Earth Magnetism Questions in Hindi

(N/A) डायनेमो प्रभाव एक भौतिक प्रक्रिया है जो यह बताती है कि पृथ्वी जैसा खगोलीय पिंड अपना चुंबकीय क्षेत्र कैसे उत्पन्न करता है।
यह पृथ्वी के बाहरी कोर (outer core) में होता है,जो पिघले हुए लोहे और निकल से बना होता है।
जैसे-जैसे पृथ्वी घूमती है,आंतरिक कोर से निकलने वाली गर्मी के कारण बाहरी कोर में मौजूद पिघली हुई धातु में संवहन (convection) गति होती है।
यह गतिशील,विद्युत का संचालन करने वाला तरल पदार्थ पृथ्वी के मौजूदा चुंबकीय क्षेत्र के साथ परस्पर क्रिया करता है,जिससे तरल के भीतर विद्युत धाराएं प्रेरित होती हैं।
ये धाराएं बदले में अपने स्वयं के चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं,जो पृथ्वी के समग्र चुंबकीय क्षेत्र को मजबूत और बनाए रखती हैं।
इस स्व-स्थायी तंत्र को डायनेमो प्रभाव के रूप में जाना जाता है।

(B) पृथ्वी की चुंबकीय अक्ष उसकी भौगोलिक अक्ष (घूर्णन अक्ष) के सापेक्ष झुकी हुई है।
चुंबकीय अक्ष और भौगोलिक अक्ष के बीच का यह झुकाव कोण लगभग $11.3^{\circ}$ है।

(N/A) $(i)$ चुंबकीय उत्तरी ध्रुव उत्तरी कनाडा में $79.74^{\circ} N$ अक्षांश और $71.8^{\circ} W$ देशांतर पर स्थित है।
$(ii)$ चुंबकीय दक्षिणी ध्रुव अंटार्कटिका में $79.74^{\circ} S$ और $108.22^{\circ} E$ पर स्थित है।

(A) पृथ्वी एक विशाल छड़ चुंबक की तरह कार्य करती है। भौगोलिक उत्तरी ध्रुव के निकट स्थित पृथ्वी के चुंबकीय ध्रुव को $ \text{उत्तरी चुंबकीय ध्रुव} $ के रूप में जाना जाता है।
इसके विपरीत, भौगोलिक दक्षिणी ध्रुव के निकट स्थित पृथ्वी के चुंबकीय ध्रुव को $ \text{दक्षिणी चुंबकीय ध्रुव} $ के रूप में जाना जाता है।
अतः, सही क्रम है: $(i)$ $ \text{उत्तरी चुंबकीय ध्रुव} $, $(ii)$ $ \text{दक्षिणी चुंबकीय ध्रुव} $.

(N/A) $1$. भौगोलिक याम्योत्तर: पृथ्वी पर किसी भी स्थान से गुजरने वाला वह ऊर्ध्वाधर तल जो पृथ्वी के भौगोलिक उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों से होकर गुजरता है,भौगोलिक याम्योत्तर कहलाता है। यह वह तल है जिसमें पृथ्वी की घूर्णन की भौगोलिक अक्ष स्थित होती है।
$2$. चुंबकीय याम्योत्तर: पृथ्वी पर किसी भी स्थान से गुजरने वाला वह ऊर्ध्वाधर तल जो पृथ्वी के चुंबकीय उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों से होकर गुजरता है,चुंबकीय याम्योत्तर कहलाता है। यह वह तल है जिसमें पृथ्वी की चुंबकीय अक्ष स्थित होती है,जो पृथ्वी के चुंबकीय ध्रुवों को जोड़ने वाली रेखा है।

(N/A) चुंबकीय दिक्पात पृथ्वी की सतह पर किसी विशेष स्थान पर चुंबकीय याम्योत्तर (magnetic meridian) और भौगोलिक याम्योत्तर (geographic meridian) के बीच का कोण है।
यह चुंबकीय उत्तर (वह दिशा जहाँ दिक्सूचक की सुई इंगित करती है) और वास्तविक भौगोलिक उत्तर (उत्तरी ध्रुव की दिशा) के बीच के अंतर को दर्शाता है।
यह कोण पृथ्वी पर पर्यवेक्षक की स्थिति के आधार पर भिन्न होता है और पृथ्वी के चुंबकीय ध्रुवों की गति के कारण समय के साथ धीरे-धीरे बदलता रहता है।

(N/A) $(i)$ उच्च अक्षांशों पर दिक्पात अधिक होता है क्योंकि चुंबकीय याम्योत्तर चुंबकीय ध्रुवों की ओर अभिसरित होते हैं।
$(ii)$ भारत में दिक्पात कम है,क्योंकि भारत चुंबकीय ध्रुवों के सापेक्ष निम्न अक्षांश पर स्थित है।

(N/A) $1$. नति कोण (चुंबकीय झुकाव): नति कोण वह कोण है जो पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र किसी दिए गए स्थान पर पृथ्वी की सतह (क्षैतिज दिशा) के साथ बनाता है। यह चुंबकीय भूमध्य रेखा पर $0^{\circ}$ और चुंबकीय ध्रुवों पर $90^{\circ}$ होता है।
$2$. दिक्पात कोण: पृथ्वी की सतह पर किसी विशिष्ट बिंदु पर भौगोलिक याम्योत्तर (सच्ची उत्तर-दक्षिण रेखा) और चुंबकीय याम्योत्तर (पृथ्वी की चुंबकीय धुरी को समाहित करने वाला तल) के बीच के कोण को दिक्पात कोण कहा जाता है।

(N/A) पृथ्वी की सतह पर किसी भी बिंदु पर पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र तीन भौतिक राशियों द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट होता है, जिन्हें पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के तत्व के रूप में जाना जाता है:
$1$. चुंबकीय दिक्पात $(\theta)$: किसी स्थान पर भौगोलिक याम्योत्तर और चुंबकीय याम्योत्तर के बीच का कोण।
$2$. चुंबकीय नति या नमन कोण $(\delta)$: चुंबकीय याम्योत्तर में पृथ्वी के कुल चुंबकीय क्षेत्र सदिश द्वारा क्षैतिज दिशा के साथ बनाया गया कोण।
$3$. पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $(B_H)$: चुंबकीय याम्योत्तर में क्षैतिज दिशा के अनुदिश पृथ्वी के कुल चुंबकीय क्षेत्र सदिश का घटक।

(A) दिया गया है कि,$B_{V} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2m \cos \theta}{r^{3}}$ और $B_{H} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{m \sin \theta}{r^{3}}$.
चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण $B = \sqrt{B_{V}^{2} + B_{H}^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$B^{2} = \left(\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{m}{r^{3}}\right)^{2} (4 \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
$\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta$ का उपयोग करने पर:
$B^{2} = \left(\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{m}{r^{3}}\right)^{2} (3 \cos^{2} \theta + 1)$
$B = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{m}{r^{3}} \sqrt{3 \cos^{2} \theta + 1}$.
$B$ के न्यूनतम होने के लिए,पद $(3 \cos^{2} \theta + 1)$ को न्यूनतम होना चाहिए। यह तब होता है जब $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है $\theta = 90^{\circ}$.
चूंकि $\theta = 90^{\circ} - \text{अक्षांश}$,$\theta = 90^{\circ}$ का अर्थ है $0^{\circ}$ अक्षांश,जो चुंबकीय भूमध्य रेखा है। अतः,वे बिंदु जहाँ $|\vec{B}|$ न्यूनतम है,चुंबकीय भूमध्य रेखा पर स्थित हैं।

(A) नमन कोण $\delta$ को संबंध $\tan \delta = \frac{B_v}{B_H}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
नमन कोण के शून्य होने के लिए,हमारे पास $\tan \delta = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $B_v = 0$।
$B_v$ के लिए दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$B_v = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m \cos \theta}{r^3} = 0$
चूंकि $\frac{\mu_0}{4\pi}$,$m$,और $r^3$ शून्य नहीं हैं,इसलिए $\cos \theta = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $\theta = 90^\circ$।
यह दिया गया है कि $\theta = 90^\circ - \text{अक्षांश}$,इसलिए $90^\circ = 90^\circ - \text{अक्षांश}$,जिसका अर्थ है $\text{अक्षांश} = 0^\circ$।
अतः,उन बिंदुओं का बिंदुपथ जहाँ नमन कोण शून्य है,चुंबकीय भूमध्य रेखा है।

(A) नमन कोण $\delta$ को संबंध $\tan \delta = \frac{B_v}{B_H}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
ऊर्ध्वाधर घटक $B_v$ और क्षैतिज घटक $B_H$ के लिए दिए गए व्यंजक:
$B_v = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m \cos \theta}{r^3}$
$B_H = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m \sin \theta}{r^3}$
इन्हें $\tan \delta$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \delta = \frac{\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2m \cos \theta}{r^3}}{\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m \sin \theta}{r^3}} = \frac{2 \cos \theta}{\sin \theta} = 2 \cot \theta$
हम उन बिंदुओं का बिंदुपथ खोज रहे हैं जहाँ नमन कोण $\delta = \pm 45^{\circ}$ है।
चूंकि $\tan(\pm 45^{\circ}) = \pm 1$,इसलिए हमारे पास है:
$\pm 1 = 2 \cot \theta$
$\cot \theta = \pm 0.5$
$\tan \theta = \pm 2$
चूंकि $\theta = 90^{\circ} - \lambda$ (जहाँ $\lambda$ अक्षांश है),बिंदुओं का बिंदुपथ $\tan(90^{\circ} - \lambda) = \pm 2$ शर्त द्वारा परिभाषित होता है,जो सरल होकर $\cot \lambda = \pm 2$ या $\tan \lambda = \pm 0.5$ हो जाता है।

(N/A) $1$. बिंदु $P$ पर: चूंकि बिंदु $P$,डाइपोल अक्ष और पृथ्वी की अक्ष द्वारा निर्मित तल $S$ में स्थित है,इसलिए चुंबकीय याम्योत्तर (magnetic meridian) भौगोलिक याम्योत्तर के साथ संपाती है। अतः,$P$ पर दिक्पात $0^{\circ}$ है। चूंकि $P$ चुंबकीय भूमध्य रेखा पर स्थित है,इसलिए $P$ पर नति कोण $0^{\circ}$ है।
$2$. बिंदु $Q$ पर: बिंदु $Q$ भौगोलिक और चुंबकीय भूमध्य रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चुंबकीय अक्ष भौगोलिक अक्ष के साथ $11.3^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई है। परिणामस्वरूप,$Q$ पर चुंबकीय याम्योत्तर भौगोलिक याम्योत्तर के साथ $11.3^{\circ}$ का कोण बनाता है। अतः,$Q$ पर दिक्पात $11.3^{\circ}$ है। चूंकि $Q$ चुंबकीय भूमध्य रेखा पर स्थित है,इसलिए $Q$ पर नति कोण $0^{\circ}$ है।

(D) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H = 0.36 \times 10^{-4} \; Wb/m^2$ दिया गया है।
नमन कोण $\delta = 60^{\circ}$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ और क्षैतिज घटक $B_H$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$B_V = B_H \tan \delta$
दिए गए मानों को रखने पर:
$B_V = (0.36 \times 10^{-4}) \times \tan 60^{\circ}$
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1.732$ है:
$B_V = 0.36 \times 10^{-4} \times 1.732$
$B_V \approx 0.6235 \times 10^{-4} \; Wb/m^2$.
दिए गए विकल्प के अनुसार,सही मान $0.622 \times 10^{-4} \; Wb/m^2$ है।

(B) वास्तविक नति कोण $(\delta)$ और चुंबकीय मेरिडियन के साथ $\theta$ कोण पर आभासी नति कोण $(\delta^{\prime})$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\tan \delta^{\prime} = \frac{\tan \delta}{\cos \theta}$.
वास्तविक नति कोण के लिए सूत्र: $\tan \delta = \tan \delta^{\prime} \cos \theta$.
दिया गया है: $\delta^{\prime} = 45^{\circ}$ और $\theta = 30^{\circ}$.
मान रखने पर: $\tan \delta = \tan 45^{\circ} \cos 30^{\circ}$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$ और $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए: $\tan \delta = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,वास्तविक नति कोण $\delta = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ है।

(B) सच्चा नति कोण $(\phi)$ चुंबकीय याम्योत्तर (magnetic meridian) में परिभाषित होता है,जहाँ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H$ है। यह संबंध $\tan \phi = \frac{B_V}{B_H}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_V$ ऊर्ध्वाधर घटक है।
जब नति वृत्त (dip circle) को चुंबकीय याम्योत्तर से $\alpha$ कोण पर घुमाया जाता है,तो क्षैतिज घटक $B_H \cos \alpha$ हो जाता है,जबकि ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ अपरिवर्तित रहता है।
अतः आभासी नति कोण $(\phi^{\prime})$ को $\tan \phi^{\prime} = \frac{B_V}{B_H \cos \alpha} = \frac{\tan \phi}{\cos \alpha}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\cos \alpha \leq 1$,इसलिए $\tan \phi^{\prime} \geq \tan \phi$ होता है। चूंकि टैनजेंट फलन $[0, \pi/2]$ की सीमा में वर्धमान है,इसलिए $\phi^{\prime} \geq \phi$ प्राप्त होता है।
अतः,सच्चा नति कोण $(\phi)$ हमेशा आभासी नति कोण $(\phi^{\prime})$ से कम या उसके बराबर होता है।

(A) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक सूत्र $B_H = B \cos \delta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ कुल चुंबकीय क्षेत्र है और $\delta$ नमन कोण है।
दिया गया है: $B_H = 0.5 \ G$ और $\delta = 30^{\circ}$.
सूत्र में मान रखने पर: $0.5 = B \cos 30^{\circ}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $0.5 = B \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$B$ के लिए हल करने पर: $B = \frac{0.5 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \ G$.

(A) चुंबकीय मेरिडियन के साथ $\alpha$ कोण बनाने वाले तल में आभासी नमन कोण $\theta^{\prime}$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: $\tan \theta^{\prime} = \frac{\tan \theta}{\cos \alpha}$,जहाँ $\theta$ वास्तविक नमन कोण है।
दिया गया है,$\theta^{\prime} = 60^{\circ}$ और $\alpha = 45^{\circ}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan 60^{\circ} = \frac{\tan \theta}{\cos 45^{\circ}}$
$\sqrt{3} = \frac{\tan \theta}{1/\sqrt{2}}$
$\tan \theta = \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$
अतः,वास्तविक नमन कोण $\theta = \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$ है।

(D) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $(B_V)$,परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ और नमन कोण $(\delta)$ के साथ इस सूत्र द्वारा संबंधित है:
$B_V = B \sin \delta$
यहाँ $B_V = 6 \times 10^{-5} \text{ T}$ और $\delta = 37^{\circ}$ दिया गया है।
चूँकि $\tan 37^{\circ} = \frac{3}{4}$,इसलिए त्रिकोणमितीय अनुपात के अनुसार $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$ होगा।
सूत्र में मान रखने पर:
$6 \times 10^{-5} = B \times \frac{3}{5}$
$B = \frac{6 \times 10^{-5} \times 5}{3}$
$B = 2 \times 10^{-5} \times 5$
$B = 10 \times 10^{-5} \text{ T} = 10^{-4} \text{ T}$

(B) अभिविन्यास में कुल परिवर्तन $180^{\circ}$ है।
यह दिया गया है कि परिवर्तन की अवधि $10^5$ वर्ष है।
डिग्री में प्रति वर्ष औसत परिवर्तन $\frac{180^{\circ}}{10^5} = 1.8 \times 10^{-3} \, ^{\circ}/\text{वर्ष}$ है।
हम जानते हैं कि $1^{\circ} = 60 \, \text{मिनट}$ और $1 \, \text{मिनट} = 60 \, \text{सेकंड}$, इसलिए $1^{\circ} = 3600 \, \text{सेकंड}$।
अतः, सेकंड में प्रति वर्ष औसत परिवर्तन $1.8 \times 10^{-3} \times 3600 \, \text{s/वर्ष} = 6.48 \, \text{s/वर्ष}$ है।
इस मान की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, यह $5 \, \text{s}$ के सबसे निकट है।

(B) $r$ दूरी पर एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{wire}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $I = 5.0 \, A$ और $r = 10.0 \, cm = 0.1 \, m$ दिया गया है।
$B_{\text{wire}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5.0}{2 \pi \times 0.1} = 1.0 \times 10^{-5} \, T$.
कंपास की सुई परिणामी चुंबकीय क्षेत्र के साथ संरेखित होती है। विक्षेप पूर्व से उत्तर की ओर $60^{\circ}$ है। सदिश योग की ज्यामिति से,$\tan 60^{\circ} = \frac{B_{\text{wire}}}{B_H}$,जहाँ $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
इसलिए,$B_H = \frac{B_{\text{wire}}}{\tan 60^{\circ}} = \frac{1.0 \times 10^{-5}}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \times 10^{-5} \, T \approx 0.6 \times 10^{-5} \, T$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।

(A) सही उत्तर $A$ है।
डायनेमो सिद्धांत के अनुसार,किसी ग्रह का चुंबकीय क्षेत्र उसके कोर में मौजूद पिघले हुए,विद्युत रूप से प्रवाहकीय पदार्थ की गति से उत्पन्न होता है।
इस चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति सीधे ग्रह की घूर्णन गति से संबंधित होती है।
जो ग्रह तेजी से घूमते हैं,उनके कोर में अधिक जोरदार संवहन और गति होती है,जिसके परिणामस्वरूप एक मजबूत चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है।
इसलिए,बड़ा चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करने वाले ग्रहों की घूर्णन गति अधिक होती है।

(B) नमन कोण (angle of dip) $\theta$ को $\tan \theta = \frac{B_V}{B_H}$ संबंध द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $B_V$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक है और $B_H$ क्षैतिज घटक है।
दिया गया है कि $B_V = \sqrt{3} B_H$.
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $\tan \theta = \frac{\sqrt{3} B_H}{B_H} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए नमन कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
अतः,चुंबकीय सुई क्षैतिज से $60^{\circ}$ नीचे की ओर झुकेगी।

(B) माना $\phi$ वास्तविक नमन कोण है,और $\alpha_1$ तथा $\alpha_2$ एक-दूसरे के लंबवत दो तलों में आभासी नमन कोण हैं।
वास्तविक नमन कोण और आभासी नमन कोण के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\cot^2 \phi = \cot^2 \alpha_1 + \cot^2 \alpha_2$
दिया गया है:
$\alpha_1 = 45^{\circ}$
$\alpha_2 = 30^{\circ}$
मान रखने पर:
$\cot^2 \phi = \cot^2 45^{\circ} + \cot^2 30^{\circ}$
चूंकि $\cot 45^{\circ} = 1$ और $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ है:
$\cot^2 \phi = (1)^2 + (\sqrt{3})^2$
$\cot^2 \phi = 1 + 3 = 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\cot \phi = 2$
अतः,वास्तविक नमन कोण है:
$\phi = \cot^{-1}(2)$

(D) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H = 0.35 \times 10^{-4} \,T$ दिया गया है।
नमन कोण $\delta = 60^{\circ}$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक $(B_V)$,क्षैतिज घटक $(B_H)$ और नमन कोण $(\delta)$ के बीच संबंध का सूत्र है: $B_V = B_H \tan \delta$.
सूत्र में मान रखने पर:
$B_V = (0.35 \times 10^{-4}) \times \tan(60^{\circ})$.
चूंकि $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \approx 1.732$ होता है,इसलिए:
$B_V = 0.35 \times 1.732 \times 10^{-4} \,T$.
$B_V \approx 0.6062 \times 10^{-4} \,T$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$B_V \approx 0.61 \times 10^{-4} \,T$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) चुंबकीय दिक्पात (Magnetic declination) को किसी दिए गए स्थान पर भौगोलिक याम्योत्तर और चुंबकीय याम्योत्तर के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह दिया गया है कि दिक्पात $15^{\circ} \, E$ है,जिसका अर्थ है कि चुंबकीय उत्तर,भौगोलिक उत्तर से $15^{\circ}$ पूर्व की ओर है।
दिए गए चित्र में,दिक्सूचक सुई केंद्रीय तीर की दिशा में इंगित करती है। चूंकि चुंबकीय उत्तर,भौगोलिक उत्तर से $15^{\circ}$ पूर्व में है,इसलिए भौगोलिक उत्तर को चुंबकीय उत्तर (दिक्सूचक सुई की दिशा) से $15^{\circ}$ पश्चिम की ओर होना चाहिए।
चित्र को देखने पर,दिशा $2$ केंद्रीय तीर (चुंबकीय उत्तर) से बाईं ओर (पश्चिम) $15^{\circ}$ पर है।
अतः,दिशा $2$ भौगोलिक उत्तर को दर्शाती है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय सुई की दोलन आवृत्ति $f$,$f \propto \sqrt{B_H}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $B_H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
दिया गया है कि $B_H = B \cos \theta$,जहाँ $B$ कुल चुंबकीय क्षेत्र है और $\theta$ नमन कोण है।
अतः,$f \propto \sqrt{B \cos \theta}$।
माना $\theta_1 = 30^{\circ}$ पर $f_1 = 20 \text{ दोलन/मिनट}$ और $\theta_2 = 60^{\circ}$ पर $f_2 = 30 \text{ दोलन/मिनट}$ है।
$\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{B_1 \cos \theta_1}{B_2 \cos \theta_2}}$
$\frac{20}{30} = \sqrt{\frac{B_1 \cos 30^{\circ}}{B_2 \cos 60^{\circ}}}$
$\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{B_1 (\sqrt{3}/2)}{B_2 (1/2)}} = \sqrt{\frac{B_1 \sqrt{3}}{B_2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4}{9} = \frac{B_1 \sqrt{3}}{B_2} \Rightarrow \frac{B_1}{B_2} = \frac{4}{9\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{81 \times 3}} = \frac{4}{\sqrt{243}}$।
इसे $\frac{4}{\sqrt{x}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 243$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H = 3.5 \times 10^{-5} \,T$ है।
चालक में प्रवाहित धारा $i = \sqrt{2} \,A$ है।
चालक को दक्षिण-पूर्व से उत्तर-पश्चिम दिशा में रखा गया है,जो क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र (उत्तर-दक्षिण दिशा) के साथ $\theta = 45^\circ$ का कोण बनाता है।
धारावाही चालक पर प्रति इकाई लंबाई बल का सूत्र $\frac{F}{\ell} = i B_H \sin \theta$ है।
मान रखने पर: $\frac{F}{\ell} = \sqrt{2} \times (3.5 \times 10^{-5}) \times \sin(45^\circ)$.
चूंकि $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{F}{\ell} = \sqrt{2} \times 3.5 \times 10^{-5} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3.5 \times 10^{-5} \,N/m$.
आवश्यक प्रारूप में बदलने पर: $3.5 \times 10^{-5} = 35 \times 10^{-6} \,N/m$.
अतः,सही मान $35$ है।

(D) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $H = B_e \cos \delta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_e$ पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र है और $\delta$ नमन कोण है।
स्थान $A$ पर,नमन कोण $\delta_A = 30^{\circ}$ है। अतः,क्षैतिज घटक $H_A = B_e \cos 30^{\circ}$ होगा।
स्थान $B$ पर,नमन कोण $\delta_B = 45^{\circ}$ है। अतः,क्षैतिज घटक $H_B = B_e \cos 45^{\circ}$ होगा।
$A$ पर क्षैतिज घटक का $B$ पर क्षैतिज घटक से अनुपात:
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{B_e \cos 30^{\circ}}{B_e \cos 45^{\circ}} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}$
मान रखने पर: $\frac{H_A}{H_B} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $\sqrt{3}: \sqrt{2}$ है।

(B) नमन कोण $(I)$ को पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $(Z_E)$ और क्षैतिज घटक $(H_E)$ के बीच के संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है:
$\tan I = \frac{Z_E}{H_E}$
यह दिया गया है कि क्षैतिज घटक ऊर्ध्वाधर घटक के बराबर है,इसलिए:
$Z_E = H_E$
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\tan I = \frac{Z_E}{Z_E} = 1$
अतः,नमन कोण है:
$I = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$

(D) किसी विशिष्ट स्थान पर चुंबकीय दिक्पात भौगोलिक याम्योत्तर (geographic meridian) और चुंबकीय याम्योत्तर (magnetic meridian) के बीच का कोण होता है। भारत के लिए मानक भौगोलिक और चुंबकीय डेटा के अनुसार,दिल्ली पर चुंबकीय दिक्पात लगभग $0^{\circ} 41^{\prime} E$ है।

(A) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के संदर्भ में,$B_E$ कुल चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता को दर्शाता है,$H_E$ क्षैतिज घटक को दर्शाता है और $Z_E$ ऊर्ध्वाधर घटक को दर्शाता है।
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के सदिश वियोजन के अनुसार,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_E$ इसके क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों का सदिश योग है।
चूंकि ये घटक एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,इसलिए इनका परिमाण पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $B_E = \sqrt{Z_E^2 + H_E^2}$।

(B) नमन कोण $(I)$ को पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $(Z_E)$ और क्षैतिज घटक $(H_E)$ के बीच के संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है:
$\tan I = \frac{Z_E}{H_E}$
दिया गया है कि ऊर्ध्वाधर घटक,क्षैतिज घटक का $\sqrt{3}$ गुना है:
$Z_E = \sqrt{3} H_E$
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\tan I = \frac{\sqrt{3} H_E}{H_E} = \sqrt{3}$
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ होता है,इसलिए:
$I = 60^{\circ}$

(B) पृथ्वी की चुंबकीय विषुवत रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{R^3}$
जहाँ $m$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिए गए मान:
$B = 0.5 \times 10^{-4} \text{ T}$
$R = 6400 \text{ km} = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m A}^{-1}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$0.5 \times 10^{-4} = 10^{-7} \times \frac{m}{(6.4 \times 10^6)^3}$
$m = \frac{0.5 \times 10^{-4} \times (6.4 \times 10^6)^3}{10^{-7}}$
$m = 0.5 \times 10^3 \times (6.4)^3 \times 10^{18}$
$m = 0.5 \times 262.144 \times 10^{21}$
$m = 131.072 \times 10^{21} = 1.31 \times 10^{23} \text{ Am}^2$
अतः,पृथ्वी का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $1.31 \times 10^{23} \text{ Am}^2$ है।

(B) नमन कोण $(I)$ को पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $(Z_{E})$ और क्षैतिज घटक $(H_{E})$ के अनुपात के रूप में इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$\tan I = \frac{Z_{E}}{H_{E}}$
दिया गया है कि नमन कोण $I = 60^{\circ}$ है,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\tan 60^{\circ} = \frac{Z_{E}}{H_{E}}$
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए:
$\sqrt{3} = \frac{Z_{E}}{H_{E}}$
अतः,सही संबंध है:
$Z_{E} = \sqrt{3} H_{E}$

(D) पृथ्वी की सतह पर किसी भी बिंदु पर भौगोलिक याम्योत्तर और चुंबकीय याम्योत्तर के बीच के कोण को चुंबकीय दिक्पात (Magnetic Declination) या केवल दिक्पात के रूप में जाना जाता है।
यह वास्तविक भौगोलिक उत्तर से चुंबकीय दिक्सूचक (कंपास) की सुई के विचलन को दर्शाता है।

(D) दिया गया है:
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक,$B_H = 3 \times 10^{-5} \,T$
नमन कोण,$\delta = 45^{\circ}$
हम जानते हैं कि क्षैतिज घटक $B_H$ और परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$B_H = B \cos \delta$
अतः,परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = \frac{B_H}{\cos \delta}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$B = \frac{3 \times 10^{-5}}{\cos 45^{\circ}}$
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$B = \frac{3 \times 10^{-5}}{1 / \sqrt{2}}$
$B = 3 \sqrt{2} \times 10^{-5} \,T$

(D) आवेशित कणों की कॉस्मिक किरणों की तीव्रता भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर अधिक होती है क्योंकि पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र ध्रुवों पर सबसे शक्तिशाली होता है।
आवेशित कण (कॉस्मिक किरणें) लोरेंत्ज़ बल,$F = q(v \times B)$ के कारण पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र द्वारा विक्षेपित हो जाते हैं।
यह विक्षेपण भूमध्य रेखा के पास अधिक स्पष्ट होता है,जहाँ चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं क्षैतिज होती हैं,जिससे कई आवेशित कण दूर हट जाते हैं।
ध्रुवों पर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं लंबवत होती हैं,जिससे अधिक आवेशित कण सतह तक पहुँच पाते हैं।
कॉस्मिक किरणों की तीव्रता में यह भिन्नता सीधा प्रमाण देती है कि पृथ्वी का अपना चुंबकीय क्षेत्र है।

(B) चुंबकीय ध्रुवों पर,नमन कोण (angle of dip),$\delta = 90^{\circ}$ होता है।
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $(B_{H})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B_{H} = B \cos \delta$
जहाँ $B$ पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र है।
ध्रुवों पर $\delta$ का मान रखने पर:
$B_{H} = B \cos 90^{\circ}$
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है,इसलिए:
$B_{H} = 0$
अतः,चुंबकीय ध्रुवों पर पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक शून्य होता है।

(D) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता पूरी दुनिया में एक समान नहीं है।
यह पृथ्वी की सतह पर एक स्थान से दूसरे स्थान पर बदलती रहती है।
यह भिन्नता इसलिए होती है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता किसी विशेष स्थान पर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के घनत्व पर निर्भर करती है।
चूंकि पृथ्वी की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं समान घनत्व के साथ वितरित नहीं होती हैं,इसलिए भौगोलिक स्थिति के आधार पर चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता बदल जाती है।

(C) दिया गया है: पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $(B_H)$ = $3.0 \ G$। नति कोण $(\delta)$ = $30^{\circ}$।
हम जानते हैं कि पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $B_H = B \cos \delta$,जहाँ $B$ पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3.0 = B \cos 30^{\circ}$
$3.0 = B \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$B = \frac{3.0 \times 2}{\sqrt{3}}$
$B = \frac{6.0}{1.732} \approx 3.464 \ G$
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $B \approx 3.5 \ G$ प्राप्त होता है।
अतः,उस स्थान पर पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र $3.5 \ G$ है।

(B) दिया गया है:
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक,$B_v = 0.45 \ G$
नति कोण,$\delta = 60^{\circ}$
हम जानते हैं कि पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B_v = B \sin \delta$
जहाँ $B$ पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र है।
$B$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$B = \frac{B_v}{\sin \delta}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{0.45}{\sin 60^{\circ}}$
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$:
$B = \frac{0.45}{0.866} \approx 0.5196 \ G$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B \approx 0.52 \ G$

(D) दिया गया है: पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_{H} = 3 \times 10^{-5} \ T$ है।
चुंबकीय दिक्पात $\phi = 30^{\circ}$ है।
दिक्सूचक सुई का चुंबकीय आघूर्ण $M = 18 \ Am^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau$ का सूत्र $\tau = M B_{H} \sin \phi$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau = 18 \times (3 \times 10^{-5}) \times \sin 30^{\circ}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,
$\tau = 18 \times 3 \times 10^{-5} \times 0.5$
$\tau = 54 \times 10^{-5} \times 0.5$
$\tau = 27 \times 10^{-5} \ Nm$.

(A) नमन कोण (dip angle) $\delta$ वह कोण है जो पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र क्षैतिज दिशा के साथ बनाता है। यहाँ,$\delta = 30^{\circ}$ है।
दिया गया है,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H = 0.3 \ G$ है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$,क्षैतिज घटक $B_H$ और नमन कोण $\delta$ के बीच का संबंध $B_H = B \cos \delta$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.3 = B \cos 30^{\circ}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $0.3 = B \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$B$ के लिए हल करने पर: $B = \frac{0.3 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{0.6}{\sqrt{3}} = \frac{0.6 \times \sqrt{3}}{3} = 0.2 \sqrt{3} \ G$.
वैकल्पिक रूप से,$B = \frac{0.6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{10 \sqrt{3}} = \frac{3}{5 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{5} \ G$.

(C) मान लीजिए $\phi$ वास्तविक नति कोण है और $\theta$ चुंबकीय दिक्पात है। जब डिप सर्कल भौगोलिक याम्योत्तर में होता है,तो तल और चुंबकीय याम्योत्तर के बीच का कोण $\theta$ होता है। आभासी नति $\delta_1$ का सूत्र $\tan \delta_1 = \frac{\tan \phi}{\cos \theta}$ है।
जब तल भौगोलिक याम्योत्तर के लंबवत होता है,तो तल और चुंबकीय याम्योत्तर के बीच का कोण $(90^\circ - \theta)$ होता है। आभासी नति $\delta_2$ का सूत्र $\tan \delta_2 = \frac{\tan \phi}{\cos(90^\circ - \theta)} = \frac{\tan \phi}{\sin \theta}$ है।
इन दो समीकरणों से,हमें $\tan \phi = \tan \delta_1 \cos \theta$ और $\tan \phi = \tan \delta_2 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$\tan \phi$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\tan \delta_1 \cos \theta = \tan \delta_2 \sin \theta$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$.
अतः,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}\right)$।

(A) माना $B_e$ दोनों स्थानों पर पृथ्वी का कुल चुंबकीय क्षेत्र है। पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $H$,$H = B_e \cos \delta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\delta$ नति कोण है।
दोनों स्थानों के लिए,क्षैतिज घटकों $H_1$ और $H_2$ का अनुपात है:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{B_e \cos \delta_1}{B_e \cos \delta_2} = \frac{\cos \delta_1}{\cos \delta_2}$
चूँकि $\delta_1 = 30^{\circ}$ और $\delta_2 = 45^{\circ}$ दिया गया है,तो:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
अतः,अनुपात $H_1: H_2 = \sqrt{3}: \sqrt{2}$ होगा।

(C) मान लीजिए कि $\delta$ वास्तविक डिप कोण है और $\theta$ चुंबकीय डेक्लिनेशन है।
जब डिप सर्कल चुंबकीय मेरिडियन में होता है,तो आभासी डिप $\delta$ होता है।
यहाँ,तल भौगोलिक मेरिडियन में सेट है। मान लीजिए $\theta$ भौगोलिक मेरिडियन और चुंबकीय मेरिडियन के बीच का कोण है।
चुंबकीय मेरिडियन के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले तल में आभासी डिप $\delta_1$ का सूत्र $\tan \delta_1 = \frac{\tan \delta}{\cos \theta}$ है।
पहले तल के लंबवत (चुंबकीय मेरिडियन के साथ $90^\circ - \theta$ कोण बनाने वाले) तल में आभासी डिप $\delta_2$ का सूत्र $\tan \delta_2 = \frac{\tan \delta}{\cos(90^\circ - \theta)} = \frac{\tan \delta}{\sin \theta}$ है।
इन दो समीकरणों से,हमें $\tan \delta = \tan \delta_1 \cos \theta$ और $\tan \delta = \tan \delta_2 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों की तुलना करने पर: $\tan \delta_1 \cos \theta = \tan \delta_2 \sin \theta$।
इसलिए,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}$।
अतः,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\tan \delta_1}{\tan \delta_2}\right)$।

(B) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $(B_V)$,क्षैतिज घटक $(B_H)$ और नमन कोण $(\delta)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\tan \delta = \frac{B_V}{B_H}$.
दिया गया है: $B_V = 0.3464 \ G$ और $\delta = 30^{\circ}$.
$B_H$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $B_H = \frac{B_V}{\tan \delta}$.
मान रखने पर: $B_H = \frac{0.3464}{\tan 30^{\circ}}$.
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$,इसलिए $B_H = 0.3464 \times \sqrt{3}$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $B_H = 0.3464 \times 1.732 \approx 0.6 \ G$.

(C) नमन कोण $\theta$,पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ और क्षैतिज घटक $B_H$ के साथ इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\tan \theta = \frac{B_V}{B_H}$.
दिया गया है कि क्षैतिज घटक $B_H$,ऊर्ध्वाधर घटक $B_V$ का $\frac{1}{\sqrt{3}}$ गुना है,अर्थात $B_H = \frac{1}{\sqrt{3}} B_V$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\tan \theta = \frac{B_V}{\frac{1}{\sqrt{3}} B_V} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए नमन कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।