Mix Examples-Current Electricity Questions in Hindi

(A) प्रतिरोध से प्रवाहित आवेश $Q = 2t - 8t^2$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत धारा $I$ समय के सापेक्ष आवेश के परिवर्तन की दर है:
$I = \frac{dQ}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - 8t^2) = 2 - 16t$.
प्रतिरोध $R$ में उत्पन्न ऊष्मा $H$ समय अंतराल के दौरान निम्नलिखित समाकलन द्वारा दी जाती है:
$H = \int_{0}^{t} I^2 R \ dt$.
सीमाओं $0$ से $\frac{1}{8}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$H = \int_{0}^{1/8} (2 - 16t)^2 R \ dt$
$H = R \int_{0}^{1/8} (4 - 64t + 256t^2) \ dt$
$H = R \left[ 4t - 32t^2 + \frac{256t^3}{3} \right]_{0}^{1/8}$
सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर:
$H = R \left[ 4(\frac{1}{8}) - 32(\frac{1}{8})^2 + \frac{256}{3}(\frac{1}{8})^3 \right]$
$H = R \left[ \frac{1}{2} - 32(\frac{1}{64}) + \frac{256}{3}(\frac{1}{512}) \right]$
$H = R \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \right] = \frac{R}{6} \ J$.

(A) रेटेड शक्ति $P_r = 60\, W$ और रेटेड वोल्टेज $V_r = 120\, V$ है। प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V_r^2}{P_r} = \frac{120^2}{60} = 240\, \Omega$ है।
जब तीन समान बल्बों को श्रेणीक्रम में $120\, V$ की आपूर्ति से जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 3R = 3 \times 240 = 720\, \Omega$ होता है।
श्रेणी परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}\, A$ है।
प्रत्येक बल्ब द्वारा व्यय की गई शक्ति $P = I^2 R = (\frac{1}{6})^2 \times 240 = \frac{1}{36} \times 240 = \frac{240}{36} = 6.67\, W \approx 6.7\, W$ है।

(B) दिए गए चित्र $A$ से,हम देखते हैं कि वोल्टेज $V$ धारा $I$ के साथ गैर-रैखिक रूप से बढ़ता है,विशेष रूप से $V$,$I^n$ के समानुपाती है जहाँ $n > 1$ (क्योंकि यह ऊपर की ओर मुड़ा हुआ वक्र है)।
शक्ति $P$ को $P = V \times I$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$V \propto I^n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P \propto I^n \times I = I^{n+1}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n > 1$,घातांक $n+1$ का मान $2$ से अधिक है। इसका तात्पर्य यह है कि $P$ बनाम $I$ का ग्राफ भी ऊपर की ओर मुड़ा हुआ वक्र होगा,जो मूल $V-I$ ग्राफ के समान है लेकिन इसमें वृद्धि अधिक तीव्र है।
इसे दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ में दिया गया ग्राफ ऊपर की ओर मुड़ने वाला संबंध दर्शाता है,जो $P \propto I^{n+1}$ के अनुरूप है जहाँ $n+1 > 2$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही निरूपण है।

(A) पोटेंशियोमीटर को एक आदर्श उपकरण माना जाता है जो सर्किट से नगण्य धारा खींचता है,जिसका अर्थ है कि इसका प्रभावी प्रतिरोध अनंत है। इस प्रकार,प्रारंभिक सर्किट ऐसे व्यवहार करता है जैसे $R$ एमीटर $A$ के माध्यम से सीधे सेल $C$ से जुड़ा हो।
जब पोटेंशियोमीटर को सीमित प्रतिरोध $R_v$ वाले वोल्टमीटर से बदल दिया जाता है,तो वोल्टमीटर $R$ के समानांतर एक प्रतिरोधक के रूप में कार्य करता है। समानांतर संयोजन $(R || R_v)$ का समतुल्य प्रतिरोध $R$ से कम होता है।
चूंकि सर्किट का कुल प्रतिरोध कम हो जाता है,इसलिए आदर्श सेल $C$ से ली जाने वाली कुल धारा बढ़ जाती है। इसलिए,एमीटर का पाठ्यांक $I$ प्रारंभिक पाठ्यांक $I_0$ से अधिक है $(I > I_0)$।
चूंकि एमीटर का प्रतिरोध $R_A$ सीमित है,इसलिए धारा बढ़ने के साथ एमीटर पर वोल्टेज ड्रॉप बढ़ जाता है। चूंकि सेल $C$ आदर्श (स्थिर $EMF$ $E$) है,इसलिए समानांतर संयोजन $(R || R_v)$ पर वोल्टेज $V = E - I R_A$ है। चूंकि $I > I_0$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $V < V_0$।

(C) मान लीजिए कि नोड $F$ पर विभव $0 \ V$ है। तब नोड $C$ पर विभव $V_C$ है। नोड $C$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_C - 30}{4 + 2} + \frac{V_C - 0}{3} + \frac{V_C - 15}{1 + 2} = 0$
$\frac{V_C - 30}{6} + \frac{V_C}{3} + \frac{V_C - 15}{3} = 0$
$6$ से गुणा करने पर:
$(V_C - 30) + 2V_C + 2(V_C - 15) = 0$
$V_C - 30 + 2V_C + 2V_C - 30 = 0$
$5V_C = 60 \implies V_C = 12 \ V$.
बाएँ शाखा में धारा $I_1 = \frac{30 - 12}{6} = 3 \ A$ है।
मध्य शाखा में धारा $I_2 = \frac{12 - 0}{3} = 4 \ A$ है।
दाएँ शाखा में धारा $I_3 = \frac{12 - 15}{3} = -1 \ A$ है (अर्थात धारा $D$ से $C$ की ओर बहती है)।
परिपथ द्वारा खपत की गई शक्ति प्रतिरोधों में व्यय हुई शक्ति का योग है: $P = I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 + I_3^2 R_3$
$P = (3^2 \times 6) + (4^2 \times 3) + ((-1)^2 \times 3) = 54 + 48 + 3 = 105 \ W$.

(B) माना नोड $F$ पर विभव $0 \ V$ है। माना नोड $C$ पर विभव $V_C$ है। नोड $C$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
चूंकि मध्य शाखा में केवल एक बैटरी है,इसलिए $V_C = 6 \ V$ है।
बाएं लूप में धारा $(I_1)$: $I_1 = \frac{30 - 6}{4 + 2} = \frac{24}{6} = 4 \ A$.
दाएं लूप में धारा $(I_2)$: $I_2 = \frac{15 - 6}{1 + 2} = \frac{9}{3} = 3 \ A$.
प्रतिरोधों में व्यय होने वाली शक्ति $P = I_1^2 R_{left} + I_2^2 R_{right}$ है।
$P = (4)^2 \times (4 + 2) + (3)^2 \times (1 + 2) = 16 \times 6 + 9 \times 3 = 96 + 27 = 123 \ W$.

(D) जब $E$ $emf$ और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाली बैटरी को चार्ज किया जाता है,तो धारा $I$ बैटरी के धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश करती है।
बैटरी के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर $V$ समीकरण $V = E + Ir$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $I > 0$ और $r > 0$,इसलिए $V > E$ होता है। अतः,चार्जर के टर्मिनल $A$ और $B$ के बीच विभवांतर $E$ से अधिक होना चाहिए।
चूंकि बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $A$ से और ऋणात्मक टर्मिनल $B$ से जुड़ा है,और धारा बैटरी के माध्यम से $A$ से $B$ की ओर बहती है,इसलिए $A$ को $B$ से उच्च विभव पर होना चाहिए।
चार्जिंग के दौरान बैटरी के अंदर,धारा धनात्मक टर्मिनल से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर बहती है।
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(A) बैटरी के सिरों पर विभवांतर $V$ समीकरण $V = E - ir$ द्वारा दिया जाता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $V = -ri + E$ प्राप्त होता है।
दिए गए ग्राफ से,$V$-अक्ष पर अंतःखंड $E = 10\,V$ है।
$i$-अक्ष पर अंतःखंड शॉर्ट-सर्किट धारा है जब $V = 0$ होता है,जो $i_{max} = E/r = 2\,A$ है।
$E = 10\,V$ और $i_{max} = 2\,A$ का मान रखने पर,हमें $r = E / i_{max} = 10 / 2 = 5\,\Omega$ प्राप्त होता है।
अतः,आंतरिक प्रतिरोध $r = 5\,\Omega$,$emf$ $E = 10\,V$,और अधिकतम धारा $2\,A$ है।
इन विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(D) मान लीजिए बैटरी का वोल्टेज $V = 12\,V$ है। प्रतिरोध $R$ और $8\,\Omega$ का प्रतिरोध समानांतर क्रम में हैं। उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{8R}{8+R}$ है।
यह संयोजन $2\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + 2 = \frac{8R}{8+R} + 2 = \frac{8R + 16 + 2R}{8+R} = \frac{10R + 16}{8+R}$ है।
परिपथ में प्रवाहित कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12(8+R)}{10R+16} = \frac{6(8+R)}{5R+8}$ है।
$2\,\Omega$ के प्रतिरोध में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 \times 2 = 2 \times \left[ \frac{6(8+R)}{5R+8} \right]^2 = 72 \times \frac{(8+R)^2}{(5R+8)^2}$ है।
$P$ को अधिकतम करने के लिए,हम फलन $f(R) = \frac{8+R}{5R+8}$ का विश्लेषण करते हैं।
जैसे $R \to 0$,$f(R) \to \frac{8}{8} = 1$. जैसे $R \to \infty$,$f(R) \to \frac{1}{5} = 0.2$.
चूंकि $f(R)$,$R \ge 0$ के लिए एक घटता हुआ फलन है,इसलिए अधिकतम मान $R = 0$ पर प्राप्त होता है।
$R = 0$ पर,$P = 72 \times \left( \frac{8+0}{0+8} \right)^2 = 72 \times 1^2 = 72\,W$.
अतः,$(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) $1$. चूंकि चालक स्थिर अवस्था में है,इसलिए किसी भी अनुप्रस्थ काट से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ समान होनी चाहिए। अतः,$I_P = I_Q$।
$2$. धारा घनत्व $J = I/A$ होता है। चूंकि क्षेत्रफल $A_P > A_Q$ है,इसलिए धारा घनत्व $J_P < J_Q$ होगा। ओम के नियम के सूक्ष्म रूप के अनुसार,$J = \sigma E$,जहाँ $\sigma$ चालकता है। अतः,$E_P < E_Q$।
$3$. प्रति इकाई समय में उत्पन्न ऊष्मा की दर शक्ति $H = I^2 R$ है। $dx$ लंबाई के एक छोटे खंड के लिए,$dR = \rho \frac{dx}{A}$ होता है। चूंकि $A_P > A_Q$ है,इसलिए प्रतिरोध $R_Q > R_P$ होगा। अतः,$H_Q > H_P$।
$4$. सभी कथन सही हैं।

(D) असमान अनुप्रस्थ काट वाले चालक के लिए, पूरी लंबाई में धारा $I$ स्थिर रहती है। धारा घनत्व $J = I/A(x)$, जहाँ $A(x)$ दूरी $x$ पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है, त्रिज्या $r(x)$ बढ़ती है, इसलिए $A(x)$ बढ़ता है, जिससे $x$ बढ़ने पर $J$ घटता है। विद्युत क्षेत्र $E = \rho J = \rho I / A(x)$ है। चूंकि $A(x)$ बढ़ता है, इसलिए $x$ बढ़ने पर $E$ घटता है।
प्रति इकाई लंबाई में ऊष्मा उत्पन्न होने की दर $H = I^2 R_{unit} = I^2 (\rho / A(x))$ है। चूंकि $A(x)$ बढ़ता है, इसलिए $x$ बढ़ने पर $H$ घटता है। अतः $H$ बनाम $x$ का ग्राफ एक घटता हुआ वक्र है।
साथ ही, $H = I^2 \rho / A(x)$ और $E = I \rho / A(x)$। इसलिए, $H = I E$। यह दर्शाता है कि $H, E$ के सीधे आनुपातिक है $(H \propto E)$। अतः $H$ बनाम $E$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
इस प्रकार, ग्राफ $(C)$ सही है और ग्राफ $(B)$ भी गुणात्मक रूप से सही है। इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) लूप्स के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करते हुए:
लूप $AFDBEA$ के लिए (मान लीजिए धारा $i_1$ दक्षिणावर्त है):
$E_F - E_E = i_1(r_F + r_E + R) - R i_2$
$1 - 2 = i_1(1 + 2 + 2) - 2 i_2 \Rightarrow 5 i_1 - 2 i_2 = -1 \dots(1)$
लूप $CGDBHC$ के लिए (मान लीजिए धारा $i_2$ दक्षिणावर्त है):
$E_H - E_G = i_2(r_H + r_G + R) - R i_1$
$1 - 3 = i_2(1 + 3 + 2) - 2 i_1 \Rightarrow -2 i_1 + 6 i_2 = -2 \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर: $15 i_1 - 6 i_2 = -3 \dots(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $13 i_1 = -5 \Rightarrow i_1 = -5/13\, A$
$i_1$ का मान $(1)$ में रखने पर: $5(-5/13) - 2 i_2 = -1 \Rightarrow -25/13 + 1 = 2 i_2 \Rightarrow i_2 = -6/13\, A$
विभवांतर $V_D - V_B = R(i_2 - i_1) = 2(-6/13 - (-5/13)) = 2(-1/13) = -2/13\, V$.
$G$ के सिरों के बीच विभवांतर: $V_G = E_G + i_2 r_G = 3 + (-6/13)(3) = 3 - 18/13 = 21/13\, V$.
$H$ के सिरों के बीच विभवांतर: $V_H = E_H - i_2 r_H = 1 - (-6/13)(1) = 1 + 6/13 = 19/13\, V$.

(D) एक चतुष्फलक में $4$ शीर्ष और $6$ किनारे होते हैं। मान लीजिए शीर्ष $A, B, C, D$ हैं। प्रत्येक किनारे का प्रतिरोध $r$ है।
किन्हीं दो बिंदुओं,मान लीजिए $A$ और $B$ के बीच समतुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को फिर से बना सकते हैं।
पथ $A-B$ प्रतिरोध $r$ वाला एक सीधा किनारा है।
पथ $A-C-B$ में श्रेणीक्रम में दो किनारे हैं,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $r$ है,जो कुल $2r$ देता है।
पथ $A-D-B$ में भी श्रेणीक्रम में दो किनारे हैं,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $r$ है,जो कुल $2r$ देता है।
इस प्रकार,$A$ और $B$ के बीच के परिपथ में तीन समानांतर शाखाएं हैं: एक $r$ प्रतिरोध के साथ,एक $2r$ के साथ,और एक $2r$ के साथ।
दिए गए सभी आरेख इस नेटवर्क को देखने या सरल बनाने के विभिन्न तरीकों का प्रतिनिधित्व करते हैं,और वे सभी एक ही विद्युत परिपथ के टोपोलॉजिकल समतुल्य निरूपण हैं।
इसलिए,सभी आरेख सही हैं।

(A) थर्मोइलेक्ट्रिक श्रृंखला में,ठंडे जंक्शन पर विद्युत धारा के प्रवाह की दिशा उस धातु से होती है जो श्रृंखला में बाद में आती है,उस धातु की ओर जो श्रृंखला में पहले आती है।
एंटीमनी-बिस्मथ थर्मोकपल के लिए,थर्मोइलेक्ट्रिक श्रृंखला का क्रम बिस्मथ और उसके बाद एंटीमनी है।
इसलिए,ठंडे जंक्शन पर,धारा एंटीमनी से बिस्मथ की ओर बहती है।
यह एक निरंतर लूप बनाता है जहाँ गर्म जंक्शन पर धारा बिस्मथ से एंटीमनी की ओर बहती है।

(B) मान लीजिए $j$ धारा घनत्व है।
चूंकि धारा $I$ एक अर्धगोलीय सतह पर फैलती है,$j \times 2 \pi r^2 = I$,जिससे $j = \frac{I}{2 \pi r^2}$ प्राप्त होता है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,विद्युत क्षेत्र $E = \rho j = \frac{\rho I}{2 \pi r^2}$ है।
$A$ पर प्रवेश करने वाली धारा $I$ के कारण $B$ और $C$ बिंदुओं के बीच विभवांतर $\Delta V_{BC, A} = V_B - V_C = \int_{r_B}^{r_C} E dr = \int_{a}^{a+b} \frac{\rho I}{2 \pi r^2} dr = \frac{\rho I}{2 \pi} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{a}^{a+b} = \frac{\rho I}{2 \pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} \right)$ है।
इसी प्रकार,$D$ पर बाहर निकलने वाली धारा $I$ के लिए,विभवांतर $\Delta V_{BC, D}$ भी $\frac{\rho I}{2 \pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} \right)$ है।
अध्यारोपण सिद्धांत के अनुसार,कुल विभवांतर $\Delta V = \Delta V_{BC, A} + \Delta V_{BC, D} = 2 \times \frac{\rho I}{2 \pi} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+b} \right) = \frac{\rho I}{\pi a} - \frac{\rho I}{\pi(a+b)}$ है।

(D) सबसे पहले,$R = V^2 / P$ का उपयोग करके प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_1 = (220)^2 / 25 = 1936\ \Omega$
$R_2 = (220)^2 / 100 = 484\ \Omega$
श्रेणीक्रम में कुल प्रतिरोध $R_{eff} = R_1 + R_2 = 1936 + 484 = 2420\ \Omega$ है।
श्रेणी परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I = V_{supply} / R_{eff} = 440 / 2420 = 44 / 242 = 2 / 11\ A \approx 0.1818\ A$ है।
अब,$I_{rated} = P / V$ का उपयोग करके प्रत्येक बल्ब के लिए अधिकतम रेटेड धारा की गणना करें:
$25\ W$ बल्ब के लिए: $I_{1,rated} = 25 / 220 = 5 / 44 \approx 0.1136\ A$.
$100\ W$ बल्ब के लिए: $I_{2,rated} = 100 / 220 = 5 / 11 \approx 0.4545\ A$.
परिपथ की धारा $I$ की तुलना रेटेड धाराओं से करने पर:
चूंकि $I (0.1818\ A) > I_{1,rated} (0.1136\ A)$,इसलिए $25\ W$ का बल्ब फ्यूज हो जाएगा।
चूंकि $I (0.1818\ A) < I_{2,rated} (0.4545\ A)$,इसलिए $100\ W$ का बल्ब फ्यूज नहीं होगा।

(A) बल्ब की शक्ति $P_b = 60\, W$ है। बल्ब का प्रतिरोध $R_b = \frac{V^2}{P_b} = \frac{120^2}{60} = 240\,\Omega$ है।
लीड तारों का प्रतिरोध $R_L = 6\,\Omega$ है।
हीटर चालू करने से पहले बल्ब के सिरों पर वोल्टेज: $V_1 = \frac{R_b}{R_b + R_L} \times 120 = \frac{240}{240 + 6} \times 120 = \frac{240}{246} \times 120 \approx 117.07\, V$ है।
हीटर की शक्ति $P_h = 240\, W$ है। हीटर का प्रतिरोध $R_h = \frac{V^2}{P_h} = \frac{120^2}{240} = 60\,\Omega$ है।
जब हीटर बल्ब के समानांतर में होता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R_b \times R_h}{R_b + R_h} = \frac{240 \times 60}{240 + 60} = \frac{14400}{300} = 48\,\Omega$ है।
हीटर चालू करने के बाद बल्ब के सिरों पर वोल्टेज: $V_2 = \frac{R_p}{R_p + R_L} \times 120 = \frac{48}{48 + 6} \times 120 = \frac{48}{54} \times 120 \approx 106.67\, V$ है।
वोल्टेज में कमी $= V_1 - V_2 = 117.07 - 106.67 = 10.4\, V$ है।

(A) $Cu$ जैसी धातु के लिए,सीमित तापमान सीमा में प्रतिरोध $R$,तापमान $T$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,जिसे $R = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ प्रतिरोध का तापमान गुणांक है।
$Si$ जैसे आंतरिक (अनडोपेड) अर्धचालक के लिए,तापमान बढ़ने पर आवेश वाहकों की संख्या घातांकीय रूप से बढ़ती है,जिससे प्रतिरोध में घातांकीय कमी आती है,जिसे $\rho = \rho_0 e^{E_g / k_B T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_g$ बैंड गैप ऊर्जा है और $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।

(A) परिपथ में एक बैटरी $V_0$ एक प्रतिरोधक $R$ और प्रतिरोधकों के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई है। प्रारंभ में,सभी स्विच खुले हैं। जब कोई स्विच $S_n$ बंद किया जाता है,तो यह संबंधित प्रतिरोधक $nR$ को शॉर्ट-सर्किट कर देता है।
जैसे-जैसे स्विच $S_1, S_2, \dots, S_6$ को $1 \text{ minute}$ के अंतराल पर क्रमिक रूप से बंद किया जाता है,परिपथ का कुल प्रतिरोध कम हो जाता है।
ओम के नियम के अनुसार,$I = V/R_{eq}$। चूंकि प्रत्येक चरण के साथ कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ घटता है,इसलिए धारा $I$ को प्रत्येक चरण पर बढ़ना चाहिए।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जो ग्राफ समय के साथ धारा में चरणबद्ध वृद्धि दिखाता है,वह ग्राफ $A$ है।

(B) $E$ विद्युत वाहक बल और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले सेल से जुड़े बाहरी प्रतिरोध $R$ में व्यय होने वाली शक्ति $P$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$P = I^2 R$
चूंकि धारा $I = \frac{E}{R+r}$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$P = \left( \frac{E}{R+r} \right)^2 R = \frac{E^2 R}{(R+r)^2}$
$P$ का $R$ के साथ परिवर्तन ज्ञात करने के लिए,हम फलन $P(R) = \frac{E^2 R}{(R+r)^2}$ का विश्लेषण करते हैं।
$1$. जब $R = 0$ होता है,तो $P = 0$ होता है।
$2$. जब $R \to \infty$ होता है,तो $P \to 0$ होता है।
$3$. अधिकतम शक्ति तब व्यय होती है जब $R = r$ होता है,जहाँ $P_{max} = \frac{E^2}{4r}$ होता है।
यह व्यवहार एक ऐसे वक्र के अनुरूप है जो मूल बिंदु से शुरू होता है,$R = r$ पर अधिकतम मान तक बढ़ता है,और उसके बाद जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है,यह शून्य की ओर घटता जाता है। यह ग्राफ $B$ के आकार से मेल खाता है।

(A) जब दो तत्व $P$ और $Q$ श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो दोनों से बहने वाली धारा $i$ समान होती है,और संयोजन पर कुल विभवांतर $V$ प्रत्येक तत्व पर विभवांतर का योग होता है: $V = V_P + V_Q$.
दिए गए ग्राफ से,तत्व $P$ के लिए,धारा $i$,$V_P$ के साथ $10 \text{ V}$ तक रैखिक रूप से बढ़ती है (जहाँ $i = 1 \text{ A}$) और $V_P > 10 \text{ V}$ के लिए $1 \text{ A}$ पर स्थिर रहती है।
तत्व $Q$ के लिए,धारा $i$,$V_Q$ के साथ बढ़ती है और $V_Q = 10 \text{ V}$ पर $1 \text{ A}$ तक पहुँचती है।
श्रेणीक्रम में होने पर,दी गई धारा $i$ (जहाँ $0 \le i \le 1 \text{ A}$) के लिए,कुल वोल्टेज $V = V_P(i) + V_Q(i)$ है।
$i = 0$ पर,$V = 0 + 0 = 0 \text{ V}$.
$i = 1 \text{ A}$ पर,$V = 10 \text{ V} + 10 \text{ V} = 20 \text{ V}$.
चूंकि $V_P$ रैखिक है और $V_Q$ गैर-रैखिक (वक्र) है,इसलिए योग $V = V_P + V_Q$ भी एक वक्र होगा जो $i = 1 \text{ A}$ पर $20 \text{ V}$ तक पहुँचता है।
$i > 1 \text{ A}$ के लिए,तत्व $P$ $1 \text{ A}$ से अधिक धारा का संचालन नहीं कर सकता है,इसलिए श्रेणी संयोजन $1 \text{ A}$ से अधिक धारा का संचालन नहीं कर सकता है।
इस प्रकार,ग्राफ को $i = 1 \text{ A}$ और $V = 20 \text{ V}$ पर समाप्त होने वाला एक वक्र दिखाना चाहिए,जिसके बाद $i > 1 \text{ A}$ के लिए $V = 20 \text{ V}$ पर एक सीधी खड़ी रेखा होनी चाहिए। यह ग्राफ $A$ के अनुरूप है।

(D) जब $S_2$ खुला है और $S_1$ स्थिति $2$ पर है,तो परिपथ $a, b, c, d$ का श्रेणी संयोजन है। चूंकि $P = I^2 R$,और $b$ सबसे अधिक चमकीला है,इसलिए $R_b$ सबसे बड़ा है। चूंकि $c$ और $d$ सबसे कम और समान हैं,इसलिए $R_c = R_d$ है। श्रेणी परिपथ में $P_b > P_a > P_c = P_d$ मिलता है,जिसका अर्थ है $R_b > R_a > R_c = R_d$।
जब $S_2$ बंद है और $S_1$ स्थिति $1$ पर है,तो परिपथ विन्यास बदल जाता है। लैंप $b$ और $c$ अब समानांतर में हैं,और यह संयोजन $a$ और $d$ के साथ श्रेणी में है। समानांतर संयोजन पर वोल्टेज $V_0$ मान लें,तो $P'_b = V_0^2 / R_b$ और $P'_c = V_0^2 / R_c$। चूंकि $R_b > R_c$,इसलिए $P'_c > P'_b$ मिलता है।
लैंप $a$ और $d$ के लिए,उनमें कुल धारा $I$ बहती है। चूंकि $R_a > R_d$,इसलिए $P'_a = I^2 R_a > P'_d = I^2 R_d$।
समानांतर शाखा और श्रेणी घटकों की तुलना करने पर,समानांतर शाखा में शक्ति $P'_c = I_2^2 R_c = [I (R_b / (R_b + R_c))]^2 R_c$ है। चूंकि $R_b > R_c$,समानांतर भाग का प्रभावी प्रतिरोध $R_d$ से कम है,जिससे $P'_a > P'_d > P'_c > P'_b$ प्राप्त होता है।

(B) परिवर्तनीय प्रतिरोध $R$ को दी गई अधिकतम शक्ति ज्ञात करने के लिए, हम अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय (Maximum Power Transfer Theorem) का उपयोग करते हैं। इस प्रमेय के अनुसार, शक्ति तब अधिकतम होती है जब $R = R_{th}$ हो, जहाँ $R_{th}$ प्रतिरोध $R$ के टर्मिनलों के पार थेवेनिन समतुल्य प्रतिरोध है।
$1$. थेवेनिन वोल्टेज ($V_{th}$ या $V_{ab}$) ज्ञात करें: $R$ को हटा दें और टर्मिनल $a$ और $b$ के पार ओपन-सर्किट वोल्टेज की गणना करें। $6 \, \Omega$ और $3 \, \Omega$ के प्रतिरोध $12 \, V$ स्रोत के पार वोल्टेज विभाजक बनाते हैं। $3 \, \Omega$ के प्रतिरोध के पार वोल्टेज $V_{ab} = 12 \times \frac{3}{6+3} = 12 \times \frac{3}{9} = 4 \, V$ है।
$2$. थेवेनिन प्रतिरोध ($R_{th}$ या $R_{ab}$) ज्ञात करें: वोल्टेज स्रोत को शॉर्ट करें। अब $6 \, \Omega$ और $3 \, \Omega$ के प्रतिरोध समानांतर क्रम में हैं, और यह संयोजन $8 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में है। अतः, $R_{ab} = 8 + \frac{6 \times 3}{6+3} = 8 + \frac{18}{9} = 8 + 2 = 10 \, \Omega$ है।
$3$. अधिकतम शक्ति की गणना करें: $P_{\max} = \frac{V_{ab}^2}{4 R_{ab}} = \frac{4^2}{4 \times 10} = \frac{16}{40} = 0.4 \, W$।

(D) $Skin \text{ } Effect$ नामक घटना के कारण $A.C.$ धारा का अधिकांश भाग चालक की सतह के पास प्रवाहित होता है।
$A.C.$ संचरण के लिए, एक मोटे तार का उपयोग करना अक्षम है क्योंकि तार का आंतरिक भाग बहुत कम धारा ले जाता है।
कई पतले तारों का उपयोग करने से, कुल सतह क्षेत्र बढ़ जाता है, जो $A.C.$ के लिए प्रभावी प्रतिरोध को कम करता है और दक्षता में सुधार करता है।
$D.C.$ संचरण के लिए, धारा चालक के अनुप्रस्थ काट में समान रूप से वितरित होती है, इसलिए एक मोटा तार या कई पतले तार दोनों प्रभावी ढंग से कार्य करेंगे।
अतः, $A.C.$ के लिए बहु-तार अधिक उपयुक्त हैं, जबकि $D.C.$ के लिए दोनों प्रकार के तार उपयुक्त हैं।

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं,इसलिए संधारित्र शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल के सापेक्ष बिंदु $a$ पर विभव प्रतिरोधकों के लिए वोल्टेज डिवाइडर नियम द्वारा निर्धारित होता है: $V_a = \frac{\varepsilon R_2}{R_1 + R_2}$.
इसी प्रकार,ऋणात्मक टर्मिनल के सापेक्ष बिंदु $b$ पर विभव संधारित्रों के लिए वोल्टेज डिवाइडर नियम द्वारा निर्धारित होता है: $V_b = \frac{\varepsilon C_1}{C_1 + C_2}$.
बिंदु $a$ और $b$ के बीच विभवांतर शून्य होने के लिए,$V_a = V_b$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{\varepsilon R_2}{R_1 + R_2} = \frac{\varepsilon C_1}{C_1 + C_2}$.
इसे सरल करने पर,$R_2(C_1 + C_2) = C_1(R_1 + R_2)$.
$R_2 C_1 + R_2 C_2 = C_1 R_1 + C_1 R_2$.
$R_2 C_2 = R_1 C_1$.

(D) $R$ प्रतिरोध वाले रियोस्टेट के सिरों पर विभवांतर $V$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = IR = \left( \frac{E}{R+r} \right) R = \frac{E}{1 + \frac{r}{R}}$
$R$ के संबंध में $V$ के व्यवहार का विश्लेषण करने पर:
$1$. जब $R = 0$,तब $V = 0$ होता है।
$2$. जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है,$\frac{r}{R}$ पद घटता है,इसलिए $V$ बढ़ता है।
$3$. जैसे-जैसे $R \to \infty$,$\frac{r}{R} \to 0$,इसलिए $V \to E$ होता है।
ग्राफ मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होता है और जैसे-जैसे $R$ बढ़ता है,यह $E$ मान के करीब पहुँचता है। यह एक ऊपर की ओर उत्तल वक्र के अनुरूप है। अतः,सही ग्राफ विकल्प $D$ में दर्शाया गया है।

(C) धारा $I$ और अपवाह वेग $v_d$ के बीच का संबंध $I = n e A v_d$ है,जहाँ $n$ आवेश वाहक घनत्व है,$e$ आवेश है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि $v_d \propto \sqrt{E}$,इसलिए:
$I \propto v_d \propto \sqrt{E}$
तार की लंबाई $L$ के लिए विद्युत क्षेत्र $E$ और विभवांतर $V$ के बीच का संबंध $E = V/L$ है,अर्थात $E \propto V$.
इस मान को धारा के समानुपाती संबंध में रखने पर:
$I \propto \sqrt{V}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$I^2 \propto V$
यह एक परवलयिक संबंध को दर्शाता है जहाँ $V, I^2$ के समानुपाती है $(V = k I^2)$। यह मूल बिंदु से शुरू होने वाला और ऊपर की ओर मुड़ा हुआ (concave up) वक्र है। दिए गए विकल्पों में से,वह ग्राफ जो यह दर्शाता है कि $V, I$ की तुलना में अधिक तेजी से बढ़ रहा है,सही ग्राफ है।

(C) धात्विक फिलामेंट (जैसे टंगस्टन) का प्रतिरोध तापमान के साथ बढ़ता है। जब बल्ब को $ON$ किया जाता है,तो फिलामेंट कमरे के तापमान पर होता है,इसलिए इसका प्रतिरोध बहुत कम होता है। ओम के नियम $I = V/R$ के अनुसार,शुरुआत में फिलामेंट से बहुत अधिक सर्ज करंट प्रवाहित होता है। यह उच्च धारा अचानक थर्मल शॉक और यांत्रिक तनाव पैदा करती है,जिससे फिलामेंट के टूटने (फ्यूज होने) की संभावना बढ़ जाती है। जैसे-जैसे बल्ब गर्म होता है,प्रतिरोध बढ़ता है और धारा अपने निर्धारित मान पर स्थिर हो जाती है। अतः,दोनों कथन सत्य हैं और कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(A) परिपथ में $12\,V$ का वोल्टेज स्रोत,$8\,\Omega$ के प्रतिरोध और परिवर्तनीय प्रतिरोध $R$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,जो फिर $2\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
मान लीजिए $R_p$,$8\,\Omega$ और $R$ के समानांतर संयोजन का समतुल्य प्रतिरोध है,जो $R_p = \frac{8R}{8+R}$ द्वारा दिया जाता है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + 2 = \frac{8R}{8+R} + 2$ है।
$2\,\Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12}{\frac{8R}{8+R} + 2} = \frac{12(8+R)}{8R + 16 + 2R} = \frac{12(8+R)}{10R + 16}$ है।
$2\,\Omega$ के प्रतिरोध में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 \times 2 = 2 \times \left[ \frac{12(8+R)}{10R + 16} \right]^2$ है।
$P$ को अधिकतम करने के लिए,हमें धारा $I$ को अधिकतम करने की आवश्यकता है। धारा $I$ तब अधिकतम होती है जब कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ न्यूनतम होता है।
$R_{eq} = \frac{8R}{8+R} + 2$। चूंकि $R$ एक प्रतिरोध है,$R \ge 0$। फलन $f(R) = \frac{8R}{8+R}$,$R$ का एक वर्धमान फलन है। अतः,$R_{eq}$ तब न्यूनतम होता है जब $R = 0$ हो।
जब $R = 0$ होता है,तो समानांतर संयोजन शॉर्ट सर्किट हो जाता है,इसलिए $R_p = 0$।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 0 + 2 = 2\,\Omega$ हो जाता है।
धारा $I = \frac{12\,V}{2\,\Omega} = 6\,A$।
$2\,\Omega$ के प्रतिरोध में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R_{fixed} = (6)^2 \times 2 = 36 \times 2 = 72\,W$ है।

(C) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले बल्ब $(40\,W, 220\,V)$ के लिए,$R_1 = \frac{220^2}{40} = 1210\,\Omega$.
दूसरे बल्ब $(60\,W, 220\,V)$ के लिए,$R_2 = \frac{220^2}{60} = 806.67\,\Omega$.
श्रेणीक्रम में,कुल प्रतिरोध $R_s = R_1 + R_2 = \frac{220^2}{40} + \frac{220^2}{60} = 220^2 \left( \frac{3+2}{120} \right) = 220^2 \left( \frac{5}{120} \right) = \frac{220^2}{24}$.
श्रेणीक्रम में प्रभावी शक्ति $P_1 = \frac{V^2}{R_s} = \frac{220^2}{220^2/24} = 24\,W$.
समांतर क्रम में,प्रभावी शक्ति $P_2 = P_1' + P_2' = 40\,W + 60\,W = 100\,W$.
अतः,अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{24}{100} = 0.24$।

(A) दिया गया आवेश $Q = at - bt^2$ है।
विद्युत धारा $I$ आवेश के प्रवाह की दर है: $I = \frac{dQ}{dt} = a - 2bt$.
धारा $t_0$ समय पर शून्य हो जाती है जब $a - 2bt_0 = 0$,जिससे $t_0 = \frac{a}{2b}$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोध $R$ में उत्पन्न ऊष्मा $H$ को $H = \int_0^{t_0} I^2 R \, dt$ द्वारा दिया जाता है।
$I = a - 2bt$ प्रतिस्थापित करने पर:
$H = \int_0^{a/2b} (a - 2bt)^2 R \, dt = R \int_0^{a/2b} (a^2 - 4abt + 4b^2t^2) \, dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$H = R \left[ a^2t - 2abt^2 + \frac{4b^2t^3}{3} \right]_0^{a/2b}$.
ऊपरी सीमा $t = \frac{a}{2b}$ रखने पर:
$H = R \left[ a^2(\frac{a}{2b}) - 2ab(\frac{a^2}{4b^2}) + \frac{4b^2}{3}(\frac{a^3}{8b^3}) \right]$
$H = R \left[ \frac{a^3}{2b} - \frac{a^3}{2b} + \frac{a^3}{6b} \right] = \frac{a^3R}{6b}$.

(A) स्थिति $1$: जब वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत माना जाता है (आदर्श वोल्टमीटर)।
इस स्थिति में,वोल्टमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। परिपथ में $600 \, \Omega$ और $400 \, \Omega$ के प्रतिरोधक $12 \, V$ के स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
$400 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज,वोल्टेज विभाजक नियम के अनुसार:
$V_{1} = 12 \times \frac{400}{600 + 400} = 12 \times \frac{400}{1000} = 4.8 \, V$.
स्थिति $2$: जब वोल्टमीटर का प्रतिरोध $(1200 \, \Omega)$ ध्यान में रखा जाता है।
वोल्टमीटर,$400 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है। इस समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध:
$R_{p} = \frac{400 \times 1200}{400 + 1200} = \frac{480000}{1600} = 300 \, \Omega$.
अब,परिपथ में $600 \, \Omega$ का प्रतिरोधक और $300 \, \Omega$ का तुल्य प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं।
समांतर संयोजन पर वोल्टेज (जो वोल्टमीटर का पाठ्यांक है) होगा:
$V_{2} = 12 \times \frac{300}{600 + 300} = 12 \times \frac{300}{900} = 4 \, V$.
प्रतिशत त्रुटि की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{Error} = \frac{V_{1} - V_{2}}{V_{1}} \times 100 \% = \frac{4.8 - 4}{4.8} \times 100 \% = \frac{0.8}{4.8} \times 100 \% = \frac{1}{6} \times 100 \% = 16.67 \%$.

(D) सेल का टर्मिनल विभवांतर $V$,सूत्र $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ विद्युत वाहक बल है,$I$ ली गई धारा है,और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
यह दिया गया है कि आंतरिक प्रतिरोध $r$,धारा $I$ के समानुपाती है,इसलिए हम $r = kI$ लिख सकते हैं,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
इसे विभवांतर के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = E - I(kI) = E - kI^2$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $V = E - kI^2$ एक नीचे की ओर खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है जो $I = 0$ पर $V = E$ से शुरू होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ में दिया गया ग्राफ $V$-अक्ष से शुरू होने वाला नीचे की ओर खुलने वाला वक्र दर्शाता है,जो प्राप्त संबंध से मेल खाता है।

(C) बल्ब का प्रतिरोध $R = V^2 / P$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पहले बल्ब के लिए, $R_1 = 220^2 / 40$।
दूसरे बल्ब के लिए, $R_2 = 220^2 / 60$।
श्रेणीक्रम में, प्रभावी प्रतिरोध $R_s = R_1 + R_2$ होता है। खपत की गई शक्ति $P_1 = V^2 / (R_1 + R_2)$ है।
समानांतर क्रम में, प्रभावी प्रतिरोध $R_p = (R_1 R_2) / (R_1 + R_2)$ होता है। खपत की गई शक्ति $P_2 = V^2 / R_p = V^2 (R_1 + R_2) / (R_1 R_2)$ है।
अनुपात $P_1 / P_2 = [V^2 / (R_1 + R_2)] / [V^2 (R_1 + R_2) / (R_1 R_2)] = (R_1 R_2) / (R_1 + R_2)^2$ है।
मान रखने पर: $P_1 / P_2 = (40 \times 60) / (40 + 60)^2 = 2400 / 10000 = 0.24$।

(B) एक थर्मोकपल में थर्मो-e.m.f. $(E)$ संबंध $E = \alpha \theta + \frac{1}{2} \beta \theta^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ जंक्शनों के बीच तापमान का अंतर है।
उदासीन तापमान $(\theta_n)$ पर,थर्मो-e.m.f. अधिकतम होता है।
गणितीय रूप से,e.m.f. के अधिकतम होने के लिए,तापमान के सापेक्ष $E$ का प्रथम अवकलज शून्य होना चाहिए।
इसलिए,$\theta = \theta_n$ पर $\frac{dE}{d\theta} = 0$ होता है।
यह अवकलज $\frac{dE}{d\theta}$ तापमान के साथ थर्मो-e.m.f. के बढ़ने की दर को दर्शाता है।
अतः,उदासीन तापमान पर,थर्मो-e.m.f. के बढ़ने की दर शून्य होती है।

(D) फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,जमा हुए पदार्थ का द्रव्यमान $m = ZIt$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z$ विद्युत-रासायनिक तुल्यांक है,$I$ धारा है और $t$ समय है।
यह दिया गया है कि विद्युत-रासायनिक तुल्यांक $Z$ संख्यात्मक रूप से जमा हुए द्रव्यमान $m$ के बराबर है,इसलिए $m = Z$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $Z = ZIt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $Z$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $Z \neq 0$),हमें $1 = It$ प्राप्त होता है।
यहाँ $t = 0.25\,s$ दिया गया है,इसलिए $1 = I \times 0.25$ होगा।
अतः,$I = \frac{1}{0.25} = 4\,A$।

(B) मान लीजिए $I_1$ वह धारा है जो $5\,\Omega$ प्रतिरोध से होकर बहती है और $I_2$ वह धारा है जो $(6+9)\,\Omega$ शाखा से होकर बहती है।
यह दिया गया है कि $5\,\Omega$ प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $20.00\,cal/s$ है,इसलिए:
$P_1 = I_1^2 R_1 = 20.00\,cal/s$
$I_1^2 \times 5 = 20 \implies I_1^2 = 4 \implies I_1 = 2\,A$.
बिंदुओं $C$ और $D$ के बीच विभवांतर $V_{CD} = I_1 \times 5 = 2 \times 5 = 10\,V$ है।
ऊपरी शाखा $(6\,\Omega + 9\,\Omega)$ से प्रवाहित धारा $I_2 = \frac{V_{CD}}{6+9} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\,A$ है।
$2\,\Omega$ प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I = I_1 + I_2 = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\,A$ है।
$2\,\Omega$ प्रतिरोध में प्रति सेकंड उत्पन्न ऊष्मा $P = I^2 R = \left(\frac{8}{3}\right)^2 \times 2 = \frac{64}{9} \times 2 = \frac{128}{9} \approx 14.22\,cal/s$ है।

(D) परिपथ $I$ में,कुंजी (स्विच) खुली है,जिसका अर्थ है कि परिपथ अधूरा है। इसलिए,प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है $(I = 0 \ A)$। ओम के नियम के अनुसार,प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V = I \times R = 0 \times 2 = 0 \ V$ होता है। अतः,वोल्टमीटर $0 \ V$ का पाठ्यांक देता है।
परिपथ $II$ में,कुंजी बंद है,जिससे परिपथ पूर्ण हो जाता है। धारा प्रतिरोधक से होकर बहती है। चूंकि बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध नहीं दिया गया है,इसलिए हम इसे आदर्श मानते हैं। बैटरी का पूरा विद्युत वाहक बल $(2 \ V)$,$2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर दिखाई देता है। इसलिए,वोल्टमीटर $2 \ V$ का पाठ्यांक देता है।

(D) बैटरी का धनात्मक टर्मिनल उच्चतम विभव वाला बिंदु होता है,न कि निम्नतम। इसलिए,कथन गलत है।
बाह्य परिपथ में,धारा धनात्मक टर्मिनल (उच्च विभव) से ऋणात्मक टर्मिनल (निम्न विभव) की ओर बहती है। कारण में कहा गया है कि धारा उच्च विभव वाले बिंदु की ओर बहती है,जो कि गलत है। अतः,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(A) हीटर की विद्युत शक्ति बल्ब की तुलना में काफी अधिक होती है। चूंकि $P = V^2/R$ होता है,इसलिए $R \propto 1/P$ होता है,जिसका अर्थ है कि हीटर का प्रतिरोध बल्ब के प्रतिरोध से बहुत कम होता है।
जब हीटर को समानांतर में चालू किया जाता है,तो स्रोत से ली जाने वाली कुल धारा बढ़ जाती है। स्रोत के आंतरिक प्रतिरोध (या लाइन प्रतिरोध) के कारण,बल्ब के सिरों पर टर्मिनल वोल्टेज गिर जाता है,जिससे बल्ब धीमा हो जाता है।
जैसे-जैसे हीटर की कुंडली गर्म होती है,पदार्थ के धनात्मक ताप गुणांक के कारण उसका प्रतिरोध बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप,हीटर द्वारा ली जाने वाली धारा कम हो जाती है,टर्मिनल वोल्टेज वापस बढ़ जाता है और बल्ब की चमक बढ़ जाती है (धीमापन कम हो जाता है)।

(D) दिए गए परिपथ में, बैटरी $E$, एमीटर $A$, प्रतिरोधक $R$, और वोल्टमीटर $V$ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होता है, जो परिपथ में किसी भी धारा को प्रवाहित होने से रोकता है।
चूंकि आदर्श वोल्टमीटर के अनंत प्रतिरोध के कारण परिपथ प्रभावी रूप से खुला है, एमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{E}{R + R_V} = \frac{E}{R + \infty} = 0$ है।
इसलिए, एमीटर का पाठ्यांक $0$ है।
वोल्टमीटर शेष परिपथ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा हुआ है। आदर्श वोल्टमीटर के सिरों पर विभवांतर बैटरी के कुल $EMF$ के बराबर होगा, यानी $V = E$। अतः, वोल्टमीटर का पाठ्यांक शून्य नहीं है।
इसलिए, कथन गलत है, और कारण भी गलत है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध $R$ है।
स्थिति $(i)$: सभी छह बल्ब जल रहे हैं। अनुभाग $A$ में $3$ बल्ब समानांतर में हैं,और अनुभाग $B$ में $3$ बल्ब समानांतर में हैं। ये दोनों अनुभाग श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq_1} = (R/3) + (R/3) = 2R/3$ है। खपत की गई शक्ति $P_1 = E^2 / R_{eq_1} = 3E^2 / 2R$ है।
स्थिति $(ii)$: अनुभाग $A$ से दो बल्ब समानांतर में हैं (प्रतिरोध $R/2$) और अनुभाग $B$ से एक बल्ब इस संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq_2} = R/2 + R = 3R/2$ है। खपत की गई शक्ति $P_2 = E^2 / R_{eq_2} = 2E^2 / 3R$ है।
शक्ति खपत का अनुपात $P_1 : P_2 = (3E^2 / 2R) : (2E^2 / 3R) = 9 : 4$ है।

$(A)$ जब एक असमान अनुप्रस्थ काट वाले धात्विक चालक में स्थिर धारा प्रवाहित होती है, तो चालक से प्रवाहित होने वाली धारा $(I)$ स्थिर रहती है क्योंकि किसी भी बिंदु पर आवेश का संचय नहीं हो सकता है। चूंकि $I = J A = n e v_d A$, जहां $J$ धारा घनत्व है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v_d$ अपवाह वेग है, इसलिए $J$, $E$ (विद्युत क्षेत्र) और $v_d$ क्षेत्रफल $A$ के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। अतः, वे अनुप्रस्थ काट के साथ बदलते रहते हैं।
$(b)$ नहीं, ओम का नियम सार्वभौमिक रूप से लागू नहीं होता है। जो तत्व ओम के नियम का पालन नहीं करते हैं उन्हें गैर-ओमीय चालक कहा जाता है। उदाहरणों में वैक्यूम डायोड, अर्धचालक और जंक्शन डायोड शामिल हैं।
$(c)$ संबंध $I = \frac{\varepsilon}{R + r}$ के अनुसार, जहां $\varepsilon$ विद्युत वाहक बल है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है, कम वोल्टेज स्रोत $(\varepsilon)$ से उच्च धारा $(I)$ प्राप्त करने के लिए, आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ बहुत कम होना चाहिए।
$(d)$ एक उच्च तनाव $(HT)$ आपूर्ति का आंतरिक प्रतिरोध बहुत अधिक होना चाहिए ताकि धारा को सुरक्षित सीमा के भीतर रखा जा सके। यदि आंतरिक प्रतिरोध कम होता है, तो शॉर्ट सर्किट की स्थिति में बहुत अधिक धारा प्रवाहित हो सकती है, जो खतरनाक हो सकती है और उपकरणों को नुकसान पहुंचा सकती है।

(A) $1$ दिन ($5$ घंटे) में बिजली की खपत $10$ यूनिट है।
$1$ घंटे में खपत बिजली $P = 10/5 = 2$ यूनिट = $2000$ $W$ है।
चूंकि $P = VI$,धारा $I = P/V = 2000/220 \approx 9.09$ $A$ है।
तांबे के तार का प्रतिरोध $R = \rho l / A = \rho l / (\pi r^2) = (1.7 \times 10^{-8} \times 10) / (3.14 \times (10^{-3})^2) = 1.7 \times 10^{-7} / 3.14 \times 10^{-6} \approx 0.054$ $\Omega$ है।
तार में व्यय शक्ति $P_{loss} = I^2 R = (9.09)^2 \times 0.054 \approx 4.46$ $W$ है।
व्यय शक्ति का अंश = $P_{loss} / P_{total} = 4.46 / 2000 \approx 0.00223$ या $0.223\%$ है।
यदि एल्युमिनियम का उपयोग किया जाता है,तो $\rho_{Al} = 2.7 \times 10^{-8} \, \Omega m$ है।
चूंकि $R \propto \rho$,प्रतिरोध $2.7/1.7 \approx 1.59$ के गुणक से बढ़ जाएगा।
इस प्रकार,एल्युमिनियम के तार में बिजली की हानि तांबे के तार की तुलना में लगभग $1.59$ गुना अधिक होगी।

(A) श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq,s} = nR = 10n \; \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total,s} = 10 + 10n \; \Omega$ है।
श्रेणीक्रम परिपथ में धारा $I_s = \frac{20}{10 + 10n} = \frac{2}{1 + n} \; A$ है।
समांतर क्रम संयोजन में,प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq,p} = \frac{R}{n} = \frac{10}{n} \; \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total,p} = 10 + \frac{10}{n} = \frac{10n + 10}{n} \; \Omega$ है।
समांतर क्रम परिपथ में धारा $I_p = \frac{20}{\frac{10n + 10}{n}} = \frac{20n}{10(n + 1)} = \frac{2n}{n + 1} \; A$ है।
यह दिया गया है कि धारा $20$ गुना बढ़ जाती है,इसलिए $I_p = 20 I_s$ है।
मान रखने पर: $\frac{2n}{n + 1} = 20 \times \frac{2}{n + 1}$।
समान पदों को काटने पर,हमें $2n = 40$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $n = 20$।

(C) सबसे पहले, परिपथ को सरल करें। दो $4\, \Omega$ प्रतिरोधों का समानांतर संयोजन $2\, \Omega$ है। दो $8\, \Omega$ प्रतिरोधों का समानांतर संयोजन $4\, \Omega$ है। दो $12\, \Omega$ प्रतिरोधों का समानांतर संयोजन $6\, \Omega$ है।
ऊपरी शाखा में प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं: $2\, \Omega$ ($4\, \Omega || 4\, \Omega$ से) + $2\, \Omega$ + $R_{p1}$ (जहाँ $R_{p1} = 15\, \Omega || 10\, \Omega = 6\, \Omega$)। ऊपरी शाखा का कुल प्रतिरोध $R_1 = 2 + 2 + 6 = 10\, \Omega$ है।
निचली शाखा में प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं: $4\, \Omega$ ($8\, \Omega || 8\, \Omega$ से) + $6\, \Omega$ ($12\, \Omega || 12\, \Omega$ से) = $10\, \Omega$ है।
ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं, इसलिए उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq_branches} = (10\, \Omega || 10\, \Omega) = 5\, \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 5\, \Omega + 1\, \Omega$ (आंतरिक) $= 6\, \Omega$ है।
कुल धारा $I = V / R_{total} = 12\, V / 6\, \Omega = 2\, A$ है।
यह धारा दो $10\, \Omega$ शाखाओं में समान रूप से विभाजित होती है, इसलिए ऊपरी शाखा से $1\, A$ धारा प्रवाहित होती है।
$15\, \Omega || 10\, \Omega$ समानांतर संयोजन पर विभवांतर $V_{AB} = I_{upper} \times R_{p1} = 1\, A \times 6\, \Omega = 6\, V$ होगा।

(B) चरण $1$: बर्फ का द्रव्यमान ज्ञात करें।
$m = \rho A \ell = 10^3 \times 10^{-4} \times 1 = 0.1\, kg$.
चरण $2$: बर्फ के तापमान को $-10^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक बढ़ाने और उसे पिघलाने के लिए आवश्यक कुल ऊर्जा $Q$ ज्ञात करें।
$Q = mc_{ice}\Delta T + mL_f$
$Q = 0.1 \times (2 \times 10^3 \times 10) + 0.1 \times (3.33 \times 10^5)$
$Q = 2 \times 10^3 + 3.33 \times 10^4 = 3.53 \times 10^4\, J$.
चरण $3$: प्रतिरोधक द्वारा उत्पन्न ऊष्मा का उपयोग करके समय $t$ ज्ञात करें।
$Q = I^2Rt$
$3.53 \times 10^4 = (0.5)^2 \times (4 \times 10^3) \times t$
$3.53 \times 10^4 = 1000 \times t$
$t = 35.3\, s$.

(A) अनुगमन वेग $v_{d} = \frac{e E}{m} \tau$ द्वारा दिया जाता है। अतः, $(A) \rightarrow (R)$।
विद्युत प्रतिरोधकता $\rho$ को विद्युत क्षेत्र और धारा घनत्व के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, $\rho = \frac{E}{J}$। अतः, $(B) \rightarrow (S)$।
विश्रांति काल $\tau$ प्रतिरोधकता से $\rho = \frac{m}{n e^{2} \tau}$ द्वारा संबंधित है, जिसका अर्थ है $\tau = \frac{m}{n e^{2} \rho}$। अतः, $(C) \rightarrow (P)$।
धारा घनत्व $J$ को $J = n e v_{d}$ द्वारा दिया जाता है। अतः, $(D) \rightarrow (Q)$।
अतः, सही मिलान $(A)-(R), (B)-(S), (C)-(P), (D)-(Q)$ है।

(C) कथन $I$ का विश्लेषण:
जब $R = 80\,\Omega$ प्रतिरोध वाले तार को $4$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $r = R/4 = 80/4 = 20\,\Omega$ हो जाता है।
जब इन $4$ प्रतिरोधों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होता है:
$1/R_{eq} = 1/r + 1/r + 1/r + 1/r = 4/r = 4/20 = 1/5$.
अतः,$R_{eq} = 5\,\Omega$। कथन $I$ सही है।
कथन $II$ का विश्लेषण:
जब प्रतिरोध समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होता है।
$t$ समय में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा (ऊष्मा) $H = (V^2/R)t$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$H \propto 1/R$.
$3\,R$ और $2\,R$ में उत्पन्न ऊष्मीय ऊर्जा का अनुपात:
$H_{3R} / H_{2R} = (V^2 / 3R) / (V^2 / 2R) = 2R / 3R = 2/3$.
अनुपात $2:3$ है,न कि $3:2$। कथन $II$ गलत है।
निष्कर्ष: कथन $I$ सही है लेकिन कथन $II$ गलत है।

(A) जब दो अलग-अलग धातुओं के बीच के जंक्शन से एक स्थिर धारा $I$ प्रवाहित होती है,तो उनकी चालकता में अंतर के कारण संपर्क सतह पर आवेश संचय होता है।
धारा घनत्व $J$ को $J = \sigma E$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ चालकता है और $E$ विद्युत क्षेत्र है। चूंकि दोनों छड़ों के लिए धारा $I$ और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ समान हैं,इसलिए धारा घनत्व $J = I/A$ स्थिर रहता है।
जंक्शन पर,धारा की निरंतरता के लिए धारा घनत्व का लंबवत घटक निरंतर होना चाहिए। हालाँकि,विद्युत क्षेत्र $E = J/\sigma$ को बदलना होगा क्योंकि तांबे की चालकता $\sigma$ लोहे की चालकता से अधिक है $(\sigma_{Cu} > \sigma_{Fe})$।
गॉस के नियम के अनुसार,इंटरफ़ेस पर सतह आवेश घनत्व $\rho_s$ को $\rho_s = \epsilon_0 (E_{Fe} - E_{Cu})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $\sigma_{Cu} > \sigma_{Fe}$,इसलिए $E_{Fe} > E_{Cu}$ होता है। इस प्रकार,$\rho_s$ धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि स्थिर धारा प्रवाह को बनाए रखने के लिए तांबे की ओर धनात्मक आवेश और लोहे की ओर ऋणात्मक आवेश संचित होता है।
अतः,सही निरूपण विकल्प $(A)$ और $(B)$ में दिखाया गया है।