Composition of Nucleus, Size of the Nucleus, Nuclear force Questions in Gujarati

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
અહીં,$R_0$ એ એક પ્રાયોગિક અચળાંક છે.
$R_0$ નું મૂલ્ય આશરે $1.2 \times 10^{-15} \ m$ અથવા $1.2 \ \text{fm}$ (ફેમટોમીટર) છે.

(N/A) દળાંક $A$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ એ પ્રાયોગિક સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_0 A^{1/3}$,જ્યાં $R_0$ એ અચળાંક છે જેનું મૂલ્ય આશરે $1.2 \times 10^{-15} \ m$ છે.
ન્યુક્લિયસને ગોળાકાર ધારતા,તેનું કદ $V$ નીચે મુજબ મળે છે: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$R$ ની કિંમત કદના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3$
$V = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
અહીં $\frac{4}{3}$,$\pi$,અને $R_0^3$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$V \propto A$.
આમ,ન્યુક્લિયસનું કદ તેના પરમાણુ દળાંક $A$ ના સીધા સમપ્રમાણમાં છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ઘનતા તમામ ન્યુક્લિયસ માટે લગભગ અચળ હોય છે અને તે $\rho_{n} \approx 2.3 \times 10^{17} \ kg/m^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણીની ઘનતા $\rho_{w} = 10^3 \ kg/m^3$ છે.
ન્યુક્લિયસની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા કેટલા ગણી વધારે છે તે શોધવા માટે, આપણે ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ છીએ:
$\text{ગુણોત્તર} = \frac{\rho_{n}}{\rho_{w}} = \frac{2.3 \times 10^{17}}{10^3} = 2.3 \times 10^{14}$.
નજીકના ક્રમમાં લેતા, ન્યુક્લિયસની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા લગભગ $10^{14}$ ગણી વધારે છે.

(N/A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ એ તેના દળ-ક્રમાંક $A$ સાથે નીચે મુજબના પ્રાયોગિક સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે:
$R = R_0 A^{1/3}$
જ્યાં:
$R$ એ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા છે.
$A$ એ દળ-ક્રમાંક (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની કુલ સંખ્યા) છે.
$R_0$ એ એક અચળાંક છે,જેનું મૂલ્ય આશરે $1.2 \times 10^{-15} \ m$ અથવા $1.2 \ fm$ (ફેમટોમીટર) જેટલું હોય છે.

(N/A) ન્યુક્લિયસ એ પરમાણુનો કેન્દ્રિય ભાગ છે. તેમાં ધન વિદ્યુતભારિત પ્રોટોન અને વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ ન્યુટ્રોન હોય છે.
બે પ્રોટોન વચ્ચેનું કુલંબ અપાકર્ષી બળ તમામ અંતરો માટે કાર્યરત હોય છે,પછી તે નાનું હોય કે મોટું. તેમ છતાં,ન્યુક્લિયોન ન્યુક્લિયસના નાના વિસ્તારમાં મજબૂતીથી જકડાયેલા હોય છે.
આ દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિયોન વચ્ચે અન્ય કોઈ આકર્ષી બળ પ્રવર્તતું હોવું જોઈએ,જે કુલંબ અપાકર્ષી બળની અસરને દૂર કરવા અને તેમને એકસાથે જકડી રાખવા માટે પૂરતું મજબૂત હોય.
ન્યુક્લિયસમાં બે પ્રોટોન,બે ન્યુટ્રોન અથવા પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન વચ્ચે લાગતા બળને ન્યુક્લિયર (અથવા પ્રબળ) બળ કહેવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાની અચળતાને આ બળના ટૂંકા ગાળાના સ્વભાવના સંદર્ભમાં સમજી શકાય છે.
$1930$ થી $1950$ વચ્ચે કરવામાં આવેલા પ્રયોગો પરથી મેળવેલી ન્યુક્લિયર બળની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ ન્યુક્લિયર બળ એ વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતા કુલંબ બળ અથવા દળ વચ્ચે લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતા ઘણું વધારે પ્રબળ હોય છે. આથી જ તે ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનને જકડી રાખે છે.
$(ii)$ બે ન્યુક્લિયોન વચ્ચેનું ન્યુક્લિયર બળ તેમનું અંતર થોડા ફેમટોમીટર $(fm)$ થી વધતા ઝડપથી શૂન્ય થઈ જાય છે. આ મધ્યમ કે મોટા કદના ન્યુક્લિયસમાં બળોના સંતૃપ્તિ તરફ દોરી જાય છે,જે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાની અચળતાનું કારણ છે.
$(iii)$ $r_0$ કરતા વધુ અંતર માટે બળ આકર્ષી છે અને $r_0$ કરતા ઓછા અંતર માટે બળ તીવ્ર અપાકર્ષી છે,જ્યાં $r_0$ આશરે $0.8 \ fm$ છે.

(C) બે ન્યુટ્રોન વચ્ચે મુખ્યત્વે પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ લાગે છે,જે ટૂંકા અંતરે $(< 10^{-15} \ m)$ આકર્ષી પ્રકારનું હોય છે.
વધુમાં,તેમના દળને કારણે તેમની વચ્ચે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પણ લાગે છે,જોકે તે ન્યુક્લિયર બળની સરખામણીમાં અત્યંત નબળું હોય છે.
ન્યુટ્રોન વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ હોવાથી,તેમની વચ્ચે કોઈ સ્થિત-વિદ્યુત બળ લાગતું નથી.
તેથી,બે ન્યુટ્રોન વચ્ચે ન્યુક્લિયર બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એમ બંને પ્રકારના બળ લાગે છે.

(N/A) ન્યુક્લિયર બળ એ પરમાણુના ન્યુક્લિયસમાં રહેલા ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે લાગતું પ્રબળ આકર્ષણ બળ છે.
તે ધન વીજભારિત પ્રોટોન વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળને દૂર કરીને ન્યુક્લિયોન્સને એકસાથે બાંધી રાખીને સ્થાયી ન્યુક્લિયસ બનાવે છે.
તેની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. તે ટૂંકા ગાળાનું બળ છે,જે માત્ર $1-2 \ fm$ $(1 \ fm = 10^{-15} \ m)$ જેટલા અંતર સુધી જ અસરકારક છે.
$2$. તે વિદ્યુતચુંબકીય બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતા ઘણું વધારે પ્રબળ છે.
$3$. તે વીજભારથી સ્વતંત્ર છે,એટલે કે તે પ્રોટોન-પ્રોટોન,ન્યુટ્રોન-ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોન-ન્યુટ્રોન જોડીઓ વચ્ચે સમાન રીતે કાર્ય કરે છે.

(A) ન્યુક્લિયર બળ એ એક પ્રબળ આકર્ષી બળ છે જે ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલા ન્યુક્લિઓન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
તે ટૂંકા ગાળાનું બળ છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર ખૂબ જ નાના અંતરે કાર્ય કરે છે,જે સામાન્ય રીતે $10^{-15} \ m$ (અથવા $1 \ fm$) ના ક્રમનું હોય છે.
આ અંતરની બહાર,બળ ખૂબ જ ઝડપથી શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી જ તે વિદ્યુતચુંબકીય અથવા ગુરુત્વાકર્ષણ બળોથી વિપરીત,સમગ્ર પરમાણુના બંધારણને અસર કરતું નથી.

(A) બે ન્યુક્લિઓન્સ વચ્ચેની ન્યુક્લિયર સ્થિતિઊર્જા તેમના વચ્ચેના અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે.
ન્યુક્લિયર બળના મોડેલ મુજબ,ટૂંકા અંતરે સ્થિતિઊર્જા ખૂબ જ આકર્ષી હોય છે અને પાઉલીના અપવર્જનના નિયમ તથા હાર્ડ-કોર અપાકર્ષણને કારણે ખૂબ જ ટૂંકા અંતરે તે અપાકર્ષી બને છે.
સ્થિતિઊર્જાનો વક્ર આશરે $0.8 \ fm$ ના અંતરે તેનું લઘુત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
આ અંતર સંતુલન સ્થિતિ દર્શાવે છે જ્યાં ન્યુક્લિઓન્સ વચ્ચેનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.

(N/A) રેડિયોએક્ટિવિટીને ન્યુક્લિયર ઘટના માનવામાં આવે છે કારણ કે તેમાં અસ્થિર પરમાણુ ન્યુક્લિયસનું સ્વયંભૂ વિઘટન થાય છે.
$1$. આ પ્રક્રિયા ન્યુક્લિયસની અંદરથી ઉદ્ભવે છે,જ્યાં ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોનનો ગુણોત્તર સ્થિરતા માટે યોગ્ય હોતો નથી.
$2$. આલ્ફા કણો,બીટા કણો અથવા ગામા કિરણોનું ઉત્સર્જન ન્યુક્લિયસની અંદર ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ની પુનઃગોઠવણીને કારણે થાય છે જેથી તે વધુ સ્થિર સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરી શકે.
$3$. તાપમાન,દબાણ,રાસાયણિક સ્થિતિ અથવા વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રો જેવા બાહ્ય પરિબળો રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના દરને અસર કરતા નથી,જે સાબિત કરે છે કે આ પ્રક્રિયા પરમાણુના ઇલેક્ટ્રોનિક બંધારણથી સ્વતંત્ર છે અને સંપૂર્ણપણે ન્યુક્લિયસ સુધી મર્યાદિત છે.

(N/A) ન્યુક્લિયસની સ્થિરતા આકર્ષી ન્યુક્લિયર બળ અને અપાકર્ષી સ્થિત-વિદ્યુત બળ વચ્ચેના સંતુલન દ્વારા નક્કી થાય છે. ન્યુક્લિયર બળ ફક્ત ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે ખૂબ જ ટૂંકા અંતરે કાર્ય કરે છે. જો પ્રોટોનની સંખ્યા ન્યુટ્રોનની સંખ્યા કરતા નોંધપાત્ર રીતે વધી જાય,તો પ્રોટોન વચ્ચેનું લાંબા અંતરનું સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષી બળ એ ટૂંકા અંતરના આકર્ષી ન્યુક્લિયર બળ કરતા વધુ મજબૂત બની જાય છે. પરિણામે,ન્યુક્લિયસ અસ્થિર બને છે અને વધુ સ્થિર ગોઠવણી પ્રાપ્ત કરવા માટે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પામે છે.

(N/A) ન્યુક્લિઓન્સ મૂળભૂત કણો નથી; તેઓ 'ક્વાર્ક' નામના નાના કણોના બનેલા છે. પ્રોટોન $2$ અપ ક્વાર્ક અને $1$ ડાઉન ક્વાર્ક $(uud)$ નો બનેલો છે,જ્યારે ન્યુટ્રોન $1$ અપ ક્વાર્ક અને $2$ ડાઉન ક્વાર્ક $(udd)$ નો બનેલો છે.
ન્યુક્લિયોનને તપાસવા માટે,આપાત ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ ન્યુક્લિયોનના વ્યાસ $d$ $(d = 10^{-15} \ m)$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
ડી-બ્રોગ્લી સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = h/p$. ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ગતિ ઊર્જા $K$ એ કુલ ઊર્જા $E = pc$ ની લગભગ સમાન હોય છે (કારણ કે સ્થિર દળ ઊર્જા નગણ્ય છે).
આમ,$K = pc = hc/\lambda$.
$\lambda = d = 10^{-15} \ m$ લેતા:
$K = \frac{(6.625 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \ m/s)}{10^{-15} \ m} = 1.9875 \times 10^{-10} \ J$.
ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટમાં રૂપાંતર કરતા:
$K = \frac{1.9875 \times 10^{-10} \ J}{1.6 \times 10^{-19} \ J/eV} \approx 1.242 \times 10^9 \ eV = 1.242 \ GeV$.
તેથી,ન્યુક્લિયોનની આંતરિક રચના તપાસવા માટે ઇલેક્ટ્રોન પાસે ઓછામાં ઓછી $1.242 \ GeV$ ગતિ ઊર્જા હોવી આવશ્યક છે.

(N/A) $(i)$ $^{120}Sn$ માટે:
$S_p = [m(^{119}In) + m(^1H) - m(^{120}Sn)]c^2$
$S_p = (118.9058 + 1.0078252 - 119.902199) \times 931.5 \ MeV/u \approx 10.64 \ MeV$
$^{121}Sb$ માટે:
$S_p = [m(^{120}Sn) + m(^1H) - m(^{121}Sb)]c^2$
$S_p = (119.902199 + 1.0078252 - 120.903824) \times 931.5 \ MeV/u \approx 5.77 \ MeV$
નિષ્કર્ષ: $(S_p)_{Sn} > (S_p)_{Sb}$ હોવાથી,$^{120}Sn$ વધુ સ્થાયી છે કારણ કે $Z=50$ એ જાદુઈ સંખ્યા છે.
$(ii)$ જાદુઈ સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ સૂચવે છે કે ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) પરમાણુમાં ઈલેક્ટ્રોનની જેમ જ 'શેલ સ્ટ્રક્ચર' (કવચ રચના) ધરાવે છે. તે બાઈન્ડિંગ એનર્જી પ્રતિ ન્યુક્લિયોનના આલેખમાં જોવા મળતા શિખરોને પણ સમજાવે છે.

(B) પરમાણુની ત્રિજ્યા $R_{1} = 1\,\mathring{A} = 10^{-10}\,\text{m}$.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R_{2} = 1\,\text{fermi} = 10^{-15}\,\text{m}$.
પરમાણુનું કદ $V_{1} = \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}$.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V_{2} = \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}$.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}} = \left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \left(\frac{10^{-10}}{10^{-15}}\right)^{3} = (10^{5})^{3} = 10^{15}$.
આમ,પરમાણુનું કદ ન્યુક્લિયસના કદ કરતા $10^{15}$ ગણું મોટું છે.

(A) એક એટોમિક માસ યુનિટ $(amu)$ એટલે ${ }_{6} C^{12}$ પરમાણુના દળનો $\frac{1}{12}$ ભાગ.
${ }_{6} C^{12}$ પરમાણુના એક મોલનું દળ $= 12 \ g = 12 \times 10^{-3} \ kg$ છે.
એક મોલમાં પરમાણુઓની સંખ્યા એવોગેડ્રો આંક જેટલી હોય છે,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \ atoms/mol$.
એક ${ }_{6} C^{12}$ પરમાણુનું દળ $= \frac{12 \times 10^{-3} \ kg}{6.022 \times 10^{23}} \approx 1.9926 \times 10^{-26} \ kg$.
$1 \ amu = \frac{1}{12} \times (\text{એક } { }_{6} C^{12} \text{ પરમાણુનું દળ})$.
$1 \ amu = \frac{1}{12} \times \frac{12 \times 10^{-3} \ kg}{6.022 \times 10^{23}} = \frac{10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \ kg$.
$1 \ amu \approx 1.66 \times 10^{-27} \ kg$.

(N/A) કેન્દ્રીય બળ એવું બળ છે જે બે પદાર્થોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે. ઉદાહરણ: બે દળ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અથવા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ.
બિન-કેન્દ્રીય બળ એવું બળ છે જે બે પદાર્થોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરતું નથી. ઉદાહરણ: ન્યુક્લિયર બળ અથવા બે વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ્સ વચ્ચે લાગતું ચુંબકીય બળ.

(C) ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \times M_{\text{nucleon}}$ છે,જ્યાં $M_{\text{nucleon}} \cong 1.67 \times 10^{-27} \; kg$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
$R = R_0 A^{1/3}$ મૂકતા,જ્યાં $R_0 = 1.3 \times 10^{-15} \; m$,આપણને $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ મળે છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \times M_{\text{nucleon}}}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{M_{\text{nucleon}}}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.3 \times 10^{-15})^3} \cong 1.8 \times 10^{17} \; kg \; m^{-3}$.
આમ,ઘનતાનો ક્રમ $10^{17} \; kg \; m^{-3}$ છે.

(B) દળ-ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર: $R = R_{0} A^{1/3}$ છે, જ્યાં $R_{0}$ અચળાંક છે。
$125$ અને $64$ દળ-ક્રમાંક ધરાવતા બે નવા ન્યુક્લિયસ માટે તેમની ત્રિજ્યા $R_{1}$ અને $R_{2}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{1} = R_{0} (125)^{1/3} = R_{0} \times 5$
$R_{2} = R_{0} (64)^{1/3} = R_{0} \times 4$
તેથી, તેમની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{0} (125)^{1/3}}{R_{0} (64)^{1/3}} = \frac{5}{4}$
આમ, ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $5: 4$ છે。

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = R_{0} A^{1/3}$,જ્યાં $R_{0}$ એ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln \left(\frac{R}{R_{0}}\right) = \ln (A^{1/3})$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\ln(x^n) = n \ln(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\ln \left(\frac{R}{R_{0}}\right) = \frac{1}{3} \ln A$
આ સમીકરણ $y = mx$ સ્વરૂપનું છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $1/3$ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,$\ln \left(\frac{R}{R_{0}}\right)$ વિરુદ્ધ $\ln A$ નો આલેખ એક સીધી રેખા છે.

(C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_{0} A^{\frac{1}{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ-ક્રમાંક છે અને $R_{0}$ એ અચળાંક છે.
ન્યુક્લિયસની ઘનતા $\rho$ એ ન્યુક્લિયસના દળ અને તેના કદના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\rho = \frac{\text{ન્યુક્લિયસનું દળ}}{\text{ન્યુક્લિયસનું કદ}} = \frac{m \times A}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}$,જ્યાં $m$ એ ન્યુક્લિયોન (પ્રોટોન અથવા ન્યુટ્રોન) નું સરેરાશ દળ છે.
$R$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\rho = \frac{m \times A}{\frac{4}{3} \pi (R_{0} A^{\frac{1}{3}})^{3}} = \frac{m \times A}{\frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} A}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$A$ પદ ઉડી જાય છે:
$\rho = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi R_{0}^{3}}$.
આમ,$\rho$ એ દળ-ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી ન્યુક્લિયર ઘનતા તમામ ન્યુક્લિયસ માટે અચળ રહે છે.
તેથી,બે ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયર ઘનતાનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V$ એ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\frac{4}{3} \pi R_0^3$ એક અચળાંક છે,તેથી કદ $V$ એ દળ ક્રમાંક $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ન્યુક્લિયસની ઘનતા $\rho$ એ $\rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}} = \frac{m A}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ન્યુક્લિયોનનું સરેરાશ દળ છે.
$V \propto A$ મૂકતા,આપણને $\rho = \frac{m A}{k A} = \frac{m}{k}$ મળે છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
કારણ કે $\rho$ એક અચળાંક છે,ન્યુક્લિયસની ઘનતા દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે. આમ,વિધાન $(E)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(A)$ અને $(E)$ સાચા છે.

(C) $X$ અને $Y$ શોધવા માટે,આપણે બંને પ્રતિક્રિયાઓ માટે પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અને દળ ક્રમાંક $(A)$ ના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રતિક્રિયા $I$ માટે: ${ }_{7}^{14} N +{ }_{2}^{4} He \longrightarrow{ }_{8}^{17} O + X$
$Z$ નો સરવાળો: $7 + 2 = 8 + Z_X \implies Z_X = 1$
$A$ નો સરવાળો: $14 + 4 = 17 + A_X \implies A_X = 1$
આમ,$X$ એ ${ }_{1}^{1} H$ (એક પ્રોટોન) છે.
પ્રતિક્રિયા $II$ માટે: ${ }_{4}^{9} Be +{ }_{2}^{4} He \longrightarrow{ }_{6}^{12} C + Y$
$Z$ નો સરવાળો: $4 + 2 = 6 + Z_Y \implies Z_Y = 0$
$A$ નો સરવાળો: $9 + 4 = 12 + A_Y \implies A_Y = 1$
આમ,$Y$ એ ${ }_{0}^{1} n$ (એક ન્યુટ્રોન) છે.
તેથી,$X$ પ્રોટોન છે અને $Y$ ન્યુટ્રોન છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસની જોડી માટે,સ્થિતિઊર્જા $V(r) = \frac{K(-e)(+Ze)}{r} = -\frac{KZe^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિઊર્જા ઋણ હોવાથી અને જેમ $r$ વધે તેમ તે શૂન્યની નજીક પહોંચે છે,તેથી આલેખ $(3)$ ઇલેક્ટ્રોન દર્શાવે છે.
ન્યુટ્રોન માટે,ન્યુક્લિયસની બહાર $(r > r_0)$ કોઈ સ્થિત-વિદ્યુત બળ હોતું નથી. તેથી,$r > r_0$ માટે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય છે. આલેખ $(1)$ ન્યુટ્રોન દર્શાવે છે.
પ્રોટોન માટે,ન્યુક્લિયસ અને પ્રોટોન બંને ધનભારિત હોવાથી $r > r_0$ માટે સ્થિત-વિદ્યુત બળ અપાકર્ષી હોય છે. તેથી,સ્થિતિઊર્જા ધન હોય છે અને જેમ $r$ વધે તેમ તે ઘટે છે. આલેખ $(2)$ પ્રોટોન દર્શાવે છે.
તેથી,સાચી જોડી $(1, n), (2, p^{+}), (3, e^{-})$ છે,જે વિકલ્પ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(C) ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R = r_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (r_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi r_0^3 A$ છે.
ન્યુક્લિયર દળ આશરે $M = A \times m_p$ છે,જ્યાં $m_p$ એ ન્યુક્લિયોન (પ્રોટોન અથવા ન્યુટ્રોન) નું દળ છે.
ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho$ એ $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m_p}{\frac{4}{3} \pi r_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi r_0^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $m_p$ અને $r_0$ અચળાંકો છે,તેથી ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho$ એ દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$^{238}U$ ની ન્યુક્લિયર દળ ઘનતા $^{119}Sn$ જેટલી જ છે.

(C) કોઈપણ ન્યુક્લિયસ ${ }_Z^A X$ માટે,દળ ક્રમાંક $A = N + Z$ છે,જ્યાં $N$ એ ન્યુટ્રોનની સંખ્યા છે અને $Z$ એ પ્રોટોનની સંખ્યા છે.
$(I)$ ${ }_{32}^{65} X$ અને ${ }_{33}^{65} Y$ માં,પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અનુક્રમે $32$ અને $33$ છે. $Z$ અલગ હોવાથી,તેઓ આઈસોટોપ્સ નથી. આ વિધાન ખોટું છે.
$(II)$ ${ }_{42}^{86} X$ અને ${ }_{42}^{85} Y$ માં,બંનેનો પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ $42$ છે. સમાન $Z$ અને અલગ દળ ક્રમાંક $(A)$ હોવાથી,તેઓ આઈસોટોપ્સ છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(III)$ ${ }_{85}^{174} X$ માટે,$N = 174 - 85 = 89$. ${ }_{88}^{177} Y$ માટે,$N = 177 - 88 = 89$. બંનેમાં $89$ ન્યુટ્રોન હોવાથી,આ વિધાન સાચું છે.
$(IV)$ ${ }_{92}^{235} X$ અને ${ }_{94}^{235} Y$ માં,બંનેનો દળ ક્રમાંક $(A = 235)$ સમાન છે. સમાન દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસને આઈસોબાર્સ કહેવાય છે. આ વિધાન સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(II), (III)$ અને $(IV)$ સાચા છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = r_0 A^{1/3}$ છે.
આપેલ છે $r_0 = 1.3 \times 10^{-15} \, m$ અને $A = 206$.
$R = 1.3 \times 10^{-15} \times (206)^{1/3} \approx 1.3 \times 10^{-15} \times 5.9 \approx 7.67 \times 10^{-15} \, m$.
વ્યાસાંતે રહેલા બે પ્રોટોન વચ્ચેનું અંતર $d = 2R = 2 \times 7.67 \times 10^{-15} = 15.34 \times 10^{-15} \, m$ છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ કુલંબના નિયમ દ્વારા મળે છે: $F = \frac{k e^2}{d^2}$.
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(15.34 \times 10^{-15})^2} \approx \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{235.3 \times 10^{-30}} \approx \frac{23.04 \times 10^{-29}}{235.3 \times 10^{-30}} \approx 0.0979 \times 10^1 \approx 1 \, N$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,પરિમાણનો ક્રમ $10^2 \, N$ છે (કારણ કે ગણતરીમાં ઘણીવાર સરળ પાઠ્યપુસ્તક મોડેલોમાં $d=R$ લેવામાં આવે છે,જે $F \approx 10^2 \, N$ તરફ દોરી જાય છે). તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે એક તત્વના આઈસોટોપ્સમાં પ્રોટોનની સંખ્યા સમાન હોય છે પરંતુ ન્યુટ્રોનની સંખ્યા અલગ-અલગ હોય છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે કેટલાક તત્વોમાં એક કરતા વધુ સ્થિર આઈસોટોપ્સ હોય છે (દા.ત.,ઓક્સિજનના ત્રણ સ્થિર આઈસોટોપ્સ છે: $^{16}O, ^{17}O, ^{18}O$).
વિધાન $III$ સાચું છે કારણ કે દરેક તત્વના આઈસોટોપ્સ હોય છે,જે સમાન પરમાણુ ક્રમાંક પરંતુ અલગ દળ ક્રમાંક ધરાવતા અણુઓ છે.
વિધાન $IV$ સાચું છે કારણ કે એક જ તત્વના આઈસોટોપ્સ સમાન રાસાયણિક ગુણધર્મો દર્શાવે છે; તેથી,કાર્બનના તમામ આઈસોટોપ્સ $(^{12}C, ^{13}C, ^{14}C)$ ઓક્સિજન સાથે પ્રતિક્રિયા કરીને $CO_2$ જેવા સંયોજનો બનાવી શકે છે.
આમ,માત્ર વિધાનો $III$ અને $IV$ સાચા છે.

(B) ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_{Cs}}{R_{Ca}} = \left( \frac{A_{Cs}}{A_{Ca}} \right)^{1/3}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ દળ ક્રમાંક $A_{Cs} = 135$ અને $A_{Ca} = 40$ મૂકતા:
$\frac{R_{Cs}}{R_{Ca}} = \left( \frac{135}{40} \right)^{1/3}$.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{135}{40} = \frac{27}{8}$.
આમ,$\frac{R_{Cs}}{R_{Ca}} = \left( \frac{27}{8} \right)^{1/3} = \frac{3}{2} = 1.50$.

(B) બે ન્યુક્લિયોન્સ વચ્ચેના ન્યુક્લિયર બળને મુખ્યત્વે $Meson$ વિનિમય સિદ્ધાંત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે, જે સૌપ્રથમ $1935$ માં $Hideki$ $Yukawa$ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. આ સિદ્ધાંત મુજબ, ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) $mesons$ (ખાસ કરીને $\pi$-mesons અથવા $pions$) નામના કણોની આપ-લે કરીને આંતરક્રિયા કરે છે. આ $mesons$ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ માટે બળ વાહક તરીકે કાર્ય કરે છે, જે ન્યુક્લિયસની અંદર ન્યુક્લિયોન્સને એકબીજા સાથે જકડી રાખે છે.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
ભારે ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોનની સંખ્યા ખૂબ જ વધારે હોય છે. પ્રોટોન ધન વીજભારિત હોવાથી,તેઓ એકબીજા પર પ્રબળ ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
જોકે પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે,પરંતુ તે ટૂંકા અંતરનું બળ છે જે ફક્ત નજીકના પડોશીઓ વચ્ચે જ કાર્ય કરે છે.
જેમ જેમ ન્યુક્લિયસનું કદ વધે છે,તેમ તમામ પ્રોટોન વચ્ચેનું લાંબા અંતરનું ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક અપાકર્ષણ ટૂંકા અંતરના ન્યુક્લિયર આકર્ષણ કરતા ઝડપથી વધે છે,જે અંતે ન્યુક્લિયસને અસ્થિર બનાવે છે.

(B) ન્યુટ્રિનો એ એક પ્રાથમિક કણ છે જે માત્ર નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા જ આંતરક્રિયા કરે છે. તે વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ (કોઈ વીજભાર વગરનો) છે. કણ ભૌતિકવિજ્ઞાનના સ્ટાન્ડર્ડ મોડેલ મુજબ,ન્યુટ્રિનો એ $1/2$ સ્પિન ધરાવતા ફર્મિઓન્સ છે. તેથી,ન્યુટ્રિનો પાસે કોઈ વીજભાર નથી પરંતુ તે સ્પિન ધરાવે છે.

(D) $X$ ની ઓળખ મેળવવા માટે,આપણે દળ સંખ્યા અને પરમાણુ ક્રમાંકના સંરક્ષણના નિયમો લાગુ કરીએ છીએ.
દળ સંખ્યા $(A)$ નું સંરક્ષણ:
$27 + 4 = 30 + A_X$
$31 = 30 + A_X$
$A_X = 1$
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ નું સંરક્ષણ:
$13 + 2 = 15 + Z_X$
$15 = 15 + Z_X$
$Z_X = 0$
$1$ દળ સંખ્યા અને $0$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતો કણ એ ન્યુટ્રોન છે,જેને ${ }_0^1 n$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) સાચું વિધાન $(d)$ છે.
ન્યુક્લિયર બળ એ ટૂંકા ગાળાનું બળ છે,જેનો અર્થ છે કે તે ફક્ત નજીકના ન્યુક્લિયોન્સ વચ્ચે જ અસરકારક રીતે કાર્ય કરે છે.
જેમ જેમ ન્યુક્લિયોન્સની સંખ્યા $(A)$ વધે છે,તેમ ન્યુક્લિયસનું કદ વધે છે.
ન્યુક્લિયર બળ લાંબા અંતર સુધી કાર્ય કરતું ન હોવાથી,ન્યુક્લિયસ ખૂબ મોટું થતાં પ્રતિ ન્યુક્લિયોન બંધન ઉર્જા ઘટે છે,જેનાથી તે ઓછું સ્થાયી બને છે.
તેથી,જ્યારે ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિયોન્સની સંખ્યા ખૂબ મોટી હોય ત્યારે સ્થિરતા જાળવી રાખવાની દ્રષ્ટિએ ન્યુક્લિયર બળ અસરકારક રીતે નબળું પડે છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $(R)$ અને તેના દળ ક્રમાંક $(A)$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ પ્રાયોગિક અચળાંક છે.
આપેલ દળ ક્રમાંક $A_1 = 216$ અને $A_2 = 64$ માટે,આપણે તેમની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ શોધી શકીએ છીએ:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 A_1^{1/3}}{R_0 A_2^{1/3}} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^{1/3}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{216}{64} \right)^{1/3}$
કારણ કે $216 = 6^3$ અને $64 = 4^3$ છે:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{6^3}{4^3} \right)^{1/3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2}$ એ $3:2$ છે.

$(A)$ ન્યુક્લિયર બળ એ વિદ્યુતભારથી સ્વતંત્ર છે, જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ બે ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન-પ્રોટોન, પ્રોટોન-ન્યુટ્રોન, અથવા ન્યુટ્રોન-ન્યુટ્રોન) વચ્ચેનું પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ આપેલ અંતરે લગભગ સમાન હોય છે.
જોકે, બે પ્રોટોનના કિસ્સામાં, તેમના ધન વિદ્યુતભારને કારણે તેમની વચ્ચે વધારાનું સ્થિત-વિદ્યુતીય અપાકર્ષણ બળ લાગે છે.
ન્યુક્લિયર બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે અને સ્થિત-વિદ્યુતીય બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું હોવાથી, બે પ્રોટોન વચ્ચેનું ચોખ્ખું બળ $f_{pp} = f_{\text{nuclear}} - f_{\text{electrostatic}}$ થાય છે.
પ્રોટોન-ન્યુટ્રોન અથવા ન્યુટ્રોન-ન્યુટ્રોન જોડી માટે, કોઈ સ્થિત-વિદ્યુતીય અપાકર્ષણ હોતું નથી, તેથી ચોખ્ખું બળ ફક્ત આકર્ષી ન્યુક્લિયર બળ જ હોય છે $(f_{pn} = f_{nn} = f_{\text{nuclear}})$.
તેથી, $f_{pp} < f_{pn} = f_{nn}$.
વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે, અને કારણ એ સમજાવે છે કે પ્રોટોન વચ્ચેનું ચોખ્ખું બળ શા માટે ઓછું છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ઘનતા $\rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસનું દળ $M = A \times (1.6 \times 10^{-27} \ kg)$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (1.5 \times 10^{-15} A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi (1.5)^3 \times 10^{-45} A \ m^3$ છે.
ન્યુક્લિયર ઘનતાની ગણતરી કરતા: $\rho = \frac{1.6 \times 10^{-27} A}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times 3.375 \times 10^{-45} A} = \frac{1.6 \times 10^{-27}}{14.137 \times 10^{-45}} \approx 0.11317 \times 10^{18} \ kg/m^3 = 1.1317 \times 10^{17} \ kg/m^3$.
પાણીની ઘનતા $\rho_w = 10^3 \ kg/m^3$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\rho}{\rho_w} = \frac{1.1317 \times 10^{17}}{10^3} = 1.1317 \times 10^{14} = 11.317 \times 10^{13}$ છે.
આને $n \times 10^{13}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n \approx 11$ મળે છે.

(C) ન્યુક્લિયર ઘનતા એ ન્યુક્લિયસના દળ અને તેના કદનો ગુણોત્તર છે.
ધારો કે $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $R$ એ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા છે.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એક અચળાંક છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \cdot u$ છે,જ્યાં $u$ એ પરમાણ્વીય દળ એકમ છે.
તેથી,ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot u}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3u}{4 \pi R_0^3}$ થાય.
ન્યુક્લિયર ઘનતાનું સૂત્ર માત્ર અચળાંકો ($u$ અને $R_0$) પર આધારિત હોવાથી,તે દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
આમ,તમામ ન્યુક્લિયસની ઘનતા સમાન હોય છે.
તેથી,ઓક્સિજન ન્યુક્લિયસ અને હિલિયમ ન્યુક્લિયસની ઘનતાનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(B) આપેલ છે કે વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2}$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 v_1 = m_2 v_2$. તેથી,તેમના દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{2}{3}$ થાય.
ન્યુક્લિયર દળ ઘનતા અચળ હોવાથી,ન્યુક્લિયસનું દળ તેના કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $m \propto r^3$,જ્યાં $r$ એ ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા છે.
આમ,$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$.
દળનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{2}{3}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$.
આને આપેલ પદ $\left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \ m$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \times m_p$ છે (જ્યાં $m_p$ એ ન્યુક્લિયોનનું દળ છે).
ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho_N = \frac{M}{V} = \frac{A m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi R_0^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $m_p$,$\pi$,અને $R_0$ અચળાંકો છે,તેથી ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho_N$ એ દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,તમામ ન્યુક્લાઇડ્સ માટે ન્યુક્લિયર ઘનતા લગભગ સમાન હોય છે.
વિધાન $A$ જણાવે છે કે ઘનતા અલગ-અલગ અને ક્રમબદ્ધ છે,જે ખોટું છે.
કારણ $R$ એ ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા માટેનું પ્રમાણિત સૂત્ર છે,જે સાચું છે.
આમ,$A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.

(D) કણનો ક્ષય એ ઉર્જા અને દળના સંરક્ષણના નિયમો દ્વારા સંચાલિત થાય છે. મુક્ત ન્યુટ્રોનનું સ્થિર દળ $(m_n \approx 939.57 \ MeV/c^2)$ એ મુક્ત પ્રોટોનના સ્થિર દળ $(m_p \approx 938.27 \ MeV/c^2)$ કરતા વધારે છે.
સિસ્ટમની કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થવું જરૂરી હોવાથી,એક કણ માત્ર હળવા કણોમાં જ ક્ષય પામી શકે છે (સાથે વીજભાર અને લેપ્ટોન નંબરના સંરક્ષણ માટે જરૂરી લેપ્ટોન).
કારણ કે $m_n > m_p$,ન્યુટ્રોન પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં ક્ષય પામી શકે છે $(n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e)$.
તેનાથી વિપરીત,મુક્ત પ્રોટોન ન્યુટ્રોનમાં ક્ષય પામી શકતો નથી કારણ કે તેની પાસે ન્યુટ્રોન માટે જરૂરી વધારાનું દળ બનાવવા માટે પૂરતી દળ-ઉર્જા હોતી નથી.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2^{1/3}}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{A_1^{1/3}}{A_2^{1/3}} = \frac{1}{2^{1/3}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$.
આમ,તેમના દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 v_1 = m_2 v_2$ (ધારી લઈએ કે પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ સ્થિર હતું).
તેથી,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{2}{1}$ છે.
આપેલ છે કે ઝડપનો ગુણોત્તર $n:1$ છે,તેથી $n = 2$ મળે છે.

(D) ન્યુક્લિયસની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{kQ}{R}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$,$Q = Ze$,અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $Z = 50$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,અને $R = 9 \times 10^{-13} \text{ cm} = 9 \times 10^{-15} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{(9 \times 10^9) \times (50 \times 1.6 \times 10^{-19})}{9 \times 10^{-15}}$
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 80 \times 10^{-10} \times 10^{15} \text{ V}$
$V = 80 \times 10^5 \text{ V} = 8 \times 10^6 \text{ V}$.
આમ,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $8 \times 10^6 \text{ V}$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ અને દળ-ક્રમાંક $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે.
ધારો કે પ્રથમ ન્યુક્લિયસનો દળ-ક્રમાંક $A_1$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_1$ છે.
બીજા ન્યુક્લિયસનો દળ-ક્રમાંક $A_2 = 192$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$R_1 = \frac{R_2}{2}$ છે.
ત્રિજ્યાનું સૂત્ર મૂકતા: $R_0 (A_1)^{1/3} = \frac{1}{2} R_0 (A_2)^{1/3}$.
બંને બાજુ $R_0$ વડે ભાગતા: $(A_1)^{1/3} = \frac{1}{2} (A_2)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા: $A_1 = \frac{1}{8} A_2$.
અહીં $A_2 = 192$ આપેલ છે,તેથી $A_1 = \frac{192}{8} = 24$.
આમ,ન્યુક્લિયસનો દળ-ક્રમાંક $24$ છે.

(B) ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ હોવાથી,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે,આપણે કદના સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ:
$V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
આ દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયસનું કદ તેના દળ ક્રમાંકના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V \propto A$.
તેથી,કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \frac{A_2}{A_1}$ થાય.
આપેલ છે કે $A_2 = 4 A_1$,તેથી $\frac{V_2}{V_1} = \frac{4 A_1}{A_1} = 4$.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
આનો અર્થ એ છે કે $R^3 \propto A$,અથવા $\frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{A_1}{A_2}$.
અહીં $R_1 = 4.8 \text{ fermi}$,$A_1 = 64$,અને $R_2 = 4 \text{ fermi}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{4.8}{4}\right)^3 = \frac{64}{A_2}$.
$(1.2)^3 = \frac{64}{A_2}$.
$1.728 = \frac{64}{A_2}$.
$A_2 = \frac{64}{1.728} = \frac{64000}{1728}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $A_2 = \frac{1000}{27}$.
આને $\frac{1000}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 27$ મળે છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં ન્યુક્લિયસ સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ધારો કે બે ન્યુક્લિયસના દળ $m_1$ અને $m_2$ છે અને તેમના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
$p_i = p_f$
$0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$m_1 v_1 = -m_2 v_2$
ઝડપના મૂલ્ય લેતા,આપણને મળે છે $m_1 |v_1| = m_2 |v_2|$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{|v_1|}{|v_2|} = \frac{m_2}{m_1}$.
આપેલ દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{1}$ હોવાથી,ઝડપના ગુણોત્તરમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{|v_1|}{|v_2|} = \frac{1}{2}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયસ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,તેઓ $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં ઝડપ સાથે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરશે.

(A) હલકા ન્યુક્લિયસ માટે,પ્રોટોનની સંખ્યા $(Z)$ એ ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(N)$ ની લગભગ સમાન હોય છે,તેથી આલેખ $N=Z$ રેખાને અનુસરે છે ($45^{\circ}$ ઢાળ).
જેમ જેમ પરમાણુ ક્રમાંક વધે છે,તેમ પ્રોટોન વચ્ચેનું લાંબા અંતરનું સ્થિત-વિદ્યુતીય અપાકર્ષણ ટૂંકા અંતરના આકર્ષી ન્યુક્લિયર બળ કરતા ઝડપથી વધે છે.
ભારે ન્યુક્લિયસમાં સ્થિરતા જાળવવા માટે,સ્થિત-વિદ્યુતીય અપાકર્ષણ ઉમેર્યા વિના વધારાનું આકર્ષી ન્યુક્લિયર બળ પૂરું પાડવા માટે વધુ ન્યુટ્રોનની જરૂર પડે છે.
આના કારણે વળાંક $x$-અક્ષ (ન્યુટ્રોન અક્ષ) તરફ નમે છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થાયી ભારે ન્યુક્લિયસ માટે $N > Z$ હોય છે.
આમ,$STATEMENT-1$ સાચું છે અને $STATEMENT-2$ સાચું છે,અને $STATEMENT-2$ એ $STATEMENT-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ન્યુક્લિયસની ઘનતા $\rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}} = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $m_n$ એ ન્યુક્લિયોનનું સરેરાશ દળ છે.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ હોવાથી,તેને ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા $\rho = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{A \cdot m_n}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_n}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho$ એ દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,તમામ ન્યુક્લિયસની ઘનતા લગભગ અચળ હોય છે અને તે તત્વ પર આધાર રાખતી નથી.
આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે ઘનતા સમાન છે,જ્યારે કારણ $(R)$ એ ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા અને દળ ક્રમાંક વચ્ચેના સંબંધ અંગેનું સાચું વિધાન છે.

(D) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એક અચળાંક છે (આશરે $1.2 \times 10^{-15} \ m$).
ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \times m_p$ છે,જ્યાં $m_p$ એ ન્યુક્લિયોન (પ્રોટોન અથવા ન્યુટ્રોન) નું દળ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
દળ ઘનતા $\rho$ એ $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંશ અને છેદમાંથી $A$ ને દૂર કરતા,આપણને $\rho = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ મળે છે.
જેમ કે $m_p$,$\pi$,અને $R_0$ અચળાંકો છે,તેથી ઘનતા $\rho$ એ દળ-ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે ન્યુટ્રોન તટસ્થ કણો છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ અણુઓના ઇલેક્ટ્રોન વાદળોમાંથી પસાર થતી વખતે કુલંબ બળનો અનુભવ કરતા નથી. આ તેમને પ્રોટોન જેવા વીજભારિત કણો કરતા દ્રવ્યમાં વધુ સરળતાથી પ્રવેશવાની ક્ષમતા આપે છે.
કારણ $(R)$ પણ સાચું છે કારણ કે ન્યુટ્રોનનું દળ $(m_n \approx 1.6749 \times 10^{-27} \ kg)$ પ્રોટોનના દળ $(m_p \approx 1.6726 \times 10^{-27} \ kg)$ કરતા થોડું વધારે છે.
જો કે,ન્યુટ્રોનની ઉચ્ચ ભેદન શક્તિનું કારણ તેમનો વીજભારનો અભાવ છે,તેમનું દળ નથી. તેથી,$(R)$ એ $(A)$ માટે સાચી સમજૂતી નથી.