Only Inductor, Only Capacitor and Only Resistor Circuit Questions in Gujarati

(D) ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_{L} = \frac{V}{X_{L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_{L} = \omega L = 2\pi f L$ છે. તેથી,$I_{L} = \frac{V}{2\pi f L}$. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $I_{L}$ ઘટે છે.
કેપેસિટિવ સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_{C} = \frac{V}{X_{C}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$ છે. તેથી,$I_{C} = V(2\pi f C)$. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $I_{C}$ વધે છે.
તેથી,પ્રથમ સર્કિટમાં પ્રવાહ ઘટે છે અને બીજી સર્કિટમાં પ્રવાહ વધે છે.

(A) આપેલ ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $E = E_0 \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $E_0 = 100 \sqrt{2} \text{ V}$ અને $\omega = 50 \text{ rad/s}$ છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) વોલ્ટેજ $E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{100 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100 \text{ V}$ થાય.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{100 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ છે.
એમીટર rms પ્રવાહ $I_{\text{rms}}$ માપે છે, જે $I_{\text{rms}} = \frac{E_{\text{rms}}}{X_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $I_{\text{rms}} = \frac{100}{10^4} = 10^{-2} \text{ A} = 10 \text{ mA}$ મળે.
આમ, એમીટરનું રીડિંગ $10 \text{ mA}$ છે.

(C) કોઈલનું ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે.
$A.C.$ સ્ત્રોત માટે,આવૃત્તિ $f$ શૂન્ય નથી,તેથી રિએક્ટન્સ $X_{AC} = 2\pi f L$ થાય.
$D.C.$ સ્ત્રોત માટે,આવૃત્તિ $f = 0$ હોય છે,તેથી રિએક્ટન્સ $X_{DC} = 2\pi (0) L = 0$ થાય.
$A.C.$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ રિએક્ટન્સ અને $D.C.$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{X_{AC}}{X_{DC}} = \frac{2\pi f L}{0} = \infty$ થાય.
તેથી,સાચો ગુણોત્તર $\infty$ છે.

(B) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરમાં,પ્રવાહ એ લાગુ પડેલા $e.m.f.$ (વોલ્ટેજ) કરતા $90^{\circ}$ અથવા $\pi/2$ રેડિયન જેટલો પાછળ હોય છે.
જો વોલ્ટેજને $e_L = E_0 \sin(\omega t)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે,તો પ્રવાહ $i_L = I_0 \sin(\omega t - \pi/2)$ થાય છે.
ફેઝર આકૃતિઓમાં,આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ સદિશ $i_L$ એ વોલ્ટેજ સદિશ $e_L$ થી $90^{\circ}$ ઘડિયાળની દિશામાં છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા:
આકૃતિ $(A)$ તેમને વિરુદ્ધ દિશામાં $(180^{\circ})$ દર્શાવે છે.
આકૃતિ $(B)$ માં $i_L$ એ $e_L$ થી $90^{\circ}$ પાછળ (ઘડિયાળની દિશામાં) દર્શાવેલ છે.
આકૃતિ $(C)$ તેમને સમાન કળામાં $(0^{\circ})$ દર્શાવે છે.
આકૃતિ $(D)$ માં $i_L$ એ $e_L$ થી $90^{\circ}$ આગળ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) દર્શાવેલ છે.
તેથી,આકૃતિ $(B)$ સાચો કળા સંબંધ દર્શાવે છે.

(D) માત્ર ઇન્ડક્ટર ધરાવતા $A.C.$ પરિપથમાં, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi fL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહ $I = V / X_L = V / (2\pi fL)$ છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે, તેમ $X_L$ વધે છે, તેથી પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
માત્ર કેપેસિટર ધરાવતા $A.C.$ પરિપથમાં, કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = 1 / (2\pi fC)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહ $I = V / X_C = V \cdot (2\pi fC)$ છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે, તેમ $X_C$ ઘટે છે, તેથી પ્રવાહ $I$ વધે છે.
તેથી, પ્રથમ પરિપથમાં પ્રવાહ ઘટશે અને બીજા પરિપથમાં પ્રવાહ વધશે.

(C) જ્યારે $L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરને $V = V_m \sin(\omega t)$ જેટલો $A.C.$ વોલ્ટેજ લાગુ પાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતું ઇન્ડ્યુસ્ડ $EMF$ $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજના નિયમ મુજબ,$V - L \frac{di}{dt} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $V = L \frac{di}{dt}$.
$V$ ની કિંમત મૂકતા,$V_m \sin(\omega t) = L \frac{di}{dt}$,તેથી $di = \frac{V_m}{L} \sin(\omega t) dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$i = \int \frac{V_m}{L} \sin(\omega t) dt = -\frac{V_m}{\omega L} \cos(\omega t) = \frac{V_m}{\omega L} \sin(\omega t - \pi / 2)$.
વોલ્ટેજ $(\omega t)$ અને પ્રવાહ $(\omega t - \pi / 2)$ ના ફેઝની સરખામણી કરતા,તે સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\pi / 2$ રેડિયનના ફેઝ એંગલ જેટલો પાછળ છે.

(C) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ નું સૂત્ર $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક રિએક્ટન્સ $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ $f$ બમણી કરવામાં આવે $(f' = 2f)$ અને કેપેસિટન્સ $C$ બમણું કરવામાં આવે $(C' = 2C)$,ત્યારે નવો રિએક્ટન્સ $X_{C}'$ નીચે મુજબ મળે:
$X_{C}' = \frac{1}{2 \pi f' C'} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)}$.
$X_{C}' = \frac{1}{4 (2 \pi f C)} = \frac{1}{4} X_{C}$.
તેથી,નવો રિએક્ટન્સ $\frac{X_{C}}{4}$ થશે.

(D) $A.C.$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં:
$1$. શુદ્ધ અવરોધ $(R)$ માં, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ હંમેશા સમાન કળામાં હોય છે.
$2$. શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર $(L)$ માં, વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ ($\pi/2$ રેડિયન) જેટલો આગળ હોય છે, એટલે કે તેઓ સમાન કળામાં હોતા નથી.
$3$. શુદ્ધ કેપેસિટર $(C)$ માં, પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ ($\pi/2$ રેડિયન) જેટલો આગળ હોય છે, એટલે કે તેઓ સમાન કળામાં હોતા નથી.
તેથી, ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ બંનેમાં, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ એકબીજા સાથે કળામાં હોતા નથી. આમ, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) અવરોધ ધરાવતી $A$.$C$. સર્કિટમાં વપરાતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = I_{rms}^2 R$
આપેલ છે:
$P = 108 \text{ W}$
$I_{rms} = 3 \text{ A}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$108 = (3)^2 \times R$
$108 = 9 \times R$
$R = \frac{108}{9} = 12 \ \Omega$
તેથી,સર્કિટમાં અવરોધ $12 \ \Omega$ છે.

(A) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 42 \, mH = 42 \times 10^{-3} \, H$, વોલ્ટેજ $V_{rms} = 200 \, V$, આવૃત્તિ $f = 50 \, Hz$.
સૌ પ્રથમ, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો.
કિંમતો મૂકતા: $X_L = 2 \times \frac{22}{7} \times 50 \times 42 \times 10^{-3} \, \Omega$.
$X_L = 2 \times 22 \times 50 \times 6 \times 10^{-3} \, \Omega = 4400 \times 6 \times 10^{-3} \, \Omega = 13.2 \, \Omega$.
r.m.s. પ્રવાહ $I_{rms}$ એ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_L}$ દ્વારા મળે છે.
$I_{rms} = \frac{200}{13.2} \approx 15.15 \, A$.

(C) $1$. આદર્શ ઇન્ડક્ટર:
- આદર્શ ઇન્ડક્ટરમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ $90^{\circ}$ ના કળા તફાવત (phase difference) ધરાવે છે,જેમાં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ હોય છે.
- તત્કાલિન પાવર $p(t) = v(t) \times i(t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
- એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન,ધન અને ઋણ પાવરના મૂલ્યો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,પરિણામે સરેરાશ પાવર શૂન્ય મળે છે.
$2$. આદર્શ કેપેસિટર:
- આદર્શ કેપેસિટરમાં પણ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ $90^{\circ}$ ના કળા તફાવત ધરાવે છે,પરંતુ અહીં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે.
- ઇન્ડક્ટરના કિસ્સાની જેમ જ,તત્કાલિન પાવર ધન અને ઋણ વચ્ચે બદલાતો રહે છે,જેના પરિણામે એક સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન સરેરાશ પાવર શૂન્ય મળે છે.

(B) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી કહી શકાય કે $X_C \propto \frac{1}{f}$.
પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 50 \ Hz$ અને પ્રારંભિક રિએક્ટન્સ $X_{C1} = 5 \ \Omega$ આપેલ છે.
નવી આવૃત્તિ $f_2 = 100 \ Hz$ છે.
અહીં $f_2 = 2 f_1$ હોવાથી,નવું રિએક્ટન્સ $X_{C2}$ નીચે મુજબ થશે:
$X_{C2} = \frac{X_{C1}}{2} = \frac{5 \ \Omega}{2} = 2.5 \ \Omega$.

(D) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_{L} = \omega L = 2 \pi f L$ છે.
અહીં નવી આવૃત્તિ $f' = 2f$ અને નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 3L$ આપેલ છે.
તેથી,નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}'$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$X_{L}' = 2 \pi f' L'$
$X_{L}' = 2 \pi (2f) (3L)$
$X_{L}' = 6 \times (2 \pi f L)$
કારણ કે $X_{L} = 2 \pi f L$,તેથી $X_{L}' = 6 X_{L}$ થાય.

(A) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = X \ \Omega$ છે.
તેથી,$X = \frac{1}{2 \pi f C}$.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે $(f' = 2f)$ અને કેપેસિટન્સ બમણું કરવામાં આવે $(C' = 2C)$,ત્યારે નવો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C'$ નીચે મુજબ મળે:
$X_C' = \frac{1}{2 \pi f' C'} = \frac{1}{2 \pi (2f) (2C)}$.
$X_C' = \frac{1}{4 (2 \pi f C)}$.
કારણ કે $X = \frac{1}{2 \pi f C}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$X_C' = \frac{X}{4} \ \Omega$.

(B) આપેલ એ.સી. વોલ્ટેજ $E = E_0 \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $E_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ અને $\omega = 100 \text{ rad/s}$ છે।
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ થાય।
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{E_0}{X_C} = \frac{200 \sqrt{2}}{10^4} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-2} \text{ A}$ મળે।
એ.સી. એમીટર એ આર.એમ.એસ. $(RMS)$ પ્રવાહ માપે છે, $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
તેથી, $I_{\text{rms}} = \frac{2 \sqrt{2} \times 10^{-2}}{\sqrt{2}} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$।

(C) શુદ્ધ અવરોધક પરિપથમાં,વોલ્ટેજ $(e_R)$ અને પ્રવાહ $(i_R)$ સમાન કળામાં હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે તેઓ એક જ સમયે તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે. તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $0$ છે. તેથી,આ સંબંધને દર્શાવતો ફેઝર ડાયાગ્રામ બંને સદિશોને એક જ દિશામાં દર્શાવે છે,જે આકૃતિ $(A)$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = \omega L$ છે, જ્યાં $\omega = 2 \pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $X_L = 2 \pi f L$ મળે છે.
અહીં $X_L = 11 \, \Omega$ અને $L = 0.07 \, H$ આપેલ છે, તેથી આવૃત્તિ $f$ શોધવા માટે:
$f = \frac{X_L}{2 \pi L} = \frac{11}{2 \times 3.14159 \times 0.07} \approx \frac{11}{0.4398} \approx 25 \, Hz$.
આમ, ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજની આવૃત્તિ $25 \, Hz$ છે.

(C) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_c$ નું સૂત્ર: $X_c = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $X_c = \frac{1}{1000} \Omega = 10^{-3} \Omega$ અને $C = 5 \mu F = 5 \times 10^{-6} \text{ F}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$10^{-3} = \frac{1}{2 \pi f (5 \times 10^{-6})}$
$10^{-3} = \frac{1}{10 \pi f \times 10^{-6}}$
$10^{-3} = \frac{1}{\pi f \times 10^{-5}}$
આવૃત્તિ $f$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$f = \frac{1}{10^{-3} \times \pi \times 10^{-5}} = \frac{1}{\pi \times 10^{-8}} = \frac{10^8}{\pi} \text{ Hz}$.
કારણ કે $1 \text{ MHz} = 10^6 \text{ Hz}$,તેથી $f = \frac{100 \times 10^6}{\pi} \text{ Hz} = \frac{100}{\pi} \text{ MHz}$.

(A) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = 2 \pi f L$ છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આવૃત્તિ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$f = \frac{X_L}{2 \pi L}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો: $X_L = 330 \Omega$ અને $L = 0.25 mH = 0.25 \times 10^{-3} H$.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{330}{2 \times (22/7) \times 0.25 \times 10^{-3}}$.
$f = \frac{330 \times 7}{2 \times 22 \times 0.25 \times 10^{-3}} = \frac{2310}{11 \times 10^{-3}} = 210 \times 10^3 Hz = 210 kHz$.

(C) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$X_L = 2 \pi f L$
જ્યાં $f$ એ અલ્ટરનેટિંગ કરંટની આવૃત્તિ છે અને $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $X_L$ એ આવૃત્તિ $(f)$ અને ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ બંનેના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$X_L \propto f$ અને $X_L \propto L$.

(D) આપેલ વોલ્ટેજ સમીકરણ $e = 220 \sin(50t)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સમીકરણ $e = E_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,પીક વોલ્ટેજ $E_0 = 220 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $X_C = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2500} = 400 \Omega$.
પીક પ્રવાહ $I_0$ નું સૂત્ર $I_0 = \frac{E_0}{X_C}$ છે.
$I_0 = \frac{220}{400} = \frac{22}{40} = 0.55 \text{ A}$.

(D) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ નું સૂત્ર $X_L = 2 \pi f L$ છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $R = 2 \pi f L$ છે.
જો નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 2L$ અને નવી આવૃત્તિ $f' = 2f$ હોય,તો નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L'$ નીચે મુજબ થશે:
$X_L' = 2 \pi f' L' = 2 \pi (2f) (2L) = 4 (2 \pi f L) = 4R$.
તેથી,નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $4R$ થશે.

(A) કેપેસિટિવ સર્કિટમાં r.m.s. પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
$X_C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I_{rms} = V_{rms} \cdot \omega \cdot C$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $V_{rms} = 230 \text{ V}$,$\omega = 300 \text{ rad/s}$,અને $C = 100 \text{ pF} = 100 \times 10^{-12} \text{ F}$ છે.
$I_{rms} = 230 \times 300 \times 100 \times 10^{-12} \text{ A}$.
$I_{rms} = 230 \times 3 \times 10^4 \times 10^{-12} \text{ A}$.
$I_{rms} = 690 \times 10^{-8} \text{ A} = 6.9 \times 10^{-6} \text{ A}$.

(B) ઇન્ડક્ટરનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ એ સૂત્ર $X_{L} = 2 \pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ $a.c.$ સપ્લાયની આવૃત્તિ છે અને $L$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $X_{L} \propto f$.
તેથી,જો આવૃત્તિ $f$ વધે,તો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ પણ રેખીય રીતે વધે છે.

(B) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ નું સૂત્ર: $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ એ આવૃત્તિના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $X_{C} \propto \frac{1}{f}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f$ છે અને પ્રારંભિક રિએક્ટન્સ $X_{C}$ છે.
ધારો કે નવી આવૃત્તિ $f' = 4f$ છે અને નવું રિએક્ટન્સ $X_{C}'$ છે.
વ્યસ્ત પ્રમાણના સંબંધ $X_{C} \cdot f = \text{અચળ}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X_{C}' \cdot f' = X_{C} \cdot f$
$X_{C}' \cdot (4f) = X_{C} \cdot f$
$X_{C}' = \frac{X_{C}}{4}$.

(D) આપેલ ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $e = e_0 \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $e_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ અને $\omega = 100 \text{ rad/s}$ છે。
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-4}} = 10^4 \Omega$ છે。
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{e_0}{\sqrt{2}} = \frac{200 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 200 \text{ V}$ છે。
$AC$ એમીટરનું અવલોકન $RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ આપે છે。
કિંમતો મૂકતા, $I_{rms} = \frac{200}{10^4} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$ મળે છે.

(A) ચોક કોઈલ એ ઉચ્ચ ઇન્ડક્ટન્સ અને ઓછા અવરોધ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર છે. તેનો ઉપયોગ $AC$ સર્કિટમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે નોંધપાત્ર પાવરનો વ્યય કર્યા વિના પ્રવાહને નિયંત્રિત કરવા માટે થાય છે. $DC$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર નગણ્ય અવરોધ ધરાવતા સાદા વાયર તરીકે કામ કરે છે,તેથી તેનો ઉપયોગ પ્રવાહને અસરકારક રીતે નિયંત્રિત કરવા માટે થઈ શકતો નથી. તેથી,ચોક કોઈલનો ઉપયોગ $AC$ સર્કિટમાં અવરોધ (ઇમ્પિડન્સ) તરીકે થાય છે.

(C) $AC$ સર્કિટમાં,અવરોધક (resistor) ફેઝ તફાવતને ધ્યાનમાં લીધા વિના $I^2R$ લોસને કારણે ઉષ્મા સ્વરૂપે ઉર્જાનો વ્યય કરે છે.
જોકે,આદર્શ ચોક કોઈલ એ નહિવત અવરોધ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર છે.
આદર્શ ઇન્ડક્ટરમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $90^{\circ}$ હોય છે,જેના કારણે પાવર ફેક્ટર $\cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
તેથી,આદર્શ ચોક કોઈલ દ્વારા વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos(90^{\circ}) = 0$ છે.
આમ,ચોક કોઈલ ઉર્જાનો ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય કર્યા વિના $AC$ સર્કિટમાં પ્રવાહને નિયંત્રિત કરે છે.

(A) આપેલ વોલ્ટેજ $e = e_0 \sin \omega t$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ રહે છે. ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ છે. તેથી,તત્કાલીન પ્રવાહ $i_L$ નીચે મુજબ છે:
$i_L = \frac{e_0}{\omega L} \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{e_0}{\omega L} \cos \omega t$
કેપેસિટરમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ રહે છે. કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે. તેથી,તત્કાલીન પ્રવાહ $i_C$ નીચે મુજબ છે:
$i_C = \frac{e_0}{X_C} \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = e_0 \omega C \cos \omega t$
તેથી,પ્રવાહના મૂલ્યો $-\frac{e_0}{\omega L} \cos \omega t$ અને $e_0 \omega C \cos \omega t$ છે.

(A) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત (phase difference) છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi = 90^\circ$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) ના કળા તફાવતથી પાછળ રહે છે.
શુદ્ધ કેપેસિટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi = 90^\circ$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) ના કળા તફાવતથી આગળ રહે છે.
તેથી,બંને કિસ્સાઓમાં પાવર ફેક્ટર $\cos(90^\circ) = 0$ થાય છે.

(D) એસી સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ સંબંધ તેમાં રહેલા ઘટકો પર આધાર રાખે છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટ (જેમાં માત્ર ઇન્ડક્ટર $L$ હોય) માટે,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $\pi / 2$ $(90^{\circ})$ ના ફેઝ એંગલથી આગળ હોય છે,જેનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\pi / 2$ જેટલો પાછળ રહે છે.
શુદ્ધ કેપેસિટીવ સર્કિટ (જેમાં માત્ર કેપેસિટર $C$ હોય) માટે,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\pi / 2$ $(90^{\circ})$ ના ફેઝ એંગલથી આગળ હોય છે.
શુદ્ધ રેઝિસ્ટિવ સર્કિટ (જેમાં માત્ર અવરોધ $R$ હોય) માટે,પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન ફેઝમાં હોય છે (ફેઝ તફાવત $0$ હોય છે).
તેથી,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\pi / 2$ જેટલો પાછળ રહેતો હોવાથી,સર્કિટમાં માત્ર ઇન્ડક્ટર $L$ હોવું જોઈએ.

(A) $A.C.$ સર્કિટમાં ઇન્ડક્ટરનો રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ $A.C.$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે.
$D.C.$ સ્ત્રોત માટે,આવૃત્તિ $f = 0$ હોય છે.
તેથી,$D.C.$ સર્કિટમાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi (0) L = 0$ થાય છે.
$A.C.$ સ્ત્રોત અને $D.C.$ સ્ત્રોતમાં રિએક્ટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{X_{L(ac)}}{X_{L(dc)}} = \frac{\omega L}{0} = \infty$ થાય છે.

(C) પગલું $1$: આપેલ મૂલ્યો:
$V = 220 \ V$
$L = 50 \ mH = 50 \times 10^{-3} \ H$
$\nu = 50 \ Hz$
પગલું $2$: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = \omega L = 2 \pi \nu L$ છે.
પગલું $3$: rms પ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{V}{X_L} = \frac{V}{2 \pi \nu L}$ છે.
પગલું $4$: મૂલ્યો મૂકતા:
$I = \frac{220}{2 \times 3.14159 \times 50 \times 50 \times 10^{-3}}$
$I = \frac{220}{15.70795} \approx 14.005 \ A$.
આમ,rms પ્રવાહ આશરે $14 \ A$ છે.

(C) વોટલેસ પ્રવાહ એટલે એવો $AC$ પરિપથનો પ્રવાહ કે જેમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર શૂન્ય હોય.
$AC$ પરિપથમાં પાવરનું સૂત્ર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે, જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
$P$ શૂન્ય થાય તે માટે $\cos \phi$ શૂન્ય હોવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $\phi = 90^{\circ}$.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ પરિપથ (માત્ર $L$) અથવા શુદ્ધ કેપેસિટિવ પરિપથ (માત્ર $C$) માં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી, માત્ર આદર્શ ઇન્ડક્ટર (માત્ર $L$) અથવા માત્ર આદર્શ કેપેસિટર ધરાવતા પરિપથમાં પાવર ફેક્ટર $\cos 90^{\circ} = 0$ થાય છે, જેના પરિણામે વોટલેસ પ્રવાહ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, માત્ર $L$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} F$,વોલ્ટેજ $V_{rms} = 110 V$,આવૃત્તિ $\nu = 60 Hz$.
સૌ પ્રથમ,$X_C = \frac{1}{2 \pi \nu C}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો.
$X_C = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 60 \times 50 \times 10^{-6}} \approx 53.05 \Omega$.
rms પ્રવાહ $I_{rms}$ એ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ દ્વારા મળે છે.
$I_{rms} = \frac{110}{53.05} \approx 2.07 A$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $I_{rms} = 2.1 A$ મળે છે.

(D) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2 \pi \nu C}$ છે,જ્યાં $\nu$ એ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે.
$DC$ સ્ત્રોત માટે,આવૃત્તિ $\nu = 0 \ Hz$ હોય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $X_C = \frac{1}{2 \pi (0) C} = \frac{1}{0}$ મળે છે.
તેથી,$DC$ સર્કિટમાં કેપેસિટરનો રિએક્ટન્સ અનંત હોય છે.

(A) આપેલ ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $V = 100 \sqrt{2} \sin(100t) \text{ V}$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $V = V_m \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પીક વોલ્ટેજ $V_m = 100 \sqrt{2} \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$X_C = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-4}} = 10^4 \text{ } \Omega$.
રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વોલ્ટેજ $V_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{100 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 100 \text{ V}$ છે.
$RMS$ કરંટ $I_{\text{rms}}$ એ $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{X_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_{\text{rms}} = \frac{100}{10^4} = 10^{-2} \text{ A}$.
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતરિત કરતા,$I_{\text{rms}} = 10^{-2} \times 10^3 \text{ mA} = 10 \text{ mA}$.

(B) શુદ્ધ કેપેસિટિવ $AC$ પરિપથમાં,વોલ્ટેજ $V$ ને $V = V_m \sin(\omega t)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે અને પ્રવાહ $I$ ને $I = I_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ દર્શાવે છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન જેટલો કળામાં આગળ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
$DC$ સર્કિટમાં,આવૃત્તિ $v = 0 \ Hz$ હોય છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi v = 2 \pi \times 0 = 0 \ rad/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $X_C = \frac{1}{0 \times 1} = \frac{1}{0} = \infty$ મળે છે.
તેથી,$DC$ સર્કિટમાં કેપેસિટરનો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ અનંત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે ઓપન સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(D) $AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વ્યય $P$ નું સૂત્ર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
આદર્શ કેપેસિટર માટે,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન જેટલો આગળ હોય છે.
આ કિંમત પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos(\frac{\pi}{2})$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય છે,તેથી સરેરાશ પાવર વ્યય $P = 0$ મળે છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે. ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ ઇન્ડક્ટર દ્વારા એસી પ્રવાહના વહેણ સામે આપવામાં આવતો અવરોધ છે.
$X_L = \omega L = 2 \pi f L$
જ્યાં $f$ એ $AC$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે અને $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
જેમ કે $X_L$ એ આવૃત્તિ $(f)$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે,તે સર્કિટમાં એસી પ્રવાહના વહેણને અસરકારક રીતે મર્યાદિત કરે છે.
$DC$ સર્કિટ માટે,આવૃત્તિ $f = 0$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $X_L = 0$. તેથી,એક શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર $DC$ પ્રવાહને કોઈ અવરોધ આપતું નથી.

(A) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_{L} = \omega L$ છે.
અહીં,$\omega = 2\pi\nu$,જ્યાં $\nu$ એ વોલ્ટેજ સોર્સની આવૃત્તિ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $X_{L} = 2\pi\nu L$ મળે છે.
અહીં $2$,$\pi$,અને $L$ અચળાંક હોવાથી,$X_{L} \propto \nu$ થાય છે.
આ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને આવૃત્તિ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલો આલેખ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) આપેલ છે: કેપેસીટન્સ $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$.
સ્ત્રોત વોલ્ટેજ $V = 50 \sqrt{2} \sin 100 t$.
આ સમીકરણને $V = V_{\max} \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા, આપણને $V_{\max} = 50 \sqrt{2} \text{ V}$ અને $\omega = 100 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \Omega$.
$RMS$ વોલ્ટેજ $V_{\text{rms}} = \frac{V_{\max}}{\sqrt{2}} = \frac{50 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 50 \text{ V}$ છે.
$AC$ એમીટરનું રીડિંગ $RMS$ પ્રવાહ $I_{\text{rms}}$ દર્શાવે છે, જે $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{X_C} = \frac{50}{1000} = 0.05 \text{ A}$ થાય છે.
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા, $I_{\text{rms}} = 0.05 \times 1000 \text{ mA} = 50 \text{ mA}$.

(D) $AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવરનો વ્યય $ P_{av} = VI \cos \phi $ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $ V $ એ $RMS$ વોલ્ટેજ છે,$ I $ એ $RMS$ પ્રવાહ છે,અને $ \phi $ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $ \phi = \pi / 2 $ ના ફેઝ એંગલથી પાછળ રહે છે.
આ કિંમતને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $ P_{av} = VI \cos(\pi / 2) $.
કારણ કે $ \cos(\pi / 2) = 0 $ છે,તેથી આપણને $ P_{av} = VI \times 0 = 0 $ મળે છે.
આમ,શુદ્ધ ઇન્ડક્ટરમાં સરેરાશ પાવરનો વ્યય શૂન્ય છે.

(A) કેપેસિટરનું કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$.
અહીં,$f$ એ $AC$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $X_C \propto \frac{1}{f}$.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C1} = 3 \ k\Omega$ જ્યારે આવૃત્તિ $f_1 = f$ હોય.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે $f_2 = 2f$ થાય.
નવું કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C2}$ આ મુજબ હશે: $X_{C2} = \frac{1}{2 \pi (2f) C} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2 \pi f C} \right) = \frac{X_{C1}}{2}$.
કિંમત મૂકતા: $X_{C2} = \frac{3 \ k\Omega}{2} = 1.5 \ k\Omega$.

(B) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 70 mH = 70 \times 10^{-3} H$,વોલ્ટેજ $V_{rms} = 220 V$,આવૃત્તિ $f = 50 Hz$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $\chi_{L} = \omega L = 2 \pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\chi_{L} = 2 \times \pi \times 50 \times 70 \times 10^{-3} = 7 \pi \Omega$.
$rms$ પ્રવાહ $i_{rms} = \frac{V_{rms}}{\chi_{L}} = \frac{220}{7 \pi} \approx 10 A$.

(A) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = \frac{50}{\pi} \mu F = \frac{50}{\pi} \times 10^{-6} \, F$.
સોર્સ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 250 \, V$ અને આવૃત્તિ $f = 50 \, Hz$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $X_C = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times (\frac{50}{\pi} \times 10^{-6})} = \frac{1}{100 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{5000 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.005} = 200 \, \Omega$.
rms પ્રવાહ $I_{rms}$ નું સૂત્ર $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ છે।
$I_{rms} = \frac{250}{200} = 1.25 \, A$.

(A) આપેલ છે: $V_{rms} = 100 \text{ V}$, $f = 50 \text{ Hz}$, $C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} \text{ F}$.
સૌ પ્રથમ, કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો.
$X_C = \frac{1}{2 \times \pi \times 50 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{100 \pi \times 10^{-4}} = \frac{1}{0.01 \pi} = \frac{100}{\pi} \Omega$.
પ્રવાહનું rms મૂલ્ય $I_{rms}$ એ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_{rms} = \frac{100}{100 / \pi} = \pi \text{ A}$.
કારણ કે $\pi \approx 3.14$, તેથી પ્રવાહ $3.14 \text{ A}$ છે.