Electric Cells and Combination of cells in Series and Parallel Questions in Gujarati

(B) કોષનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = E - Ir$,જ્યાં $E$ એ $EMF$ છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આપેલ છે કે બાહ્ય અવરોધ $R = 2 \ \Omega$ અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2 \ A$ છે,તેથી ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = IR = 2 \times 2 = 4 \ V$ થાય.
વળી,આપણને આપેલ છે કે $V = E/2$,તેથી $E = 2V = 2 \times 4 = 8 \ V$ થાય.
સૂત્ર $V = E - Ir$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 = 8 - (2)r$
$2r = 8 - 4$
$2r = 4$
$r = 2 \ \Omega$.
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $2 \ \Omega$ છે.

(B) કોષના ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ માટેનું સૂત્ર $V = E - Ir$ છે,જ્યાં $E$ એ $e.m.f.$,$I$ એ પ્રવાહ અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવા માટે સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય: $r = \frac{E - V}{I}$.
આપેલ કિંમતો: $E = 6 \ V$,$V = 3 \ V$ અને $I = 2 \ A$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \ \Omega$.
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $1.5 \ \Omega$ છે.

(C) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કોષો માટે,જેમના $emf$ $E_1, E_2$ અને આંતરિક અવરોધ $r_1, r_2$ છે,તેમના ટર્મિનલ વચ્ચેનો સમતુલ્ય $emf$ $E_{eq}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$V_{AB} = E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
અહીં $E_1 = 6 \ V, r_1 = 1 \ \Omega$ અને $E_2 = 3 \ V, r_2 = 2 \ \Omega$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V_{AB} = \frac{(6 \times 2) + (3 \times 1)}{1 + 2} = \frac{12 + 3}{3} = \frac{15}{3} = 5 \ V$.

(D) જ્યારે બેટરીને ચાર્જ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાન તફાવત $V$ શોધવાનું સૂત્ર $V = E + Ir$ છે.
અહીં,$E = 2\,V$ એ બેટરીનું $e.m.f.$ છે,$I = 5\,A$ એ ચાર્જિંગ પ્રવાહ છે અને $r = 0.1\, \Omega$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = 2 + (5 \times 0.1)$
$V = 2 + 0.5$
$V = 2.5\,V$.
તેથી,બેટરીના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાન તફાવત $2.5\,V$ છે.

(D) પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{E}{R + r}$ છે,જ્યાં $E$ એ $e.m.f.$ છે,$R$ એ બાહ્ય અવરોધ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
જ્યારે કોષને શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાહ્ય અવરોધ $R = 0$ થાય છે.
તેથી,સૂત્ર $I = \frac{E}{r}$ બને છે.
અહીં $E = 2 \ V$ અને $I = 4 \ A$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$r = \frac{E}{I} = \frac{2}{4} = 0.5 \ \Omega$ મળે છે.
આમ,પ્રાથમિક કોષનો આંતરિક અવરોધ $0.5 \ \Omega$ છે.

(D) ધારો કે દરેક બેટરીનું $EMF$ $E = 1.5\, V$ છે અને દરેક બેટરીનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
જ્યારે બેટરીઓ શ્રેણીમાં હોય,ત્યારે કુલ $EMF$ = $2E$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ = $2r$ થાય.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1 = \frac{2E}{2r + R} = 1\, A$.
તેથી,$2E = 2r + R \Rightarrow 3 = 2r + R \Rightarrow R = 3 - 2r \quad (1)$
જ્યારે બેટરીઓ સમાંતરમાં હોય,ત્યારે કુલ $EMF$ = $E$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ = $r/2$ થાય.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I_2 = \frac{E}{r/2 + R} = 0.6\, A$.
તેથી,$E = 0.6(r/2 + R) \Rightarrow 1.5 = 0.3r + 0.6R$.
$10/3$ વડે ગુણતા,આપણને $5 = r + 2R \quad (2)$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $5 = r + 2(3 - 2r) = r + 6 - 4r = 6 - 3r$.
$3r = 1 \Rightarrow r = 1/3\, \Omega$.

(D) આપેલ છે: $e.m.f. \, (\varepsilon) = 12 \, V$ અને આંતરિક અવરોધ $(r) = 0.5 \, \Omega$.
બેટરીમાંથી મળતો મહત્તમ પ્રવાહ $(I_{\max})$ ત્યારે મળે છે જ્યારે બાહ્ય અવરોધ શૂન્ય હોય (શોર્ટ-સર્કિટ સ્થિતિ).
મહત્તમ પ્રવાહ માટેનું સૂત્ર: $I_{\max} = \frac{\varepsilon}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\max} = \frac{12 \, V}{0.5 \, \Omega} = 24 \, A$.
આમ,મહત્તમ પ્રવાહ $24 \, A$ છે.

(A) $E$ જેટલું $e.m.f.$ અને $r$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા $n$ સમાન વિદ્યુતકોષોને શ્રેણીમાં જોડતા,જોડાણનું કુલ $e.m.f.$ $E_{total} = nE$ થાય છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા $n$ વિદ્યુતકોષોનો કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{total} = nr$ થાય છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ ને આ જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,તેથી પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + nr$ થાય છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{total}}{R_{total}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I = \frac{nE}{R + nr}$ મળે છે.

(D) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કોષો માટે,જેમના $EMF$ $E_1, E_2$ અને આંતરિક અવરોધો $r_1, r_2$ છે,તેમનો સમતુલ્ય સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_{AB} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
અહીં,$E_1 = 5\ V, r_1 = 10\ \Omega$ અને $E_2 = 2\ V, r_2 = X\ \Omega$ છે.
આપેલ છે કે $V_{AB} = 4\ V$,તેથી:
$4 = \frac{5 \times X + 2 \times 10}{10 + X}$
$4(10 + X) = 5X + 20$
$40 + 4X = 5X + 20$
$X = 40 - 20 = 20\ \Omega$
આમ,અવરોધ $X$ નું મૂલ્ય $20\ \Omega$ છે.

(D) $e.m.f. \ E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા બે સમાન કોષોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે ત્યારે,સમતુલ્ય $e.m.f. \ E_{eq} = E$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = r/2$ થાય છે.
આ પરિપથને $e.m.f. \ E$ અને આંતરિક અવરોધ $r/2$ ધરાવતા એક કોષ તરીકે દર્શાવી શકાય જે બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r_{eq}} = \frac{E}{R + r/2}$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ માં વપરાતો પાવર $P = I^2 R = \left( \frac{E}{R + r/2} \right)^2 R$ છે.
મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર માટે,બાહ્ય અવરોધ $R$ એ સ્ત્રોતના સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$R = r_{eq} = r/2$.

(C) સમાંતરમાં જોડાયેલા $n$ સમાન કોષોનો સમતુલ્ય e.m.f. $E_{eq} = E = 2 \, V$ થાય.
સમાંતરમાં જોડાયેલા $n$ સમાન કોષોનો સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{r}{n} = \frac{r}{4}$ થાય.
બાહ્ય પરિપથમાં $15 \, \Omega$ ના બે અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે, તેથી સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R$:
$R = \frac{15 \times 15}{15 + 15} = \frac{225}{30} = 7.5 \, \Omega$ થાય.
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = I \times R$ સૂત્ર મુજબ, જ્યાં $I$ એ પરિપથનો વિદ્યુતપ્રવાહ છે:
$I = \frac{V}{R} = \frac{1.6}{7.5} \, A$ મળે.
ટર્મિનલ વોલ્ટેજના સમીકરણ $V = E_{eq} - I \times r_{eq}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1.6 = 2 - \left( \frac{1.6}{7.5} \right) \times \left( \frac{r}{4} \right)$.
$r$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$2 - 1.6 = \left( \frac{1.6}{7.5} \right) \times \left( \frac{r}{4} \right)$
$0.4 = \frac{1.6 \times r}{30}$
$0.4 \times 30 = 1.6 \times r$
$12 = 1.6 \times r$
$r = \frac{12}{1.6} = 7.5 \, \Omega$.

(C) કોષોની કુલ સંખ્યા $mn = 24$ છે.
કોષોના મિશ્ર જોડાણમાં મહત્તમ વિધુતપ્રવાહ માટે,બાહ્ય અવરોધ $R$ એ જોડાણના સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ જેટલો હોવો જોઈએ.
સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{mr}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 3\, \Omega$ અને $r = 0.5\, \Omega$ આપેલ છે,તેથી $\frac{m(0.5)}{n} = 3$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $0.5m = 3n$,અથવા $m = 6n$ મળે છે.
હવે $m = 6n$ ને $mn = 24$ માં મૂકતા:
$(6n)n = 24 \Rightarrow 6n^2 = 24 \Rightarrow n^2 = 4 \Rightarrow n = 2$.
હવે $n = 2$ ને $m = 6n$ માં મૂકતા:
$m = 6(2) = 12$.
આમ,$m = 12$ અને $n = 2$ મળે છે.

(C) શ્રેણી પરિપથમાં,કુલ $emf\ (E_{eq})$ એ વ્યક્તિગત $emfs$ નો સરવાળો છે,અને કુલ આંતરિક અવરોધ $(R_{eq})$ એ વ્યક્તિગત આંતરિક અવરોધોનો સરવાળો છે.
દરેક કોષ $n = 1, 2, ..., N$ માટે $E_n = 1.5 r_n$ આપેલ છે.
કુલ $emf$ એ $E_{eq} = \sum_{n=1}^{N} E_n = \sum_{n=1}^{N} 1.5 r_n = 1.5 \sum_{n=1}^{N} r_n$ છે.
કુલ આંતરિક અવરોધ $R_{eq} = \sum_{n=1}^{N} r_n$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ એ $I = \frac{E_{eq}}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{1.5 \sum_{n=1}^{N} r_n}{\sum_{n=1}^{N} r_n} = 1.5 \ A$ મળે છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોપ્લેક્સની કુલ સંખ્યા $N = 5000$ છે. હરોળની સંખ્યા $P = 100$ છે. દરેક હરોળમાં ઇલેક્ટ્રોપ્લેક્સની સંખ્યા $S = 5000$ છે (આકૃતિ મુજબ).
દરેક ઇલેક્ટ્રોપ્લેક્સનું $emf$ $e = 0.15\ V$ અને આંતરિક અવરોધ $r = 0.25\ \Omega$ છે.
એક હરોળનું કુલ $emf$ $E_{row} = S \times e = 5000 \times 0.15 = 750\ V$ છે.
બધી હરોળ સમાંતર હોવાથી,કુલ $emf$ $E_{total} = 750\ V$ થાય.
એક હરોળનો આંતરિક અવરોધ $r_{row} = S \times r = 5000 \times 0.25 = 1250\ \Omega$ છે.
$P$ હરોળ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{total} = r_{row} / P = 1250 / 100 = 12.5\ \Omega$ થાય.
પાણીનો બાહ્ય અવરોધ $R = 500\ \Omega$ છે.
પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = E_{total} / (R + r_{total})$ દ્વારા મળે છે.
$I = 750 / (500 + 12.5) = 750 / 512.5 \approx 1.46\ A \approx 1.5\ A$.

(A) આપેલ છે: ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E)$ = $2.2\;V$,ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $(V)$ = $1.8\;V$,બાહ્ય અવરોધ $(R)$ = $5\;\Omega$.
આંતરિક અવરોધ $(r)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = \left( \frac{E}{V} - 1 \right) R$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r = \left( \frac{2.2}{1.8} - 1 \right) \times 5$
$r = \left( \frac{22}{18} - 1 \right) \times 5$
$r = \left( \frac{11}{9} - 1 \right) \times 5$
$r = \left( \frac{11 - 9}{9} \right) \times 5$
$r = \left( \frac{2}{9} \right) \times 5$
$r = \frac{10}{9}\;\Omega$

(D) આ પરિપથમાં $N$ કોષો શ્રેણીમાં એક બંધ લૂપમાં જોડાયેલા છે. દરેક કોષનું $EMF$ $E = 1.5 \text{ V}$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે, સમતુલ્ય $EMF$ $E_{eq} = N \times E$ થાય.
સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = N \times r$ થાય.
ઓમના નિયમ મુજબ, પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{E_{eq}}{r_{eq}} = \frac{N \times 1.5}{N \times r} = \frac{1.5}{r}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ $1.5 \text{ A}$ છે.

(D) આપેલ છે: દરેક હારમાં કોષોની સંખ્યા $(n)$ = $10$,હારની સંખ્યા $(m)$ = $5$,દરેક કોષનો $emf$ $(E)$ = $1.5 \,V$,દરેક કોષનો આંતરિક અવરોધ $(r)$ = $1 \,\Omega$,બાહ્ય અવરોધ $(R)$ = $20 \,\Omega$.
કોષોના મિશ્ર જોડાણમાં,બેટરીનો કુલ $emf$ એ એક હારના $emf$ જેટલો હોય છે,જે $nE = 10 \times 1.5 = 15 \,V$ છે.
બેટરીનો કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = \frac{nr}{m} = \frac{10 \times 1}{5} = 2 \,\Omega$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$i = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}}$
કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{15}{20 + 2} = \frac{15}{22} \approx 0.68 \,A$.

(A) આપેલ છે: કોષોની કુલ સંખ્યા $N = mn = 24$. બાહ્ય અવરોધ $R = 3 \, \Omega$. દરેક કોષનો આંતરિક અવરોધ $r = 0.5 \, \Omega$.
કોષોના મિશ્ર જોડાણમાં મહત્તમ પ્રવાહ મેળવવા માટે,બાહ્ય અવરોધ એ બેટરીના કુલ આંતરિક અવરોધ જેટલો હોવો જોઈએ.
બેટરીનો કુલ આંતરિક અવરોધ $R_{int} = \frac{mr}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R = R_{int}$ લેતા,આપણને મળે છે $3 = \frac{m \times 0.5}{n}$,જેનું સાદું રૂપ $3 = \frac{m}{2n}$ અથવા $m = 6n$ થાય છે.
$m = 6n$ ને $mn = 24$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(6n) \times n = 24 \implies 6n^2 = 24 \implies n^2 = 4 \implies n = 2$.
હવે,$m$ શોધો: $m = 6 \times 2 = 12$.
આમ,$m = 12$ અને $n = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક હારમાં કોષોની સંખ્યા $n$ છે અને હારની સંખ્યા $m$ છે.
કોષોની કુલ સંખ્યા $N = m \times n = 100$ --- $(i)$
કોષોના મિશ્ર જોડાણમાં મહત્તમ પ્રવાહ માટે,બાહ્ય અવરોધ $R$ એ બેટરીના સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ જેટલો હોવો જોઈએ.
$R = \frac{n \times r}{m}$,જ્યાં $r$ એ એક કોષનો આંતરિક અવરોધ છે.
આપેલ છે કે $R = 25\,\Omega$ અને $r = 1\,\Omega$,તેથી:
$25 = \frac{n \times 1}{m} \Rightarrow n = 25m$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$m \times (25m) = 100$
$25m^2 = 100$
$m^2 = 4$
$m = 2$
આમ,હારની સંખ્યા $2$ હોવી જોઈએ.

(C) શ્રેણી જોડાણનો કુલ $e.m.f.$ $E_{eq} = E + E = 2E$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + r_1 + r_2$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોષ (જેનો આંતરિક અવરોધ $r_1$ છે) ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = E - I r_1$ છે.
આપેલ છે કે $V_1 = 0$,તેથી $E - I r_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = I r_1$.
$I$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$.
$R + r_1 + r_2 = 2r_1$.
$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $m$ હાર સમાંતરમાં જોડાયેલી છે અને દરેક હારમાં $n$ સમાન કોષો છે. કુલ કોષોની સંખ્યા $N = n \times m = 24$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ માંથી મહત્તમ પ્રવાહ મેળવવા માટેની શરત એ છે કે બેટરીનો કુલ આંતરિક અવરોધ બાહ્ય અવરોધ જેટલો હોવો જોઈએ:
$R = \frac{nr}{m}$
અહીં $R = 12\, \Omega$,$r = 2\, \Omega$,અને $N = 24$ આપેલ છે:
$12 = \frac{n \times 2}{m} \Rightarrow 6m = n$
$n = 6m$ ને કુલ કોષોના સમીકરણ $n \times m = 24$ માં મૂકતા:
$(6m) \times m = 24$
$6m^2 = 24$
$m^2 = 4 \Rightarrow m = 2$
હવે,$n$ શોધો:
$n = 6 \times 2 = 12$
આમ,$12$ કોષોની $2$ હાર સમાંતરમાં જોડાયેલી હશે.

(C) જ્યારે બેટરી ચાર્જ થઈ રહી હોય,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ માટેનું સૂત્ર: $V = E + Ir$ છે,જ્યાં $E$ એ બેટરીનું $EMF$ છે,$I$ એ ચાર્જિંગ પ્રવાહ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
આપેલ છે:
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = 12.5 \text{ V}$
ચાર્જિંગ પ્રવાહ $I = 0.5 \text{ A}$
આંતરિક અવરોધ $r = 1 \ \Omega$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$12.5 = E + (0.5 \times 1)$
$12.5 = E + 0.5$
$E = 12.5 - 0.5$
$E = 12 \text{ V}$
તેથી,સ્ટોરેજ બેટરીનું $EMF$ $12 \text{ V}$ છે.

(A) જ્યારે $n$ સમાન કોષો,દરેકનું $EMF$ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ હોય,તેમને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનનું સમતુલ્ય $EMF$ $E_{eq} = E$ થાય છે અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = r/n$ થાય છે.
જો આ કોષોને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે જોડવામાં આવે,તો કુલ પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} = \frac{E}{R + r/n} = \frac{nE}{nR + r}$.
જો બાહ્ય અવરોધ $R$ એ આંતરિક અવરોધની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાનો હોય $(R \ll r/n)$,તો સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$I \approx \frac{E}{r/n} = \frac{nE}{r}$.
આ કિસ્સામાં,પ્રવાહ $I$ એ કોષોની સંખ્યા $n$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે $(I \propto n)$.
આ સંબંધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે આલેખ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(D) કુલ કોષોની સંખ્યા $n$ છે. બે કોષો ઉલટી ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલા છે. આ બે કોષો શ્રેણીમાં રહેલા બીજા બે કોષોની અસરને નાબૂદ કરશે.
તેથી,પરિપથનો અસરકારક $EMF$ $E_{net} = (n - 2 - 2)E = (n - 4)E$ થશે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = nr$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{(n - 4)E}{nr}$ છે.
કોષ $A$ અને $B$ ઉલટી ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ ચાર્જ થઈ રહ્યા છે. ચાર્જ થતા કોષ માટે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E + Ir$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $V = E + \left( \frac{(n - 4)E}{nr} \right)r = E + \frac{(n - 4)E}{n} = E \left( 1 + \frac{n - 4}{n} \right) = E \left( \frac{n + n - 4}{n} \right) = E \left( \frac{2n - 4}{n} \right) = 2E \left( \frac{n - 2}{n} \right) = 2E \left( 1 - \frac{2}{n} \right)$.

(B) આ પરિપથમાં ત્રણ સમાંતર શાખાઓ બિંદુ $B$ સાથે જોડાયેલી છે,જે પછી બિંદુ $A$ સાથે અવરોધ $R$ દ્વારા શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
ટર્મિનલ $A$ અને $B$ સાથે કોઈ બાહ્ય પરિપથ જોડાયેલ ન હોવાથી (તે ઓપન સર્કિટ છે),અવરોધ $R$ માંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ ત્રણ સમાંતર શાખાઓના સમતુલ્ય $EMF$ જેટલો થાય છે.
સમાંતર જોડાણમાં કોષો માટે સમતુલ્ય $EMF$ $(E_{eq})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2} + \frac{E_3}{r_3}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}}$
આપેલ કિંમતો $E_1 = 3 \, V, E_2 = 2 \, V, E_3 = 1 \, V$ અને $r_1 = r_2 = r_3 = 1 \, \Omega$ મૂકતા:
$E_{eq} = \frac{\frac{3}{1} + \frac{2}{1} + \frac{1}{1}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1}} = \frac{3 + 2 + 1}{1 + 1 + 1} = \frac{6}{3} = 2 \, V$
આમ,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2 \, V$ છે.

(A) ધારો કે $12$ કોષોના બોક્સમાં $M$ કોષો યોગ્ય રીતે જોડાયેલા છે અને $N$ કોષો ખોટી રીતે જોડાયેલા છે.
કુલ કોષો $M + N = 12$ --- $(1)$
ધારો કે દરેક કોષનો emf $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
બેટરીનો કુલ emf $(M - N)E$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $12r$ છે.
જ્યારે બે બાહ્ય કોષો બેટરીને મદદ કરે છે,ત્યારે કુલ emf $(M - N)E + 2E = (M - N + 2)E$ થાય છે અને કુલ અવરોધ $14r$ થાય છે.
આપેલ પ્રવાહ $I_1 = 3 \, A$ છે,તેથી $(M - N + 2)E = 3 \times 14r = 42r$ --- $(2)$
જ્યારે બે બાહ્ય કોષો બેટરીનો વિરોધ કરે છે,ત્યારે કુલ emf $(M - N)E - 2E = (M - N - 2)E$ થાય છે અને કુલ અવરોધ $14r$ થાય છે.
આપેલ પ્રવાહ $I_2 = 2 \, A$ છે,તેથી $(M - N - 2)E = 2 \times 14r = 28r$ --- $(3)$
$(2)$ ને $(3)$ વડે ભાગતા:
$\frac{M - N + 2}{M - N - 2} = \frac{42}{28} = \frac{3}{2}$
$2(M - N + 2) = 3(M - N - 2)$
$2(M - N) + 4 = 3(M - N) - 6$
$M - N = 10$ --- $(4)$
$(1)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$2M = 22 \Rightarrow M = 11$
$(1)$ માં કિંમત મૂકતા:
$11 + N = 12 \Rightarrow N = 1$
આમ,$1$ કોષ ખોટી રીતે જોડાયેલો છે.

(C) ધારો કે $R_{eq} = R_g + R$ એ કુલ બાહ્ય અવરોધ છે. ધારો કે દરેક બેટરીનું $EMF$ $E = 1.5\, V$ છે અને આંતરિક અવરોધ $r$ છે.
કિસ્સો $I$: બેટરી શ્રેણીમાં.
કુલ $EMF$ $2E = 3\, V$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $2r$ છે.
પ્રવાહ $I_1 = \frac{2E}{R_{eq} + 2r} = 1\, A$.
$R_{eq} + 2r = 3$ --- $(1)$
કિસ્સો $II$: બેટરી સમાંતરમાં.
કુલ $EMF$ $E = 1.5\, V$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $\frac{r}{2}$ છે.
પ્રવાહ $I_2 = \frac{E}{R_{eq} + \frac{r}{2}} = 0.6\, A$.
$R_{eq} + 0.5r = \frac{1.5}{0.6} = 2.5$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(R_{eq} + 2r) - (R_{eq} + 0.5r) = 3 - 2.5$
$1.5r = 0.5$
$r = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\, \Omega$.

(D) શ્રેણી જોડાણ માટે,કુલ emf $nE$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $nr$ છે. પ્રવાહ $I_s$ આ મુજબ મળે છે: $I_s = \frac{nE}{R + nr}$.
સમાંતર જોડાણ માટે,કુલ emf $E$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $\frac{r}{n}$ છે. પ્રવાહ $I_p$ આ મુજબ મળે છે: $I_p = \frac{E}{R + \frac{r}{n}}$.
આપેલ છે કે પ્રવાહ સમાન છે $(I_s = I_p)$:
$\frac{nE}{R + nr} = \frac{E}{R + \frac{r}{n}}$
$\frac{n}{R + nr} = \frac{1}{\frac{nR + r}{n}}$
$\frac{n}{R + nr} = \frac{n}{nR + r}$
$R + nr = nR + r$
$nr - r = nR - R$
$r(n - 1) = R(n - 1)$
અહીં $n \neq 1$ હોવાથી,આપણને $R = r$ મળે છે.

(A) ધારો કે $B_1$ અને $B_2$ બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે,જેથી $V = V_{B_2} - V_{B_1}$ થાય.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કોષો માટે,તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ અને $I_2$ નીચે મુજબ છે:
$I_1 = \frac{\varepsilon_1 - V}{r_1}$ અને $I_2 = \frac{\varepsilon_2 - V}{r_2}$.
કુલ પ્રવાહ $I$ એ આ પ્રવાહોનો સરવાળો છે:
$I = I_1 + I_2 = \frac{\varepsilon_1 - V}{r_1} + \frac{\varepsilon_2 - V}{r_2}$.
$V$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$I = \left( \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} \right) - V \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$.
$V \left( \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} \right) = \left( \frac{\varepsilon_1 r_2 + \varepsilon_2 r_1}{r_1 r_2} \right) - I$.
$V = \left( \frac{\varepsilon_1 r_2 + \varepsilon_2 r_1}{r_1 + r_2} \right) - I \left( \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} \right)$.
આ સમીકરણને એક સમાન કોષના સમીકરણ $V = \varepsilon_{eq} - Ir_{eq}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \varepsilon_{eq} - Ir_{eq}$ છે.

(A) ધારો કે $m$ હાર સમાંતરમાં જોડાયેલી છે અને દરેક હારમાં $n$ સમાન કોષો શ્રેણીમાં છે. કુલ કોષોની સંખ્યા $N = n \times m = 24$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ માં મહત્તમ પ્રવાહ માટેની શરત $R = \frac{nr}{m}$ છે,જ્યાં $r$ એ દરેક કોષનો આંતરિક અવરોધ છે.
અહીં $R = 12\,\Omega$ અને $r = 2\,\Omega$ આપેલ છે,તેથી $12 = \frac{n \times 2}{m}$,જેનું સાદું રૂપ $n = 6m$ થાય છે.
$n = 6m$ ને $n \times m = 24$ માં મૂકતા,$(6m) \times m = 24$ મળે,તેથી $6m^2 = 24$,જેનો અર્થ છે કે $m^2 = 4$,એટલે કે $m = 2$.
તેથી $n = 6 \times 2 = 12$.
આમ,$2$ હાર છે,જેમાં દરેક હારમાં $12$ કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.

(B) પરિપથમાં બે કોષો એક લૂપમાં જોડાયેલા છે. પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ એ કુલ વિદ્યુતચાલક બળ (emf) ને કુલ અવરોધ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$I = \frac{1.5\,V - 1.3\,V}{r_1 + r_2} = \frac{0.2}{r_1 + r_2}$
વોલ્ટમીટર $V$ એ $1.3\,V$ emf ધરાવતા કોષ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. પ્રવાહ $1.5\,V$ ના કોષમાંથી બહાર નીકળીને $1.3\,V$ ના કોષમાં પ્રવેશતો હોવાથી,$1.3\,V$ નો કોષ ચાર્જ થઈ રહ્યો છે. $1.3\,V$ ના કોષનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = E + Ir_1$
$1.45 = 1.3 + I r_1$
$0.15 = I r_1$
$I$ ની કિંમત મૂકતા:
$0.15 = \left( \frac{0.2}{r_1 + r_2} \right) r_1$
$0.15(r_1 + r_2) = 0.2 r_1$
$0.15 r_1 + 0.15 r_2 = 0.2 r_1$
$0.15 r_2 = 0.05 r_1$
$3 r_2 = r_1$
આમ,સંબંધ $r_1 = 3r_2$ છે.

(D) આકૃતિ પરથી,ચારેય કોષો સમાન ધ્રુવીયતામાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે (એકનો ધન ટર્મિનલ બીજાના ઋણ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે).
પરિપથનો કુલ $EMF$,$E_{eq} = E + E + E + E = 4E$.
પરિપથનો કુલ આંતરિક અવરોધ,$r_{eq} = r + r + r + r = 4r$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{eq}}{r_{eq}} = \frac{4E}{4r} = \frac{E}{r}$ છે.
કોઈપણ એક કોષનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E - Ir$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $E$ એ કોષનો $EMF$ છે અને $r$ તેનો આંતરિક અવરોધ છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V = E - (\frac{E}{r}) \times r = E - E = 0$ મળે છે.
તેથી,કોઈપણ એક કોષના બે છેડા વચ્ચેનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ શૂન્ય છે.

(D) શ્રેણી જોડાણનો કુલ $emf$ એ વ્યક્તિગત $emf$ નો સરવાળો છે: $E_{eq} = E + \frac{E}{n} + \frac{E}{n^2} + \frac{E}{n^3} + \dots = E(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \dots)$. આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r_{ratio}} = \frac{E}{1 - 1/n} = \frac{nE}{n-1}$ થાય છે.
કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = r + \frac{r}{n} + \frac{r}{n^2} + \dots = r(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \dots) = \frac{nr}{n-1}$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R = \frac{nr}{n+1}$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{eq}}{r_{eq} + R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{\frac{nE}{n-1}}{\frac{nr}{n-1} + \frac{nr}{n+1}} = \frac{\frac{nE}{n-1}}{nr(\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1})} = \frac{\frac{E}{n-1}}{\frac{(n+1) + (n-1)}{(n-1)(n+1)}} = \frac{E}{n-1} \times \frac{(n-1)(n+1)}{2n} = \frac{(n+1)E}{2nr}$.

(C) બે કોષો એકબીજાના વિરોધમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંધ પરિપથમાં અસરકારક $EMF$ $E_{eff} = 15 - 10 = 5\,V$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 1 + 0.6 = 1.6\,\Omega$ છે (કારણ કે બંધ લૂપમાં આંતરિક અવરોધો શ્રેણીમાં છે).
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E_{eff}}{R_{total}} = \frac{5}{1.6} = 3.125\,A$ છે.
વોલ્ટમીટર બેટરીના ટર્મિનલ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે. $15\,V$ ની બેટરી માટે (જે ડિસ્ચાર્જ થઈ રહી છે),ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E_1 - I r_1 = 15 - (3.125 \times 0.6) = 15 - 1.875 = 13.125\,V$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$10\,V$ ની બેટરી માટે (જે ચાર્જ થઈ રહી છે),ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E_2 + I r_2 = 10 + (3.125 \times 1) = 10 + 3.125 = 13.125\,V$ છે.
આમ,વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ આશરે $13.1\,V$ હશે.

(B) આ પરિપથમાં બિંદુઓ $D$ અને $C$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે. દરેક શાખામાં $E$ જેટલું $EMF$ અને $r$ જેટલો આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી છે.
બેટરીઓના સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય $EMF$ $E_{eq}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{eq} = \frac{\sum \frac{E_i}{r_i}}{\sum \frac{1}{r_i}} = \frac{\frac{1}{1} + \frac{2}{1} + \frac{3}{1}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1}} = \frac{6}{3} = 2 \, V$
$r_{eq} = \frac{1}{\sum \frac{1}{r_i}} = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3} \, \Omega$
અહીં $A$ અને $B$ આગળ પરિપથ ખુલ્લો હોવાથી,બાહ્ય અવરોધો ($5 \, \Omega$ અને $10 \, \Omega$) માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $D$ અને $C$ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ થાય.
તેથી,$V_{AB} = V_{DC} = E_{eq} = 2 \, V$.

(D) કુલ કોષોની સંખ્યા $n$ છે. બે કોષો ઉલટી ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલા હોવાથી,તેમનું $emf$ બાકીના કોષોના $emf$ નો વિરોધ કરે છે. પરિપથનું કુલ $emf$ $E_{net} = (n - 2)E - 2E = (n - 4)E$ થશે.
પરિપથનો કુલ આંતરિક અવરોધ $R_{total} = nr$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{(n - 4)E}{nr}$ થશે.
ઉલટાવેલી ધ્રુવીયતા ધરાવતા કોષ માટે,તેના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E + ir$ (કારણ કે તે ચાર્જ થઈ રહ્યો છે) દ્વારા મળે છે.
$i$ ની કિંમત મૂકતા: $V = E + \left( \frac{(n - 4)E}{nr} \right)r = E + \frac{(n - 4)E}{n} = E + E - \frac{4E}{n} = 2E - \frac{4E}{n}$.
$2E$ સામાન્ય લેતા,$V = 2E(1 - \frac{2}{n})$ મળે છે.

(C) પરિપથનો કુલ $emf$ $E_{eq} = E + E = 2E$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + r_1 + r_2$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ છે.
આંતરિક અવરોધ $r_1$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{r1} = I r_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$V_{r1} = E$,તેથી $I r_1 = E$.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1 = E$ મળે છે.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2r_1}{R + r_1 + r_2} = 1$ મળે છે.
$2r_1 = R + r_1 + r_2$.
$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$.

(B) ધારો કે $\varepsilon$ એ $emf$ છે અને $r$ એ બેટરીનો આંતરિક અવરોધ છે。
પ્રથમ કિસ્સામાં, જ્યારે પ્રવાહ ઋણથી ધન ટર્મિનલ તરફ વહે છે (ડિસ્ચાર્જિંગ), ત્યારે $12 = \varepsilon - 2r$ ... $(i)$
બીજા કિસ્સામાં, જ્યારે પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે (ચાર્જિંગ), ત્યારે $15 = \varepsilon + 3r$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$15 - 12 = (\varepsilon - \varepsilon) + (3r - (-2r))$
$3 = 5r \implies r = 0.6\, \Omega$
$r$ ની આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$12 = \varepsilon - 2(0.6)$
$12 = \varepsilon - 1.2$
$\varepsilon = 13.2\, V$.

(C) જ્યારે કોષોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ $EMF$ $nE$ થાય છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $nr$ થાય છે. પ્રવાહ $I_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_1 = \frac{nE}{R + nr}$ $(i)$
જ્યારે કોષોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ $EMF$ $E$ થાય છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $r/n$ થાય છે. પ્રવાહ $I_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_2 = \frac{E}{R + r/n} = \frac{nE}{nR + r}$ $(ii)$
આપેલ છે કે બંને કિસ્સામાં પ્રવાહ સમાન છે,તેથી $I_1 = I_2$:
$\frac{nE}{R + nr} = \frac{nE}{nR + r}$
બંને બાજુથી $nE$ દૂર કરતા:
$R + nr = nR + r$
$r$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$nr - r = nR - R$
$r(n - 1) = R(n - 1)$
$r = R$

(C) $E_1, E_2$ $emf$ અને $r_1, r_2$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા બે કોષો સમાંતર જોડાયેલા હોય ત્યારે,સમતુલ્ય $emf$ $(E_{eq})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 r_2}}{\frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $(r_{eq})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}$
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$
આમ,સમતુલ્ય $emf$ $\frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$ છે અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $\frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$ છે.

(A) પરિપથમાં $4 \, \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે સમાંતરમાં બે કોષો જોડાયેલા છે।
પ્રથમ, આપણે કોષો ધરાવતી બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય $EMF$ $(E_{eq})$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $(r_{eq})$ શોધીએ।
પ્રથમ શાખામાં $E_1 = 20 \, V$ અને $r_1 = 4 \, \Omega$ છે।
બીજી શાખામાં $E_2 = 6 \, V$ અને $r_2 = 3 \, \Omega$ છે।
કોષોના સમાંતર જોડાણ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{20}{4} + \frac{6}{3}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} = \frac{5 + 2}{\frac{3+4}{12}} = \frac{7}{\frac{7}{12}} = 12 \, V$.
$r_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{1}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{7}{12}} = \frac{12}{7} \, \Omega$.
હવે, આ સમતુલ્ય પરિપથ $R = 4 \, \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે।
સમાંતર જોડાણ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = E_{eq} \times \frac{R}{R + r_{eq}} = 12 \times \frac{4}{4 + \frac{12}{7}} = 12 \times \frac{4}{\frac{28+12}{7}} = 12 \times \frac{4 \times 7}{40} = 12 \times \frac{28}{40} = 12 \times 0.7 = 8.4 \, V$.

(C) આપેલ $V-I$ આલેખ પરથી,વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon$ એ $V$-અક્ષ પરનો આંતરછેદ છે,તેથી $\varepsilon = 2\,V$.
આંતરિક અવરોધ $r$ એ આલેખના ઢાળનું મૂલ્ય છે: $r = \frac{\Delta V}{\Delta I} = \frac{2\,V}{2\,A} = 1\,\Omega$.
ધારો કે બેટરી $m$ સમાંતર હારની બનેલી છે,જેમાં દરેક હારમાં $n$ કોષો શ્રેણીમાં છે. કોષોની કુલ સંખ્યા $mn = 40$ છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{n\varepsilon}{R + \frac{nr}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પ્રવાહ માટે,બાહ્ય અવરોધ $R$ એ બેટરીના સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ જેટલો હોવો જોઈએ: $R = \frac{nr}{m}$.
આપેલ છે કે $R = 2.5\,\Omega$ અને $r = 1\,\Omega$,તેથી $2.5 = \frac{n(1)}{m} \Rightarrow n = 2.5m$.
આ કિંમતને $mn = 40$ માં મૂકતા: $(2.5m)m = 40 \Rightarrow 2.5m^2 = 40 \Rightarrow m^2 = 16 \Rightarrow m = 4$.
તેથી $n = 2.5 \times 4 = 10$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I = \frac{n\varepsilon}{R + R} = \frac{10 \times 2}{2.5 + 2.5} = \frac{20}{5} = 4\,A$ થાય.

(D) શ્રેણીમાં $n$ કોષો માટે,કુલ $emf$ $E_{eq} = nE$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $r_{eq} = nr$ છે.
ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ $V = E_{eq} - I r_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 10$ આપેલ છે,તેથી $V = 10E - I(10r)$.
આલેખ પરથી,જ્યારે $I = 12 \, A$ હોય,ત્યારે $V = 6 \, V$ છે. આ કિંમતો મૂકતા:
$6 = 10E - 12(10r) \implies 6 = 10E - 120r$ .......... $(1)$
આલેખ પરથી,જ્યારે $V = 0 \, V$ (શોર્ટ સર્કિટ) હોય,ત્યારે $I = 14 \, A$ છે. આ કિંમતો મૂકતા:
$0 = 10E - 14(10r) \implies 10E = 140r \implies r = \frac{10E}{140} = \frac{E}{14}$ .......... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માં $10r = \frac{10E}{14}$ મૂકતા:
$6 = 10E - 12 \left( \frac{10E}{14} \right)$
$6 = 10E - \frac{120E}{14} = 10E - \frac{60E}{7}$
$6 = \frac{70E - 60E}{7} = \frac{10E}{7}$
$10E = 42 \implies E = 4.2 \, V$.

(B) ધારો કે કુલ કોષોની સંખ્યા $n = 32$ છે.
ધારો કે ઉલટી ધ્રુવીયતામાં જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા $m$ છે.
દરેક કોષનો $emf$ $\varepsilon = 3V$ છે.
જ્યારે $m$ કોષો ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ યોગ્ય રીતે જોડાયેલા $m$ કોષોના $emf$ ને રદ કરે છે.
તેથી,કુલ $emf$ માં ફાળો આપતા કોષોની અસરકારક સંખ્યા $(n - m) - m = n - 2m$ છે.
સંયોજનનો કુલ $emf$ $E_{net} = (n - 2m) \varepsilon$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_{net} = 84V$ અને $\varepsilon = 3V$,તેથી:
$84 = (32 - 2m) \times 3$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા:
$28 = 32 - 2m$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$2m = 32 - 28$
$2m = 4$
$m = 2$
આમ,$2$ કોષો ઉલટી રીતે જોડાયેલા છે.

(A) કોષોના મિશ્ર જોડાણમાં મહત્તમ પ્રવાહ મેળવવા માટે,બાહ્ય અવરોધ $R$ એ જોડાણના સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ જેટલો હોવો જોઈએ.
મહત્તમ પ્રવાહ માટેની શરત $R = \frac{nr}{m}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $mR = nr$.
આપેલ છે:
બાહ્ય અવરોધ $R = 2.5\,\Omega$
દરેક કોષનો આંતરિક અવરોધ $r = 0.5\,\Omega$
કોષોની કુલ સંખ્યા $N = m \times n = 45$.
શરત $mR = nr$ માં કિંમતો મૂકતા:
$m \times 2.5 = n \times 0.5$
$5m = n$.
હવે,કુલ કોષોના સમીકરણ $mn = 45$ માં $n = 5m$ મૂકતા:
$m(5m) = 45$
$5m^2 = 45$
$m^2 = 9$
$m = 3$.
તેથી,$n = 5 \times 3 = 15$.
આમ,$m = 3$ અને $n = 15$ મળે છે.

(B) શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કોષોનું કુલ $e.m.f.$ $E_{eq} = E + E = 2E$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + r_1 + r_2$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોષના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = E - I r_1$ છે.
આપેલ છે કે $V_1 = 0$,તેથી $E - I r_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $E = I r_1$.
$I$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$.
બંને બાજુ $E$ વડે ભાગતા: $1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$.
પદોને ગોઠવતા: $R + r_1 + r_2 = 2r_1$.
$R$ માટે ઉકેલતા: $R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$.

(A) શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે સ્ત્રોતોનો કુલ $emf$ $\varepsilon_{eq} = \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + R_1 + R_2$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2\varepsilon}{R + R_1 + R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_2$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા સ્ત્રોત પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \varepsilon - I R_2$ છે.
આપેલ છે કે $V = 0$, તેથી $\varepsilon - I R_2 = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\varepsilon = I R_2$.
$I$ ની કિંમત મૂકતા:
$\varepsilon = \left( \frac{2\varepsilon}{R + R_1 + R_2} \right) R_2$
$1 = \frac{2 R_2}{R + R_1 + R_2}$
$R + R_1 + R_2 = 2 R_2$
$R = 2 R_2 - R_2 - R_1$
$R = R_2 - R_1$.

(D) ડ્રાય સેલનું $emf$ કેથોડ અને એનોડના ઇલેક્ટ્રોડ પોટેન્શિયલ પર આધાર રાખે છે,જે થતી રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓ અને ઇલેક્ટ્રોલાઇટની સાંદ્રતા દ્વારા નક્કી થાય છે.
તે કોષના ભૌતિક પરિમાણો અથવા કદ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(A) ગૌણ કોષોની સંખ્યા,$n = 6$.
દરેક ગૌણ કોષનો $emf$,$E = 2.0 \; V$.
દરેક કોષનો આંતરિક અવરોધ,$r = 0.015 \; \Omega$.
બાહ્ય અવરોધ,$R = 8.5 \; \Omega$.
કોષો શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ $emf = nE$ અને કુલ આંતરિક અવરોધ $= nr$ થાય.
સપ્લાયમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{nE}{R + nr}$ દ્વારા મળે છે.
$I = \frac{6 \times 2.0}{8.5 + 6 \times 0.015} = \frac{12}{8.5 + 0.09} = \frac{12}{8.59} \approx 1.39 \; A$.
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = IR = 1.39 \times 8.5 \approx 11.87 \; V$.
$(b)$ કોષનો $emf$,$E = 1.9 \; V$.
આંતરિક અવરોધ,$r = 380 \; \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max}$ ત્યારે મળે જ્યારે બાહ્ય અવરોધ શૂન્ય હોય: $I_{max} = \frac{E}{r} = \frac{1.9}{380} = 0.005 \; A$.
કારની મોટર શરૂ કરવા માટે ખૂબ મોટા પ્રવાહની જરૂર હોવાથી,આ કોષ મોટર ચલાવી શકશે નહીં.