Composition of Nucleus, Size of the Nucleus, Nuclear force Questions in Gujarati

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ દળ ક્રમાંક છે.
ન્યુક્લિયસ $1$ માટે: $R_1 = R_0 A_1^{1/3}$.
ન્યુક્લિયસ $2$ માટે: $R_2 = R_0 A_2^{1/3}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{A_2}{A_1} \right)^{1/3}$.
આપેલ છે કે $A_2$ એ $A_1$ કરતા $2\%$ મોટો છે,તેથી $A_2 = A_1(1 + 0.02) = 1.02 A_1$,એટલે કે $\frac{A_2}{A_1} = 1.02$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{R_2}{R_1} = (1.02)^{1/3} = (1 + 0.02)^{1/3} \approx 1 + \frac{1}{3}(0.02) = 1 + 0.00666...$
આમ,$\frac{R_2}{R_1} \approx 1 + \frac{2}{300} = 1 + \frac{2}{3} \%$.
તેથી,$R_2$ એ $R_1$ કરતા $\frac{2}{3} \%$ જેટલો મોટો છે.

(B) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ,વિદ્યુતચુંબકીય બળ અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ.
આ બધામાં,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ સૌથી શક્તિશાળી બળ છે,જે ન્યુક્લિયસને જકડી રાખવા માટે ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે કાર્ય કરે છે.

(D) પ્રકૃતિમાં રહેલા મૂળભૂત બળો અનુસાર,બળોની શક્તિનો વધતો ક્રમ નીચે મુજબ છે:
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $ < $ નબળું ન્યુક્લિયર બળ $ < $ વિદ્યુતચુંબકીય બળ $ < $ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ.
તેથી,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ એ પ્રકૃતિમાં સૌથી શક્તિશાળી બળ છે.

(A-(II), B-(IV), C-(I), D-(III)) પ્રકૃતિના ચાર મૂળભૂત બળો અને તેમની સાપેક્ષ પ્રબળતા નીચે મુજબ છે:
$(i)$ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ: તે સૌથી પ્રબળ બળ છે,જે ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) અને ક્વાર્ક વચ્ચે કાર્ય કરે છે. તેની સાપેક્ષ પ્રબળતા $1$ ના ક્રમની છે.
(ii) વિદ્યુતચુંબકીય બળ: તે વિદ્યુતભારિત કણો વચ્ચે કાર્ય કરે છે. તેની સાપેક્ષ પ્રબળતા $10^{-2}$ ના ક્રમની છે.
(iii) નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: તે અમુક કિરણોત્સર્ગી ક્ષય દરમિયાન અણુના પેટા-કણો વચ્ચે કાર્ય કરે છે. તેની સાપેક્ષ પ્રબળતા $10^{-13}$ ના ક્રમની છે.
(iv) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: તે દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ છે. તેની સાપેક્ષ પ્રબળતા સૌથી ઓછી,$10^{-39}$ ના ક્રમની છે.
આપેલ યાદી સાથે સરખાવતા:
$(A)$ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ $\rightarrow$ (ii) $1$
$(B)$ નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ $\rightarrow$ (iv) $10^{-13}$
$(C)$ વિદ્યુતચુંબકીય બળ $\rightarrow$ $(i)$ $10^{-2}$
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\rightarrow$ (iii) $10^{-39}$
આમ,સાચી જોડ $A-(ii), B-(iv), C-(i), D-(iii)$ છે.

(B) પ્રકૃતિના મૂળભૂત બળો તેમની શક્તિના ઘટતા ક્રમમાં આ મુજબ છે: સ્ટ્રોંગ ન્યુક્લિયર બળ $>$ વિદ્યુતચુંબકીય બળ $>$ વીક ન્યુક્લિયર બળ $>$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પ્રકૃતિનું સૌથી નબળું બળ છે,વીક ન્યુક્લિયર બળ નહીં.
આમ,વિકલ્પ $B$ માં આપેલું વિધાન ખોટું છે.

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રતિ-કણ તેના અનુરૂપ કણ જેટલું જ દળ અને સ્પિન ધરાવે છે.
જોકે,વિદ્યુતભાર,લેપ્ટોન નંબર અને ચુંબકીય મોમેન્ટ જેવા ગુણધર્મો કણ કરતા વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.
તેથી,કણો અને તેમના પ્રતિ-કણો સમાન દળ પરંતુ વિરુદ્ધ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવે છે.

(C) બે ન્યુક્લિઓન વચ્ચેની સ્થિતિઊર્જા તેમના અંતરના વિધેય તરીકે ન્યુક્લિયર બળના પોટેન્શિયલ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે ઘણીવાર રીડ પોટેન્શિયલ દ્વારા મોડેલ કરવામાં આવે છે.
આ પોટેન્શિયલ વક્ર દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર બળ ટૂંકા અંતરે ખૂબ જ આકર્ષી અને ખૂબ જ ટૂંકા અંતરે અપાકર્ષી હોય છે.
સ્થિતિઊર્જા આશરે $0.8 \ fm$ ના અંતરે તેનું લઘુત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
આ અંતરે,ન્યુક્લિઓન સ્થિર સ્થિતિમાં હોય છે,જે તેમને ઋણ બંધન ઊર્જા સાથે બંધિત અવસ્થા બનાવવાની મંજૂરી આપે છે.

(C) ન્યુક્લિયર બળ એ ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલા ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે લાગતું પ્રબળ બળ છે.
પ્રાયોગિક પુરાવા દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર બળ એ વિદ્યુતભારથી સ્વતંત્ર છે.
આનો અર્થ એ છે કે બે પ્રોટોન,બે ન્યુટ્રોન અથવા એક પ્રોટોન અને એક ન્યુટ્રોન વચ્ચેનું બળ મૂળભૂત રીતે સમાન હોય છે,જો તેમની વચ્ચેનું અંતર અને તેમની સ્પિન સ્થિતિ સમાન હોય.
તેથી,$F_{pp} = F_{nn} = F_{np}$.

(D) $\text{નબળું ન્યુક્લિયર બળ એ પ્રકૃતિના ચાર મૂળભૂત બળોમાંનું એક છે.}$
$\text{તે ન્યુક્લિયસમાં બીટા ક્ષય જેવી પ્રક્રિયાઓ માટે જવાબદાર છે.}$
$\text{પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ, જેની રેન્જ આશરે } 10^{-15} \,m \text{ હોય છે, તેનાથી વિપરીત નબળા ન્યુક્લિયર બળની રેન્જ અત્યંત ટૂંકી હોય છે.}$
$\text{નબળા ન્યુક્લિયર બળની રેન્જ આશરે } 10^{-16} \,m \text{ થી } 10^{-18} \,m \text{ જેટલી હોય છે.}$
$\text{તેથી, આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો ક્રમ } 10^{-16} \,m \text{ છે.}$

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ અને તેના દળ ક્રમાંક $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ છે, જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે.
ગોળાકાર ન્યુક્લિયસનું પૃષ્ઠફળ $S = 4 \pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા, $S = 4 \pi (R_0 A^{1/3})^2 = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$ મળે છે.
આમ, પૃષ્ઠફળ એ $A^{2/3}$ ના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $S \propto A^{2/3}$.
આપેલ દળ ક્રમાંકનો ગુણોત્તર $A_1 : A_2 = 27 : 125$ છે, તેથી તેમના પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $S_1 : S_2 = (A_1 / A_2)^{2/3}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $S_1 / S_2 = (27 / 125)^{2/3} = ((3^3) / (5^3))^{2/3} = (3/5)^2 = 9/25$.
તેથી, તેમના પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $9 : 25$ છે.

(A) તત્વનું સરેરાશ દળ તેના આઈસોટોપ્સની સાપેક્ષ વિપુલતાના આધારે તેમના દળના ભારિત સરેરાશ (weighted average) દ્વારા ગણવામાં આવે છે.
આપેલ વિપુલતાનો ગુણોત્તર $2:3:5$ છે,તેથી કુલ ભાગ $2 + 3 + 5 = 10$ થાય.
દરેક આઈસોટોપનો અપૂર્ણાંક ભાગ:
આઈસોટોપ $A$ માટે: $2/10 = 0.2$
આઈસોટોપ $B$ માટે: $3/10 = 0.3$
આઈસોટોપ $C$ માટે: $5/10 = 0.5$
સરેરાશ દળનું સૂત્ર: $\text{સરેરાશ દળ} = (\text{અપૂર્ણાંક}_A \times m_1) + (\text{અપૂર્ણાંક}_B \times m_2) + (\text{અપૂર્ણાંક}_C \times m_3)$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{સરેરાશ દળ} = 0.2 m_1 + 0.3 m_2 + 0.5 m_3$.

(D) દળ-ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એ અચળાંક છે.
ન્યુક્લિયસ ગોળાકાર છે તેમ ધારતા,તેનું પૃષ્ઠફળ $S = 4 \pi R^2$ દ્વારા મળે છે.
$R$ નું સૂત્ર $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = 4 \pi (R_0 A^{1/3})^2$
$S = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$
અહીં $4 \pi R_0^2$ એ અચળ હોવાથી,$S \propto A^{2/3}$ થાય છે.

(C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ-ક્રમાંક છે.
આપેલ છે કે $A_1 = 27$ માટે $R_1 = R$ અને $A_2$ માટે $R_2 = 2R$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R}{2R} = \left(\frac{27}{A_2}\right)^{1/3}$.
$\frac{1}{2} = \left(\frac{27}{A_2}\right)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા: $\frac{1}{8} = \frac{27}{A_2}$.
$A_2 = 27 \times 8 = 216$.
ખૂબ ઊંચા દળ-ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ (જેમ કે $A=216$) સામાન્ય રીતે અસ્થાયી હોય છે અને વધુ સ્થાયી અવસ્થા પ્રાપ્ત કરવા માટે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય અથવા વિખંડન પ્રક્રિયા અનુભવે છે.

(C) દળ ક્રમાંક $A$ ના સંદર્ભમાં પરમાણુ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ દળ ક્રમાંક $A$ વધે છે,તેમ ન્યુક્લિયસનું દળ $(M \approx A \cdot m_p)$ અને ન્યુક્લિયસનું કદ $(V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A)$ બંને વધે છે.
ન્યુક્લિયન્સની સંખ્યા વધવાની સાથે બંધન ઉર્જા પણ બદલાય છે.
જોકે,ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho$ નીચે મુજબ છે:
$\rho = \frac{\text{ન્યુક્લિયસનું દળ}}{\text{ન્યુક્લિયસનું કદ}} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3} = \frac{m A}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3m}{4 \pi R_0^3}$.
અહીં $m$ (સરેરાશ ન્યુક્લિયોન દળ) અને $R_0$ અચળાંક હોવાથી,ન્યુક્લિયર ઘનતા દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે અને અચળ રહે છે.

(D) ન્યુક્લિયસની ઘનતાનું સૂત્ર: $\rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}}$.
ન્યુક્લિયસનું દળ $M = A \times m_p$,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $m_p \approx 1.6 \times 10^{-27} \text{ kg}$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$,જ્યાં $R = R_0 A^{1/3}$ છે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
ઘનતા $\rho = \frac{A \times m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi R_0^3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{3 \times 1.6 \times 10^{-27}}{4 \times 3.14 \times (1.2 \times 10^{-15})^3}$.
$\rho = \frac{4.8 \times 10^{-27}}{12.56 \times 1.728 \times 10^{-45}} \approx 2.2 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}$.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
ધારો કે $A_1 = 189$ દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R_1$ છે,તેથી $R_1 = R_0 (189)^{1/3}$.
ધારો કે બીજા ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $A_2$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_2$ છે,તેથી $R_2 = R_0 (A_2)^{1/3}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$R_2 = \frac{1}{3} R_1$.
કિંમતો મૂકતા,$R_0 (A_2)^{1/3} = \frac{1}{3} R_0 (189)^{1/3}$.
બંને બાજુથી $R_0$ દૂર કરતા,$(A_2)^{1/3} = \frac{1}{3} (189)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$A_2 = (\frac{1}{3})^3 \times 189$.
$A_2 = \frac{1}{27} \times 189 = 7$.
આમ,દળ ક્રમાંક $7$ છે.

(C) ન્યુક્લિયર બળ એ ટૂંકા ગાળાનું બળ છે જે ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલા ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
તે ત્યારે જ અસરકારક બને છે જ્યારે બે ન્યુક્લિયોન્સ વચ્ચેનું અંતર આશરે $1$ ફર્મી હોય, જે $10^{-15} \,m$ ની બરાબર છે.
આ અંતરથી આગળ, ન્યુક્લિયર બળ ઝડપથી ઘટે છે અને નહિવત થઈ જાય છે.
તેથી, ન્યુક્લિયર બળની રેન્જ $10^{-15} \,m$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
આપેલ છે કે $R_0 \simeq 1.0 \times 10^{-15} \ m$,$\pi \simeq 3$,અને $A = 27$:
$V = \frac{4}{3} \times 3 \times (1.0 \times 10^{-15} \ m)^3 \times 27$.
$V = 4 \times 10^{-45} \times 27 \ m^3 = 108 \times 10^{-45} \ m^3$.
કારણ કે $1 \ \text{Å} = 10^{-10} \ m$,તેથી $1 \ m = 10^{10} \ \text{Å}$,અને $1 \ m^3 = 10^{30} \ (\text{Å})^3$.
$V = 108 \times 10^{-45} \times 10^{30} \ (\text{Å})^3 = 108 \times 10^{-15} \ (\text{Å})^3 \approx 1 \times 10^{-13} \ (\text{Å})^3$.

(A) દળ ક્રમાંક $A$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ માટેનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ એક અચળાંક છે.
આયોડિન $(A_i = 125)$ અને પોલોનિયમ $(A_p = 216)$ માટે દળ ક્રમાંક આપેલ છે.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_i}{R_p} = \frac{R_0 A_i^{1/3}}{R_0 A_p^{1/3}} = \left( \frac{A_i}{A_p} \right)^{1/3}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_i}{R_p} = \left( \frac{125}{216} \right)^{1/3}$.
કારણ કે $125 = 5^3$ અને $216 = 6^3$ છે,તેથી $\frac{R_i}{R_p} = \frac{5}{6}$.
આમ,ગુણોત્તર $5:6$ છે.

(A) ડ્યુટેરોન એ ડ્યુટેરિયમનું ન્યુક્લિયસ છે,જે હાઇડ્રોજનનું એક આઇસોટોપ છે જેને ${ }_1^2 H$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તે એક પ્રોટોન અને એક ન્યુટ્રોનનું બનેલું છે જે પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ દ્વારા એકબીજા સાથે બંધાયેલા હોય છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી સચોટ વર્ણન એ છે કે તે એક પ્રોટોન અને એક ન્યુટ્રોનનું બનેલું છે.

(D) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે, જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ-ક્રમાંક છે。
આપેલ છે:
$R_1 = 1.5 \text{ fermi}$, $A_1 = 125$
$A_2 = 64$
આપણે $R_2$ શોધવાનું છે。
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^{1/3}$
$\frac{1.5}{R_2} = \left( \frac{125}{64} \right)^{1/3}$
$\frac{1.5}{R_2} = \frac{5}{4}$
$R_2 = \frac{1.5 \times 4}{5} = 0.3 \times 4 = 1.2 \text{ fermi}$.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $(R)$ અને દળ ક્રમાંક $(A)$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બે ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$ થાય.
આપેલ છે: $R_1 = 6 \text{ fermi}$,$A_1 = 125$,અને $A_2 = 27$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{6}{R_2} = \left(\frac{125}{27}\right)^{1/3} = \frac{5}{3}$.
$R_2$ માટે ઉકેલતા:
$R_2 = \frac{6 \times 3}{5} = \frac{18}{5} = 3.6 \text{ fermi}$.
કારણ કે $1 \text{ fermi} = 10^{-15} \text{ m}$,તેથી $R_2 = 3.6 \times 10^{-15} \text{ m}$ થાય.

(C) ન્યુક્લિયર ઘનતા દળ ક્રમાંકથી સ્વતંત્ર છે અને તમામ ન્યુક્લિયસ માટે લગભગ અચળ રહે છે,જેનું મૂલ્ય આશરે $\rho \approx 2.3 \times 10^{17} \ kg/m^3$ છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ અને દળ ક્રમાંક $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ એક અચળાંક છે. આનો અર્થ એ થાય કે $R^3 \propto A$,અથવા $R \propto A^{1/3}$.
આપેલ વિધાન $B$ એ $\sqrt{A} \propto R^{1/6}$ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા આપણને $A \propto R^{1/3}$ મળે છે,જે સ્થાપિત સંબંધ $R \propto A^{1/3}$ (અથવા $A \propto R^3$) થી વિરુદ્ધ છે. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.
આમ,$A$ સાચું છે અને $B$ ખોટું છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં સ્થિર રહેલા ન્યુક્લિયસ માટે,બંને ટુકડાઓના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1}$.
આપેલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{1}$ હોવાથી,આપણને $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
ધારો કે ન્યુક્લિયસની ઘનતા $\rho$ અચળ છે,તો દળ $m$ એ કદના પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$.
દળના ગુણોત્તર માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{R_1^3}{R_2^3} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{3}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $\frac{R_1}{R_2} = (\frac{1}{3})^{1/3} = 1 : 3^{1/3}$ મળે છે.

(C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ અને તેના દળ ક્રમાંક $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = R_0 A^{1/3}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V$ એ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$.
આ દર્શાવે છે કે કદ $V$ એ દળ ક્રમાંક $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(V \propto A)$.
જો દળ ક્રમાંક $A$ થી વધારીને $2A$ કરવામાં આવે,તો નવું કદ $V'$ એ $V' \propto 2A$ થશે.
તેથી,$V' = 2V$.

(A) પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળની સાપેક્ષ શક્તિ આશરે $1$ છે.
નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળની સાપેક્ષ શક્તિ આશરે $10^{-13}$ છે.
તેથી,પ્રબળ અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળોની સાપેક્ષ શક્તિઓનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
ગુણોત્તર $= \frac{\text{પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ}}{\text{નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ}} = \frac{1}{10^{-13}} = 10^{13}$.

(C) ન્યુક્લિયર બળો એ પ્રકૃતિમાં સૌથી શક્તિશાળી બળો છે, જે ન્યુક્લિયસની અંદર ખૂબ જ નાના અંતરે (સામાન્ય રીતે $r \approx 10^{-15} \,m$) કાર્ય કરે છે.
આ બળો પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનને એકસાથે બાંધી રાખવા માટે જવાબદાર છે, જે પ્રોટોન વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણને દૂર કરે છે.
તેથી, ન્યુક્લિયર બળો એ ટૂંકા અંતરના આકર્ષી બળો છે.

(A, C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ દળ ક્રમાંક છે.
અહીં $A_A = 64$ અને $A_B = 125$ હોવાથી,$r_A = R_0 (64)^{1/3} = 4R_0$ અને $r_B = R_0 (125)^{1/3} = 5R_0$ મળે.
આમ,$r_A < r_B$ થાય છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(E_{bn})$ માટે,હલકા ન્યુક્લિયસ માટે $E_{bn}$ દળ ક્રમાંક સાથે વધે છે અને $A = 56$ (આયર્ન) ની નજીક મહત્તમ બને છે. $A > 60$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે,$E_{bn}$ ધીમે ધીમે ઘટે છે.
$A_A = 64$ એ $A_B = 125$ કરતા $56$ ની વધુ નજીક હોવાથી,ન્યુક્લિયસ $A$ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ન્યુક્લિયસ $B$ કરતા વધારે છે,એટલે કે $E_{bnA} > E_{bnB}$.
તેથી,વિકલ્પો $A$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(D) પરમાણુ પ્રક્રિયામાં,સમીકરણની બંને બાજુએ કુલ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અને કુલ દળ ક્રમાંક $(A)$ નું સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
ધારો કે $X$ ને ${ }_{Z'}^{A'} X$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${ }_{7}^{14} N + { }_{Z'}^{A'} X \rightarrow { }_{6}^{14} C + { }_{1}^{1} H$.
દળ ક્રમાંક $(A)$ નું સંરક્ષણ: $14 + A' = 14 + 1 \Rightarrow A' = 1$.
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ નું સંરક્ષણ: $7 + Z' = 6 + 1 \Rightarrow 7 + Z' = 7 \Rightarrow Z' = 0$.
$1$ દળ ક્રમાંક અને $0$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતો કણ એ ન્યુટ્રોન છે,જેને ${ }_{0}^{1} n$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં,સમીકરણની બંને બાજુએ કુલ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અને કુલ દળ ક્રમાંક $(A)$ નું સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
આપેલ પ્રક્રિયા: ${ }_4^9 Be + { }_2^4 He \rightarrow { }_6^{12} C + x$
ધારો કે કણ $x$ એ ${ }_Z^A X$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
દળ ક્રમાંક $(A)$ નું સંરક્ષણ: $9 + 4 = 12 + A \Rightarrow 13 = 12 + A \Rightarrow A = 1$.
પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ નું સંરક્ષણ: $4 + 2 = 6 + Z \Rightarrow 6 = 6 + Z \Rightarrow Z = 0$.
દળ ક્રમાંક $1$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $0$ ધરાવતો કણ એ ન્યુટ્રોન છે,જેને ${ }_0^1 n$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_{0}A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_{0}$ એ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
પ્રથમ ન્યુક્લિયસ માટે,$R_{\alpha} = R_{0}\alpha^{1/3}$.
બીજા ન્યુક્લિયસ માટે,$R_{\beta} = R_{0}\beta^{1/3}$.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{R_{\alpha}}{R_{\beta}} = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{1/3}$.
આપેલ છે કે $\beta = 8\alpha$,તેથી આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{R_{\alpha}}{R_{\beta}} = \left(\frac{\alpha}{8\alpha}\right)^{1/3} = \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(C) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
ગોળાકાર ન્યુક્લિયસનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi R^2 = 4 \pi R_0^2 A^{2/3}$ છે.
આમ,$S \propto A^{2/3}$.
પ્રારંભિક દળ ક્રમાંક $A_i = 8$.
પ્રારંભિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S_i \propto (8)^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$.
$10$ પ્રોટોન અને $9$ ન્યુટ્રોનનું શોષણ કર્યા પછી (ઇલેક્ટ્રોન દળ ક્રમાંકમાં ફાળો આપતા નથી),નવો દળ ક્રમાંક $A_f = 8 + 10 + 9 = 27$ થાય છે.
અંતિમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S_f \propto (27)^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9$.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતી ટકાવારી વૃદ્ધિ $\frac{S_f - S_i}{S_i} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી વૃદ્ધિ $= \frac{9 - 4}{4} \times 100 = \frac{5}{4} \times 100 = 125\%$.

(D) આઈસોબાર એટલે એવા ન્યુક્લિયસ કે જેમનો દળ ક્રમાંક $(A)$ સમાન હોય પરંતુ પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ અલગ હોય.
જોડી ${}_{1}^{3}H$ અને ${}_{2}^{3}He$ માટે:
$1$. ${}_{1}^{3}H$ માટે,દળ ક્રમાંક $A = 3$ છે.
$2$. ${}_{2}^{3}He$ માટે,દળ ક્રમાંક $A = 3$ છે.
બંને ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $(A = 3)$ સમાન હોવાથી,તેઓ આઈસોબાર છે.

(D) સંપર્ક બિંદુ પર બેરિયરની સ્થિતિ ઊર્જા (potential energy) $U = k \frac{q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,દરેક ડ્યુટેરોનનો વીજભાર $q_1 = q_2 = e = 1.6 \times 10^{-19}$ $C$ છે.
સંપર્ક બિંદુ પર બે ડ્યુટેરોનના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r = R_1 + R_2 = 2 \text{ fm} + 2 \text{ fm} = 4 \text{ fm} = 4 \times 10^{-15}$ m છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{(9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2) \times (1.6 \times 10^{-19} \text{ C})^2}{4 \times 10^{-15} \text{ m}}$
$U = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{4 \times 10^{-15}}$
$U = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{4 \times 10^{-15}}$
$U = 5.76 \times 10^{-14}$ $J$.

(A) આઈસોટોન્સ એવા પરમાણુઓ છે જેમાં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા સમાન હોય છે.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(N)$ શોધવા માટે,આપણે $N = A - Z$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$^{198}_{80}\text{Hg}$ માટે: $N = 198 - 80 = 118$.
$^{197}_{79}\text{Au}$ માટે: $N = 197 - 79 = 118$.
બંને પરમાણુઓમાં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા સમાન $(118)$ હોવાથી,તેઓ આઈસોટોન્સ છે.
અન્ય વિકલ્પો માટે:
- $^3_1\text{H}$ $(N=2)$ અને $^3_2\text{He}$ $(N=1)$ આઈસોટોન્સ નથી.
- $^{214}_{82}\text{Pb}$ $(N=132)$ અને $^{214}_{83}\text{Bi}$ $(N=131)$ આઈસોટોન્સ નથી.
- $^{12}_6\text{C}$ $(N=6)$ અને $^{14}_6\text{C}$ $(N=8)$ એ આઈસોટોપ્સ છે,આઈસોટોન્સ નથી.

(B) સંબંધ નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક ન્યુક્લાઇડ માટે ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(N)$ સૂત્ર $N = A - Z$ નો ઉપયોગ કરીને ગણીએ છીએ,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$^{197}_{79} \text{Au}$ માટે: $A = 197$,$Z = 79$. તેથી,$N = 197 - 79 = 118$.
$^{198}_{80} \text{Hg}$ માટે: $A = 198$,$Z = 80$. તેથી,$N = 198 - 80 = 118$.
બંને ન્યુક્લાઇડ્સમાં ન્યુટ્રોનની સંખ્યા સમાન $(N = 118)$ હોવાથી,તેમને આઇસોટોન્સ (isotones) તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(B) ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R$ ની ગણતરી $R = R_0 A^{1/3}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0 \approx 1.2 \text{ fm}$ અને $A$ એ ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,ન્યુક્લિયસમાં માત્ર એક પ્રોટોન હોય છે,તેથી દળ ક્રમાંક $A = 1$ થાય.
સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા:
$R = 1.2 \times (1)^{1/3} \text{ fm}$
$R = 1.2 \times 1 \text{ fm} = 1.2 \text{ fm}$.
આમ,હાઇડ્રોજન પરમાણુની ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $1.2 \text{ fm}$ છે.
સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ થાય છે.
અહીં $\frac{4}{3} \pi R_0^3$ અચળ હોવાથી,કદ $V$ એ દળ ક્રમાંક $A$ ના સીધા સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે અને વિધાન $B$ સાચું છે.
દળ ક્ષતિ એટલે ન્યુક્લિયસના ઘટકો (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેનો તફાવત. તેથી,વિધાન $C$ ખોટું છે અને વિધાન $D$ સાચું છે.
આમ,વિધાન $B$ અને $D$ સાચા છે,જ્યારે $A$ અને $C$ ખોટા છે.

(C) ન્યુક્લિયસનું દળ $M = A \times m_p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $m_p$ એ ન્યુક્લિયોનનું સરેરાશ દળ છે (આશરે $1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$).
ન્યુક્લિયસનું કુલ દળ $M = 19.926 \times 10^{-27} \text{ kg}$ આપેલ છે.
આપણે દળ ક્રમાંક $A$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકીએ:
$A = \frac{M}{m_p} = \frac{19.926 \times 10^{-27} \text{ kg}}{1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}} \approx 11.93$.
આ કિંમતને નજીકના પૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,આપણને $A \approx 12$ મળે છે.
આમ,ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $12$ છે.