Mix Examples-Current Electricity Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि अनंत लैडर नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध $X$ है।
पहले परिपथ के लिए,अनुभाग $AB$ के दाईं ओर का प्रतिरोध $X$ है। अतः,कुल प्रतिरोध $X$ इस प्रकार है:
$X = R + \frac{6R \cdot X}{6R + X}$
$X(6R + X) = R(6R + X) + 6RX$
$6RX + X^2 = 6R^2 + RX + 6RX$
$X^2 - RX - 6R^2 = 0$
इस द्विघात समीकरण को $X$ के लिए हल करने पर:
$X = \frac{R \pm \sqrt{R^2 - 4(1)(-6R^2)}}{2} = \frac{R \pm \sqrt{25R^2}}{2} = \frac{R \pm 5R}{2}$
चूंकि प्रतिरोध ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $X = \frac{6R}{2} = 3R$.
हालाँकि,दिए गए परिपथ को देखते हुए,लैडर सीमित है। दो परिपथों का तुल्य प्रतिरोध समान रखने के लिए,हम अंतिम शाखा के प्रतिरोध को $X$ के बराबर रखते हैं।
दिए गए परिपथों के लिए,समानता की शर्त $X = R + \frac{6R(R+X)}{6R+R+X}$ है।
$X^2 + RX - 6R^2 = 0$
$(X+3R)(X-2R) = 0$
अतः,$X = 2R$.

(B) माना $a$ समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई है,$r$ वृत्त की त्रिज्या है और $x$ तार का प्रति इकाई लंबाई का प्रतिरोध है। तब,$L = 3a = 2 \pi r$,जिससे $a = L / 3$ और $r = L / (2 \pi)$ प्राप्त होता है।
विन्यास $1$ में,$AB$ के बीच तुल्य प्रतिरोध एक भुजा (प्रतिरोध $ax$) और दो भुजाओं (प्रतिरोध $2ax$) का समानांतर संयोजन है:
$R_{AB} = \frac{(ax)(2ax)}{ax + 2ax} = \frac{2a^2 x^2}{3ax} = \frac{2}{3} ax = \frac{2}{3} \left( \frac{L}{3} \right) x = \frac{2Lx}{9}$.
व्ययित शक्ति $P_1 = \frac{V^2}{R_{AB}} = \frac{9V^2}{2Lx}$ है।
विन्यास $2$ में,$PQ$ के बीच तुल्य प्रतिरोध दो अर्धवृत्तों का समानांतर संयोजन है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $\pi r$ (प्रतिरोध $\pi rx$) है:
$R_{PQ} = \frac{(\pi rx)(\pi rx)}{\pi rx + \pi rx} = \frac{\pi rx}{2} = \frac{\pi (L / 2\pi) x}{2} = \frac{Lx}{4}$.
व्ययित शक्ति $P_2 = \frac{V^2}{R_{PQ}} = \frac{4V^2}{Lx}$ है।
व्ययित शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{9V^2 / 2Lx}{4V^2 / Lx} = \frac{9}{8}$ है।

(D) दिए गए $V-I$ ग्राफ से:
$1$. $E$ से $F$ तक:
ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,इसलिए $V = IR$। ढाल स्थिर है,$R = \frac{V}{I} = \frac{V_0}{I_0} = R_0$। अतः,प्रतिरोध $R_0$ पर स्थिर रहता है।
$2$. $F$ से $G$ तक:
वोल्टेज $V$,$V_0$ पर स्थिर है,जबकि धारा $I$,$I_0$ से बढ़कर $2I_0$ हो जाती है। प्रतिरोध $R = \frac{V}{I}$,$\frac{V_0}{I_0} = R_0$ से बदलकर $\frac{V_0}{2I_0} = \frac{R_0}{2}$ हो जाता है। जैसे-जैसे $I$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,$R$,$R_0$ से घटकर $\frac{R_0}{2}$ हो जाता है।
$3$. $G$ से $H$ तक:
धारा $I$,$2I_0$ पर स्थिर है,जबकि वोल्टेज $V$,$V_0$ से बढ़कर $2V_0$ हो जाता है। प्रतिरोध $R = \frac{V}{I}$,$\frac{V_0}{2I_0} = \frac{R_0}{2}$ से बदलकर $\frac{2V_0}{2I_0} = R_0$ हो जाता है। जैसे-जैसे $V$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,$R$,$\frac{R_0}{2}$ से बढ़कर $R_0$ हो जाता है।
इन परिवर्तनों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,सही आलेख विकल्प $(d)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) परिपथ में $25 \,\Omega$ का प्रतिरोध,$20 \,\Omega$ और $60 \,\Omega$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
सबसे पहले,समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_p = \frac{20 \times 60}{20 + 60} = \frac{1200}{80} = 15 \,\Omega$.
अब,$25 \,\Omega$ प्रतिरोध वाली शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{branch} = 25 \,\Omega + 15 \,\Omega = 40 \,\Omega$ है।
इस शाखा के सिरों के बीच विभवांतर $V_{AB} = I \times R = 0.1 \,A \times 40 \,\Omega = 4 \,V$ है।
यही विभवांतर $V_{AB}$ दाईं ओर के $20 \,\Omega$ प्रतिरोध पर भी लागू होता है।
अतः,$20 \,\Omega$ प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_{20} = \frac{V_{AB}}{20 \,\Omega} = \frac{4 \,V}{20 \,\Omega} = 0.2 \,A$ है।
किरचॉफ के जंक्शन नियम के अनुसार,नोड $A$ पर,$80 \,\Omega$ प्रतिरोध से प्रवाहित कुल धारा दोनों शाखाओं की धाराओं का योग है:
$I_{total} = 0.1 \,A + 0.2 \,A = 0.3 \,A$.

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध $R$ है और प्रत्येक बैटरी का वोल्टेज $V$ है।
परिपथ $(P)$ के लिए: तीन बल्ब एक बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $= 3R$। शक्ति $P_P = \frac{V^2}{3R} \approx 0.33 \frac{V^2}{R}$।
परिपथ $(Q)$ के लिए: तीन बल्ब एक बैटरी के साथ समांतर क्रम में हैं। कुल प्रतिरोध $= R/3$। शक्ति $P_Q = \frac{V^2}{R/3} = \frac{3V^2}{R} = 3 \frac{V^2}{R}$।
परिपथ $(R)$ के लिए: एक बल्ब एक बैटरी से जुड़ा है। कुल प्रतिरोध $= R$। शक्ति $P_R = \frac{V^2}{R} = 1 \frac{V^2}{R}$।
परिपथ $(S)$ के लिए: एक बल्ब श्रेणीक्रम में दो बैटरी से जुड़ा है। कुल वोल्टेज $= 2V$। कुल प्रतिरोध $= R$। शक्ति $P_S = \frac{(2V)^2}{R} = \frac{4V^2}{R} = 4 \frac{V^2}{R}$।
मानों की तुलना करने पर: $0.33 \frac{V^2}{R} < 1 \frac{V^2}{R} < 3 \frac{V^2}{R} < 4 \frac{V^2}{R}$।
अतः,शक्ति खपत का बढ़ता क्रम $P < R < Q < S$ है।

(B) माना प्रत्येक प्रतिरोध $R$ है और बैटरी का वोल्टेज $V$ है।
श्रेणीक्रम में,कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 4R$ होता है।
व्यय होने वाली शक्ति $P_s = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{4R} = 5 \, W$ है।
इससे हमें $\frac{V^2}{R} = 20 \, W$ प्राप्त होता है।
समांतर क्रम में,कुल प्रतिरोध $R_{eq}' = \frac{R}{4}$ होता है।
व्यय होने वाली कुल शक्ति $P_p = \frac{V^2}{R_{eq}'} = \frac{V^2}{R/4} = 4 \left( \frac{V^2}{R} \right)$ है।
मान रखने पर,$P_p = 4 \times 20 = 80 \, W$ प्राप्त होता है।

(A) माना $R_1 = 100 \, \Omega$ टंगस्टन तार का प्रतिरोध है और $\alpha_1 = 4.5 \times 10^{-3} \, ^{\circ}C^{-1}$ इसका ताप गुणांक है।
माना $R_2 = R$ जर्मेनियम तार का प्रतिरोध है और $\alpha_2 = -5 \times 10^{-2} \, ^{\circ}C^{-1}$ इसका ताप गुणांक है।
श्रेणी संयोजन का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ है।
कुल प्रतिरोध के तापमान से स्वतंत्र रहने के लिए,तापमान के सापेक्ष कुल प्रतिरोध में परिवर्तन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\frac{dR_{eq}}{dT} = 0$।
चूंकि $R_{eq} = R_1(1 + \alpha_1 \Delta T) + R_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$,प्रतिरोध के स्थिर रहने की शर्त $R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2 = 0$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(100)(4.5 \times 10^{-3}) + R(-5 \times 10^{-2}) = 0$
$0.45 = R(5 \times 10^{-2})$
$R = \frac{0.45}{0.05} = 9 \, \Omega$.

(A) प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{60} \, \Omega$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ऐसे $10$ बल्ब श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eq}} = 10 \times R = 10 \times \frac{220^2}{60} \, \Omega$ होगा।
जब $220 \, V$ की आपूर्ति से जोड़ा जाता है,तो परिपथ में व्यय कुल शक्ति $P_{\text{total}} = \frac{V^2}{R_{\text{eq}}}$ है।
मान रखने पर: $P_{\text{total}} = \frac{220^2}{10 \times \frac{220^2}{60}} = \frac{60}{10} = 6 \, W$।

(B) $1$. $3\, \Omega$ और $6\, \Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies R_p = 2\, \Omega$.
$2$. परिपथ का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें:
$R_{total} = R_p + 4.5\, \Omega + r_1 + r_2 = 2 + 4.5 + 0.5 + 1 = 8\, \Omega$.
$3$. परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल $(EMF)$ ज्ञात करें:
सेल विपरीत दिशा में जुड़े हैं, इसलिए $E_{net} = 8\, V - 4\, V = 4\, V$.
$4$. परिपथ में बहने वाली कुल धारा $(I)$ ज्ञात करें:
$I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{4\, V}{8\, \Omega} = 0.5\, A$.
$5$. $3\, \Omega$ के प्रतिरोध से बहने वाली धारा $(I_1)$ ज्ञात करने के लिए करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करें:
$I_1 = I \times \left( \frac{R_{other}}{R_1 + R_{other}} \right) = 0.5 \times \left( \frac{6}{3+6} \right) = 0.5 \times \frac{6}{9} = 0.5 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\, A$.
$6$. दिया गया है कि $I_1 = \frac{x}{3}\, A$, इसलिए $\frac{x}{3} = \frac{1}{3}$, जिसका अर्थ है कि $x = 1$.

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करते हैं,इसलिए उनसे कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ में तीन प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं: $4 \ \Omega$,$2 \ \Omega$ (गैल्वेनोमीटर),और $6 \ \Omega$।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 4 + 2 + 6 = 12 \ \Omega$।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{12 \ \Omega} = 0.5 \ A$ है।
मान लीजिए नोड्स $A$ (बाएं),$B$ (ऊपर),$C$ (नीचे),और $D$ (दाएं) हैं। $C_1$ के सिरों पर विभवांतर नोड्स $A$ और $C$ के बीच का विभवांतर है। $C_2$ के सिरों पर विभवांतर नोड्स $B$ और $D$ के बीच का विभवांतर है।
$A$ पर विभव = $6 \ V$,$D$ पर विभव = $0 \ V$।
$B$ पर विभव = $V_A - I \times 4 \ \Omega = 6 - 0.5 \times 4 = 4 \ V$।
$C$ पर विभव = $V_B - I \times 2 \ \Omega = 4 - 0.5 \times 2 = 3 \ V$।
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर $(V_{C1})$ = $V_A - V_C = 6 - 3 = 3 \ V$।
$C_2$ के सिरों पर विभवांतर $(V_{C2})$ = $V_B - V_D = 4 - 0 = 4 \ V$।
आवेश $q_1 = C_1 \times V_{C1} = 4 \ \mu F \times 3 \ V = 12 \ \mu C$।
आवेश $q_2 = C_2 \times V_{C2} = 6 \ \mu F \times 4 \ V = 24 \ \mu C$।
अनुपात $\frac{q_1}{q_2} = \frac{12 \ \mu C}{24 \ \mu C} = \frac{1}{2}$।

(A) हीटर की पावर रेटिंग $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ प्रतिरोध है।
चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए $R = \frac{V^2}{P}$ होगा।
हीटर $A$ के लिए,$P_A = 1 \text{ kW}$,इसलिए $R_A = \frac{V^2}{1}$।
हीटर $B$ के लिए,$P_B = 2 \text{ kW}$,इसलिए $R_B = \frac{V^2}{2}$।
अतः,$R_A = 2R_B$।
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_S = R_A + R_B = 2R_B + R_B = 3R_B$ होता है। खपत की गई पावर $P_S = \frac{V^2}{R_S} = \frac{V^2}{3R_B}$ है।
समांतर क्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_P = \frac{R_A R_B}{R_A + R_B} = \frac{(2R_B)(R_B)}{2R_B + R_B} = \frac{2R_B^2}{3R_B} = \frac{2}{3}R_B$ होता है। खपत की गई पावर $P_P = \frac{V^2}{R_P} = \frac{V^2}{(2/3)R_B} = \frac{3V^2}{2R_B}$ है।
पावर आउटपुट का अनुपात $\frac{P_S}{P_P} = \frac{V^2 / 3R_B}{3V^2 / 2R_B} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ है।

(B) दिया गया है: $V = 24 \text{ V}$,$R_1 = 2 \text{ k}\Omega$,$R_2 = 6 \text{ k}\Omega$,$R_L = 1.5 \text{ k}\Omega$.
$1$. कुल प्रतिरोध: $R_{\text{total}} = R_1 + \frac{R_2 \times R_L}{R_2 + R_L} = 2 + \frac{6 \times 1.5}{6 + 1.5} = 3.2 \text{ k}\Omega$.
$2$. बैटरी से धारा: $I = \frac{24}{3.2} = 7.5 \text{ mA}$. (कथन $A$ सही है)।
$3$. $R_L$ पर विभवांतर: $V_{R_L} = I \times R_{\text{parallel}} = 7.5 \times 1.2 = 9 \text{ V}$. (कथन $B$ गलत है)।
$4$. शक्ति का अनुपात: $P_{R_1} = I^2 R_1 = 112.5 \text{ mW}$,$P_{R_2} = I_{R_2}^2 R_2 = 13.5 \text{ mW}$. अनुपात $8.33$ है,$3$ नहीं। (कथन $C$ गलत है)।
$5$. $R_1$ और $R_2$ को बदलने पर: नया विभवांतर $V_{R_L} = 3 \text{ V}$ प्राप्त होता है। विभवांतर $3$ गुना कम होने पर शक्ति $3^2 = 9$ के गुणक से कम हो जाएगी। (कथन $D$ सही है)।
अतः,$(A)$ और $(D)$ सही हैं।

(C) मान लीजिए कि दाएं जंक्शन पर विभव $V$ है और बाएं जंक्शन पर $0 \,V$ है。
$1 \,\Omega$ प्रतिरोधक वाली शाखा के लिए,धारा $1 \,A$ बाएं जंक्शन की ओर बहती है। अतः,$V - 5 = 1 \times 1$,जिससे $V = 6 \,V$ प्राप्त होता है。
$R$ प्रतिरोध वाली शाखा के लिए,धारा $I$ बाएं से दाएं बहती है। अतः,$15 - I \times R = V = 6$,यानी $I \times R = 9$。
$3 \,\Omega$ प्रतिरोधक वाली शाखा के लिए,धारा $I_1$ दाएं से बाएं बहती है। अतः,$V - 3 \times I_1 = 0$,जिससे $6 - 3 \times I_1 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $I_1 = 2 \,A$。
दाएं जंक्शन पर,किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार,$I = 1 + I_1 = 1 + 2 = 3 \,A$。
चूंकि $I \times R = 9$,हमारे पास $3 \times R = 9$ है,इसलिए $R = 3 \,\Omega$। अतः,$(A)$ और $(B)$ सही हैं。
जब $K$ बंद हो जाती है,तो परिपथ एक समतुल्य $EMF$ $\varepsilon_{eq}$ और समतुल्य प्रतिरोध $r_{eq}$ के माध्यम से चार्ज होने वाले संधारित्र के रूप में कार्य करता है。
मिलमैन प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\varepsilon_{eq} = \frac{\frac{15}{3} + \frac{5}{1} + \frac{0}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{1} + \frac{1}{3}} = \frac{5 + 5}{5/3} = 6 \,V$。
समतुल्य प्रतिरोध $r_{eq}$,$3 \,\Omega, 1 \,\Omega, 3 \,\Omega$ का समानांतर संयोजन है,जो $\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \,\Omega^{-1}$ है,इसलिए $r_{eq} = 0.6 \,\Omega$。
संधारित्र शाखा में कुल प्रतिरोध $R_{total} = r_{eq} + 3 \,\Omega = 0.6 + 3 = 3.6 \,\Omega$ है。
समय नियतांक $\tau = R_{total} \times C = 3.6 \,\Omega \times 2 \,\mu F = 7.2 \,\mu s$ है。
संधारित्र शाखा में धारा $i(t) = \frac{\varepsilon_{eq}}{R_{total}} e^{-t/\tau} = \frac{6}{3.6} e^{-t/\tau} = \frac{5}{3} e^{-t/\tau}$ है。
$t = t_0 + 7.2 \,\mu s$ पर,$i = \frac{5}{3} e^{-1} = \frac{5}{3} \times 0.36 = 0.6 \,A$। अतः,$(C)$ सही है。
जैसे $t < \infty$,संधारित्र पूरी तरह से चार्ज हो जाता है,$q_{max} = C \times \varepsilon_{eq} = 2 \,\mu F \times 6 \,V = 12 \,\mu C$। अतः,$(D)$ सही है。

(C) त्रिज्या $x$ और मोटाई $dx$ के एक छोटे अर्धवृत्ताकार तत्व पर विचार करें। इस तत्व का प्रतिरोध $dR = \frac{\rho \cdot \pi x}{t \cdot dx}$ है।
चूंकि ऐसे सभी तत्व समानांतर में जुड़े हुए हैं,इसलिए समतुल्य चालकता $\frac{1}{R} = \int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{dR} = \int_{R_1}^{R_2} \frac{t \cdot dx}{\rho \pi x} = \frac{t}{\pi \rho} \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)$ है।
इस प्रकार,कुल धारा $I = \frac{V_0}{R} = \frac{V_0 t}{\pi \rho} \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)$ है। अतः,$(A)$ सही है।
इलेक्ट्रॉनों को वृत्ताकार पथ में गति करने के लिए,उन्हें केंद्र की ओर निर्देशित अभिकेंद्री बल की आवश्यकता होती है। यह बल त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित विद्युत क्षेत्र $E$ द्वारा प्रदान किया जाता है,ताकि इलेक्ट्रॉनों पर बल $(-eE)$ अंदर की ओर हो। चूंकि $E$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर है,इसलिए जैसे-जैसे हम बाहर की ओर बढ़ते हैं,विभव कम होता जाता है। अतः,$V_{\text{outer}} < V_{\text{inner}}$। अतः,$(C)$ सही है।
अभिकेंद्री बल $eE = \frac{m v_d^2}{x}$ है,जहाँ $v_d$ अनुगमन वेग है। चूंकि $I = n e A v_d$,इसलिए $v_d \propto I$ है। अतः,$E \propto v_d^2 \propto I^2$ है। $E$ का समाकलन करने पर $\Delta V \propto I^2$ प्राप्त होता है। अतः,$(D)$ सही है।
इसलिए,$(A, C, D)$ सही हैं।

(A) मूल तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi (d/2)^2} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$ है।
उपभोग की गई शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ है। पानी को गर्म करने में लगा समय $t = 4 \text{ मिनट}$ है।
नए तारों के लिए,प्रत्येक की लंबाई $L$ और व्यास $2d$ है। प्रत्येक नए तार का प्रतिरोध $R' = \rho \frac{L}{\pi (d)^2} = \frac{\rho L}{\pi d^2} = \frac{R}{4}$ है।
यदि दो नए तारों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो समतुल्य प्रतिरोध $R_s = R' + R' = 2R' = \frac{R}{2}$ होता है।
श्रेणी क्रम में शक्ति $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{V^2}{R/2} = 2P$ है। चूंकि $P \propto 1/t$,इसलिए लगा समय $t_s = \frac{t}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ मिनट}$ है।
यदि दो नए तारों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R' \times R'}{R' + R'} = \frac{R'}{2} = \frac{R/4}{2} = \frac{R}{8}$ होता है।
समानांतर क्रम में शक्ति $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{V^2}{R/8} = 8P$ है। लगा समय $t_p = \frac{t}{8} = \frac{4}{8} = 0.5 \text{ मिनट}$ है।
अतः,$(B)$ और $(D)$ सही हैं।

(C) संधारित्र पर आवेश $q(t) = \int_0^t I(t) dt = \int_0^t I_0 \cos(\omega t) dt = \frac{I_0}{\omega} \sin(\omega t)$ है।
दिया गया है $I_0 = 1 \text{ A}$ और $\omega = 500 \text{ rad s}^{-1}$,इसलिए $q(t) = \frac{1}{500} \sin(500t) = 2 \times 10^{-3} \sin(500t) \text{ C}$।
अधिकतम आवेश $Q_{\max} = 2 \times 10^{-3} \text{ C}$ है। अतः,$(A)$ गलत है।
$t = \frac{7\pi}{6\omega}$ पर,$I(t) = I_0 \cos(\frac{7\pi}{6}) = 1 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) < 0$। धारा वामावर्त (counter-clockwise) है,इसलिए $(B)$ गलत है।
$t = \frac{7\pi}{6\omega}$ पर,संधारित्र पर आवेश $q = 2 \times 10^{-3} \sin(\frac{7\pi}{6}) = -1 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
जब बैटरी $(50 \text{ V})$ से जोड़ा जाता है,तो प्रारंभिक आवेश $q_i = -1 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
$KVL$ लागू करने पर: $50 - \frac{q_i}{C} - IR = 0 \Rightarrow 50 - \frac{-1 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} - I(10) = 0 \Rightarrow 50 + 50 - 10I = 0 \Rightarrow I = 10 \text{ A}$। अतः,$(C)$ सही है।
अंतिम आवेश $q_f = CV = 20 \times 10^{-6} \times 50 = 1 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
प्रवाहित आवेश $Q = q_f - q_i = 1 \times 10^{-3} - (-1 \times 10^{-3}) = 2 \times 10^{-3} \text{ C}$ है। अतः,$(D)$ सही है।

(B) सर्किट-$1$ (खुला $S_1$) के लिए: प्रतिरोध $R_{eq1} = R_1 + (R_2 + R_3) || (R_1/2) = 1 + (5 || 0.5) = 1 + 5/11 = 16/11 \Omega$ है।
सर्किट-$2$ (खुला $S_2$) के लिए: प्रतिरोध $R_{eq2} = R_1 || R_2 || R_3 = 1 || 2 || 3 = 6/11 \Omega$ है।
वोल्टेज स्रोत के लिए,$P = V^2/R$। चूंकि $R_{eq1} > R_{eq2}$,इसलिए $P_1 < P_2$। अतः,$(A)$ सही है।
धारा स्रोत के लिए,$P = I^2 R$। चूंकि $R_{eq1} > R_{eq2}$,इसलिए $P_1 > P_2$। अतः,$(B)$ सही है।
सर्किट-$1$ (बंद $S_1$) के लिए: $S_1$,$R_1$ को शॉर्ट करता है,इसलिए $R'_{eq1} = (R_2 + R_3) || (R_1/2) = 5 || 0.5 = 5/11 \Omega$। चूंकि $R'_{eq1} < R_{eq1}$,इसलिए $Q_1 > P_1$। अतः,$(C)$ सही है।
सर्किट-$2$ (बंद $S_2$) के लिए: $R'_{eq2} = R_1 || R_2 || R_3 || 2R_3 = 1 || 2 || 3 || 6 = 1/2 \Omega$। धारा स्रोत के साथ $Q_1$ और $Q_2$ की तुलना $(P \propto R)$: $R'_{eq1} = 5/11 \approx 0.45 \Omega$ और $R'_{eq2} = 0.5 \Omega$। चूंकि $R'_{eq2} > R'_{eq1}$,इसलिए $Q_2 > Q_1$। अतः,$(D)$ गलत है।

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है। इसलिए,संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ को देखने पर,$2 \text{V}$ की बैटरी $4 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में जुड़ी हुई है।
$4 \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_1 = \frac{2 \text{V}}{4 \Omega} = 0.5 \text{A}$ है।
बाकी परिपथ ($2 \Omega$,$3 \Omega$,$6 \Omega$ प्रतिरोधकों वाली शाखा) भी बैटरी के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है।
$3 \Omega$ और $6 \Omega$ के समानांतर प्रतिरोध का समतुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = 2 \Omega$ है।
यह $R_p$,$2 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{branch} = 2 \Omega + 2 \Omega = 4 \Omega$ है।
इस शाखा से प्रवाहित धारा $I_2 = \frac{2 \text{V}}{4 \Omega} = 0.5 \text{A}$ है।
बैटरी से प्रवाहित कुल धारा $I = I_1 + I_2 = 0.5 \text{A} + 0.5 \text{A} = 1 \text{A}$ है।

(A) एमीटर $(R_A = 240\ \Omega)$ और शंट $(R_S = 10\ \Omega)$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध है:
$R_p = \frac{R_A \times R_S}{R_A + R_S} = \frac{240 \times 10}{240 + 10} = \frac{2400}{250} = 9.6\ \Omega$
परिपथ का कुल प्रतिरोध है:
$R_{\text{eq}} = 150.4\ \Omega + 9.6\ \Omega = 160\ \Omega$
$20\ V$ की बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{20}{160} = 0.125\ A$
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए,एमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा $I_A$ है:
$I_A = I \times \left( \frac{R_S}{R_A + R_S} \right) = 0.125 \times \left( \frac{10}{240 + 10} \right) = 0.125 \times \left( \frac{10}{250} \right) = 0.125 \times 0.04 = 0.005\ A$
मिलीएम्पियर में बदलने पर:
$I_A = 0.005\ A = 5\ mA$.

(B) ओम के नियम $(V = IR)$ का उपयोग करके प्रतिरोध $R$ निर्धारित करने के लिए,हमें प्रतिरोधक के सिरों के बीच विभवांतर और उससे प्रवाहित होने वाली धारा को मापने की आवश्यकता है।
एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होता है और इसे विभवांतर को मापने के लिए प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए ताकि यह कोई धारा न ले।
एक आदर्श एमीटर का प्रतिरोध शून्य होता है और इसे धारा को मापने के लिए प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।
आरेख $B$ में,वोल्टमीटर प्रतिरोधक $R$ के साथ समानांतर में जुड़ा है,जो इसके सिरों पर वोल्टेज को मापता है,और एमीटर प्रतिरोधक $R$ के साथ श्रेणी में जुड़ा है,जो इससे प्रवाहित होने वाली धारा को मापता है। यह सही विन्यास है।

(A) $1$. गतिशीलता $(\mu)$ को प्रति इकाई विद्युत क्षेत्र में अपवाह वेग के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{v_d}{E}$। अतः,$A \rightarrow R$।
$2$. विद्युत चालकता $(\sigma)$ धारा घनत्व $(J)$ और विद्युत क्षेत्र $(E)$ का अनुपात है: $\sigma = \frac{J}{E}$। अतः,$B \rightarrow S$।
$3$. विश्रांति काल $(\tau)$ प्रतिरोधकता $(\rho)$ से $\rho = \frac{m}{ne^2 \tau}$ सूत्र द्वारा संबंधित है,जिसका अर्थ है कि $\tau = \frac{m}{ne^2 \rho}$। अतः,$C \rightarrow P$।
$4$. विद्युत धारा $(I)$ को $I = neAv_d$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ आवेश है,$A$ क्षेत्रफल है और $v_d$ अपवाह वेग है। अतः,$D \rightarrow Q$।
इसलिए,सही मिलान $A \rightarrow R, B \rightarrow S, C \rightarrow P, D \rightarrow Q$ है।

(C) एक थर्मोकपल में,उदासीन तापमान $(T_n)$ दो जंक्शनों के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्रियों का एक विशिष्ट गुण है। इसे गर्म जंक्शन के उस तापमान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर थर्मो-इलेक्ट्रोमोटिव बल $(EMF)$ अधिकतम हो जाता है और थर्मोइलेक्ट्रिक पावर शून्य हो जाती है। उदासीन तापमान केवल थर्मोकपल की सामग्रियों पर निर्भर करता है और ठंडे जंक्शन के तापमान $(T_c)$ से स्वतंत्र होता है। इसलिए,यदि ठंडे जंक्शन का तापमान कम हो जाता है,तो उदासीन तापमान समान रहता है।

(A) उदासीन तापमान $(T_{n})$,ठंडे जंक्शन के तापमान $(T_{c})$ और व्युत्क्रमण तापमान $(T_{i})$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T_{n} = \frac{T_{c} + T_{i}}{2}$
दिया गया है:
$T_{i} = 600^{\circ} C$
$T_{n} = 320^{\circ} C$
सूत्र में मान रखने पर:
$320^{\circ} = \frac{T_{c} + 600^{\circ}}{2}$
$640^{\circ} = T_{c} + 600^{\circ}$
$T_{c} = 640^{\circ} - 600^{\circ}$
$T_{c} = 40^{\circ} C$
अतः,ठंडे जंक्शन का तापमान $40^{\circ} C$ है।

(A) एक थर्मोकपल में,थर्मो-emf $(E)$ गर्म जंक्शन $(T_h)$ और ठंडे जंक्शन $(T_c)$ के बीच के तापमान के अंतर के साथ बदलता है।
$1$. थर्मो-emf शून्य होता है जब $T_h = T_c$ (दोनों जंक्शन समान तापमान पर हों)।
$2$. थर्मो-emf तब भी शून्य होता है जब $T_h = T_i$ हो,जहाँ $T_i$ व्युत्क्रमण तापमान (temperature of inversion) है।
$3$. चूंकि प्रश्न उस तापमान के बारे में पूछता है जिस पर थर्मो-emf शून्य होता है,और व्युत्क्रमण तापमान वह विशिष्ट तापमान है (ठंडे जंक्शन के तापमान के अलावा) जहाँ emf शून्य हो जाता है,इसलिए सही उत्तर व्युत्क्रमण तापमान है।

(B) विमीय सूत्र इस प्रकार प्राप्त किए जाते हैं:
$(A)$ विद्युत प्रतिरोध $(R)$: $R = V/I$. विभव $(V)$ का सूत्र $M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}$ है और धारा $(I)$ का $A^1$ है। अतः, $R = [M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}] / [A^1] = M^1 L^2 T^{-3} A^{-2}$. यह $(Q)$ से मेल खाता है।
$(B)$ विद्युत विभव $(V)$: $V = W/q$. कार्य $(W)$ का सूत्र $M^1 L^2 T^{-2}$ है और आवेश $(q)$ का $A^1 T^1$ है। अतः, $V = [M^1 L^2 T^{-2}] / [A^1 T^1] = M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}$. यह $(R)$ से मेल खाता है।
$(C)$ विशिष्ट प्रतिरोध (प्रतिरोधकता, $\rho$): $\rho = R \cdot A / l$. विमाएँ $[M^1 L^2 T^{-3} A^{-2}] \cdot [L^2] / [L] = M^1 L^3 T^{-3} A^{-2}$ होती हैं। यह $(P)$ से मेल खाता है।
$(D)$ विशिष्ट चालकता ($\sigma$): $\sigma = 1 / \rho$. विमाएँ $[M^{-1} L^{-3} T^3 A^2]$ होती हैं। यह विकल्पों में नहीं दिया गया है, इसलिए यह $(S)$ से मेल खाता है।
अतः, सही मिलान $A-Q, B-R, C-P, D-S$ है।

(C) स्थायी अवस्था में, संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करता है, इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः, धारा $I$ केवल $2 \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित होती है।
$2 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज सेल के टर्मिनल वोल्टेज $V$ के बराबर होता है।
चूंकि संधारित्र $2 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में है, इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $2 \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर के बराबर होता है।
$V_C = \frac{Q}{C} = \frac{4 \times 10^{-6} \text{ C}}{2 \times 10^{-6} \text{ F}} = 2 \text{ V}$।
इस प्रकार, टर्मिनल वोल्टेज $V = 2 \text{ V}$ है।
$2 \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{2 \text{ V}}{2 \Omega} = 1 \text{ A}$ है।
सेल के टर्मिनल वोल्टेज के संबंध का उपयोग करते हुए, $V = E - Ir$, जहाँ $E$ विद्युत वाहक बल (emf) है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है:
$E = V + Ir = 2 \text{ V} + (1 \text{ A} \times 0.5 \Omega) = 2 + 0.5 = 2.5 \text{ V}$।
अतः, सेल का emf $2.5 \text{ V}$ है।

(A) सबसे पहले,परिपथ को सरल बनाएं। परिपथ श्रेणीक्रम में दो भागों से बना है: भाग $A$ और भाग $B$।
भाग $A$ में $2 \Omega, 3 \Omega$ और $6 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_A$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_A} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1 \Omega$,इसलिए $R_A = 1 \Omega$।
भाग $B$ में $4 \Omega$ और $5 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_B$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_B} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5+4}{20} = \frac{9}{20} \Omega$,इसलिए $R_B = \frac{20}{9} \Omega \approx 2.22 \Omega$।
चूंकि $R_B > R_A$,भाग $B$ पर विभवांतर $(V_B)$ भाग $A$ पर विभवांतर $(V_A)$ से अधिक है।
समानांतर क्रम में जुड़े प्रतिरोधकों के लिए,शक्ति $P = \frac{V^2}{R}$ होती है। भाग $B$ के दोनों प्रतिरोधकों के लिए $V_B$ समान है,इसलिए कम प्रतिरोध वाला बल्ब अधिक शक्ति का व्यय करेगा।
भाग $B$ में $4 \Omega$ और $5 \Omega$ के प्रतिरोधकों की तुलना करने पर,$4 \Omega$ का प्रतिरोध कम है और इसलिए यह अधिक शक्ति का व्यय करता है।
अतः,$4 \Omega$ का बल्ब अधिकतम तीव्रता के साथ चमकता है।

(A) सेल का टर्मिनल वोल्टेज $V$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \varepsilon - Ir$
चूंकि धारा $I = \frac{\varepsilon}{R+r}$ है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$V = \varepsilon - \left( \frac{\varepsilon}{R+r} \right) r$
$V = \varepsilon \left( 1 - \frac{r}{R+r} \right) = \varepsilon \left( \frac{R+r-r}{R+r} \right) = \frac{\varepsilon R}{R+r}$
$V$ बनाम $R$ के ग्राफ का विश्लेषण करने पर:
$1$. जब $R = 0$ होता है,तो $V = 0$ होता है।
$2$. जैसे-जैसे $R \to \infty$ होता है,$V \to \varepsilon$ होता है।
$3$. अवकलन $\frac{dV}{dR} = \frac{\varepsilon(R+r) - \varepsilon R}{(R+r)^2} = \frac{\varepsilon r}{(R+r)^2}$,जो हमेशा धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि $V$,$R$ के साथ बढ़ता है।
$4$. द्वितीय अवकलन $\frac{d^2V}{dR^2} = -\frac{2\varepsilon r}{(R+r)^3}$,जो ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि ग्राफ नीचे की ओर झुका हुआ (concave down) है।
यह व्यवहार विकल्प $A$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(D) थर्मो-emf $E$ का मान $E = a\theta + b\theta^2$ दिया गया है।
थर्मोइलेक्ट्रिक पावर $P$ को तापमान के सापेक्ष थर्मो-emf के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $P = \frac{dE}{d\theta} = a + 2b\theta$.
उदासीन तापमान $T_n$ वह तापमान है जिस पर थर्मोइलेक्ट्रिक पावर शून्य हो जाती है।
$P = 0$ रखने पर,हमें $a + 2bT_n = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_n = -\frac{a}{2b}$.
दिए गए अनुपात $a/b = 700^{\circ}C$ को समीकरण में रखने पर: $T_n = -\frac{700}{2} = -350^{\circ}C$.
चूँकि $-350^{\circ}C$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) विद्युत धारा के कारण तार द्वारा उत्पन्न ऊष्मा जूल के तापन नियम द्वारा दी जाती है: $H = I^2 R t$।
दिया गया है: $I = 10 \ A$,$R = 20 \ \Omega$,$t = 1 \ minute = 60 \ s$।
$H = (10)^2 \times 20 \times 60 = 100 \times 20 \times 60 = 120,000 \ J$।
इस ऊष्मा को कैलोरी में बदलने के लिए,हम $1 \ cal = 4.2 \ J$ रूपांतरण कारक का उपयोग करते हैं:
$H_{\text{cal}} = \frac{120,000}{4.2} \approx 28,571.4 \ cal$।
बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = m L_{\text{ice}}$ है।
उत्पन्न ऊष्मा और आवश्यक ऊष्मा की तुलना करने पर: $m = \frac{H_{\text{cal}}}{L_{\text{ice}}} = \frac{28,571.4}{79.7} \approx 358.48 \ g$।
निकटतम मान लेने पर,बर्फ का द्रव्यमान $359 \ g$ है।

(A) कथन $(I)$: अधिकांश शुद्ध धातुओं के लिए, तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध बढ़ता है, जिससे प्रतिरोध का ताप गुणांक धनात्मक होता है। अतः, $(I)$ सही है।
कथन $(II)$: दिया गया व्यास $d = 2 \ mm$, त्रिज्या $r = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$। क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$। आवेश $q = 360 \pi \ C$, समय $t = 2 \ \text{घंटे }= 7200 \ s$। धारा $i = q/t = 360 \pi / 7200 = \pi / 20 \ A$। इलेक्ट्रॉन घनत्व $n = 5 \times 10^{22} \ cm^{-3} = 5 \times 10^{28} \ m^{-3}$। अनुगमन वेग $v_d = i / (neA) = (\pi / 20) / (5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \pi \times 10^{-6}) = 1 / (20 \times 5 \times 1.6 \times 10^3) = 1 / (160000) = 6.25 \times 10^{-6} \ m/s$। अतः, $(II)$ सही है।
कथन $(III)$: अर्धचालक अ-ओमीय (non-ohmic) चालक होते हैं; वे विद्युत क्षेत्र के सभी मानों के लिए रैखिक $V-I$ संबंध का पालन नहीं करते हैं। अतः, $(III)$ सही है।

(A) जब तापमान अंतर $\Delta T$ पर बनाए रखे गए एक चालक से धारा $I$ प्रवाहित होती है, तो प्रति इकाई समय में उत्पन्न कुल ऊष्मा जूल ऊष्मन और थॉमसन ऊष्मन का योग होती है।
जूल ऊष्मन $P_J = I^2 R$ द्वारा दिया जाता है, जो $\Delta T$ से स्वतंत्र है।
थॉमसन ऊष्मन $P_T = \sigma I \Delta T$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\sigma$ थॉमसन गुणांक है।
छोटे तापमान अंतर और छोटी धारा के लिए, थॉमसन प्रभाव के कारण उत्पन्न ऊष्मा धारा $I$ और तापमान अंतर $\Delta T$ के गुणनफल के समानुपाती होती है।

(D) एक थर्मोकपल में उत्पन्न कुल $emf$ सीबेक प्रभाव द्वारा निर्धारित होता है,जो उपयोग की जाने वाली धातुओं की प्रकृति (सीबेक गुणांक) और गर्म तथा ठंडे जंक्शनों के बीच तापमान के अंतर पर निर्भर करता है।
यह तापमान प्रवणता से संबंधित एक स्थिर-अवस्था की घटना है।
इसलिए,कुल $emf$ उस समय अवधि पर निर्भर नहीं करता है जिसके लिए थर्मोकपल से धारा प्रवाहित की जाती है।

(D) थर्मो emf $E = a\theta + b\theta^2$ द्वारा दिया गया है।
उदासीन तापमान $(T_n)$ ज्ञात करने के लिए,हम $E$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं,क्योंकि उदासीन तापमान पर थर्मो emf अधिकतम होता है।
$\frac{dE}{d\theta} = a + 2b\theta$.
$\frac{dE}{d\theta} = 0$ रखने पर,हमें $a + 2b\theta = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_n = -\frac{a}{2b}$.
दिया गया है कि $a/b = 700^{\circ}C$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$T_n = -\frac{1}{2} \times (700^{\circ}C) = -350^{\circ}C$.
चूँकि गणना किया गया मान $-350^{\circ}C$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) थर्मो emf $E = aT + bT^2$ द्वारा दिया गया है।
न्यूट्रल तापमान $(T_n)$ पर emf अधिकतम होता है और इनवर्जन तापमान $(T_i)$ पर emf शून्य हो जाता है।
$E = 0$ रखने पर:
$aT_i + bT_i^2 = 0$
$T_i(a + bT_i) = 0$
चूंकि $T_i \neq 0$,इसलिए $T_i = -\frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{a}{b} = -200^{\circ}C$,इसलिए $T_i = -(-200^{\circ}C) = 200^{\circ}C$।
यह $T_i$ $0^{\circ}C$ के कोल्ड जंक्शन के सापेक्ष तापमान है।
यदि कोल्ड जंक्शन $T_c = 30^{\circ}C$ पर है,तो इनवर्जन तापमान $T_i = 2T_n - T_c$ सूत्र के अनुसार होगा,जहाँ $T_n = -\frac{a}{2b} = 100^{\circ}C$ है।
अतः,$T_i = 2(100) - 30 = 170^{\circ}C$।
केल्विन में बदलने पर: $T = 170 + 273 = 443 \ K$।

(A) थर्मोइलेक्ट्रिक पावर $S$ को तापमान के सापेक्ष थर्मो-इलेक्ट्रोमोटिव बल के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $S = \frac{dE}{dT}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया व्यंजक $E = k(T-T_r)[T_0 - \frac{1}{2}(T+T_r)]$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $E = k[T_0(T-T_r) - \frac{1}{2}(T^2 - T_r^2)]$.
$T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dE}{dT} = k[T_0 - \frac{1}{2}(2T)] = k(T_0 - T)$.
$S$ के व्यंजक में $T = \frac{1}{2} T_0$ रखने पर:
$S = k(T_0 - \frac{1}{2} T_0) = k(\frac{1}{2} T_0) = \frac{1}{2} k T_0$.

(D) दिया गया थर्मो emf समीकरण: $V = 10 \times 10^{-6} t - \frac{1}{40} \times 10^{-6} t^2$।
उदासीन तापमान $(t_n)$ ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dV}{dt} = 10 \times 10^{-6} - \frac{2}{40} \times 10^{-6} t = 0$।
$10 \times 10^{-6} = \frac{1}{20} \times 10^{-6} t_n$।
$t_n = 200^{\circ} C$।
अधिकतम थर्मो emf $(V_{\max})$ ज्ञात करने के लिए,हम $t_n = 200^{\circ} C$ को मूल समीकरण में रखते हैं:
$V_{\max} = 10 \times 10^{-6} (200) - \frac{1}{40} \times 10^{-6} (200)^2$।
$V_{\max} = 2 \times 10^{-3} - \frac{40000}{40} \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} = 1 \times 10^{-3} \text{ V} = 1 \text{ mV}$।

(A) कथन $A$ सत्य है: पेल्टियर गुणांक $\pi$ को दो असमान धातुओं के जंक्शन पर प्रति इकाई आवेश अवशोषित या विकसित ऊष्मा के रूप में परिभाषित किया गया है। जब इससे धारा प्रवाहित होती है तो यह संख्यात्मक रूप से जंक्शन के पार विभवांतर के बराबर होता है।
कथन $B$ सत्य है: थॉमसन प्रभाव बताता है कि जब तापमान प्रवणता मौजूद होती है और विद्युत धारा प्रवाहित होती है तो एक ही चालक की लंबाई के साथ ऊष्मा अवशोषित या विकसित होती है,जबकि पेल्टियर प्रभाव दो अलग-अलग चालकों के जंक्शन के लिए विशिष्ट है।

(B) थर्मो e.m.f. समीकरण $E = 16T - 0.04T^2$ द्वारा दिया गया है।
व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ पर,थर्मो e.m.f. शून्य हो जाता है $(E = 0)$।
समीकरण को शून्य के बराबर रखने पर: $0 = 16T_i - 0.04T_i^2$.
$16T_i = 0.04T_i^2$.
$T_i = \frac{16}{0.04} = 400^{\circ} C$.
उदासीन तापमान $(T_n)$ वह तापमान है जिस पर थर्मो e.m.f. अधिकतम होता है,या यह ठंडे जंक्शन के तापमान $(T_c)$ और व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ का औसत होता है।
$T_n = \frac{T_i + T_c}{2}$.
यहाँ $T_c = 0^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए $T_n = \frac{400 + 0}{2} = 200^{\circ} C$.
अतः,व्युत्क्रमण तापमान $400^{\circ} C$ है और उदासीन तापमान $200^{\circ} C$ है।

(D) थॉमसन प्रभाव में अवशोषित या उत्सर्जित ऊष्मा का सूत्र $H = \sigma q \Delta T$ है,जहाँ $\sigma$ थॉमसन गुणांक है,$q$ आवेश है और $\Delta T$ तापमान का अंतर है।
दिया गया है:
$\sigma = 10 \mu V/K = 10 \times 10^{-6} \text{ V/K}$
$q = 10 \text{ C}$
$\Delta T = 60^{\circ} C - 50^{\circ} C = 10 \text{ K}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$H = (10 \times 10^{-6} \text{ V/K}) \times (10 \text{ C}) \times (10 \text{ K})$
$H = 1000 \times 10^{-6} \text{ J}$
$H = 10^{-3} \text{ J} = 1 \text{ mJ}$