जानते हैं कि दिए गए रंगों के लिए तरंग दैर्ध्य का क्रम $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$ है।
चूंकि फ्रिंज चौड़ाई तरंग दैर्ध्य के सीधे आनुपातिक है,इसलिए फ्रिंज चौड़ाई का क्रम $\beta_R > \beta_G > \beta_B$ होगा।

(A) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$,पर्दे की दूरी $D = 2 \, m$,$\lambda_1 = 12000 \times 10^{-10} \, m$,$\lambda_2 = 10000 \times 10^{-10} \, m$.
दीप्त फ्रिंजों के संपाती होने के लिए,स्थिति $x$ को संतुष्ट करना चाहिए: $x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$.
इसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,या $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
मान रखने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{10000}{12000} = \frac{5}{6}$.
न्यूनतम दूरी के लिए,हम सबसे छोटे पूर्णांक $n_1 = 5$ और $n_2 = 6$ लेते हैं।
अब,$x$ की गणना करें: $x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{5 \times 12000 \times 10^{-10} \times 2}{2 \times 10^{-3}}$.
$x = 5 \times 12000 \times 10^{-7} \, m = 60000 \times 10^{-7} \, m = 6 \times 10^{-3} \, m = 6 \, mm$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ स्लिट के बीच की दूरी है,$\theta$ कोणीय स्थिति है,$n$ उच्चिष्ठ का क्रम है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $d = 0.589 \, mm = 0.589 \times 10^{-3} \, m$,$\lambda = 589 \, nm = 589 \times 10^{-9} \, m$,और $n = 3$।
सूत्र में मान रखने पर:
$0.589 \times 10^{-3} \sin \theta = 3 \times 589 \times 10^{-9}$
$\sin \theta = \frac{3 \times 589 \times 10^{-9}}{0.589 \times 10^{-3}}$
$\sin \theta = \frac{3 \times 589 \times 10^{-9}}{589 \times 10^{-6}}$
$\sin \theta = 3 \times 10^{-3} \times 10^{-3} = 3 \times 10^{-6}$
अतः,$\theta = \sin^{-1} (3 \times 10^{-6})$।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y = \frac{n \lambda D}{d}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
जब फ्रिंजें संपाती होती हैं,तो उनकी स्थितियाँ समान होती हैं: $y_1 = y_2$.
अतः,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिया गया है: $\lambda_1 = 590 \, nm$,$n_1 = 3$,$n_2 = 4$.
मान रखने पर: $3 \times 590 = 4 \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = \frac{3 \times 590}{4} = \frac{1770}{4} = 442.5 \, nm$.