Electric Cells and Combination of cells in Series and Parallel Questions in Gujarati

(D) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કોષો માટે,સમતુલ્ય emf $\varepsilon_{eq}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = \sum \frac{\varepsilon_i}{r_i} = \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} + \frac{\varepsilon_3}{r_3}$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = \frac{1.2}{0.1} + \frac{1.4}{0.2} + \frac{1.5}{0.3}$
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = 12 + 7 + 5$
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = 24 \ V \Omega^{-1}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સમાંતર જોડાણમાં બે બેટરીઓ માટે,સમતુલ્ય emf $\varepsilon_{eq}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ નીચેના સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} = \frac{\varepsilon_1 r_2 + \varepsilon_2 r_1}{r_1 r_2}$
અને
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \implies r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$
પ્રથમ સમીકરણમાં $r_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\varepsilon_{eq} = \left( \frac{\varepsilon_1 r_2 + \varepsilon_2 r_1}{r_1 r_2} \right) \times \left( \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} \right)$
$\varepsilon_{eq} = \frac{\varepsilon_1 r_2 + \varepsilon_2 r_1}{r_1 + r_2}$
કારણ કે $\varepsilon_2 > \varepsilon_1$,સમતુલ્ય emf $\varepsilon_{eq}$ એ $\varepsilon_1$ અને $\varepsilon_2$ ની ભારિત સરેરાશ (weighted average) છે,જેનો અર્થ છે કે $\varepsilon_1 < \varepsilon_{eq} < \varepsilon_2$.

(D) સમાંતરમાં જોડાયેલા બે કોષોનું સમતુલ્ય emf નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$E_{eq} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1 r_2 + E_1 r_1 - E_1 r_1 + E_2 r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1(r_1 + r_2) + r_1(E_2 - E_1)}{r_1 + r_2} = E_1 + \frac{r_1}{r_1 + r_2}(E_2 - E_1)$
અહીં $E_2 > E_1$ અને $r_1, r_2 > 0$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $E_{eq} > E_1$.
તે જ રીતે,$E_{eq} = E_2 - \frac{r_2}{r_1 + r_2}(E_2 - E_1)$. $E_2 > E_1$ અને $r_1, r_2 > 0$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $E_{eq} < E_2$.
આમ,$E_1 < E_{eq} < E_2$.
આપેલ છે કે $r_2 > r_1$,તેથી પદ $\frac{r_1}{r_1 + r_2} < \frac{1}{2}$ થશે.
તેથી,$E_{eq}$ એ $E_2$ કરતા $E_1$ ની વધુ નજીક છે.

(C) કુલ કોષોની સંખ્યા $n = 10$ છે. દરેક કોષનું emf $E = 2 \, V$ અને આંતરિક અવરોધ $r = 1 \, \Omega$ છે.
જ્યારે બે કોષો ઉલટા જોડાયેલા હોય, ત્યારે તેઓ અન્ય બે કોષોના emf ને રદ કરે છે. આમ, ચોખ્ખા emf માં ફાળો આપતા કોષોની અસરકારક સંખ્યા $n - 2m$ છે, જ્યાં $m$ એ ખોટી રીતે જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા છે.
અહીં, $m = 2$, તેથી અસરકારક કોષો = $10 - 2(2) = 6$ કોષો.
ચોખ્ખું emf $E_{\text{net}} = (10 - 2 \times 2) \times E = 6 \times 2 = 12 \, V$.
કુલ આંતરિક અવરોધ એ બધા કોષોના અવરોધનો સરવાળો છે: $R_{\text{int}} = 10 \times r = 10 \times 1 = 10 \, \Omega$.
બાહ્ય અવરોધ $R = 10 \, \Omega$.
કુલ અવરોધ $R_{\text{total}} = R_{\text{int}} + R = 10 + 10 = 20 \, \Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{E_{\text{net}}}{R_{\text{total}}} = \frac{12}{20} = 0.6 \, A$.

(A) આપેલ છે કે $10$ સમાન કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,દરેકનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
પરિપથનું કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $= 10 E$.
પરિપથનો કુલ આંતરિક અવરોધ $= 10 r$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{\text{કુલ EMF}}{\text{કુલ અવરોધ}} = \frac{10 E}{10 r} = \frac{E}{r}$ મળે છે.
$3$ કોષો વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ તેમના પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપનો સરવાળો છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા $3$ કોષો માટે,કુલ આંતરિક અવરોધ $3 r$ થાય છે.
આ $3$ કોષો વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V = I \times (3 r)$ છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \frac{E}{r} \times 3 r = 3 E$ મળે છે.

(C) બે કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ emf $E_{total} = E + E = 2E$ થશે,જ્યાં $E$ એ દરેક કોષનું emf છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r_{1} + r_{2}$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_{1}$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા કોષના બે છેડા વચ્ચેનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V_{1} = E - Ir_{1}$ છે.
આપેલ છે કે $V_{1} = 0$,તેથી $E - Ir_{1} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = Ir_{1}$.
$I$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $E = \left( \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}} \right) r_{1}$ મળે છે.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા,$1 = \frac{2r_{1}}{R + r_{1} + r_{2}}$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$R + r_{1} + r_{2} = 2r_{1}$.
તેથી,$R = 2r_{1} - r_{1} - r_{2} = r_{1} - r_{2}$.

(D) કોષનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = E - Ir$,જ્યાં $E$ એ $EMF$ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આ સમીકરણ સીધી રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $V$ એ y-અક્ષ પર છે અને $I$ એ x-અક્ષ પર છે.
$1$. જ્યારે પ્રવાહ $I = 0$ હોય,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E$ થાય છે. આલેખ પરથી,$I = 0$ હોય ત્યારે $V = 3 \text{ V}$ છે. તેથી,$E = 3 \text{ V}$.
$2$. જ્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = 0$ હોય,ત્યારે પ્રવાહ $I = 6 \text{ A}$ છે. આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = E - Ir \implies 0 = 3 - (6)r$.
$3$. $r$ માટે ઉકેલતા: $6r = 3 \implies r = \frac{3}{6} = 0.5 \ \Omega$.
આમ,$EMF$ $3 \text{ V}$ છે અને આંતરિક અવરોધ $0.5 \ \Omega$ છે.

(C) જ્યારે $E$ emf અને $r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા $n$ સમાન કોષોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ emf $nE$ થાય છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $nr$ થાય છે.
જો $m$ કોષો ઉલટી ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલા હોય,તો અસરકારક emf $E'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E' = (n - 2m)E$
અહીં,કોષોની કુલ સંખ્યા $n = 4$ છે અને ખોટી રીતે જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા $m = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E' = (4 - 2 \times 1)E = (4 - 2)E = 2E$
શ્રેણીમાં જોડાયેલા કોષોનો આંતરિક અવરોધ તેમની ધ્રુવીયતાને ધ્યાનમાં લીધા વિના સરવાળા તરીકે મળે છે. તેથી,અસરકારક આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ નીચે મુજબ રહેશે:
$r_{eq} = n \times r = 4r$
આમ,સમતુલ્ય emf $2E$ છે અને અસરકારક આંતરિક અવરોધ $4r$ છે.

(D) બે કોષો વિરોધમાં જોડાયેલા હોવાથી,પરિપથનું કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $E_{net} = E_{1} - E_{2}$ થશે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ એ આંતરિક અવરોધો અને બાહ્ય અવરોધનો સરવાળો છે,જે $R_{total} = r_{1} + r_{2} + R$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{E_{1} - E_{2}}{r_{1} + r_{2} + R}$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ પરનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = I \times R$ દ્વારા મળે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \frac{E_{1} - E_{2}}{r_{1} + r_{2} + R} \times R$ મળે છે.

(D) ધારો કે દરેક કોષનું $EMF$ $E$ છે અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે. બાહ્ય અવરોધ $R = 2 \Omega$ છે.
કિસ્સો $1$: કોષો શ્રેણીમાં.
કુલ $EMF$ $2E$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $2r$ છે. પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{2E}{R + 2r}$ ... $(i)$
કિસ્સો $2$: કોષો સમાંતરમાં.
કુલ $EMF$ $E$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $\frac{r}{2}$ છે. પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{E}{R + \frac{r}{2}} = \frac{2E}{2R + r}$ ... (ii)
બંને કિસ્સામાં પ્રવાહ $I$ સમાન હોવાથી,આપણે $(i)$ અને (ii) ને સરખાવીએ છીએ:
$\frac{2E}{R + 2r} = \frac{2E}{2R + r}$
$R + 2r = 2R + r$
$r = R$
અહીં $R = 2 \Omega$ આપેલ છે,તેથી $r = 2 \Omega$.

(B) ધારો કે દરેક બેટરીનું $EMF$ $E$ છે અને આંતરિક અવરોધ $r = 1 \Omega$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ $EMF$ $= 2E$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $= 2r = 2 \Omega$ થાય.
પ્રવાહ $I_s = \frac{2E}{R + 2}$.
પાવર $P_1 = I_s^2 R = \left(\frac{2E}{R + 2}\right)^2 R$.
સમાંતર જોડાણમાં,કુલ $EMF$ $= E$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $= \frac{r}{2} = 0.5 \Omega$ થાય.
પ્રવાહ $I_p = \frac{E}{R + 0.5}$.
પાવર $P_2 = I_p^2 R = \left(\frac{E}{R + 0.5}\right)^2 R$.
આપેલ છે કે $P_1 = 2.25 P_2$,તેથી $\left(\frac{2E}{R + 2}\right)^2 R = 2.25 \left(\frac{E}{R + 0.5}\right)^2 R$.
બંને બાજુ $E^2 R$ વડે ભાગતા,$\frac{4}{(R + 2)^2} = 2.25 \frac{1}{(R + 0.5)^2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{2}{R + 2} = \frac{1.5}{R + 0.5}$.
$2(R + 0.5) = 1.5(R + 2) \implies 2R + 1 = 1.5R + 3$.
$0.5R = 2 \implies R = 4 \Omega$.

(D) આપેલ છે: $E_1 = 1.2 \ V$,$r_1 = 2 \ \Omega$,$E_2 = 1.5 \ V$,$r_2 = 1 \ \Omega$.
જ્યારે બે કોષોને સમાન ધ્રુવો સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય emf $E_{\text{eq}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$E_{\text{eq}} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$E_{\text{eq}} = \frac{\frac{1.2}{2} + \frac{1.5}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{0.6 + 1.5}{0.5 + 1} = \frac{2.1}{1.5} = 1.4 \ V$.

(D) ધારો કે કોષનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $E$ છે અને તેનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$R$ બાહ્ય અવરોધ ધરાવતા પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $1 = \frac{E}{2.5 + r} \implies E = 2.5 + r$ (સમીકરણ $1$).
બીજા કિસ્સા માટે: $0.5 = \frac{E}{10 + r} \implies E = 0.5(10 + r) = 5 + 0.5r$ (સમીકરણ $2$).
$E$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2.5 + r = 5 + 0.5r$
$r - 0.5r = 5 - 2.5$
$0.5r = 2.5$
$r = \frac{2.5}{0.5} = 5 \ \Omega$.
તેથી,કોષનો આંતરિક અવરોધ $5 \ \Omega$ છે.

(B) ધારો કે દરેક કોષનું emf $E = 2.16 \text{ V}$ છે અને તેમના આંતરિક અવરોધો $r_1, r_2$ છે. બાહ્ય અવરોધ $R = 19.6 \text{ } \Omega$ છે.
શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E + E}{r_1 + r_2 + R} = \frac{4.32}{r_1 + r_2 + 19.6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોષ $P$ માટે,ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_P = E - I r_1$ છે. આપેલ છે કે $V_P = 2 \text{ V}$,તેથી $2 = 2.16 - I r_1$,એટલે કે $I r_1 = 0.16$.
કોષ $Q$ માટે,ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_Q = E - I r_2$ છે. આપેલ છે કે $V_Q = 1.92 \text{ V}$,તેથી $1.92 = 2.16 - I r_2$,એટલે કે $I r_2 = 0.24$.
આ બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{I r_1}{I r_2} = \frac{0.16}{0.24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
આમ,આંતરિક અવરોધોનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 2 : 3$ છે.

(C) ધારો કે કુલ આંતરિક અવરોધ $r = r_1 + r_2$ છે.
જ્યારે કોષો સમાન ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં હોય,ત્યારે કુલ emf $E_1 + E_2$ થાય છે. પ્રવાહ $I_1 = \frac{E_1 + E_2}{R + r} = 5 \ A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$E_1 + E_2 = 5(R + r) \quad (1)$.
જ્યારે $E_2$ ની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ emf $E_1 - E_2$ થાય છે (ધારી લઈએ કે $E_1 > E_2$). પ્રવાહ $I_2 = \frac{E_1 - E_2}{R + r} = 2 \ A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$E_1 - E_2 = 2(R + r) \quad (2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{5}{2}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{5 + 2}{5 - 2}$.
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{7}{3}$.
તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{7}{3}$.

(C) ધારો કે દરેક કોષનું $EMF$ $E$ છે અને દરેક કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં $n$ કોષો માટે,કુલ $EMF$ $nE$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $nr$ થાય. પ્રવાહ $I_s = \frac{nE}{R + nr}$ દ્વારા મળે છે.
સમાંતર જોડાણમાં $n$ કોષો માટે,કુલ $EMF$ $E$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $r/n$ થાય. પ્રવાહ $I_p = \frac{E}{R + r/n} = \frac{nE}{nR + r}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $I_s = I_p$,તેથી $\frac{nE}{R + nr} = \frac{nE}{nR + r}$.
આનો અર્થ એ છે કે $R + nr = nR + r$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $nr - r = nR - R$ મળે છે,જે $r(n - 1) = R(n - 1)$ માં પરિણમે છે.
જો $n \neq 1$ હોય,તો બંને બાજુ $(n - 1)$ વડે ભાગતા $r = R$ મળે છે.

(B) ધારો કે શ્રેણીમાં જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા $n$ છે અને સમાંતર હરોળની સંખ્યા $m$ છે,જેમાં દરેક હરોળમાં $n$ કોષો છે. કોષોની કુલ સંખ્યા $N = nm$ છે.
સંયોજનનું કુલ emf $E_{eq} = nE = n(1.5)$ છે.
કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{nr}{m} = \frac{n(1)}{m} = \frac{n}{m}$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R = 30 \ \Omega$ માં પ્રવાહ $I = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I = 1.5 \ A$,$E = 1.5 \ V$,$R = 30 \ \Omega$,અને $r = 1 \ \Omega$:
$1.5 = \frac{n(1.5)}{30 + \frac{n}{m}} \implies 30 + \frac{n}{m} = n \implies 30 = n(1 - \frac{1}{m}) = n(\frac{m-1}{m})$.
$N = nm$ હોવાથી,$n = \frac{N}{m}$ મળે. આ કિંમત મૂકતા: $30 = \frac{N}{m} \cdot \frac{m-1}{m} = N \frac{m-1}{m^2}$.
$N$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $f(m) = \frac{m-1}{m^2}$ વિધેયને મહત્તમ બનાવવું પડશે. $f'(m) = 0$ લેતા $m=2$ મળે છે.
$m=2$ માટે,$30 = N \frac{2-1}{2^2} = N \frac{1}{4} \implies N = 120$.

(A) $1$. એક હારમાં $n$ કોષો શ્રેણીમાં છે. એક હારનું કુલ emf $nE$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $nr$ છે.
$2$. આવી $m$ હાર સમાંતરમાં જોડાયેલી છે. સમાંતર જોડાણનું કુલ emf $nE$ રહે છે કારણ કે બધી હાર સમાન છે.
$3$. $m$ હાર સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{nr}{m}$ થાય.
$4$. બાહ્ય લોડ અવરોધ $R$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{nE}{R + r_{eq}} = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}} = \frac{mnE}{mR + nr}$ છે.
$5$. $m$ હાર સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ પ્રવાહ $I$ દરેક હારમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી,દરેક કોષમાં પ્રવાહ $I_{cell} = \frac{I}{m} = \frac{nE}{nr + mR}$ થાય.

(C) સમતુલ્ય emf,$E_{eq} = E + E = 2E$
સમતુલ્ય અવરોધ,$R_{eq} = r_1 + r_2 + R$
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ,$i = \frac{2E}{r_1 + r_2 + R}$
પ્રથમ કોષના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = E - ir_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V_1 = 0$,તેથી:
$0 = E - ir_1$
$E = ir_1$
$i$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{r_1 + r_2 + R} \right) r_1$
$1 = \frac{2r_1}{r_1 + r_2 + R}$
$r_1 + r_2 + R = 2r_1$
$R = 2r_1 - r_1 - r_2$
$R = r_1 - r_2$

(B) જ્યારે $E$ જેટલું $\operatorname{emf}$ અને $r$ જેટલો આંતરિક અવરોધ ધરાવતો કોષ $R$ અવરોધ ધરાવતા બાહ્ય અવરોધક સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ એક બંધ લૂપ બનાવે છે.
આખા પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોષની આસપાસનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ બાહ્ય અવરોધક $R$ ની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત છે,જે $V = I R$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આંતરિક ડ્રોપને ધ્યાનમાં લેતા,ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત એ $\operatorname{emf}$ માંથી આંતરિક અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ બાદ કરવાથી મળે છે: $V = E - I r$.
બંને સમીકરણો કોષના ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવતને દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $E$ એ બેટરીનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ છે અને $r$ એ તેનો આંતરિક અવરોધ છે.
અવરોધ $R$ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V = I R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I = \frac{E}{R+r}$.
આમ,$V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$,જેને $E = V + I r = V + \left( \frac{V}{R} \right) r$ તરીકે લખી શકાય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $R_1 = 16 \ \Omega$,$V_1 = 12 \ V$.
$E = 12 + \left( \frac{12}{16} \right) r = 12 + 0.75 r$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $R_2 = 10 \ \Omega$,$V_2 = 11 \ V$.
$E = 11 + \left( \frac{11}{10} \right) r = 11 + 1.1 r$ --- (ii)
$(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$12 + 0.75 r = 11 + 1.1 r$
$12 - 11 = 1.1 r - 0.75 r$
$1 = 0.35 r$
$r = \frac{1}{0.35} = \frac{100}{35} = \frac{20}{7} \ \Omega$.

(D) ધારો કે કોષનું ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $E$ છે અને તેનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે. પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = 2 \ A$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ સામાન્ય દિશામાં વહે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_1 = E - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $20 = E - 2r$ --- (સમીકરણ $1$).
જ્યારે પ્રવાહની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે કોષ ચાર્જ થઈ રહ્યો છે,તેથી ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_2 = E + Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $30 = E + 2r$ --- (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(E + 2r) - (E - 2r) = 30 - 20$.
$4r = 10$.
$r = 2.5 \ \Omega$.
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $2.5 \ \Omega$ છે.

(B) પરિપથમાં ત્રણ કોષો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. ધારો કે emf $\varepsilon_1 = 10 \text{ V}$,$\varepsilon_2 = 7 \text{ V}$,અને $\varepsilon_3 = 20 \text{ V}$ છે,અને આંતરિક અવરોધો $r_1 = 3 \Omega$,$r_2 = 0.6 \Omega$,અને $r_3 = 2 \Omega$ છે.
ત્રીજો કોષ પ્રથમ બે કોષોની સાપેક્ષમાં ઉલટી ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલ હોવાથી,સમતુલ્ય emf $E_{\text{eq}}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} - \frac{\varepsilon_3}{r_3}$
$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{10}{3} + \frac{7}{0.6} - \frac{20}{2} = \frac{10}{3} + \frac{35}{3} - 10 = \frac{45}{3} - 10 = 15 - 10 = 5 \text{ A}$
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ:
$\frac{1}{r_{\text{eq}}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{0.6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} + \frac{1}{2} = 2 + 0.5 = 2.5 \text{ S}$
$r_{\text{eq}} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \Omega$
હવે,$E_{\text{eq}} = \left(\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}}\right) \times r_{\text{eq}} = 5 \times 0.4 = 2 \text{ V}$
આમ,$E = 2 \text{ V}$ અને $r = 0.4 \Omega$ છે.

(C) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કોષો માટે,સમતુલ્ય emf $E_{\text{eq}}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{\text{eq}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \sum \frac{E_i}{r_i}$ અને $\frac{1}{r_{\text{eq}}} = \sum \frac{1}{r_i}$.
પ્રથમ,$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}}$ નું પ્રારંભિક મૂલ્ય ગણો:
$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{5}{1} + \frac{8}{2} + \frac{10}{3} = 5 + 4 + 3.33 = \frac{37}{3} \ \text{A}$.
જ્યારે $E_3$ ને બદલીને $E_{3N}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય emf $2E_{\text{eq}}$ થાય છે. નવો સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{\text{eq}}$ સમાન રહે છે કારણ કે તે ફક્ત આંતરિક અવરોધો પર આધાર રાખે છે.
તેથી,નવું સમીકરણ છે: $\frac{2E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{5}{1} + \frac{8}{2} + \frac{E_{3N}}{3} = 9 + \frac{E_{3N}}{3} = \frac{27 + E_{3N}}{3}$.
કારણ કે $\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{37}{3}$,તેથી $\frac{2E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{74}{3}$.
બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા: $\frac{27 + E_{3N}}{3} = \frac{74}{3}$.
$27 + E_{3N} = 74$.
$E_{3N} = 74 - 27 = 47 \ V$.

(D) આ પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે, જેમાં દરેક શાખામાં ત્રણ આદર્શ બેટરીઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે।
દરેક શાખાનો સમતુલ્ય emf $E_{eq} = 3 \times 20 \, V = 60 \, V$ થાય છે।
બે શાખાઓ સમાંતરમાં જોડાયેલી હોવાથી, બેટરીના સંયોજનનો કુલ સમતુલ્ય emf $E_{total} = 60 \, V$ જ રહેશે।
બેટરીઓ આદર્શ હોવાથી, તેમનો આંતરિક અવરોધ શૂન્ય છે।
તેથી, $R = 4 \, \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ મળે:
$i = \frac{E_{total}}{R} = \frac{60 \, V}{4 \, \Omega} = 15 \, A$.

(B) સમાંતરમાં જોડાયેલ બે બેટરીઓનું સમતુલ્ય emf $(E_{eq})$ સૂત્ર $E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $E_1 = 18 \, V$, $r_1 = 3 \, \Omega$, $E_2 = 10 \, V$, અને $r_2 = 1 \, \Omega$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બેટરીઓ વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતામાં જોડાયેલ હોવાથી, આપણે $E_2 = -10 \, V$ લઈશું.
$E_{eq} = \frac{18/3 + (-10)/1}{1/3 + 1/1} = \frac{6 - 10}{4/3} = \frac{-4}{4/3} = -3 \, V$.
સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{3 \times 1}{3 + 1} = 0.75 \, \Omega$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{18 - 10}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2 \, A$ છે.
$18 \, V$ ની બેટરી માટે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E_1 - i r_1 = 18 - (2 \times 3) = 18 - 6 = 12 \, V$.
$10 \, V$ ની બેટરી માટે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E_2 + i r_2 = 10 + (2 \times 1) = 12 \, V$.
આમ, વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $12 \, V$ છે.

(D) ધારો કે $12$ કોષોની બેટરીમાં ખોટી રીતે જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા $m$ છે.
દરેક ખોટી રીતે જોડાયેલ કોષ એક યોગ્ય રીતે જોડાયેલ કોષના emf ને રદ કરે છે.
આમ,$12$ કોષોની બેટરીનું અસરકારક emf $E_{12} = (12 - m)E - mE = (12 - 2m)E$ છે.
જ્યારે $12$ કોષોની બેટરી અને $2$ કોષોની બેટરી ($2E$ emf) એકબીજાને મદદ કરે છે,ત્યારે કુલ emf $E_{total} = (12 - 2m)E + 2E = (14 - 2m)E$ થાય છે.
પ્રવાહ $i_1 = \frac{(14 - 2m)E}{R} = 3 \text{ A}$ ...$(i)$
જ્યારે તેઓ એકબીજાનો વિરોધ કરે છે,ત્યારે કુલ emf $E_{total} = (12 - 2m)E - 2E = (10 - 2m)E$ થાય છે.
પ્રવાહ $i_2 = \frac{(10 - 2m)E}{R} = 2 \text{ A}$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{3}{2} = \frac{14 - 2m}{10 - 2m}$
$3(10 - 2m) = 2(14 - 2m)$
$30 - 6m = 28 - 4m$
$2 = 2m$
$m = 1$.
તેથી,ખોટી રીતે જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) બાહ્ય અવરોધ $R$ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_R = \frac{E}{(R + r)} \times R$
અંશ અને છેદને $R$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$V_R = \frac{E}{(1 + r/R)}$
બેટરી અચળ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે તે માટે,બાહ્ય લોડ $R$ માં થતા ફેરફારોને ધ્યાનમાં લીધા વિના,ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_R$ એ emf $E$ ની લગભગ સમાન હોવો જોઈએ.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે $r/R$ ખૂબ નાનું હોય,જેનો અર્થ છે કે $r << R$.

(A) જ્યારે $E$ emf ધરાવતા ચાર કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ emf $4E$ થાય છે.
જો એક કોષ ઉલટો જોડવામાં આવે,તો તેનું emf બાકીના કોષોના emf નો વિરોધ કરે છે.
તેથી,પરિપથનું અસરકારક emf $E_{eff} = E + E + E - E = 2E$ થશે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા ચાર કોષોનો કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{total} = r + r + r + r = 4r$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 4r + R$ છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બાહ્ય પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E_{eff}}{R_{total}} = \frac{2E}{4r + R}$ મળે છે.

(B) બેટરીઓ સમાંતર જોડાણમાં છે. આ જોડાણ માટે સમતુલ્ય emf $E_{eq}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_{1}}{r_{1}} + \frac{E_{2}}{r_{2}} + \frac{E_{3}}{r_{3}}}{\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}}}$
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}}$
અહીં $E_{1} = 1 \text{ V}, r_{1} = 1 \Omega$; $E_{2} = 2 \text{ V}, r_{2} = 2 \Omega$; $E_{3} = 3 \text{ V}, r_{3} = 1 \Omega$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ, સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધની ગણતરી કરીએ:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = 1 + 0.5 + 1 = 2.5 \Omega^{-1} = \frac{5}{2} \Omega^{-1}$
$r_{eq} = \frac{2}{5} \Omega = 0.4 \Omega$
હવે, સમતુલ્ય emf ની ગણતરી કરીએ:
$E_{eq} = r_{eq} \times \left( \frac{E_{1}}{r_{1}} + \frac{E_{2}}{r_{2}} + \frac{E_{3}}{r_{3}} \right)$
$E_{eq} = 0.4 \times \left( \frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{1} \right) = 0.4 \times (1 + 1 + 3) = 0.4 \times 5 = 2.0 \text{ V}$
આમ, બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2.0 \text{ V}$ છે.

(A) $E$ emf અને $r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા બે સમાન કોષો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે,સમતુલ્ય emf $E_{eq} = E$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = r / 2$ થાય છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r_{eq}} = \frac{E}{R + r/2} = \frac{2E}{2R + r}$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ પર ઉત્પન્ન થતો પાવર $P = I^2 R = \left( \frac{2E}{2R + r} \right)^2 R$ છે.
પાવર મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dP}{dR} = 0$ લઈએ છીએ,જે $R = r_{eq}$ ની શરત આપે છે.
$r_{eq} = r / 2$ મૂકતા,આપણને $R = r / 2$ મળે છે.

(C) શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કોષોનું કુલ e.m.f. $E + E = 2E$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R + r_1 + r_2$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોષ (જેનો આંતરિક અવરોધ $r_1$ છે) ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E - Ir_1$ છે.
આપણને આપેલ છે કે પ્રથમ કોષના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે,તેથી $E - Ir_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = Ir_1$.
આ સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$
$1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$
$R + r_1 + r_2 = 2r_1$
$R = 2r_1 - r_1 - r_2$
$R = r_1 - r_2$

(D) જ્યારે બે કોષોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ $EMF$ $2E$ થાય છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $2r$ થાય છે. $R = 6 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{1}$ આ મુજબ છે: $i_{1} = \frac{2E}{R + 2r} = \frac{2E}{6 + 2r}$.
જ્યારે બે કોષોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ $EMF$ $E$ રહે છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $\frac{r}{2}$ થાય છે. $R = 6 \ \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{2}$ આ મુજબ છે: $i_{2} = \frac{E}{R + \frac{r}{2}} = \frac{E}{6 + \frac{r}{2}}$.
આપેલ છે કે $i_{1} = i_{2}$,તેથી: $\frac{2E}{6 + 2r} = \frac{E}{6 + \frac{r}{2}}$.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{6 + 2r} = \frac{1}{6 + \frac{r}{2}}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2(6 + \frac{r}{2}) = 6 + 2r$.
$12 + r = 6 + 2r$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = 12 - 6 = 6 \ \Omega$.

(A) ધારો કે $E$ એ emf છે અને $r$ એ કોષનો આંતરિક અવરોધ છે.
સંપૂર્ણ પરિપથ માટે ઓમના નિયમ મુજબ,$E = I(R + r)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $E = 0.25(5 + r)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $E = 0.5(2 + r)$.
emf $E$ અચળ હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$0.25(5 + r) = 0.5(2 + r)$
બંને બાજુ $0.25$ વડે ભાગતા:
$5 + r = 2(2 + r)$
$5 + r = 4 + 2r$
$r = 5 - 4 = 1\text{ }\Omega$.
તેથી,કોષનો આંતરિક અવરોધ $1\text{ }\Omega$ છે.

(C) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કોષો માટે,સમતુલ્ય emf $E_{eq}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2}$ અને $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$.
આપેલ છે કે $E_1 = 1$ $V$,$r_1 = 2 \Omega$,$E_2 = 2$ $V$,$r_2 = 1 \Omega$.
$E_{eq} = \frac{1/2 + 2/1}{1/2 + 1/1} = \frac{2.5}{1.5} = \frac{5}{3}$ $V$.
$r_{eq} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3} \Omega$.
બાહ્ય અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = 1$ $A$ છે,તેથી $I = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} \Rightarrow 1 = \frac{5/3}{R + 2/3}$.
$R + 2/3 = 5/3 \Rightarrow R = 1 \Omega$.
જો એક કોષની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે,તો નવું સમતુલ્ય emf $E'_{eq} = \frac{E_1/r_1 - E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2} = \frac{0.5 - 2}{1.5} = \frac{-1.5}{1.5} = -1$ $V$.
નવા પ્રવાહનું મૂલ્ય $I' = \frac{|E'_{eq}|}{R + r_{eq}} = \frac{1}{1 + 2/3} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5}$ $A$.
$I' = \frac{3}{5}$ $A$ ને $\frac{\alpha}{5}$ $A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3$ મળે છે.