Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(A) $n$-મી કક્ષાની કુલ ઉર્જા $E_n = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $E_n \propto m$ હોવાથી,$\mu^{-}$-સિસ્ટમ અને હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{\mu}}{E_e} = \frac{m_{\mu}}{m_e} = 207$ થાય.
તેથી,$E_{\mu} = 207 \times E_e = 207 \times (-13.6 \text{ eV}) = -13.6 \times 207 \text{ eV}$.
$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r_n \propto \frac{1}{m}$ હોવાથી,$\mu^{-}$-સિસ્ટમ અને હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_{\mu}}{r_H} = \frac{m_e}{m_{\mu}} = \frac{1}{207}$ થાય.
તેથી,$r_{\mu} = \frac{r_H}{207}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -27.2 / n^2 \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $U = -6.8 \text{ eV}$,તેથી $-27.2 / n^2 = -6.8$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 = 27.2 / 6.8 = 4$,એટલે કે $n = 2$.
$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 r_0$ છે. $n = 2$ માટે,$r_2 = 2^2 r_0 = 4 r_0$.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે: $2 \pi r_n = n \lambda$.
કિંમતો મૂકતા,$2 \pi (4 r_0) = 2 \lambda$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = (8 \pi r_0) / 2 = 4 \pi r_0$ મળે છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતો ઇલેક્ટ્રોન તરંગ પ્રકૃતિ દર્શાવે છે.
સ્થાયી વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ,જે નીચે મુજબની શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$2 \pi r_n = n \lambda$
જ્યાં $r_n$ એ $n$મી કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $\lambda$ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ છે.
પ્રથમ બોહર કક્ષા માટે,$n = 1$ લેતા.
સમીકરણમાં $n = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2 \pi r_1 = 1 \cdot \lambda$
$\lambda = 2 \pi r_1$
આમ,હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ એ પ્રથમ કક્ષાના પરિઘ જેટલી હોય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ઇલેક્ટ્રોન ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં છે,તેથી $n_1 = 1$. પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = \frac{1 \cdot h}{2 \pi} = \frac{h}{2 \pi}$ છે.
$\Delta E$ ઉર્જાનું શોષણ કર્યા પછી,કોણીય વેગમાનમાં $\frac{h}{2 \pi}$ નો વધારો થાય છે.
તેથી,નવું કોણીય વેગમાન $L_2 = L_1 + \frac{h}{2 \pi} = \frac{h}{2 \pi} + \frac{h}{2 \pi} = \frac{2h}{2 \pi}$ થાય છે.
આને $L = \frac{nh}{2 \pi}$ સાથે સરખાવતા,આપણને નવો મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n_2 = 2$ મળે છે.
$n$-મી અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n_1 = 1$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$.
$n_2 = 2$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6 \ eV}{2^2} = -\frac{13.6 \ eV}{4} = -3.4 \ eV$.
શોષાયેલી ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \ eV - (-13.6 \ eV) = 10.2 \ eV$ છે.

(B) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોન $n_i = 2$ થી $n_f = 1$ માં જાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$.
તેથી,$\lambda = \frac{4}{3R}$.

(D) આપેલ કાલ્પનિક દુનિયામાં,કોણીય વેગમાન $L = 2n' \frac{h}{2\pi} = n' \frac{h}{\pi}$ છે,જ્યાં $n' = 1, 2, 3, \dots$ છે.
આને પ્રમાણિત બોહર ક્વોન્ટાઈઝેશન $L = n \frac{h}{2\pi}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે માન્ય કક્ષાઓ $n = 2n'$ ને અનુરૂપ છે.
કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ છે. $n = 2n'$ મૂકતા,આપણને $E_{n'} = -\frac{13.6}{(2n')^2} = -\frac{13.6}{4n'^2} = -\frac{3.4}{n'^2} \text{ eV}$ મળે છે.
દ્રશ્યમાન વિસ્તાર માટે,સંક્રમણ આ સિસ્ટમની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા પર સમાપ્ત થવું જોઈએ. ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n'=1$ $(n=2)$ છે અને પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n'=2$ $(n=4)$ છે.
દ્રશ્યમાન વિસ્તારમાં સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ (સૌથી ઓછી ઉર્જા) માટેનું સંક્રમણ $n'=2$ થી $n'=1$ સુધીનું છે.
ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{3.4}{2^2} - (-\frac{3.4}{1^2}) = -0.85 + 3.4 = 2.55 \text{ eV}$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1242 \text{ eV-nm}}{2.55 \text{ eV}} \approx 487 \text{ nm}$ છે.

(A, B) $He^{+}$ માં સંક્રમણ માટે જરૂરી ઊર્જા $E = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $He^{+}$ માટે,$Z=2$,તેથી $E = 13.6 \times 4 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = 54.4 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) eV$.
$n=2$ થી $n=4$ ના સંક્રમણ માટે,$E = 54.4 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 54.4 \left( \frac{3}{16} \right) = 10.2 eV$.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $10.2 eV$ હોવાથી,$He^{+}$ ઇલેક્ટ્રોન $n=2$ થી $n=4$ માં ઉત્તેજિત થઈ શકે છે.
એકવાર $n=4$ અવસ્થામાં પહોંચ્યા પછી,ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $\frac{n(n-1)}{2} = \frac{4(4-1)}{2} = 6$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $A$ અને $B$ સાચા છે.

(A) કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશનના બોહરના પૂર્વધારણા મુજબ,કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
આ સમીકરણ પરથી,આપણે ક્વોન્ટમ નંબર $n$ ને નીચે મુજબ દર્શાવી શકીએ છીએ:
$n = \frac{2\pi m}{h} \cdot (vr)$
અહીં $m$,$h$,અને $\pi$ અચળાંકો હોવાથી,આપણને મળે છે:
$n \propto vr$
તેથી,રાશિ $vr$ એ ક્વોન્ટમ નંબર $n$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) બોહરના પરમાણુ મોડેલ મુજબ,કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi} \dots (i)$
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r}$ હોવાથી,$v = r\omega$ થાય.
સમીકરણ $(i)$ માં $v = r\omega$ મૂકતા:
$m(r\omega)r = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow m\omega r^2 = \frac{nh}{2\pi} \Rightarrow \omega = \frac{nh}{2\pi mr^2} \dots (ii)$
$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2} \dots (iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $r$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$\omega = \frac{nh}{2\pi m} \left( \frac{\pi m Z e^2}{n^2 h^2 \epsilon_0} \right)^2$
$\omega = \frac{nh}{2\pi m} \cdot \frac{\pi^2 m^2 Z^2 e^4}{n^4 h^4 \epsilon_0^2}$
$\omega = \frac{\pi m Z^2 e^4}{2 h^3 \epsilon_0^2} \cdot \frac{1}{n^3}$
આમ,$\omega \propto \frac{1}{n^3}$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો રેખીય વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{Z e^2}{2 \epsilon_0 n h}$
જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આપેલ પરમાણુ માટે $n$ સિવાયના તમામ પદો અચળ છે.
તેથી,સંબંધ $v \propto \frac{1}{n}$ છે.

(A-D) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના મોડેલ મુજબ:
$v_{n} \propto \frac{1}{n}$
$E_{n} \propto \frac{1}{n^{2}}$
$r_{n} \propto n^{2}$
વિકલ્પ $A$ માટે: $\frac{E_{n} r_{n}}{E_{1} r_{1}} \propto \frac{(1/n^{2}) \cdot n^{2}}{1} = 1$. આ અચળ છે,તેથી ઢાળ $0$ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\frac{r_{n} v_{n}}{r_{1} v_{1}} \propto \frac{n^{2} \cdot (1/n)}{1} = n$. આ $1$ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\frac{r_{n}}{r_{1}} = n^{2}$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln \left(\frac{r_{n}}{r_{1}}\right) = 2 \ln(n)$. આ $2$ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{r_{n}}{E_{n}} \propto \frac{n^{2}}{1/n^{2}} = n^{4}$. તેથી,$\frac{r_{n} E_{1}}{E_{n} r_{1}} = n^{4}$. પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln \left(\frac{r_{n} E_{1}}{E_{n} r_{1}}\right) = 4 \ln(n)$. આ $4$ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ તમામ વિકલ્પો $A, B, C$ અને $D$ ગાણિતિક રીતે સાચા છે.

(B) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
ક્વોન્ટાઇઝેશન શરતમાં $mv = \frac{h}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $\frac{h}{\lambda} r = \frac{nh}{2\pi}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2\pi r = n\lambda$ મળે છે,જ્યાં $2\pi r$ એ $n^{th}$ કક્ષાનો પરિઘ છે.
બીજી બોહર કક્ષા માટે,$n = 2$ છે.
તેથી,બીજી કક્ષાનો પરિઘ $2\pi r = 2\lambda$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે બીજી બોહર કક્ષામાં સમાયેલી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇઓની સંખ્યા $2$ છે.

(D) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{4 \times 10^{-15} \ eV \cdot s \times 3 \times 10^{8} \ m/s}{300 \times 10^{-9} \ m} = \frac{12 \times 10^{-7}}{300 \times 10^{-9}} \ eV = \frac{1200}{300} \ eV = 4 \ eV$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = 13.6 \ eV \times (1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \ eV$ છે.
ફોટોનની ઉર્જા $(4 \ eV)$ એ પ્રથમ ઉત્તેજના માટે જરૂરી ઉર્જા $(10.2 \ eV)$ કરતા ઓછી હોવાથી અને આયનીકરણ ઉર્જા $(13.6 \ eV)$ કરતા પણ ઓછી હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ અવસ્થામાં જવા માટે આ ઉર્જાનું શોષણ કરી શકશે નહીં.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં જ રહેશે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{Z}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r \propto \frac{n^2}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બે સંબંધો પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $r \propto \frac{n}{v}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા લગભગ સમાન છે $(r_1 \approx r_2)$,તેથી $\frac{n_1}{v_1} = \frac{n_2}{v_2}$.
તેથી,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{3 \times 10^5}{2.5 \times 10^5} = \frac{3}{2.5} = \frac{6}{5}$.
આમ,ઉર્જા અવસ્થાઓનો ($n_1$ અને $n_2$) શક્ય ક્રમ $6$ અને $5$ છે.

(C) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{2\pi L}{h} = n$ મળે છે.
$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{E_0}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0$ એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જાનું મૂલ્ય છે.
આપેલ છે કે $E_n = -0.04 E_0$,તેથી $-\frac{E_0}{n^2} = -0.04 E_0$.
બંને બાજુ $-E_0$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{n^2} = 0.04$ મળે છે.
$n^2 = \frac{1}{0.04} = \frac{100}{4} = 25$.
તેથી,$n = 5$.
જેમ કે $\frac{2\pi L}{h} = n$,તેથી તેની કિંમત $5$ છે.

(A) બોહરના મોડેલ મુજબ,કોણીય વેગમાન $L$ નું સૂત્ર $L = n \frac{h}{2\pi}$ છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ (ભૂમિ અવસ્થા) $n = 1$ ને અનુરૂપ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$,અને ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 4$ છે.
સૂત્રમાં $n = 4$ મૂકતા:
$L = 4 \times \frac{h}{2\pi} = 2 \times \frac{h}{\pi}$.
આપેલ છે કે $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}$ અને $\pi \approx 3.14$:
$L = 2 \times \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.14} \approx 2 \times 2.111 \times 10^{-34} = 4.222 \times 10^{-34} \text{ kg m}^2\text{s}^{-1}$.

(D) ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,કોણીય વેગમાન માટે બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
અહીં,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(9.1 \times 10^{-31} \text{ kg})$,$v$ એ વેગ,$r$ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા $(5.3 \times 10^{-11} \text{ m})$,અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.63 \times 10^{-34} \text{ Js})$ છે.
વેગ $v$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $v = \frac{h}{2\pi mr}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 5.3 \times 10^{-11}}$.
આની ગણતરી કરતા,$v \approx 2.18 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ મળે છે.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $v \approx 2.2 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ મળે છે.

(C) બોહર મોડેલ મુજબ,ધરા-સ્થિતિમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $(TE)$ $-13.6 \text{ eV}$ છે.
ગતિ ઊર્જા $(KE)$ એ સંબંધ $KE = -TE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$KE = -(-13.6 \text{ eV}) = +13.6 \text{ eV}$.
સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ એ સંબંધ $PE = 2 \times TE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$PE = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$.
આમ,સ્થિતિ ઊર્જા $-27.2 \text{ eV}$ અને ગતિ ઊર્જા $+13.6 \text{ eV}$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં,ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $E$ તેની ગતિઊર્જા $K$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$E = -K$
$U = 2E$
આપેલ છે કે કુલ ઊર્જા $E = -13.6 \text{ eV}$ છે,તેથી આપણે $K$ અને $U$ શોધી શકીએ છીએ:
$K = -E = -(-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV}$
$U = 2E = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{U} = \frac{13.6 \text{ eV}}{-27.2 \text{ eV}} = -\frac{1}{2}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 r_1$ છે,જ્યાં $r_1$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા (બોહર ત્રિજ્યા) છે.
અહીં $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$ અને $n = 3$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$r_3 = 3^2 \times (5.3 \times 10^{-11} \text{ m})$
$r_3 = 9 \times 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$
$r_3 = 47.7 \times 10^{-11} \text{ m}$
$r_3 = 4.77 \times 10^{-10} \text{ m}$.
આમ,$n = 3$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $4.77 \times 10^{-10} \text{ m}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $L = \frac{3h}{\pi}$,તેથી આપણે બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{\pi}$.
$n$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = 6$ મળે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $n = 6$ મૂકતા: $E_6 = -\frac{13.6}{6^2} = -\frac{13.6}{36}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $E_6 \approx -0.377 \text{ eV}$,જે આશરે $-0.38 \text{ eV}$ થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_i / r_f = n_i^2 / n_f^2 = 16 / 4 = 4$ છે.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $n_i / n_f = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n_i = 2n_f$.
સૌથી સરળ સંક્રમણ માટે,આપણે $n_f = 2$ અને $n_i = 4$ લઈએ છીએ.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$1/\lambda = R(1/n_f^2 - 1/n_i^2)$
$1/\lambda = R(1/2^2 - 1/4^2) = R(1/4 - 1/16) = R(3/16)$.
$R = 1.0973 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ ની કિંમત મૂકતા:
$1/\lambda = 1.0973 \times 10^7 \times (3/16) \approx 0.20574 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$.
$\lambda = 1 / (0.20574 \times 10^7) \approx 4.86 \times 10^{-7} \text{ m} = 486 \text{ nm}$.

(C) વર્તુળાકાર માર્ગમાં ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે કક્ષાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ $I = \frac{ev}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$v$ એ વેગ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,$v \propto \frac{1}{n}$ અને $r \propto n^2$ છે.
આ કિંમતોને પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા: $I \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$.
હવે,$I$ અને $r$ ની કિંમતોને $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $B \propto \frac{I}{r} \propto \frac{1/n^3}{n^2} = \frac{1}{n^5}$.
તેથી,$2^{nd}$ અને $4^{th}$ કક્ષા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_2}{B_4} = \left( \frac{4}{2} \right)^5 = 2^5 = 32$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $32:1$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \times n^2$ છે,જ્યાં $a_0 = 0.529 \text{ Å}$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $r_2 = 0.529 \times (2)^2 \text{ Å}$ મળે છે.
$r_2 = 0.529 \times 4 \text{ Å} = 2.116 \text{ Å}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}$,તેથી $r_2 = 2.116 \times 10^{-10} \text{ m}$ થાય.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ત્રિજ્યાવર્તી અંતર આશરે $2.1 \times 10^{-10} \text{ m}$ મળે છે.