Only Inductor, Only Capacitor and Only Resistor Circuit Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક આવૃત્તિ, $f_1 = 50 \, Hz$.
પ્રારંભિક રિએક્ટન્સ, $X_1 = 10 \, \Omega$.
અંતિમ આવૃત્તિ, $f_2 = 200 \, Hz$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = \omega L = 2 \pi f L$ છે.
અહીં $L$ અચળ હોવાથી, $X_L \propto f$ થાય.
તેથી, $\frac{X_2}{X_1} = \frac{f_2}{f_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{X_2}{10} = \frac{200}{50}$.
$\frac{X_2}{10} = 4$.
$X_2 = 4 \times 10 = 40 \, \Omega$.

(A) આપેલ છે,વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin \omega t$,જ્યાં $V_0 = 10 \ V$ અને ઇન્ડક્ટન્સ $L = 10 \ H$ છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર માટે,પ્રેરિત $EMF$ $E = -L \frac{di}{dt}$ છે.
કિર્ચોફના લૂપના નિયમ મુજબ,$V + E = 0$,તેથી $V = L \frac{di}{dt}$.
પ્રવાહ $i$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{di}{dt} = \frac{V}{L} = \frac{V_0 \sin \omega t}{L}$ મળે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$i = \int \frac{V_0}{L} \sin \omega t \ dt = \frac{V_0}{L} \left( -\frac{\cos \omega t}{\omega} \right) = -\frac{V_0}{\omega L} \cos \omega t$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $-\cos \theta = \sin \left( \theta - \frac{\pi}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$i = \frac{V_0}{\omega L} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right)$.
$V_0 = 10$ અને $L = 10$ કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{10}{\omega \times 10} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{\omega} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{2} \right)$.

(B) કેપેસિટરનો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ એ સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ $AC$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $X_C \propto \frac{1}{f}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1$ છે અને પ્રારંભિક રિએક્ટન્સ $X_{C1} = 6 \ k\Omega$ છે.
ધારો કે નવી આવૃત્તિ $f_2 = 2f_1$ છે.
નવો રિએક્ટન્સ $X_{C2}$ ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$\frac{X_{C2}}{X_{C1}} = \frac{f_1}{f_2} = \frac{f_1}{2f_1} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$X_{C2} = \frac{X_{C1}}{2} = \frac{6 \ k\Omega}{2} = 3 \ k\Omega$.

(C) માત્ર કેપેસીટન્સ ધરાવતા $AC$-પરિપથમાં,પ્રવાહ હંમેશા વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ ના કળા તફાવતથી આગળ હોય છે.
આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ એ વોલ્ટેજ $V$ સાથે $q = CV$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર છે,$I = dq/dt = C(dV/dt)$.
જો $V = V_0 \sin(\omega t)$ હોય,તો $I = C \omega V_0 \cos(\omega t) = I_0 \sin(\omega t + 90^{\circ})$ મળે છે.
આમ,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ આગળ છે.

(B) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,એસી વોલ્ટેજ $V = V_0 \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સર્કિટમાં એસી પ્રવાહ $I = I_0 \sin (\omega t - \frac{\pi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બે સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રવાહ એ $EMF$ (વોલ્ટેજ) કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ છે.
તેથી,પ્રવાહ અને $EMF$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ છે.

(D) શુદ્ધ અવરોધક પરિપથમાં,એસી વોલ્ટેજ $V = V_m \sin(\omega t)$ અને એસી પ્રવાહ $I = I_m \sin(\omega t)$ બંને સમાન કળામાં હોય છે.
કારણ કે બંને એક જ સમયે તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે,તેથી વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $0^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને વોલ્ટેજ $V = 220 \sin 50 t \text{ V}$.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $V = V_0 \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણને પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 220 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નીચે મુજબ મળે છે: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2500} = 400 \Omega$.
પીક પ્રવાહ $i_0 = \frac{V_0}{X_C} = \frac{220}{400} = 0.55 \text{ A}$.
$rms$ પ્રવાહ $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.55}{\sqrt{2}} \text{ A}$ થાય છે.

(C) માત્ર ઇન્ડક્ટર ધરાવતી $AC$ સર્કિટ માટે:
$I = I_0 \sin(\omega t)$
$V = V_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = V_0 \cos(\omega t)$
તત્કાલીન પાવર $P = V \cdot I$
$P = (V_0 \cos(\omega t)) \cdot (I_0 \sin(\omega t))$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{V_0 I_0}{2} \sin(2\omega t)$
પાવરની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega$ છે. કારણ કે $\omega = 2\pi f$,પાવરની આવૃત્તિ $f' = 2f$ થાય.
આપેલ છે કે $f = 50 \ Hz$,તેથી તત્કાલીન પાવરની આવૃત્તિ $f' = 2 \times 50 \ Hz = 100 \ Hz$ થશે.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 100 \Omega$,$AC$ સ્ત્રોત $\varepsilon = 10 \sin (250 \pi t)$.
$\varepsilon = \varepsilon_0 \sin (\omega t)$ સાથે સરખાવતા,$\varepsilon_0 = 10 \text{ V}$ અને $\omega = 250 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતી ઉર્જા $H = \int_0^{t} \frac{\varepsilon^2}{R} dt$ દ્વારા મળે છે.
$H = \frac{1}{R} \int_0^{10^{-3}} (10 \sin (250 \pi t))^2 dt = \frac{100}{100} \int_0^{10^{-3}} \sin^2 (250 \pi t) dt$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$H = \int_0^{10^{-3}} \frac{1 - \cos (500 \pi t)}{2} dt$.
$H = \frac{1}{2} \left[ t - \frac{\sin (500 \pi t)}{500 \pi} \right]_0^{10^{-3}}$.
$H = \frac{1}{2} \left[ 10^{-3} - \frac{\sin (500 \pi \times 10^{-3})}{500 \pi} \right] = \frac{1}{2} \left[ 10^{-3} - \frac{\sin (0.5 \pi)}{500 \pi} \right]$.
$\sin (0.5 \pi) = 1$ હોવાથી,$H = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1000} - \frac{1}{500 \pi} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi - 2}{1000 \pi} \right] = \frac{\pi - 2}{2000 \pi} \text{ J}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\pi - 2 \approx 1.14$. તેથી $H \approx \frac{1.14}{2000 \pi} \text{ J} = \frac{0.57}{\pi} \times 10^{-3} \text{ J} = \frac{0.57}{\pi} \text{ mJ}$.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને વોલ્ટેજ $V = 220 \sin 50 t \text{ V}$.
પ્રમાણિત સમીકરણ $V = V_0 \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણને પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 220 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = 400 \Omega$.
પીક પ્રવાહ $i_0$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i_0 = \frac{V_0}{X_C} = \frac{220}{400} = 0.55 \text{ A}$.
rms પ્રવાહ $i_{\text{rms}}$ નીચે મુજબ છે:
$i_{\text{rms}} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.55}{\sqrt{2}} \text{ A}$.

(C) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ નું સૂત્ર $X_L = \omega L$ છે।
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \nu$ હોવાથી, જ્યાં $\nu$ એ $AC$ સ્રોતની આવૃત્તિ છે, તેથી $X_L = 2 \pi \nu L$ થાય।
આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1 \ H$ અને આવૃત્તિ $\nu = 50 \ Hz$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$X_L = 2 \pi \times 50 \times 1 = 100 \pi \ \Omega$.

(C) શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I$ એ વોલ્ટેજ $V$ કરતા $\phi = 90^{\circ}$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) ના ફેઝ એંગલથી પાછળ રહે છે.
$A$.$C$. સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં ફેઝ એંગલ $\phi = 90^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\cos 90^{\circ} = 0$ મળે છે.
તેથી,$P = V_{rms} I_{rms} \times 0 = 0$.
આમ,શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર કોઈ સરેરાશ પાવરનો વપરાશ કરતું નથી.

(B) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ છે.
આપેલ કિંમતો: આવૃત્તિ $f = 50 \text{ Hz}$ અને કેપેસિટન્સ $C = 15.0 \mu\text{F} = 15.0 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$X_C = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times 50 \times 15.0 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{314.159 \times 15.0 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{4712.385 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{10^6}{4712.385} \approx 212.2 \Omega$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $212 \Omega$ મળે છે.