Composition of Nucleus, Size of the Nucleus, Nuclear force Questions in Gujarati

(C) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો ન્યુક્લિયસ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,તો બંને ભાગોનું વેગમાન સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
$m_1 v_1 = m_2 v_2$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{2}$
ન્યુક્લિયર દળ $m$ એ કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે $m \propto r^3$):
$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$
દળનો ગુણોત્તર મૂકતા:
$\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{1}{2}$
$\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} = \frac{1}{2^{1/3}}$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ન્યુટ્રિનો એવો કણ છે જેનું દળ લગભગ શૂન્ય અને વીજભાર ચોક્કસ શૂન્ય હોય છે.
પોઝિટ્રોન $+e$ વીજભાર અને $m_{e}$ દળ (ઇલેક્ટ્રોનના દળ જેટલું) ધરાવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન એવો કણ છે જે $-e$ વીજભાર અને $9.1 \times 10^{-31} \ kg$ દળ ધરાવે છે.
ન્યુટ્રોન એવો કણ છે જે શૂન્ય વીજભાર અને $1838 \ m_{e}$ દળ ધરાવે છે.
તેથી,સાચો જવાબ ન્યુટ્રિનો છે.

(D) ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho$ એ ન્યુક્લિયસના દળ અને તેના કદનો ગુણોત્તર છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \cdot m_p$ (જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $m_p$ એ ન્યુક્લિયોનનું દળ છે) અને કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે,જ્યાં $R = R_0 A^{1/3}$.
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ મળે છે.
આમ,$\rho = \frac{A \cdot m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર ઘનતા એ દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,કોઈપણ બે ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયર ઘનતાનો ગુણોત્તર હંમેશા $1: 1$ હોય છે.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_{0} A^{1/3}$ છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $R_{0}$ એ અચળાંક છે.
${}_{13}^{27}Al$ માટે,દળ ક્રમાંક $A_{1} = 27$ છે.
${}_{30}^{64}Zn$ માટે,દળ ક્રમાંક $A_{2} = 64$ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{0} A_{1}^{1/3}}{R_{0} A_{2}^{1/3}} = \left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)^{1/3}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \left(\frac{27}{64}\right)^{1/3}$
કારણ કે $27 = 3^{3}$ અને $64 = 4^{3}$,તેથી:
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \left(\frac{3^{3}}{4^{3}}\right)^{1/3} = \frac{3}{4}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) પરમાણુ દળ ક્રમાંક $(A)$ એ ન્યુક્લિયસમાં રહેલા પ્રોટોન $(Z)$ અને ન્યુટ્રોન $(N)$ ની સંખ્યાના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી $A = Z + N$.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(N)$ હંમેશા શૂન્ય અથવા તેનાથી વધુ હોવાથી,પરમાણુ દળ ક્રમાંક $(A)$ એ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો જ હોવો જોઈએ.
સૌથી સરળ તત્વ હાઇડ્રોજન $(_{1}^{1}H)$ માટે,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $0$ છે,તેથી $A = Z = 1$.
બાકીના તમામ તત્વો માટે,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા શૂન્ય કરતા વધારે હોય છે,જેના કારણે $A > Z$ થાય છે.
તેથી,પરમાણુ દળ ક્રમાંક હંમેશા પરમાણુ ક્રમાંક જેટલો અથવા તેનાથી મોટો હોય છે.

(B) ન્યુક્લિયસની સરેરાશ ઘનતા આશરે $\rho_{n} = 2.3 \times 10^{17} \ kg/m^{3}$ છે.
પાણીની ઘનતા $\rho_{w} = 10^{3} \ kg/m^{3}$ છે.
ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે ન્યુક્લિયસની ઘનતાને પાણીની ઘનતા વડે ભાગીએ છીએ:
$\text{ગુણોત્તર} = \frac{\rho_{n}}{\rho_{w}} = \frac{2.3 \times 10^{17} \ kg/m^{3}}{10^{3} \ kg/m^{3}} = 2.3 \times 10^{14}$.
તેથી,ન્યુક્લિયસની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા $2.3 \times 10^{14}$ ગણી છે.

(A) ${ }_{92}^{235} U$ ન્યુક્લિયસમાં,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ (પ્રોટોનની સંખ્યા) $92$ છે.
દળ ક્રમાંક $A$ એ $235$ છે.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N$ એ $N = A - Z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$N = 235 - 92 = 143$.
ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોનની સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત $N - Z$ છે.
$N - Z = 143 - 92 = 51$.
તેથી,ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોન કરતા $51$ ન્યુટ્રોન વધારે છે.

(D) સાચો જવાબ $D$. $8:1$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિર ન્યુક્લિયસનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોય છે.
તેથી,બંને ભાગોના વેગમાનનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ: $M_1 v_1 = M_2 v_2$.
બંને ભાગો માટે ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,દળ $M = \rho \cdot V = \rho \cdot (\frac{4}{3} \pi r^3)$ થાય.
આ કિંમત વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3) v_1 = (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r_2^3) v_2$.
સમાન પદો $(\rho \cdot \frac{4}{3} \pi)$ ને દૂર કરતા,આપણને $r_1^3 v_1 = r_2^3 v_2$ મળે છે.
વેગના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{v_1}{v_2} = (\frac{r_2}{r_1})^3$.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{1}$ થાય.
આમ,$\frac{v_1}{v_2} = (\frac{2}{1})^3 = \frac{8}{1}$.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
ધારો કે $m$ એ ન્યુક્લિયોનનું સરેરાશ દળ છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ $M = m A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
ન્યુક્લિયસની ઘનતા $\rho$ એ દળ અને કદનો ગુણોત્તર છે:
$\rho = \frac{M}{V} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$.
અહીં $m$ અને $R_0$ અચળ હોવાથી,ઘનતા $\rho$ એ દળ ક્રમાંક $A$ પર આધારિત નથી.

(C) ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R$ એ સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $R_0$ એ અચળાંક છે.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_{Au}}{R_{Ag}} = \left( \frac{A_{Au}}{A_{Ag}} \right)^{1/3}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $A_{Au} = 197$ અને $A_{Ag} = 107$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{R_{Au}}{R_{Ag}} = \left( \frac{197}{107} \right)^{1/3}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\frac{197}{107} \approx 1.841$.
ત્યારબાદ,$(1.841)^{1/3} \approx 1.2256$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $1.23$ મળે છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ (આઈસોટોન) છે.
${ }_{92}^{238} U$ માટે,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N$ ની ગણતરી $N = A - Z = 238 - 92 = 146$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
${ }_{90}^{236} Th$ માટે,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N$ ની ગણતરી $N = A - Z = 236 - 90 = 146$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બંને ન્યુક્લિયસમાં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા સમાન $(N = 146)$ હોવાથી,તેઓ આઈસોટોન છે.

(B) સરેરાશ પરમાણ્વીય દળ તેમની સાપેક્ષ વિપુલતાના આધારે આઈસોટોપિક દળની ભારિત સરેરાશ લઈને ગણવામાં આવે છે.
સરેરાશ પરમાણ્વીય દળ $= \frac{(m_1 \times p_1) + (m_2 \times p_2)}{100}$
$= \frac{(34.98 \times 75.4) + (36.98 \times 24.6)}{100}$
$= \frac{2637.492 + 909.708}{100}$
$= \frac{3547.2}{100}$
$= 35.47 \ u$

(C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા શોધવાનું સૂત્ર $R = R_{0} A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_{0} = 1.2 \text{ fm} = 1.2 \times 10^{-15} \text{ m}$ અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
${ }_{13}^{27} Al$ માટે,દળ ક્રમાંક $A = 27$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (27)^{1/3} \text{ m}$
કારણ કે $(27)^{1/3} = 3$,તેથી:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times 3 \text{ m}$
$R = 3.6 \times 10^{-15} \text{ m}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) બે પ્રોટોન વચ્ચેનું બળ એ પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન વચ્ચેના બળ જેટલું જ હોય છે. આ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે,જે વિદ્યુતભારથી સ્વતંત્ર છે. પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે કાર્ય કરે છે અને તે ન્યુક્લિયસને જકડી રાખવા માટે જવાબદાર છે. તે ખૂબ જ ટૂંકા અંતરે અત્યંત પ્રબળ હોય છે અને વધુ અંતરે નહિવત થઈ જાય છે.

(B) ક્વાર્કસ એ મૂળભૂત કણો છે જે સંયુક્ત કણો બનાવે છે જેને હેડ્રોન્સ (hadrons) કહેવામાં આવે છે.
પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન એ બેરિયોન્સ (baryons) છે,જે ત્રણ ક્વાર્કસના બનેલા હોય છે.
$\pi$-મેસોન (pions) એ મેસોન્સ છે,જે એક ક્વાર્ક અને એક એન્ટિક્વાર્કથી બનેલા હોય છે.
પોઝિટ્રોન એ ઇલેક્ટ્રોનનો એન્ટિકણ છે,જે લેપ્ટોન (lepton) છે.
લેપ્ટોન્સ એ મૂળભૂત કણો છે અને તે ક્વાર્કસના બનેલા હોતા નથી.
તેથી,પોઝિટ્રોન ક્વાર્કસ દ્વારા બનેલું નથી.

(D) ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તેની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi R^2$ છે.
કદ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{V}{S} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3}$ થાય.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
$Al^{27}$ માટે,$A = 27$. તેથી,$R = R_0 (27)^{1/3} = 3 R_0$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{V}{S} = \frac{3 R_0}{3} = R_0$.
આપેલ છે કે $R_0 = 1.2 \times 10^{-15} \ m$,તેથી ગુણોત્તર $1.2 \times 10^{-15} \ m$ થાય.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં સ્થિર રહેલા ન્યુક્લિયસ માટે,વિભાજન પછીનું કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$m_1 v_1 = m_2 v_2 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1}$
ન્યુક્લિયર દ્રવ્યની ઘનતા અચળ હોવાથી,ન્યુક્લિયસનું દળ $m$ તેના કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે તેની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$m \propto R^3 \implies \frac{m_2}{m_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{R_2}{R_1} = \frac{2}{1}$ થાય.
આ કિંમત વેગના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = \frac{8}{1}$.
આમ,તેમના વેગનો ગુણોત્તર $8:1$ છે.

(B) ન્યુક્લિયર બળ એ ટૂંકા ગાળાનું બળ છે, જે સામાન્ય રીતે થોડા $fm$ $(1 \, fm = 10^{-15} \, m)$ ના અંતર સુધી અસરકારક હોય છે.
જ્યારે, વિદ્યુતચુંબકીય બળ એ લાંબા ગાળાનું બળ છે જે વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે.
અહીં અંતર $10 \, nm = 10 \times 10^{-9} \, m = 10^{-8} \, m$ આપેલું છે.
કારણ કે $10^{-8} \, m$ એ ન્યુક્લિયર બળની રેન્જ $(\, 10^{-15} \, m)$ કરતા ઘણું વધારે છે, તેથી આ અંતરે ન્યુક્લિયર બળ $F_{n}$ શૂન્ય જેવું હોય છે.
તેથી, વિદ્યુતચુંબકીય બળ $F_{e}$ એ ન્યુક્લિયર બળ $F_{n}$ કરતા ઘણું વધારે છે, એટલે કે $F_{e} \gg F_{n}$.

(C) કણ ભૌતિકવિજ્ઞાનના સંદર્ભમાં,બેરીયોન એ ત્રણ ક્વાર્કથી બનેલા સંયુક્ત કણો છે. તમામ બેરીયોન પૈકી,પ્રોટોન એ મુક્ત અવકાશમાં એકમાત્ર સ્થાયી કણ છે. જોકે ન્યુટ્રોન પરમાણુના ન્યુક્લિયસમાં બંધાયેલો હોય ત્યારે સ્થાયી હોય છે,પરંતુ તે મુક્ત અવસ્થામાં અસ્થાયી છે અને લગભગ $880 \ s$ ના સરેરાશ આયુષ્ય સાથે પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં ક્ષય પામે છે. તેથી,પ્રોટોન એ સૌથી સ્થાયી બેરીયોન છે.

(C) હેડ્રોન્સ એ સબએટોમિક કણો છે જે સ્ટ્રોંગ ફોર્સ દ્વારા જોડાયેલા ક્વાર્કથી બનેલા છે. તેમને મુખ્યત્વે બે શ્રેણીઓમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે: બેરિયોન્સ અને મેસોન્સ.
બેરિયોન્સ $3$ ક્વાર્કથી બનેલા હોય છે (દા.ત.,પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન).
મેસોન્સ એક ક્વાર્ક અને એક એન્ટિક્વાર્કની જોડીથી બનેલા હોય છે.
તેથી,ક્વાર્ક મોડેલ મુજબ,તમામ હેડ્રોન્સનું નિર્માણ $3$ ક્વાર્ક અને $3$ એન્ટિક્વાર્કનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

(D) ન્યુક્લિયોન્સની જોડીની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ અને તેમના અંતર $r$ વચ્ચેનો આલેખ એક ઊંડા પોટેન્શિયલ વેલ (સ્થિતિ ઊર્જાના ખાડા) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે અંતર $r < r_{0}$ હોય (જ્યાં $r_{0} \approx 0.8 \ \text{fm}$), ત્યારે ન્યુક્લિયર બળ ખૂબ જ અપાકર્ષી હોય છે, જેના કારણે સ્થિતિ ઊર્જા ઝડપથી વધે છે.
જ્યારે અંતર $r > r_{0}$ હોય, ત્યારે ન્યુક્લિયર બળ આકર્ષી હોય છે, અને જેમ $r$ વધે છે તેમ સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય તરફ વધે છે.
ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઊર્જા સંતુલન અંતર $r_{0}$ પર જોવા મળે છે, જ્યાં ન્યુક્લિયોન્સ વચ્ચેનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે.
આલેખ $D$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે, જેમાં $U$ એ $\text{MeV}$ માં અને $r$ એ $\text{fm}$ માં છે.

(D) ન્યુક્લિયર બળ એ ટૂંકા ગાળાનું બળ છે જે આશરે $1 \ fm$ થી $3 \ fm$ $(1 \ fm = 10^{-15} \ m)$ ના અંતર સુધી જ અસરકારક રીતે કાર્ય કરે છે.
અહીં બે પ્રોટોન વચ્ચેનું અંતર $10 \ nm = 10 \times 10^{-9} \ m = 10^{-8} \ m$ આપેલું છે.
કારણ કે $10^{-8} \ m$ એ ન્યુક્લિયર બળની મર્યાદા $(10^{-15} \ m)$ કરતા ઘણું વધારે છે,તેથી આ અંતરે ન્યુક્લિયર બળ $F_n$ નગણ્ય છે.
જોકે,વિદ્યુતચુંબકીય બળ $F_e$ (કુલંબ બળ) વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે અને લાંબા અંતર સુધી કાર્ય કરે છે.
તેથી,$10 \ nm$ ના અંતરે,વિદ્યુતચુંબકીય બળ એ ન્યુક્લિયર બળ કરતા ઘણું વધારે હોય છે,એટલે કે $F_e \gg F_n$.

(B) પેકિંગ ફ્રેક્શન $(f)$ ને ન્યુક્લિયોન દીઠ દળ ક્ષતિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $f = \frac{m - A}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ન્યુક્લિયસનું દળ છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
પેકિંગ ફ્રેક્શન એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ છે.
પેકિંગ ફ્રેક્શનનું મૂલ્ય જેટલું નાનું (અથવા વધુ ઋણ) હોય,તેટલી ન્યુક્લિયસની સ્થિરતા વધારે હોય છે.
ન્યુક્લિયસના દળ ક્રમાંકના આધારે પેકિંગ ફ્રેક્શન ધન,ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.
તેથી,પેકિંગ ફ્રેક્શન ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે છે તે વિધાન સાચું છે.

(D) $1$. આઈસોટોપ્સ: સમાન પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ પરંતુ અલગ દળ ક્રમાંક $(A)$ ધરાવતા અણુઓ. ઉદાહરણ: $_1H^1$ અને $_1H^2$ માં $Z=1$ છે. તેથી,$A-iii$.
$2$. આઈસોબાર્સ: સમાન દળ ક્રમાંક $(A)$ પરંતુ અલગ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ધરાવતા અણુઓ. ઉદાહરણ: $Li^7$ અને $Be^7$ બંનેમાં $A=7$ છે. તેથી,$B-i$.
$3$. આઈસોટોન્સ: સમાન ન્યુટ્રોન સંખ્યા $(N = A-Z)$ ધરાવતા અણુઓ. $_8O^{18}$ માટે,$N = 18-8 = 10$. $_9F^{19}$ માટે,$N = 19-9 = 10$. તેથી,$C-ii$.
આમ,સાચી જોડ $A-iii, B-i, C-ii$ છે.

(C) પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ હંમેશા આકર્ષી હોતું નથી. તે $0.8 \ fm$ કરતા વધારે અંતરે પ્રબળ આકર્ષી હોય છે અને ન્યુક્લિયસના પતન (collapse) ને રોકવા માટે $0.8 \ fm$ કરતા ઓછા અંતરે તે પ્રબળ અપાકર્ષી બને છે. તેથી,'ન્યુક્લિયર બળ હંમેશા આકર્ષી હોય છે' તેવું વિધાન ખોટું છે.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા શોધવાનું સૂત્ર $R = R_{0} A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_{0} = 1.2 \times 10^{-15} \ m$ અને $A$ એ પરમાણુ દળાંક છે.
${ }_{29} Cu^{64}$ માટે,દળાંક $A = 64$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (64)^{1/3} \ m$
કારણ કે $(64)^{1/3} = 4$,તેથી:
$R = 1.2 \times 4 \times 10^{-15} \ m$
$R = 4.8 \times 10^{-15} \ m$
$1 \ \text{Fermi} = 10^{-15} \ m$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $4.8 \ \text{Fermi}$ થાય.

(C) ન્યુક્લિયર બળ $F_{n}$ એ ટૂંકા ગાળાનું બળ છે જે ફક્ત આશરે $10^{-15} \text{ m}$ (અથવા $1 \text{ fm}$) ની અંદર જ અસરકારક રીતે કાર્ય કરે છે.
આ અંતરની બહાર,ન્યુક્લિયર બળ ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે અને નહિવત બની જાય છે.
અહીં આપેલું અંતર $40 \text{ Å} = 40 \times 10^{-10} \text{ m} = 4 \times 10^{-9} \text{ m}$ છે.
કારણ કે $4 \times 10^{-9} \text{ m} \gg 10^{-15} \text{ m}$ છે,તેથી આ અંતરે ન્યુક્લિયર બળ $F_{n}$ શૂન્ય જેવું છે.
જો કે,સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_{e}$ વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ $(F_{e} \propto 1/r^2)$ ને અનુસરે છે અને આ અંતરે પણ નોંધપાત્ર રહે છે.
તેથી,$F_{n} \ll F_{e}$.

(C) ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R$ એ સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $R_0$ એ અચળાંક છે.
આપેલ દળ ક્રમાંક $A_1 = 216$ અને $A_2 = 125$ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_0 (A_1)^{1/3}}{R_0 (A_2)^{1/3}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{(216)^{1/3}}{(125)^{1/3}}$.
કારણ કે $216 = 6^3$ અને $125 = 5^3$ છે,તેથી $\frac{R_1}{R_2} = \frac{6}{5}$ અથવા $6:5$ મળે છે.

(C) બેરીયોન એ ત્રણ ક્વાર્ક (quarks) થી બનેલા સબએટોમિક કણોનો એક પરિવાર છે.
તમામ બેરીયોન પૈકી,પ્રોટોન એકમાત્ર એવો સ્થાયી કણ છે જે અન્ય કણોમાં વિઘટન પામતો નથી.
જ્યારે મુક્ત ન્યુટ્રોન આશરે $880 \ s$ ના સરેરાશ આયુષ્ય સાથે પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં વિઘટન પામે છે,ત્યારે પ્રોટોનને $10^{34}$ વર્ષથી વધુના આયુષ્ય સાથે સ્થાયી માનવામાં આવે છે.
તેથી,બેરીયોન સમૂહમાં પ્રોટોન સૌથી સ્થાયી કણ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_{0} A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_{0} \approx 1.2 \times 10^{-15} \text{ m}$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $(V)$ એ ગોળાના કદના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
$R$ નું સૂત્ર કદના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \pi (R_{0} A^{1/3})^{3}$
$V = \frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} A$
અહીં $\frac{4}{3}$,$\pi$,અને $R_{0}^{3}$ અચળાંકો હોવાથી,$V \propto A$ મળે છે.
તેથી,ન્યુક્લિયસનું કદ તેના દળ ક્રમાંક $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) $barn$ એ ન્યુક્લિયર અને કણ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં વપરાતો ક્ષેત્રફળનો એક બિન-$SI$ એકમ છે,જેનો ઉપયોગ ન્યુક્લિયસ અને ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયાઓના ક્રોસ-સેક્શનલ એરિયાને દર્શાવવા માટે થાય છે. $1 \ barn = 10^{-28} \ m^2$. તેથી,તેનો ઉપયોગ સ્કેટરિંગ ક્રોસ-સેક્શન માપવા માટે થાય છે.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા શોધવાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \ m$ અને $A$ એ દળ-ક્રમાંક છે.
અહીં $A = 125$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (125)^{1/3}$
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (5^3)^{1/3}$
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times 5$
$R = 6 \times 10^{-15} \ m$.

(B) આપેલ છે: પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 50$, ત્રિજ્યા $r = 9 \times 10^{-15} \,m$, અને મૂળભૂત વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
ભારિત ગોળા (ન્યુક્લિયસ) ની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$
કુલ વિદ્યુતભાર $q = Z e$ હોવાથી, આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 9 \times 10^9 \times \frac{80 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 10^9 \times 80 \times 10^{-19} \times 10^{15}$
$V = 80 \times 10^5 = 8 \times 10^6 \,V$
આમ, વિદ્યુત સ્થિતિમાન $8 \times 10^6 \,V$ છે.

(A) મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા ત્યારે મળે છે જ્યારે બે હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન) એકબીજાના સંપર્કમાં હોય.
બે ન્યુક્લિયસના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r$ તેમની ત્રિજ્યાના સરવાળા જેટલું હોય છે,એટલે કે $r = 2 \times R = 2 \times 1.1 \times 10^{-15} \ m = 2.2 \times 10^{-15} \ m$.
સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $U = 9 \times 10^9 \times \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{2.2 \times 10^{-15}} \ J$.
$U = \frac{9 \times 2.56 \times 10^{-29} \times 10^9}{2.2 \times 10^{-15}} = \frac{23.04 \times 10^{-20}}{2.2 \times 10^{-15}} \approx 10.47 \times 10^{-5} \ J$.
$MeV$ માં રૂપાંતર કરવા માટે,$1.6 \times 10^{-13} \ J/MeV$ વડે ભાગતા:
$U = \frac{10.47 \times 10^{-5}}{1.6 \times 10^{-13}} \approx 6.54 \times 10^7 \ eV = 0.65 \ MeV$.

(A) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,વિદ્યુતચુંબકીય બળ,નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ. આ બધામાં,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ એ સૌથી શક્તિશાળી બળ છે,જે ન્યુક્લિયસને જકડી રાખવા માટે ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે કાર્ય કરે છે. તેથી,પ્રકૃતિમાં સૌથી શક્તિશાળી બળ ન્યુક્લિયર બળ છે.

(D) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: $1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ,$3$. વીક ન્યુક્લિયર બળ,અને $4$. સ્ટ્રોંગ ન્યુક્લિયર બળ.
લંબબળ,ઘર્ષણ બળ અને સ્પ્રિંગ બળ એ પરમાણુઓ અને અણુઓ વચ્ચેની વિદ્યુતચુંબકીય આંતરક્રિયાઓમાંથી ઉદ્ભવતા તારવેલા બળો છે. તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી સ્ટ્રોંગ ન્યુક્લિયર બળ એ એકમાત્ર મૂળભૂત બળ છે.

(B) નબળું ન્યુક્લિયર બળ એ એક મૂળભૂત આંતરક્રિયા છે જે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયની ચોક્કસ પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન થાય છે,જેમ કે બીટા ક્ષય. તે પ્રાથમિક કણો વચ્ચે કાર્ય કરે છે,ખાસ કરીને ક્વાર્ક અને લેપ્ટોન જેવા ભારે પ્રાથમિક કણો વચ્ચે,જે આ ક્ષય પ્રક્રિયાઓમાં સામેલ હોય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R_0 \approx 1.2 fm = 1.2 \times 10^{-15} m$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \times m_p$ છે, જ્યાં $m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} kg$ એ પ્રોટોનનું દળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{\frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.2 \times 10^{-15})^3} \approx 2.3 \times 10^{17} kg m^{-3}$.
આમ, ઘનતાનો ક્રમ $10^{17} kg m^{-3}$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસનું પૃષ્ઠફળ $S$ એ $S = 4\pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $R$ એ દળ ક્રમાંક $A$ ના ઘનમૂળના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $R = R_0 A^{1/3}$.
તેથી, પૃષ્ઠફળ $S \propto R^2 \propto (A^{1/3})^2 = A^{2/3}$.
પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $S_1/S_2 = 9/49$ આપેલ છે.
કારણ કે $S_1/S_2 = (A_1/A_2)^{2/3}$, તેથી $(A_1/A_2)^{2/3} = 9/49$.
બંને બાજુ $3/2$ ઘાત લેતા: $A_1/A_2 = (9/49)^{3/2} = ( (3/7)^2 )^{3/2} = (3/7)^3$.
કિંમત ગણતા: $A_1/A_2 = 27/343$.
આમ, તેમના દળ ક્રમાંકનો ગુણોત્તર $27 : 343$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસનું પૃષ્ઠફળ $S$ એ $S = 4\pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{9}{25}$.
વર્ગમૂળ લેતા,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ એ તેના દળ-ક્રમાંક $A$ સાથે $R = R_0 A^{1/3}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$.
આમ,દળ-ક્રમાંકનો ગુણોત્તર $27: 125$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ અને તેના દળ ક્રમાંક $A$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$R = R_0 A^{1/3} \dots(1)$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(R) = \ln(R_0 A^{1/3}) = \ln(R_0) + \frac{1}{3} \ln(A)$
પદોને ગોઠવતા:
$\ln(R) - \ln(R_0) = \frac{1}{3} \ln(A)$
$\ln \left(\frac{R}{R_0}\right) = \frac{1}{3} \ln(A)$
આ સમીકરણ $y = mx$ પ્રકારનું છે,જ્યાં $y = \ln \left(\frac{R}{R_0}\right)$,$x = \ln(A)$ અને ઢાળ $m = \frac{1}{3}$ છે.
આ એક સુરેખ સમીકરણ હોવાથી,તેનો આલેખ એક સીધી રેખા મળે છે.

(D) પરમાણુ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ અને તેના દળ-ક્રમાંક $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે.
આનો અર્થ એ છે કે $R \propto A^{1/3}$ અથવા $A \propto R^3$.
પ્રથમ ન્યુક્લિયસ માટે આપેલ છે: $A_1 = 64$ અને $R_1 = 4.8 \text{ fermi}$.
બીજા ન્યુક્લિયસ માટે: $R_2 = 6 \text{ fermi}$ અને આપણે $A_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{A_2}{64} = \left(\frac{6}{4.8}\right)^3$.
અપૂર્ણાંકનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{6}{4.8} = \frac{60}{48} = \frac{5}{4} = 1.25$.
તેથી,$A_2 = 64 \times (1.25)^3 = 64 \times \frac{125}{64} = 125$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $(R)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $R = R_0 A^{1/3}$,જેનો અર્થ છે કે $R \propto A^{1/3}$.
અહીં,$R_0$ એ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
પરમાણ્વીય ઘનતા $(\rho)$ એ દળ અને કદનો ગુણોત્તર છે: $\rho = \frac{\text{mass}}{\text{volume}} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R^3}$,જ્યાં $m$ એ એક ન્યુક્લિયોનનું દળ છે.
$R = R_0 A^{1/3}$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $\rho = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$.
આમ,પરમાણ્વીય ઘનતા $\rho$ એ દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
અન્ય વિકલ્પો માટે: બંધન ઉર્જા $E = \Delta m c^2$,તેથી $E \propto \Delta m$ (સીધા પ્રમાણમાં,વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નહીં).
ભારે ન્યુક્લિયસનું હળવા ન્યુક્લિયસમાં રૂપાંતરણ થાય ત્યારે ઉર્જા મુક્ત થાય છે.

(C) ન્યુક્લિયસનું કદ $V$ તેના દળ ક્રમાંક $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R = R_0 A^{1/3}$ છે.
આમ,$V = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$,જે સૂચવે છે કે $V \propto A$.
આપેલ છે કે $A_2 = 3 A_1$,તેથી કદનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{A_1}{3 A_1} = \frac{1}{3}$.

(D) ન્યુક્લિયર ઘનતા એટલે ન્યુક્લિયસનું દળ અને તેના કદનો ગુણોત્તર.
દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસનું દળ $M = A \cdot m$ છે,જ્યાં $m$ એ ન્યુક્લિયોનનું સરેરાશ દળ છે $(m \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg})$.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0 \approx 1.2 \times 10^{-15} \text{ m}$.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ છે.
ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$.
આમ,$\rho$ એ દળ ક્રમાંક $A$ પર આધારિત નથી,તેથી તે તમામ ન્યુક્લિયસ માટે અચળ રહે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\rho \approx 2.3 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ થી $3.0 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ મળે છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $10^{17} \text{ kg m}^{-3}$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ન્યુક્લિઓન્સની સંખ્યા છે.
તેથી,બે ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R_{Ge} = 2 R_{Be}$ અને $A_{Be} = 9$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$2 = \left(\frac{A_{Ge}}{9}\right)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે છે $2^3 = \frac{A_{Ge}}{9}$.
$8 = \frac{A_{Ge}}{9}$.
$A_{Ge} = 8 \times 9 = 72$.
આમ,જર્મેનિયમમાં ન્યુક્લિઓન્સની સંખ્યા $72$ છે.

(C) ધારો કે મૂળ ન્યુક્લિયસ ${ }_Z^A X$ છે. $2$ આલ્ફા કણો $({ }_2^4 He)$ ગુમાવ્યા પછી,નવા ન્યુક્લિયસ $R$ નો પરમાણુ દળાંક $A' = A - 2 \times 4 = A - 8$ થશે.
આપેલ છે કે નવા ન્યુક્લિયસ $R$ નું કદ આલ્ફા કણ $({ }_2^4 He)$ ના કદ કરતાં $60$ ગણું છે:
ન્યુક્લિયસનું કદ $\propto$ (પરમાણુ દળાંક $A$)
$\Rightarrow V_R = 60 \times V_{\alpha}$
કારણ કે $V \propto A$,તેથી $A' = 60 \times 4$.
$A' = A - 8$ મૂકતા:
$A - 8 = 240$
$A = 248$.

(C) પરમાણુ સ્તરે,પ્રકૃતિમાં રહેલા મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ પ્રબળતાનો ક્રમ નીચે મુજબ છે:
સ્ટ્રોંગ ન્યુક્લિયર બળ $>$ વિદ્યુતચુંબકીય બળ $>$ વીક ન્યુક્લિયર બળ $>$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ.
તેથી,પરમાણુ સ્તરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પ્રકૃતિમાં સૌથી નિર્બળ બળ છે.