Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
આના પરથી,વેગ $v = \frac{nh}{2\pi mr}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો કક્ષીય પ્રવેગ (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ): $a = \frac{v^2}{r}$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $a = \frac{(\frac{nh}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^2 \cdot r} = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m^2 r^3}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{4 \varepsilon_{0}^{2} n^{3} h^{3}}{m Z^{2} e^{4}}$.
કક્ષીય આવૃત્તિ $f$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત હોવાથી $(f = 1/T)$, આપણને મળે છે:
$f \propto \frac{1}{n^{3}}$.
તેથી, કક્ષીય આવૃત્તિ $n^{-3}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું રેખીય વેગમાન $p = mv = \frac{mZe^2}{2 \epsilon_0 nh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. હાઇડ્રોજન માટે $Z=1$ હોવાથી,$p \propto \frac{1}{n}$ થાય.
$n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ એ બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે. તેથી,$L \propto n$ થાય.
રેખીય વેગમાન અને કોણીય વેગમાનનો ગુણાકાર $p \times L \propto \left(\frac{1}{n}\right) \times n = n^0$ થાય.
આને $n^x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 0$ મળે છે.

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2\pi r = n \left( \frac{h}{mv} \right)$ મળે છે.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા $2\pi r = n\lambda$ મળે છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$ લેતા.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = 2\pi r$ થશે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા $(5.3 \times 10^{-11} \ m)$ છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
$r \propto n^2$ હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે:
$\frac{r_f}{r_i} = \left(\frac{n_f}{n_i}\right)^2$
અહીં $r_i = 5.3 \times 10^{-11} \ m$ ($n_i = 1$ માટે) અને $r_f = 21.2 \times 10^{-11} \ m$ આપેલ છે:
$\frac{21.2 \times 10^{-11}}{5.3 \times 10^{-11}} = \left(\frac{n}{1}\right)^2$
$4 = n^2$
$n = 2$
તેથી,અંતિમ અવસ્થાનો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n=2$ છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગ $v$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(v \propto \frac{1}{n})$.
વેગમાન $p = mv$ હોવાથી,આપણને $p \propto \frac{1}{n}$ મળે છે.
આને ડી-બ્રોગ્લી સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{p} \propto n$ મળે છે.
ધરા અવસ્થા $n = 1$ ને અનુરૂપ છે. ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 4$ ને અનુરૂપ છે.
જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ એ $1$ થી વધીને $4$ થાય છે,તેમ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માં વધારો થશે.

(B) $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજી કક્ષા $(n=3)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_3 = a_0 \times 3^2 = 9 a_0$ થાય.
બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
વેગમાન $mv$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$mv = \frac{nh}{2\pi r}$ મળે.
$n=3$ અને $r=9a_0$ કિંમતો મૂકતા:
$mv = \frac{3h}{2\pi(9a_0)} = \frac{h}{6\pi a_0}$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
$mv$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{h / (6\pi a_0)} = 6\pi a_0$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
વેગમાન $p = mv$ હોવાથી, આપણને $p \propto \frac{1}{n}$ મળે છે。
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
વેગમાન માટેના પ્રમાણસરતાના સંબંધને મૂકતા, આપણને $\lambda \propto n$ મળે છે。
જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં જાય છે, તેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે。
તેથી, ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ વધશે.

(C) બોહરના બીજા અધિતર્ક મુજબ,કોણીય વેગમાન $\frac{nh}{2 \pi} = mvr_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_n = \frac{h}{mv} = \frac{2 \pi r_n}{n}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n^{\text{th}}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = r_1 \times n^2$ છે,જ્યાં $r_1 = r$ છે.
$4^{\text{th}}$ કક્ષા $(n = 4)$ માટે,ત્રિજ્યા $r_4 = r \times 4^2 = 16r$ થાય.
આ કિંમતોને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda_4 = \frac{2 \pi r_4}{4} = \frac{2 \pi \times (16r)}{4} = 8 \pi r$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
$p = mv$ અને ગતિઊર્જા $E_K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,આપણને $p = \sqrt{2mE_K}$ મળે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $\frac{1}{n^2}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E_K \propto \frac{1}{n^2}$.
તેથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mE_K} \propto \sqrt{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{n}$.
કારણ કે $\lambda = \frac{h}{p}$,તેથી $\lambda \propto n$ થાય.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 4)$ થી ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ માં કૂદકો મારે છે,ત્યારે નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_{final}$ અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_{initial}$ નો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{final}}{\lambda_{initial}} = \frac{n_{final}}{n_{initial}} = \frac{1}{4}$ થાય છે.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{4}$ ગણી થાય છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી પરિકલ્પના મુજબ,કણની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $v$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $mv = \frac{h}{\lambda} \quad --- (1)$.
કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઇઝેશન માટે બોહરના પૂર્વધારણા મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $mv$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $mv = \frac{nh}{2\pi r} \quad --- (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માંથી $mv$ માટેના પદોને સરખાવતા:
$\frac{h}{\lambda} = \frac{nh}{2\pi r}$.
બંને બાજુથી $h$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{\lambda} = \frac{n}{2\pi r}$.
તેથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ છે.

(B) બોહરના ક્વોન્ટાઇઝેશનના પૂર્વધારણા મુજબ,સ્થિર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$2\pi r = \frac{nh}{mv}$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{mv}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$2\pi r = n\lambda$
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 1$ છે.
સમીકરણમાં $n = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\lambda = 2\pi r$

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે ધરાસ્થિતિમાં $(m=1)$ સંક્રમણ માટે રિડબર્ગના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda R} = 1 - \frac{1}{n^2}$
$\frac{1}{n^2} = 1 - \frac{1}{\lambda R}$
$\frac{1}{n^2} = \frac{\lambda R - 1}{\lambda R}$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$n^2 = \frac{\lambda R}{\lambda R - 1}$
તેથી,ઉત્તેજિત અવસ્થાનો ક્વોન્ટમ આંક:
$n = \sqrt{\frac{\lambda R}{\lambda R - 1}}$

(B) ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ છે.
જ્યારે પરમાણુ $12.1 \text{ eV}$ ઉર્જાનો ફોટોન શોષે છે,ત્યારે નવી ઉર્જા સ્તર $E_n$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_n = E_1 + 12.1 \text{ eV} = -13.6 \text{ eV} + 12.1 \text{ eV} = -1.5 \text{ eV}$.
બોહરના સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-1.5 = -\frac{13.6}{n^2} \implies n^2 = \frac{13.6}{1.5} \approx 9.06 \approx 9$.
આમ,$n = 3$.
ઇલેક્ટ્રોન $n=3$ સ્તરમાં ઉત્તેજિત થાય છે. ઇલેક્ટ્રોન માટે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં પાછા ફરવા માટેના સંભવિત સંક્રમણો નીચે મુજબ છે:
$1$. $n=3$ થી $n=2$
$2$. $n=3$ થી $n=1$
$3$. $n=2$ થી $n=1$
વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $N = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{3(3-1)}{2} = 3$ છે.
તેથી,$3$ વર્ણપટ રેખાઓ ઉત્સર્જિત થશે.

(D) ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ $=$ કેન્દ્રગામી બળ
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z e^{2}}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}$
વેગ $v$ માટે સૂત્ર:
$v = \sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z e^{2}}{m r}}$
આપેલ કિંમતો: $Z = 1$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, $r = 0.1 \times 10^{-9} \,m$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$, અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \,N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{9 \times 10^{9} \times 1 \times (1.6 \times 10^{-19})^{2}}{9.1 \times 10^{-31} \times 0.1 \times 10^{-9}}}$
$v = \sqrt{\frac{23.04 \times 10^{-29}}{9.1 \times 10^{-41}}} \approx 1.59 \times 10^{6} \,ms^{-1}$.

(D) $n^{\text{th}}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ છે.
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n \propto \frac{1}{n}$ છે.
કોણીય વેગ $\omega_n = \frac{v_n}{r_n} \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ થાય છે.
પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I_n = \frac{e}{T_n} = \frac{e \omega_n}{2 \pi} \propto \omega_n \propto \frac{1}{n^3}$ છે.
કક્ષાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_n = \frac{\mu_0 I_n}{2 r_n}$ છે.
પ્રમાણસરતા મૂકતા: $B_n \propto \frac{I_n}{r_n} \propto \frac{1/n^3}{n^2} = \frac{1}{n^5}$.
તેથી,$B_n \propto n^{-5}$.

(A) વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન $T$ આવર્તકાળ સાથે પરિભ્રમણ કરે છે, તેથી સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = \frac{e}{T}$ થાય.
$T = \frac{2\pi r}{v}$ હોવાથી, $I = \frac{ev}{2\pi r}$ મળે.
આ કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા: $B = \frac{\mu_0 (ev/2\pi r)}{2r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે ધરા અવસ્થામાં $(n=1)$, બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ વેગ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ છે:
$v = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h}$ અને $r = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$.
આ કિંમતો $B$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 e}{4\pi} \cdot \left( \frac{e^2}{2\epsilon_0 h} \right) \cdot \left( \frac{\pi m e^2}{\epsilon_0 h^2} \right)^2$
$B = \frac{\mu_0 e^3}{8\pi \epsilon_0 h} \cdot \frac{\pi^2 m^2 e^4}{\epsilon_0^2 h^4} = \frac{\mu_0 e^7 \pi m^2}{8 \epsilon_0^3 h^5}$.

(B) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,'$n^{th}$' કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન '$L$' એ $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ '$M$' એ $M = \frac{e}{2m_e} L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'$M$' ના સમીકરણમાં '$L$' ની કિંમત મૂકતા:
$M = \frac{e}{2m_e} \left( \frac{nh}{2\pi} \right) = \frac{enh}{4\pi m_e}$.
અહીં '$e$','$h$','$m_e$',અને '$\pi$' અચળાંકો હોવાથી,$M \propto n$ મળે છે.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $i = \frac{e}{T}$ છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે. $T = \frac{2 \pi r}{v}$ હોવાથી,$i = \frac{ev}{2 \pi r}$ મળે.
પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા,$M = \left(\frac{ev}{2 \pi r}\right) (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ મળે.
ઇલેક્ટ્રોનના દળ $m_{e}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,$M = \frac{e}{2 m_{e}} (m_{e}vr)$ મળે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન $L = m_{e}vr = \frac{nh}{2 \pi}$ છે.
આ કિંમત $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$M = \frac{e}{2 m_{e}} \left(\frac{nh}{2 \pi}\right)$ મળે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં $n^{\text{th}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(_1H^1)$ માટે,$Z_H = 1$ અને $n = 2$ છે. તેથી,$E_H = -13.6 \frac{1^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{1}{4} \text{ eV}$.
હિલિયમ આયન $(He^+)$ માટે,$Z_{He} = 2$ અને $n = 2$ છે. તેથી,$E_{He} = -13.6 \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \times 1 \text{ eV}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ અને હિલિયમ આયનની કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર: $\frac{E_H}{E_{He}} = \frac{-13.6 \times (1/4)}{-13.6 \times 1} = \frac{1}{4}$ થાય છે.

(D) $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_{n} \propto \frac{n^{2}}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H$-પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
તેથી,ત્રિજ્યા મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંકના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $r_{n} \propto n^{2}$.
બીજી કક્ષા $(n_{2} = 2)$ અને ત્રીજી કક્ષા $(n_{3} = 3)$ માટે:
$\frac{r_{2}}{r_{3}} = \left(\frac{n_{2}}{n_{3}}\right)^{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 9$ છે.

(B) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5^{\text{મી}}$ કક્ષા $(n_1 = 5)$ માટે,કોણીય વેગમાન $L_5 = \frac{5h}{2\pi}$ છે.
$3^{\text{જી}}$ કક્ષા $(n_2 = 3)$ માટે,કોણીય વેગમાન $L_3 = \frac{3h}{2\pi}$ છે.
કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta L$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta L = L_5 - L_3$
$\Delta L = \frac{5h}{2\pi} - \frac{3h}{2\pi}$
$\Delta L = \frac{h}{2\pi} (5 - 3)$
$\Delta L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર: $r_n = n^2 a_0$ છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા $(5.3 \times 10^{-11} \ m)$ છે.
$n=4$ અવસ્થા માટે,આપણે સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીએ છીએ:
$r_4 = (4)^2 \times (5.3 \times 10^{-11} \ m)$
$r_4 = 16 \times 5.3 \times 10^{-11} \ m$
$r_4 = 84.8 \times 10^{-11} \ m$
$r_4 = 8.48 \times 10^{-10} \ m$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં ઈલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E$ એ તેની ગતિ ઉર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે, કુલ ઉર્જા $E$ અને ગતિ ઉર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -K$ છે.
આપેલ છે કે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E = -13.6 \text{ eV}$ છે.
તેથી, ગતિ ઉર્જા $K = -E = -(-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV}$ થાય.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ અને ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ વિરિયલ પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$U = -2K$
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા $K = \frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r}$ છે.
આ કિંમતને સંબંધમાં મૂકતા:
$U = -2 \times \left( \frac{e^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} r} \right)$
$U = -\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$
આમ,સ્થિતિઊર્જા $-\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $(E)$ એ તેની ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નો સરવાળો છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,કુલ ઊર્જા $(E)$,ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -K = U/2$ છે.
આપેલ છે કે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઊર્જા $E = -13.6 \ eV$ છે.
તેથી,સ્થિતિઊર્જા $U = 2 \times E$ થાય.
$U = 2 \times (-13.6 \ eV) = -27.2 \ eV$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલમાં, કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K)$, સ્થિતિઊર્જા $(U)$ અને કુલ ઊર્જા $(E)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K = -E$
$U = 2E$
$K = -\frac{U}{2}$
અહીં આપેલ છે કે ગતિઊર્જા $K = x$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K = -E$, તેથી $x = -E$, જેનો અર્થ છે કે $E = -x$.
આમ, ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $-x$ છે.

(C) કોણીય વેગમાન માટે બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,કક્ષીય કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ છે:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
જ્યાં:
$m = 6.0 \times 10^{24} \ kg$ (પૃથ્વીનું દળ)
$v = 3 \times 10^{4} \ m/s$ (કક્ષીય ઝડપ)
$r = 1.5 \times 10^{11} \ m$ (કક્ષીય ત્રિજ્યા)
$h = 6.625 \times 10^{-34} \ J \ s$ (પ્લાન્કનો અચળાંક)
ક્વોન્ટમ આંક $n$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$n = \frac{2\pi mvr}{h}$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{2 \times 3.14159 \times (6.0 \times 10^{24}) \times (3 \times 10^{4}) \times (1.5 \times 10^{11})}{6.625 \times 10^{-34}}$
$n = \frac{169.646 \times 10^{39}}{6.625 \times 10^{-34}}$
$n \approx 25.6 \times 10^{73} = 2.56 \times 10^{74} \approx 2.6 \times 10^{74}$
આમ,ક્વોન્ટમ આંક $2.6 \times 10^{74}$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_{n} = n^{2} a_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_{0}$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$,તેથી $r_{1} = (1)^{2} a_{0} = a_{0}$.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 4$ ને અનુરૂપ છે (કારણ કે ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $n=1$ છે,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=2$ છે,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=3$ છે,અને ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n=4$ છે).
તેથી,ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ત્રિજ્યા $r_{4} = (4)^{2} a_{0} = 16 a_{0}$ થશે.

(B) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
અહીં $n = 5$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$ આપેલ છે:
$L = \frac{5 \times 6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14}$
$L = \frac{33.15 \times 10^{-34}}{6.28}$
$L \approx 5.278 \times 10^{-34} \text{ J s}$
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $L \approx 5.3 \times 10^{-34} \text{ J s}$ મળે છે.

(C) બોહરના અધિતર્ક મુજબ,$n$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = n \frac{h}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક અવસ્થા $n_i = 4$ માટે,કોણીય વેગમાન $L_i = 4 \frac{h}{2 \pi}$ છે.
અંતિમ અવસ્થા $n_f = 1$ માટે,કોણીય વેગમાન $L_f = 1 \frac{h}{2 \pi}$ છે.
કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_i - L_f$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta L = \frac{4 h}{2 \pi} - \frac{1 h}{2 \pi} = \frac{3 h}{2 \pi}$.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન કક્ષા $n_1$ થી $n_2$ માં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે શોષાયેલા વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
અહીં $n_1 = 2$ અને $n_2 = 4$ આપેલ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{4 - 1}{16} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = \frac{3 R}{16}$
તેથી,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{16}{3 R}$ થશે.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા સ્તર $n$ થી નીચલા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$N = 3$:
$3 = \frac{n_{1}(n_{1}-1)}{2} \Rightarrow n_{1}^2 - n_{1} - 6 = 0 \Rightarrow (n_{1}-3)(n_{1}+2) = 0$.
$n_{1} > 0$ હોવાથી,$n_{1} = 3$ મળે છે.
બીજા કિસ્સા માટે,$N = 6$:
$6 = \frac{n_{2}(n_{2}-1)}{2} \Rightarrow n_{2}^2 - n_{2} - 12 = 0 \Rightarrow (n_{2}-4)(n_{2}+3) = 0$.
$n_{2} > 0$ હોવાથી,$n_{2} = 4$ મળે છે.
$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ઝડપ $v_n = \frac{Ze^2}{2\varepsilon_0 hn}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v \propto \frac{1}{n}$.
તેથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{4}{3}$ થાય છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે આયનીકરણ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = R c h Z^2$ છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
લિથિયમ આયન $Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
સૂત્રમાં $Z$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = R c h (3)^2 = 9 R c h$.
તેથી,$Li^{2+}$ ની આયનીકરણ ઉર્જા $9 h c R$ છે.

(B) $n^{\text{મી}}$ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 r_1$ છે, જ્યાં $r_1$ એ પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r_1 = r)$ છે.
બીજી બોહર કક્ષા માટે, $n = 2$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$r_2 = (2)^2 \times r$
$r_2 = 4 r$
તેથી, બીજી બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $4 r$ થશે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r_n^2$ હોવાથી,$A_n \propto (n^2)^2 = n^4$ થાય.
ધરા અવસ્થા માટે,$n_1 = 1$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n_2 = 2$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(A_2)$ અને ધરા અવસ્થા $(A_1)$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^4 = \left(\frac{2}{1}\right)^4 = 16$.
તેથી,ગુણોત્તર $16: 1$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 n^2$ છે,જ્યાં $a_0 = 0.53 \ Å$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
આપેલ છે કે,ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ત્રિજ્યા $r_1 = 0.53 \ Å$ ($n_1 = 1$ માટે).
ઉત્તેજિત અવસ્થાની ત્રિજ્યા $r_2 = 2.12 \ Å$ ($n_2 = n$ માટે).
$r \propto n^2$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{r_2}{r_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2.12}{0.53} = \left(\frac{n}{1}\right)^2$
$4 = n^2$
$n = \sqrt{4} = 2$
તેથી,અંતિમ અવસ્થાનો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n=2$ છે.

(C) આપેલ છે:
કક્ષીય ઝડપ $v = 3 \times 10^4 \ m/s$
ત્રિજ્યા $r = 1.5 \times 10^{11} \ m$
પૃથ્વીનું દળ $m_e = 6 \times 10^{24} \ kg$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
કોણીય વેગમાન માટે બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ:
$L = m_e v r = \frac{n h}{2 \pi}$
ક્વોન્ટમ આંક $n$ માટે સૂત્ર:
$n = \frac{2 \pi m_e v r}{h}$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{2 \times 3.14159 \times (6 \times 10^{24}) \times (3 \times 10^4) \times (1.5 \times 10^{11})}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n = \frac{169.646 \times 10^{39}}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n \approx 2.56 \times 10^{74}$
આમ,ક્વોન્ટમ આંક $2.57 \times 10^{74}$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = n^2 r_1$ છે,જ્યાં $r_1$ એ બોહર ત્રિજ્યા (પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા) છે.
આપેલ છે,$r_1 = 0.529 Å$.
આપણે ત્રીજી કક્ષાની ત્રિજ્યા શોધવાની છે,તેથી $n = 3$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r_3 = 3^2 \times r_1$
$r_3 = 9 \times 0.529 Å$
$r_3 = 4.761 Å$.

(B) બોહરના અધિતર્ક મુજબ, કોણીય વેગમાન $L = \frac{n h}{2 \pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $L = \frac{3 h}{2 \pi}$, તેથી $n = 3$ મળે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઈઝેશન પરથી, $mvr = \frac{nh}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi}$, તેથી $mv = \frac{3h}{2\pi r}$.
આ કિંમતને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h \cdot 2\pi r}{3h} = \frac{2}{3} \pi r$.
હાઈડ્રોજન જેવા આયન માટે $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = a_{0} \frac{n^2}{Z}$ છે.
$Li^{2+}$ માટે, $Z = 3$ અને $n = 3$, તેથી $r = a_{0} \frac{3^2}{3} = 3 a_{0}$.
$r$ ની કિંમત $\lambda$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{2}{3} \pi (3 a_{0}) = 2 \pi a_{0}$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $p \pi a_{0}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $p = 2$ મળે છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ નીચે મુજબ છે:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે,વેગમાન $p = mv$ છે:
$p = \frac{h}{2\pi r}$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\lambda = \frac{h}{p}$
કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાંથી $p$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{(h / 2\pi r)} = 2\pi r$
હાઇડ્રોજન પરમાણુના ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં,બોહર ત્રિજ્યા $r = 0.53 \text{ Å}$ છે.
તેથી,$\lambda = 2 \times 3.14 \times 0.53 \text{ Å} \approx 3.33 \text{ Å}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $3.3 \text{ Å}$ છે.

(C) $n$-મી કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો આવર્તકાળ $T$ એ કક્ષાના પરિઘ અને ઇલેક્ટ્રોનના કક્ષીય વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $T = \frac{2 \pi r_{n}}{v_{n}}$.
બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_{n} \propto n^{2}$ છે અને $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_{n} \propto \frac{1}{n}$ છે.
આ સમપ્રમાણતાઓને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T_{n} \propto \frac{r_{n}}{v_{n}} \propto \frac{n^{2}}{1/n} = n^{3}$.
આમ,ભ્રમણનો આવર્તકાળ $n^{3}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto 1/n$ છે.
$n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ છે.
ભ્રમણ આવૃત્તિ $f$ એ $f = v / (2 \pi r)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રમાણસરતા મૂકતા: $f \propto (1/n) / n^2 = 1/n^3$.
તેથી,ભ્રમણ આવૃત્તિ $1/n^3$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $ n $-મી કક્ષાની ઉર્જા $ E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $( n_1 = 1 )$ માટે,$ E_1 = -13.6 \text{ eV} $ છે.
જ્યારે પરમાણુ $ 10.2 \text{ eV} $ ઉર્જાનું શોષણ કરે છે,ત્યારે નવી ઉર્જા $ E_2 = -13.6 + 10.2 = -3.4 \text{ eV} $ થાય છે.
$ E_2 = -\frac{13.6}{n_2^2} = -3.4 \text{ eV} $ હોવાથી,આપણને $ n_2^2 = 4 $ મળે છે,એટલે કે $ n_2 = 2 $.
કોણીય વેગમાન $ L = \frac{nh}{2\pi} $ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાનમાં થતો વધારો $ \Delta L = L_2 - L_1 = \frac{n_2 h}{2\pi} - \frac{n_1 h}{2\pi} = \frac{(n_2 - n_1)h}{2\pi} $ છે.
$ n_2 = 2 $,$ n_1 = 1 $,અને $ h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js} $ મૂકતા:
$ \Delta L = \frac{(2 - 1) \times 6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159} \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ Js} $.
આમ,વધારો $ 1.05 \times 10^{-34} \text{ Js} $ છે.

(D) બોહર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો પરિભ્રમણ સમયગાળો $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કક્ષાની ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ અને ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ છે.
આ સંબંધોને સમયગાળાના સૂત્રમાં મૂકતા: $T \propto \frac{n^2}{1/n} = n^3$.
ધરા અવસ્થા $(n_1 = 1)$ માટે,સમયગાળો $T_1 = T$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_2 = 2)$ માટે,સમયગાળો $T_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $T \propto n^3$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^3$.
$\frac{T_2}{T} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = 8$.
તેથી,$T_2 = 8T$.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ તરીકે ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે કક્ષીય વેગ $v$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $v \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે $v_1$ અને $r_1$ એ ધરાસ્થિતિમાં વેગ અને ત્રિજ્યા છે,અને $v_2$ અને $r_2$ એ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં વેગ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $v_1 = v$,$r_1 = R$,અને $v_2 = \frac{v}{3}$.
સંબંધ $\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{v}{v/3} = \frac{r_2}{R}$.
$r_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $3 = \frac{r_2}{R}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 3R$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનના $n$મી કક્ષામાંથી નીચલી કક્ષામાં સંક્રમણને કારણે મળતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N$ માટેનું સૂત્ર: $N = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$N = 6$:
$6 = \frac{n_1(n_1-1)}{2} \Rightarrow n_1^2 - n_1 - 12 = 0 \Rightarrow (n_1-4)(n_1+3) = 0$. $n > 0$ હોવાથી,$n_1 = 4$ મળે.
બીજા કિસ્સા માટે,$N = 3$:
$3 = \frac{n_2(n_2-1)}{2} \Rightarrow n_2^2 - n_2 - 6 = 0 \Rightarrow (n_2-3)(n_2+2) = 0$. $n > 0$ હોવાથી,$n_2 = 3$ મળે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n \propto \frac{1}{n}$ મુજબ હોય છે.
તેથી,વેગનો ગુણોત્તર: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{3}{4}$ થાય.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{2.2 \times 10^{6}}{2 \pi (5 \times 10^{-11})} \approx 7.0 \times 10^{15} \, Hz$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $i = qf$ છે, જ્યાં $q$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $(1.6 \times 10^{-19} \, C)$ છે।
$i = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (7.0 \times 10^{15} \, Hz) = 11.2 \times 10^{-4} \, A$.
મિલીએમ્પીયરમાં રૂપાંતર કરતા: $i = 1.12 \times 10^{-3} \, A = 1.12 \, mA$.