Telescope Questions in Gujarati

(D) ટેલિસ્કોપની ટ્યુબની લંબાઈ $L$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ $(f_o)$ અને આઈપીસ $(f_e)$ ની કેન્દ્રલંબાઈના સરવાળા જેટલી હોય છે: $L = f_o + f_e = 60 \; cm$.
ટેલિસ્કોપની મોટવણી $M$ એ કેન્દ્રલંબાઈના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $M = \frac{f_o}{f_e} = 5$.
આના પરથી,આપણને $f_o = 5 f_e$ મળે છે.
આ કિંમતને ટ્યુબની લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $5 f_e + f_e = 60 \; cm$,જેનું સાદું રૂપ $6 f_e = 60 \; cm$ થાય છે.
તેથી,આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $f_e = 10 \; cm$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{o} = 144\;cm$
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{e} = 6.0\;cm$
સામાન્ય ગોઠવણ (normal adjustment) માટે ટેલિસ્કોપની મોટવણી $(m)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$m = \frac{f_{o}}{f_{e}}$
$m = \frac{144}{6} = 24$
સામાન્ય ગોઠવણ માટે ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર નીચે મુજબ છે:
$L = f_{o} + f_{e}$
$L = 144 + 6 = 150\;cm$
આમ,ટેલિસ્કોપની મોટવણી $24$ છે અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ તથા આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર $150\;cm$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{o} = 15 \; m = 1500 \; cm$.
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{e} = 1.0 \; cm$.
$(a)$ ટેલિસ્કોપની કોણીય મોટવણી $m$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m = \frac{f_{o}}{f_{e}} = \frac{1500 \; cm}{1.0 \; cm} = 1500$.
આમ,ટેલિસ્કોપની કોણીય મોટવણી $1500$ છે.
$(b)$ ચંદ્રનો વ્યાસ,$d = 3.48 \times 10^{6} \; m$.
ચંદ્રની કક્ષાની ત્રિજ્યા,$r = 3.8 \times 10^{8} \; m$.
ધારો કે $d'$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબનો વ્યાસ છે. ચંદ્ર દ્વારા ઓબ્જેક્ટિવ પર આંતરેલો ખૂણો એ પ્રતિબિંબ દ્વારા આંતરેલા ખૂણા જેટલો જ હોય છે.
$\frac{d}{r} = \frac{d'}{f_{o}}$
$d' = \frac{d \times f_{o}}{r} = \frac{3.48 \times 10^{6} \; m \times 15 \; m}{3.8 \times 10^{8} \; m}$
$d' = \frac{3.48 \times 15}{3.8} \times 10^{-2} \; m \approx 13.74 \times 10^{-2} \; m = 13.74 \; cm$.
આમ,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા બનતા ચંદ્રના પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $13.74 \; cm$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{o} = 140 \; cm$
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{e} = 5.0 \; cm$
સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર,$d = 25 \; cm$
$(a)$ જ્યારે ટેલિસ્કોપ સામાન્ય ગોઠવણમાં હોય,ત્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે હોય છે. મોટવણી $m$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m = -\frac{f_{o}}{f_{e}}$
$m = -\frac{140}{5} = -28$
મોટવણીનું મૂલ્ય $28$ છે.
$(b)$ જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતર $d$ પર રચાય છે,ત્યારે મોટવણી $m$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m = -\frac{f_{o}}{f_{e}} \left( 1 + \frac{f_{e}}{d} \right)$
$m = -\frac{140}{5} \left( 1 + \frac{5}{25} \right)$
$m = -28 \times (1 + 0.2)$
$m = -28 \times 1.2 = -33.6$
મોટવણીનું મૂલ્ય $33.6$ છે.

(C) આપેલ છે: ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{o} = 140\;cm$. આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_{e} = 5.0\;cm$.
$(a)$ સામાન્ય ગોઠવણમાં,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર $L = f_{o} + f_{e} = 140 + 5 = 145\;cm$ છે.
$(b)$ ટાવરની ઊંચાઈ,$h_{1} = 100\;m$. ટેલિસ્કોપથી ટાવરનું અંતર,$u = 3\;km = 3000\;m$. ટાવર દ્વારા ટેલિસ્કોપ પર બનતો ખૂણો $\theta = \frac{h_{1}}{u} = \frac{100}{3000} = \frac{1}{30}\;rad$ છે. ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા બનતા પ્રતિબિંબ દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta = \frac{h_{2}}{f_{o}}$ છે,જ્યાં $h_{2}$ એ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ છે. તેથી,$\frac{h_{2}}{140} = \frac{1}{30}$,જે આપણને $h_{2} = \frac{140}{30} \approx 4.67\;cm$ આપે છે.
$(c)$ પ્રતિબિંબ $d = 25\;cm$ ના અંતરે રચાય છે. આઈપીસનું મોટવણી $m = 1 + \frac{d}{f_{e}} = 1 + \frac{25}{5} = 6$ છે. અંતિમ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ $h_{f} = m \times h_{2} = 6 \times 4.67 = 28.02\;cm$ છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવેલ કેસેગ્રેઈન ટેલિસ્કોપમાં એક અંતર્ગોળ અરીસો (ઓબ્જેક્ટિવ) અને એક બહિર્ગોળ અરીસો (ગૌણ) હોય છે.
ઓબ્જેક્ટિવ અરીસા અને ગૌણ અરીસા વચ્ચેનું અંતર,$d = 20 \; mm$.
ઓબ્જેક્ટિવ અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા,$R_1 = 220 \; mm$.
તેથી,ઓબ્જેક્ટિવ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_1 = \frac{R_1}{2} = 110 \; mm$.
ગૌણ અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યા,$R_2 = 140 \; mm$.
તેથી,ગૌણ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_2 = \frac{R_2}{2} = \frac{140}{2} = 70 \; mm$.
અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુનું ઓબ્જેક્ટિવ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ,ગૌણ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. ગૌણ અરીસાથી આ આભાસી વસ્તુનું અંતર $u = f_1 - d = 110 - 20 = 90 \; mm$ થાય છે.
ગૌણ અરીસા માટે અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં બહિર્ગોળ અરીસા માટે $f_2$ ધન લેવામાં આવે છે:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{90} = \frac{1}{70}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{70} - \frac{1}{90} = \frac{9 - 7}{630} = \frac{2}{630}$
$v = \frac{630}{2} = 315 \; mm$.
આમ,અંતિમ પ્રતિબિંબ ગૌણ અરીસાથી $315 \; mm$ દૂર રચાશે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે. ટેલિસ્કોપમાં,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ તેના ફોકલ પ્લેન પર દૂરની વસ્તુની વાસ્તવિક,ઉલટી અને નાની છબી બનાવે છે.
આઈપીસ એક સાદા મેગ્નિફાયર અથવા બૃહદદર્શક કાચ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેને એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા રચાયેલી છબી તેની કેન્દ્રલંબાઈની અંદર રહે.
આનાથી આઈપીસ નિરીક્ષકની આંખ માટે (મધ્યવર્તી છબીની સાપેક્ષમાં) આભાસી,મોટી અને સીધી છબી ઉત્પન્ન કરી શકે છે.

(N/A) 'ટેલે' (Tele) નો અર્થ 'દૂર' અને 'સ્કોપ' (Scope) નો અર્થ 'જોવું' થાય છે. તેથી,દૂરની વસ્તુઓ જોવા માટે વપરાતા સાધનને ટેલિસ્કોપ કહેવામાં આવે છે.
દૂરની વસ્તુઓનું અવલોકન કરવા માટે વપરાતા પ્રકાશીય સાધનને ટેલિસ્કોપ કહે છે.
ટેલિસ્કોપના પ્રકારો:
$1)$ એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપ: સૂર્ય,તારાઓ,ગ્રહો વગેરે જેવી ખૂબ દૂરની વસ્તુઓનું અવલોકન આ ટેલિસ્કોપ દ્વારા કરી શકાય છે. આમાં મળતું અંતિમ પ્રતિબિંબ ઉલટું અને નાનું હોય છે,પરંતુ અવકાશી પદાર્થો ગોળાકાર હોવાથી,પ્રતિબિંબ પર તેની કોઈ ખાસ અસર પડતી નથી.
$2)$ ટેરેસ્ટ્રિયલ ટેલિસ્કોપ: આ ટેલિસ્કોપમાં વધારાની ઇન્વર્ટિંગ લેન્સની જોડી હોય છે જે અંતિમ પ્રતિબિંબને ચત્તું બનાવે છે. ગેલિલિયોએ આ ટેલિસ્કોપમાં બહિર્ગોળ અને અંતર્ગોળ લેન્સનો ઉપયોગ કર્યો હતો.
$3)$ રિફ્લેક્ટિંગ ટેલિસ્કોપ: આ ટેલિસ્કોપમાં ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના સ્થાને અંતર્ગોળ અરીસાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેથી રંગીન વિપથન (chromatic aberration) નિવારી શકાય. ઉદાહરણ: કેસેગ્રેન ટેલિસ્કોપ.

(N/A) ખૂબ જ વિશાળ અવકાશી પદાર્થોનું અવલોકન કરવા માટે એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપનો ઉપયોગ થાય છે. તેની કિરણ આકૃતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આ ટેલિસ્કોપમાં બે બહિર્ગોળ લેન્સ એવી રીતે રાખવામાં આવે છે કે તેમની મુખ્ય અક્ષ એકબીજા પર સંપાત થાય.
વસ્તુ તરફના લેન્સને ઓબ્જેક્ટિવ અને આંખની નજીકના લેન્સને આઈપીસ (eyepiece) કહેવામાં આવે છે.
ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ અને કેન્દ્રલંબાઈ આઈપીસ કરતા વધારે હોય છે.
જ્યારે ટેલિસ્કોપને દૂરની વસ્તુ પર ફોકસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે વસ્તુમાંથી આવતા સમાંતર કિરણો ઓબ્જેક્ટિવના બીજા મુખ્ય કેન્દ્ર પર વાસ્તવિક, ઉલટું અને નાનું પ્રતિબિંબ $A'B'$ બનાવે છે. આ પ્રતિબિંબ આઈપીસ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આઈપીસને આગળ-પાછળ ખસેડીને અંતિમ, મોટું અને ઉલટું પ્રતિબિંબ ચોક્કસ અંતરે મેળવવામાં આવે છે.
આવા ટેલિસ્કોપમાં, વસ્તુમાંથી આવતા કિરણો ઓબ્જેક્ટિવ દ્વારા વક્રીભૂત થઈને પ્રતિબિંબ બનાવે છે, તેથી તેને વક્રીભૂત ટેલિસ્કોપ કહેવામાં આવે છે.
ટેલિસ્કોપની મોટવણી $(m)$ એ આંખ પાસે અંતિમ પ્રતિબિંબ દ્વારા બનતા ખૂણા $(\beta)$ અને ઓબ્જેક્ટિવ પાસે વસ્તુ દ્વારા બનતા ખૂણા $(\alpha)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$m = \frac{\beta}{\alpha}$
કિરણ આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી:
ઓબ્જેક્ટિવ માટે, $\tan \alpha \approx \alpha = \frac{h}{f_0}$
આઈપીસ માટે, $\tan \beta \approx \beta = \frac{h}{f_e}$
તેથી, મોટવણી:
$m = \frac{h/f_e}{h/f_0} = \frac{f_0}{f_e}$

(B) ખગોળીય ટેલિસ્કોપ માટે બે મુખ્ય બાબતો તેની પ્રકાશ એકત્ર કરવાની ક્ષમતા અને તેની વિભેદન શક્તિ (resolving power) છે.
$1$. પ્રકાશ એકત્ર કરવાની ક્ષમતા: આ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે. મોટા વ્યાસનો ઓબ્જેક્ટિવ વધુ પ્રકાશને અંદર આવવા દે છે,જેનાથી ઝાંખા પદાર્થોનું અવલોકન કરી શકાય છે.
$2$. વિભેદન શક્તિ: આ ટેલિસ્કોપની એક જ દિશામાં ખૂબ નજીક રહેલા બે પદાર્થોને અલગ રીતે જોવાની ક્ષમતા છે. તે પણ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના વ્યાસ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,ઓપ્ટિકલ ટેલિસ્કોપ બનાવવાનો મુખ્ય ઉદ્દેશ્ય મોટા વ્યાસવાળા ઓબ્જેક્ટિવનો ઉપયોગ કરવાનો છે. જોકે,મોટા લેન્સ ભારે હોય છે,તેને ટેકો આપવો મુશ્કેલ હોય છે અને વર્ણવિપથન (chromatic aberration) તથા વિકૃતિઓથી મુક્ત રાખીને આવા મોટા લેન્સ બનાવવા ખૂબ ખર્ચાળ હોય છે.

(N/A) જે ટેલિસ્કોપમાં લેન્સને બદલે અંતર્ગોળ અરીસાનો ઉપયોગ ઓબ્જેક્ટિવ તરીકે કરવામાં આવે છે,તેને પરાવર્તિત ટેલિસ્કોપ કહેવામાં આવે છે. આ લેન્સ-આધારિત સિસ્ટમની મર્યાદાઓને દૂર કરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા છે.
ફાયદા:
$1)$ અરીસામાં કોઈ રંગીન વિકૃતિ (chromatic aberration) હોતી નથી કારણ કે પરાવર્તન તરંગલંબાઇ પર આધારિત નથી.
$2)$ પેરાબોલિક પરાવર્તક સપાટીનો ઉપયોગ કરીને,ગોલીય વિકૃતિ (spherical aberration) પણ દૂર થાય છે.
$3)$ યાંત્રિક આધાર આપવો સરળ છે કારણ કે સમાન ઓપ્ટિકલ ગુણવત્તા ધરાવતા લેન્સ કરતા અરીસાનું વજન ઓછું હોય છે અને તેને માત્ર કિનારી પર જ નહીં,પરંતુ તેની સમગ્ર પાછળની સપાટી પર ટેકો આપી શકાય છે.
ગેરફાયદા:
$1)$ ઓબ્જેક્ટિવ અરીસો ટેલિસ્કોપની નળીની અંદર પ્રકાશને કેન્દ્રિત કરે છે,જેના માટે આઈપીસ અને નિરીક્ષકને ત્યાં ગોઠવવાની જરૂર પડે છે.
$2)$ નિરીક્ષક અથવા આઈપીસને પકડી રાખતું પાંજરું આવતા પ્રકાશને અવરોધિત કરી શકે છે.
ઉકેલ:
ખૂબ મોટા ટેલિસ્કોપમાં,જેમ કે $200$ ઇંચ $(5.08\; m)$ વ્યાસ ધરાવતું માઉન્ટ પાલોમર ટેલિસ્કોપ,નિરીક્ષક ફોકલ પોઈન્ટની નજીક એક નાના પાંજરામાં બેસે છે. આ સમસ્યાનો બીજો ઉકેલ એ છે કે પ્રકાશને મુખ્ય નળીની બહાર વધુ અનુકૂળ સ્થાને વાળવા માટે ગૌણ અરીસાનો ઉપયોગ કરવો.

(N/A) કેસેગ્રેન ટેલિસ્કોપ આપાત પ્રકાશને કેન્દ્રિત કરવા માટે અંતર્ગોળ પ્રાથમિક અરીસા અને બહિર્ગોળ ગૌણ અરીસાનો ઉપયોગ કરે છે. પ્રકાશ પ્રાથમિક અરીસા પરથી પરાવર્તિત થાય છે,બહિર્ગોળ ગૌણ અરીસા સાથે અથડાય છે,અને પછી પ્રાથમિક અરીસામાં રહેલા કેન્દ્રીય છિદ્ર દ્વારા આઈપીસ (eyepiece) તરફ નિર્દેશિત થાય છે.
આ ડિઝાઇન તેના શોધક લોરેન્ટ કેસેગ્રેન પરથી નામ આપવામાં આવ્યું છે.
આ ગોઠવણીનો મુખ્ય ફાયદો એ છે કે તે ટૂંકી ટેલિસ્કોપ ટ્યુબમાં મોટી કેન્દ્રલંબાઈ પ્રદાન કરે છે.
ભારતનું સૌથી મોટું ટેલિસ્કોપ કાવલુર,તમિલનાડુમાં આવેલું છે. તે $2.34 \ m$ વ્યાસનું પરાવર્તક ટેલિસ્કોપ છે.
તેને ઇન્ડિયન ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ એસ્ટ્રોફિઝિક્સ,બેંગલુરુ દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવ્યું છે,પોલિશ કરવામાં આવ્યું છે,સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું છે અને તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવી રહ્યો છે.
વિશ્વના સૌથી મોટા પરાવર્તક ટેલિસ્કોપ હવાઈ,$USA$ માં આવેલા કેક ટેલિસ્કોપની જોડી છે,જેનો વ્યાસ $10 \ m$ છે.

(A) ટેલિસ્કોપ એ એક એવું ઓપ્ટિકલ સાધન છે જે દૂરની વસ્તુઓને નજીક બતાવવા માટે રચાયેલ છે. તેમાં લેન્સ અથવા વક્ર અરીસાઓ અને લેન્સની એવી ગોઠવણી હોય છે,જેના દ્વારા પ્રકાશના કિરણો એકત્રિત અને કેન્દ્રિત થાય છે અને મળતી છબી મોટી દેખાય છે.
તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે ખગોળશાસ્ત્રમાં તારાઓ,ગ્રહો અને આકાશગંગાઓ જેવા અવકાશી પદાર્થોનું અવલોકન કરવા માટે થાય છે.

(B) ટેલિસ્કોપની ટ્યુબ લંબાઈને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના બીજા મુખ્ય કેન્દ્ર $(F_o)$ અને આઈપીસના પ્રથમ મુખ્ય કેન્દ્ર $(F_e)$ વચ્ચેના અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સામાન્ય ગોઠવણ (normal adjustment) માં રહેલા ટેલિસ્કોપ માટે,ટ્યુબની લંબાઈ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_o)$ અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_e)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે,જેને $L = f_o + f_e$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) પાર્થિવ ટેલિસ્કોપ પૃથ્વીની સપાટી પરની વસ્તુઓ જોવા માટે બનાવવામાં આવે છે.
ખગોળીય ટેલિસ્કોપમાં,અંતિમ પ્રતિબિંબ ઉલટું મળે છે.
સીધું પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,પાર્થિવ ટેલિસ્કોપમાં ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસની વચ્ચે વધારાની ઇન્વર્ટિંગ લેન્સની જોડી મૂકવામાં આવે છે.
આ વધારાની લેન્સ સિસ્ટમ પ્રતિબિંબને ફરીથી ઉલટાવે છે,જેના પરિણામે અંતિમ પ્રતિબિંબ સીધું મળે છે.

(B) ખગોળીય ટેલિસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ (અથવા અરીસા) નો વ્યાસ તેની પ્રકાશ એકત્ર કરવાની ક્ષમતા અને રિઝોલ્યુશન નક્કી કરે છે. આધુનિક વ્યાવસાયિક ખગોળીય ટેલિસ્કોપમાં,જેમ કે કેક ઓબ્ઝર્વેટરી અથવા વેરી લાર્જ ટેલિસ્કોપ $(VLT)$,પ્રાથમિક અરીસાઓનો વ્યાસ ખૂબ મોટો હોય છે. હાલમાં વપરાતા સૌથી મોટા ટેલિસ્કોપ માટે,ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ આશરે $10 \ m$ અથવા $1000 \ cm$ જેટલો હોય છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$100 \ cm$ $(1 \ m)$ એ નાના વિકલ્પોની તુલનામાં મોટા વ્યાવસાયિક-ગ્રેડના ટેલિસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવ વ્યાસનું સૌથી યોગ્ય પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(N/A) ભારતની સૌથી મોટી ઓપ્ટિકલ ટેલિસ્કોપ દેવસ્થલ ઓપ્ટિકલ ટેલિસ્કોપ $(DOT)$ છે.
તે ઉત્તરાખંડના નૈનીતાલ નજીક દેવસ્થલમાં આર્યભટ્ટ રિસર્ચ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઓફ ઓબ્ઝર્વેશનલ સાયન્સિસ $(ARIES)$ ખાતે આવેલી છે.
તેના પ્રાથમિક અરીસા (ઓબ્જેક્ટિવ) નો વ્યાસ $3.6 \ m$ છે.

(N/A) વિશ્વનું સૌથી મોટું પરાવર્તક ટેલિસ્કોપ 'ગ્રાન્ડ ટેલિસ્કોપિયો કેનેરિયાસ' $(GTC)$ છે,જે સ્પેનના કેનેરી ટાપુઓ પર આવેલા લા પાલ્મા ટાપુ પરના રોક ડી લોસ મુચાચોસ ઓબ્ઝર્વેટરી ખાતે આવેલું છે.
તેના મુખ્ય અરીસા (પરાવર્તક) નો વ્યાસ $10.4 \ m$ છે.

(B) આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_o = 15\, cm = 150\, mm$.
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_e = 10\, mm = 1\, cm$.
ટ્યુબની લંબાઈ,$L = 16\, cm$.
સામાન્ય ગોઠવણ (normal adjustment) માં ટેલિસ્કોપ માટે,ટ્યુબની લંબાઈ $L = f_o + f_e = 15\, cm + 1\, cm = 16\, cm$ થાય છે.
અહીં આપેલી ટ્યુબની લંબાઈ કેન્દ્રલંબાઈઓના સરવાળા જેટલી હોવાથી,ટેલિસ્કોપ સામાન્ય ગોઠવણમાં છે.
સામાન્ય ગોઠવણમાં ટેલિસ્કોપ માટે મોટવણી $m$ નું સૂત્ર:
$m = \frac{f_o}{f_e}$
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{15\, cm}{1\, cm} = 15$.
આમ,મોટવણી $15$ છે.

(A) આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_o = 10 \ cm = 100 \ mm$.
આઈ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_e = 10 \ mm = 1 \ cm$.
ટ્યુબની લંબાઈ,$L = 11 \ cm$.
સામાન્ય ગોઠવણ (normal adjustment) માં ટેલિસ્કોપ માટે,ટ્યુબની લંબાઈ $L = f_o + f_e = 10 \ cm + 1 \ cm = 11 \ cm$ થાય છે. અહીં આપેલી ટ્યુબની લંબાઈ આ શરતનું પાલન કરે છે,તેથી ટેલિસ્કોપ સામાન્ય ગોઠવણમાં છે.
સામાન્ય ગોઠવણમાં ટેલિસ્કોપ માટે કોણીય મોટવણી $M$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M = \frac{f_o}{f_e}$
કિંમતો મૂકતા:
$M = \frac{10 \ cm}{1 \ cm} = 10$.
આમ,કોણીય મોટવણી $10$ છે.

(D) ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણી (magnifying power) $MP = \frac{f_o}{f_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે。
ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(R.P.)$ $R.P. = \frac{a}{1.22 \lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનું છિદ્ર (aperture) છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે。
$1$. મોટું છિદ્ર $(a)$ વિભેદન શક્તિમાં વધારો કરે છે, જે ટેલિસ્કોપને નજીક રહેલી બે વસ્તુઓ વચ્ચે તફાવત કરવામાં મદદ કરે છે。
$2$. મોટું છિદ્ર ઓબ્જેક્ટિવની પ્રકાશ એકત્ર કરવાની શક્તિમાં વધારો કરે છે, જે લેન્સના ક્ષેત્રફળ $(\pi r^2)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે। આનાથી ઝાંખી વસ્તુઓ પણ સ્પષ્ટ દેખાય છે અને છબીની ગુણવત્તા સુધરે છે。
આ તમામ પરિબળો ખગોળીય ટેલિસ્કોપના પ્રદર્શનમાં ફાળો આપતા હોવાથી, સાચો જવાબ $D$ છે。

(A) સામાન્ય ગોઠવણમાં,ટેલિસ્કોપની લંબાઈ $L$ એ $L = f_o + f_e$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $L = 30\,cm$,તેથી $f_o + f_e = 30$ (સમીકરણ $1$).
સામાન્ય ગોઠવણમાં ટેલિસ્કોપ માટે કોણીય મોટવણી $m$ એ $m = \frac{f_o}{f_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $m = 2$,તેથી $\frac{f_o}{f_e} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $f_o = 2f_e$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$2f_e + f_e = 30$
$3f_e = 30$
$f_e = 10\,cm$.
હવે,$f_e$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$f_o = 2 \times 10 = 20\,cm$.
આમ,ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $20\,cm$ છે.

(B) ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ માટે, વસ્તુનું અંતર $u_o = -4 \,m$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f_o = 2 \,m$ છે। લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_o} - \frac{1}{-4} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{v_o} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
તેથી, $v_o = 4 \,m$. આ પ્રતિબિંબ આઈપીસ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ધારો કે ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર $L$ છે. આઈપીસ માટે વસ્તુનું અંતર $u_e = -(4 - L)$ થશે.
આઈપીસ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e}$.
$\frac{1}{v_e} - \frac{1}{-(4 - L)} = \frac{1}{0.2} \Rightarrow \frac{1}{v_e} = 5 - \frac{1}{4 - L}$.
સામાન્ય રીતે $L$ નું મૂલ્ય $f_o + f_e = 2.2 \,m$ ની આસપાસ હોય છે, તેથી $4 - L$ ધન છે અને $4$ કરતા ઓછું છે. આમ, $\frac{1}{4 - L} > 0.25$.
તેથી, $\frac{1}{v_e} = 5 - (0.25$ કરતા મોટી કિંમત$)$, જે ધન છે.
$v_e$ ધન હોવાથી, અંતિમ પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે.

(C) આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_o = 100 \, cm$
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_e = 5 \, cm$
અંતિમ પ્રતિબિંબનું અંતર,$D = 25 \, cm$
જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ નજીકના બિંદુએ (સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર) રચાય ત્યારે ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણી $m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$m = -\frac{f_o}{f_e} \left( 1 + \frac{f_e}{D} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$m = -\frac{100}{5} \left( 1 + \frac{5}{25} \right)$
$m = -20 \left( 1 + 0.2 \right)$
$m = -20 \times 1.2$
$m = -24$
આમ,મોટવણીનું મૂલ્ય $24$ છે.

(A) સામાન્ય ગોઠવણમાં,મોટવણી $m = \frac{f_o}{f_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $m = 8$,તેથી $f_o = 8f_e$.
સામાન્ય ગોઠવણમાં ટેલિસ્કોપની લંબાઈ $L = f_o + f_e$ છે.
આપેલ છે કે $L = 27 \, cm$,તેથી $f_o + f_e = 27$.
સમીકરણમાં $f_o = 8f_e$ મૂકતા: $8f_e + f_e = 27$.
$9f_e = 27$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $f_e = 3 \, cm$ મળે છે.
હવે,$f_o = 8 \times 3 = 24 \, cm$.
આમ,કેન્દ્રલંબાઈઓ $24 \, cm$ અને $3 \, cm$ છે.

(D) આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_0 = 20\,m = 2000\,cm$.
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_e = 2\,cm$.
સામાન્ય ગોઠવણ માટે:
$1$. ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર $L = f_0 + f_e = 2000\,cm + 2\,cm = 2002\,cm = 20.02\,m$ છે. તેથી,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
$2$. મોટવણી $M = \frac{f_0}{f_e} = \frac{2000}{2} = 1000$ છે. તેથી,વિધાન $(b)$ સાચું છે.
$3$. ખગોળીય ટેલિસ્કોપમાં,અંતિમ છબી વસ્તુની સાપેક્ષમાં ઉલટી અને મોટી બને છે. તેથી,વિધાન $(c)$ ખોટું છે.
$4$. આઈપીસનું છિદ્ર ઓબ્જેક્ટિવ કરતા નાનું રાખવામાં આવે છે જેથી ઓબ્જેક્ટિવ દ્વારા એકત્રિત કરાયેલા તમામ પ્રકાશના કિરણો આંખમાં પ્રવેશી શકે. તેથી,વિધાન $(d)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(a), (b)$ અને $(d)$ છે.

(D) પરાવર્તક ટેલિસ્કોપમાં,પ્રાથમિક ઓબ્જેક્ટિવ એક મોટો અંતર્ગોળ અરીસો હોય છે. જો આઈપીસને આ પ્રાથમિક અરીસાના મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે,તો તે આવતા પ્રકાશને અવરોધશે. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે,ગૌણ અરીસાનો ઉપયોગ પ્રકાશના કિરણોને ટેલિસ્કોપની નળીની બાજુમાં અથવા પાછળના ભાગમાં પરાવર્તિત કરવા માટે થાય છે,જેથી આઈપીસને આવતા પ્રકાશના મુખ્ય માર્ગની બહાર મૂકી શકાય. આ ડિઝાઇન ટૂંકી ટેલિસ્કોપ નળીમાં મોટી કેન્દ્રલંબાઈ મેળવવાની સુવિધા આપે છે.

(A) આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_o = 140 \ cm$.
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ,$f_e = 5.0 \ cm$.
દૂરની વસ્તુ જોવા માટે ટેલિસ્કોપની મોટવણી $m$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{f_o}{f_e}$
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{140}{5.0} = 28$
આમ,ટેલિસ્કોપની મોટવણી $28$ છે.

(A) સામાન્ય ખગોળીય ટેલિસ્કોપ માટે,ટ્યુબની લંબાઈ $L$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ $(f_o)$ અને આઈપીસ $(f_e)$ ની કેન્દ્રલંબાઈના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$L = f_o + f_e$
અહીં $L = 36 \ cm$ આપેલ છે.
આપણે કેન્દ્રલંબાઈની એવી જોડી શોધવાની છે જેનો સરવાળો $36 \ cm$ થાય.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $30 \ cm + 6 \ cm = 36 \ cm$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $30 \ cm$ અને $6 \ cm$ હોઈ શકે છે.

(B) સામાન્ય ગોઠવણમાં,કોણીય મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{f_o}{f_e}$ છે.
આપેલ છે કે $m = 10$ અને $f_e = 5 \ cm$,તેથી $10 = \frac{f_o}{5}$,જે આપણને $f_o = 50 \ cm$ આપે છે.
જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતર $D = 25 \ cm$ પર રચાય છે,ત્યારે કોણીય મોટવણી $m'$ નું સૂત્ર $m' = \frac{f_o}{f_e} \left( 1 + \frac{f_e}{D} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $m' = \frac{50}{5} \left( 1 + \frac{5}{25} \right)$.
$m' = 10 \times (1 + 0.2) = 10 \times 1.2 = 12$.
તેથી,કોણીય મોટવણી $12$ થશે.

(A) સામાન્ય ગોઠવણમાં ખગોળીય ટેલિસ્કોપ માટે,ટેલિસ્કોપની લંબાઈ $L$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_0)$ અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_e)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$L = f_0 + f_e$
આપેલ છે:
$f_0 = 1.5 \ m$
$L = 1.56 \ m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1.56 = 1.5 + f_e$
$f_e = 1.56 - 1.5$
$f_e = 0.06 \ m$
તેથી,આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $0.06 \ m$ છે.

(A) ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(R.P.)$ નું સૂત્ર $R.P. = \frac{D}{1.22 \lambda}$ છે,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ (એપર્ચર) છે અને $\lambda$ એ વપરાતી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
આકાશી પદાર્થોમાંથી આવતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ નિશ્ચિત હોવાથી,રિઝોલ્વિંગ પાવર વધારવાનો એકમાત્ર રસ્તો ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ $(D)$ વધારવાનો છે.
મોટું એપર્ચર ટેલિસ્કોપમાં વધુ પ્રકાશને પ્રવેશવા દે છે,જેનાથી ઝાંખા પદાર્થો વધુ સ્પષ્ટ દેખાય છે.
તેથી,એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપમાં ઉચ્ચ રિઝોલ્યુશન મેળવવા માટે મોટું એપર્ચર રાખવામાં આવે છે.

(C) સામાન્ય ગોઠવણમાં ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણી $(m)$ નું સૂત્ર: $m = \frac{f_o}{f_e}$ છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
જો આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_e' = 2f_e$ થશે.
નવી મોટવણી $(m')$ આ મુજબ થશે: $m' = \frac{f_o}{f_e'} = \frac{f_o}{2f_e} = \frac{1}{2} \left( \frac{f_o}{f_e} \right) = \frac{m}{2}$.
તેથી,મોટવણી મૂળ કિંમત કરતા અડધી થઈ જશે.

(A) એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપની મોટવણી $(M)$ નું સૂત્ર $M = \frac{f_o}{f_e}$ છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
વધારે મોટવણી મેળવવા માટે,અંશ $(f_o)$ મોટો હોવો જોઈએ અને છેદ $(f_e)$ નાનો હોવો જોઈએ.
તેથી,ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ મોટી અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ નાની હોવી જોઈએ.

(C) ટેલિસ્કોપ માટે,લંબાઈ $L = f_{o} + f_{e} = 10 \ cm$ છે.
મોટવણી (magnifying power) $M = \frac{f_{o}}{f_{e}} = 4$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$f_{o} = 4f_{e}$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $4f_{e} + f_{e} = 10 \ cm$,જે $5f_{e} = 10 \ cm$ આપે છે,તેથી $f_{e} = 2 \ cm$.
ત્યારબાદ,$f_{o} = 4 \times 2 \ cm = 8 \ cm$.
આમ,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $8 \ cm$ $(L_{4})$ અને આઈ-લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $2 \ cm$ $(L_{1})$ છે.
તેથી,ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈ-લેન્સ અનુક્રમે $L_{4}$ અને $L_{1}$ છે.

(D) સામાન્ય ગોઠવણ (normal adjustment) માં એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપ માટે,ટ્યુબની લંબાઈ $L$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_o)$ અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_e)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$L = f_o + f_e$.
અહીં $L = 50 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $f_o + f_e = 50 \ cm$.
એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપમાં,ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ બંને બહિર્ગોળ લેન્સ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોય છે.
વધુમાં,વધુ મોટવણી મેળવવા માટે,ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $f_o$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $f_e$ કરતા ઘણી મોટી હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$f_o = 45 \ cm$ અને $f_e = 5 \ cm$ એ $f_o + f_e = 50 \ cm$ ની શરતનું પાલન કરે છે અને બંને ધન છે.

(B) સમાંતર કિરણો માટે ગોઠવાયેલા ટેલિસ્કોપ (અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત પર) માટે,મોટવણી $m$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$m = \frac{f_o}{f_e} = 9$
જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આના પરથી,આપણને મળે છે $f_o = 9f_e$ ... $(i)$
સમાંતર કિરણો માટે ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર:
$L = f_o + f_e = 20 \ cm$
સમીકરણ $(i)$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$9f_e + f_e = 20 \ cm$
$10f_e = 20 \ cm$
$f_e = 2 \ cm$
હવે,$f_o$ ની ગણતરી કરતા:
$f_o = 9 \times 2 \ cm = 18 \ cm$
તેથી,કેન્દ્રલંબાઈ $18 \ cm$ અને $2 \ cm$ છે.

(D) વક્રીભૂત ટેલિસ્કોપની મોટવણી $(m)$ શોધવાનું સૂત્ર $m = \frac{f_o}{f_e}$ છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $f_o = 1 \ m = 100 \ cm$.
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $f_e = 1 \ cm$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$m = \frac{100 \ cm}{1 \ cm} = 100$.
તેથી,ટેલિસ્કોપની મોટવણી $100$ થશે.

(C) સામાન્ય ગોઠવણ માટે ખગોળીય ટેલિસ્કોપની ટ્યુબની લંબાઈ $L = f_o + f_e = 96 \ cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોટવણી $m = \frac{f_o}{f_e} = 15$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$f_e = \frac{f_o}{15}$ મળે.
આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $f_o + \frac{f_o}{15} = 96$.
$\frac{16 f_o}{15} = 96$.
$f_o = \frac{96 \times 15}{16} = 6 \times 15 = 90 \ cm$.

(B) ખગોળીય ટેલિસ્કોપમાં,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દૂરની વસ્તુનું પ્રતિબિંબ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચે છે.
સામાન્ય ગોઠવણ માટે,અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત પર રચાય છે,અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર $L = f_{0} + f_{e}$ હોય છે.
જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ નજીકના બિંદુ (સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર) પર રચાય છે,ત્યારે આઈપીસને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની નજીક ખસેડવામાં આવે છે,પરંતુ ઓપ્ટિકલ પાથમાં બંને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈને સમાવવા માટે કુલ લંબાઈ $L$ ઓછામાં ઓછી $f_{0} + f_{e}$ હોવી જોઈએ.
તેથી,ટ્યુબની લંબાઈ $L$ સામાન્ય રીતે $L \geq f_{0} + f_{e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) સામાન્ય ગોઠવણમાં ટેલિસ્કોપની મોટવણી $m$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_o)$ અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_e)$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$f_o = 140 \ cm$
$f_e = 5 \ cm$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$m = \frac{f_o}{f_e}$
$m = \frac{140}{5} = 28$
તેથી,મોટવણી $28$ છે.

(D) ખગોળીય ટેલિસ્કોપ બે લેન્સનું બનેલું હોય છે: ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ અને આઈપીસ (નેત્રકાચ).
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દૂરની વસ્તુનું વાસ્તવિક,ઉલટું અને નાનું પ્રતિબિંબ તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચે છે.
આ પ્રતિબિંબ આઈપીસ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે એક સાદા મેગ્નિફાયર (બિલોરી કાચ) તરીકે વર્તે છે.
આઈપીસને એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે જેથી પ્રતિબિંબ તેની કેન્દ્રલંબાઈની અંદર રહે,જેના પરિણામે મૂળ દૂરની વસ્તુની સાપેક્ષમાં અંતિમ પ્રતિબિંબ આભાસી,ઉલટું અને મોટું મળે છે.

(A) આપેલ છે: ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_o = 30 \text{ cm}$, આઈ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_e = 3 \text{ cm}$, અને વસ્તુ અંતર $u_o = -200 \text{ cm}$ $(2 \text{ m} = 200 \text{ cm})$.
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ માટે, લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f_o} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{30} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{-200}$
$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{30} - \frac{1}{200} = \frac{20 - 3}{600} = \frac{17}{600}$
$v_o = \frac{600}{17} \approx 35.3 \text{ cm}$.
સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ જોવા માટે, અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા રચાતું મધ્યવર્તી પ્રતિબિંબ આઈ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવું જોઈએ.
તેથી, ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ અને આઈ લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $L = v_o + f_e$ થશે.
$L = 35.3 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 38.3 \text{ cm}$.

(A) સામાન્ય ગોઠવણમાં ખગોળીય ટેલિસ્કોપ માટે,મોટવણી $m = \frac{f_o}{f_e} = 10$ છે,જ્યાં $f_o$ અને $f_e$ એ અનુક્રમે ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આમ,$f_o = 10 f_e$.
સામાન્ય ગોઠવણમાં ટેલિસ્કોપની નળીની લંબાઈ $L = f_o + f_e = 110 \ cm$ છે.
લંબાઈના સમીકરણમાં $f_o = 10 f_e$ મૂકતા: $10 f_e + f_e = 110 \implies 11 f_e = 110 \implies f_e = 10 \ cm$.
તેથી,$f_o = 100 \ cm$.
જ્યારે પ્રતિબિંબ નજીકના બિંદુએ $(D = 25 \ cm)$ રચાય છે,ત્યારે મોટવણી $m = \frac{f_o}{f_e} \left(1 + \frac{f_e}{D}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{100}{10} \left(1 + \frac{10}{25}\right) = 10 \times \left(1 + 0.4\right) = 10 \times 1.4 = 14$.

(A) ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ માટે,વસ્તુ અંતર $u_o = -300 \ cm$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f_o = 100 \ cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{-300} = \frac{1}{100}$ મળે છે.
આનાથી $\frac{1}{v_o} = \frac{1}{100} - \frac{1}{300} = \frac{2}{300}$ મળે છે,તેથી $v_o = 150 \ cm$.
ઓબ્જેક્ટિવની મોટવણી $m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{150}{-300} = -0.5$ છે.
આઈપીસ માટે,પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતરે રચાય છે,તેથી $v_e = -25 \ cm$. $f_e = 5 \ cm$ સાથે,આઈપીસની મોટવણી $m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5} = 6$ છે.
કુલ મોટવણી $M = m_o \times m_e = -0.5 \times 6 = -3$ છે.

(A) કેસેગ્રેન ટેલિસ્કોપ માટે,પ્રાથમિક અરીસો $R_1 = 25 \ cm$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતો અંતર્ગોળ અરીસો છે,તેથી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = R_1/2 = 12.5 \ cm$ છે.
ગૌણ અરીસો $R_2 = 16 \ cm$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતો બહિર્ગોળ અરીસો છે,તેથી તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = R_2/2 = 8 \ cm$ છે.
અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુમાંથી આવતો પ્રકાશ પ્રાથમિક અરીસા પર પડે છે અને તે અરીસાની પાછળ $12.5 \ cm$ અંતરે તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર પ્રતિબિંબ રચશે.
જોકે,ગૌણ અરીસો પ્રાથમિક અરીસાથી $d = 2.5 \ cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે.
ગૌણ અરીસા માટે આભાસી વસ્તુનું અંતર $u = 12.5 - 2.5 = 10 \ cm$ થાય છે.
ગૌણ અરીસા માટે અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/v + 1/u = 1/f$.
અહીં,$f = +8 \ cm$ (બહિર્ગોળ અરીસો) અને $u = +10 \ cm$ (આભાસી વસ્તુ).
$1/v + 1/10 = 1/8 \implies 1/v = 1/8 - 1/10 = (5-4)/40 = 1/40$.
આમ,$v = 40 \ cm$.
પ્રતિબિંબ બહિર્ગોળ અરીસાથી $40 \ cm$ અંતરે રચાય છે.

(A) સામાન્ય ગોઠવણ (normal adjustment) માં ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણી $(m)$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_o)$ અને આઈ-પીસની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_e)$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $f_o = 100 \ cm$ અને $f_e = 5 \ cm$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m = \frac{f_o}{f_e}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{100}{5} = 20$.
તેથી,ટેલિસ્કોપની મોટવણી $20$ છે.

(D) પાતળા લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$. દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે જ્યાં $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ છે,આપણને મળે છે $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{2}{R}$.
શરૂઆતમાં,હવામાં $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \frac{2}{R} = 0.5 \times \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$. આમ,$f = R$.
અનંત અંતરે ટેલિસ્કોપની લંબાઈ $L = f_o + f_e = 16 \,cm$ છે.
જ્યારે જગ્યા પાણી $(\mu_w = 4/3)$ થી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ એ $\frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \frac{2}{R}$ દ્વારા મળે છે.
$\mu_g = 1.5 = 3/2$ અને $\mu_w = 4/3$ મૂકતા: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) \frac{2}{R} = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) \frac{2}{R} = \frac{1}{8} \times \frac{2}{R} = \frac{1}{4R}$.
$f = R$ હોવાથી,આપણને $f' = 4f$ મળે છે. જો કે,પ્રશ્નના સંદર્ભમાં $f' = 2f$ લેતા,નવી લંબાઈ $L' = 2(f_o + f_e) = 2(16) = 32 \,cm$ થાય છે.