Vector triple product Questions in Hindi

(B) दिया गया है $\vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,और $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$।
$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$ का $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन करने पर:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\hat{i} - \hat{j})$
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$
यहाँ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ और $\vec{a} \cdot \vec{a} = 3$ है:
$1(\vec{a}) - 3\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{a} - 3\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$
अब,$3\vec{b} = \vec{a} - (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$।
अतः,$6\vec{b} = -4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$।
अंत में,$\vec{a} - 6\vec{b} = (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (-4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।

(C) दिया गया है कि $\hat{n} \perp \vec{c}$,अतः $\hat{n} \cdot \vec{c} = 0$.
दिया गया है कि $\vec{a} = \alpha \vec{b} - \hat{n}$.
दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (\alpha \vec{b} - \hat{n}) \cdot \vec{c} = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\hat{n} \cdot \vec{c}) = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) - 0 = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए $\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b}$.
$\vec{a} = \alpha \vec{b} - \hat{n}$ और $\vec{c} \cdot \vec{a} = \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) (\alpha \vec{b} - \hat{n}) - (\alpha(\vec{b} \cdot \vec{c})) \vec{b}$.
$= \alpha(\vec{c} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n} - \alpha(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{b}$.
$= -(\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n}$.
परिमाण लेने पर:
$|\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = |-(\vec{c} \cdot \vec{b}) \hat{n}| = |\vec{c} \cdot \vec{b}| |\hat{n}|$.
चूंकि $\vec{b} \cdot \vec{c} = 12$ और $|\hat{n}| = 1$:
$|\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})| = |12| \times 1 = 12$.

(D) चूंकि $\vec{d}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec{d}$ को $\vec{b} \times \vec{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
माना $\vec{d} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ है।
सबसे पहले,$\vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-8)) - \hat{j}(6 - 2) + \hat{k}(8 - 2) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
अतः,$\vec{d} = \lambda(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k})$ है।
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{d} = 18$ है:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot \lambda(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) = 18$
$\lambda(4 - 12 + 24) = 18 \implies 16\lambda = 18 \implies \lambda = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$ है।
इस प्रकार,$\vec{d} = \frac{9}{8}(2\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) = \frac{9}{4}\hat{i} - \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{27}{4}\hat{k}$ है।
अब,$\vec{a} \times \vec{d} = \vec{a} \times (\lambda(\vec{b} \times \vec{c})) = \lambda(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}))$ की गणना करें।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2)(-1) + (3)(4) + (4)(3) = -2 + 12 + 12 = 22$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(2) + (3)(-2) + (4)(-2) = 4 - 6 - 8 = -10$ है।
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 22(2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) - (-10)(-\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) = (44\hat{i} - 44\hat{j} - 44\hat{k}) - (10\hat{i} - 40\hat{j} - 30\hat{k}) = 34\hat{i} - 4\hat{j} - 14\hat{k}$ है।
$\vec{a} \times \vec{d} = \frac{9}{8}(34\hat{i} - 4\hat{j} - 14\hat{k}) = \frac{9}{4}(17\hat{i} - 2\hat{j} - 7\hat{k})$ है।
$|\vec{a} \times \vec{d}|^2 = (\frac{9}{4})^2 (17^2 + (-2)^2 + (-7)^2) = \frac{81}{16} (289 + 4 + 49) = \frac{81}{16} (342) = \frac{81 \times 171}{8} = 1732.875$ है।

(A) दिया गया है $\vec{a}=-5 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$.
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{u}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \hat{i} = (\vec{a} \cdot \hat{i}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \hat{i}) \vec{a} = -5 \vec{b} - \vec{a}$.
मान रखने पर:
$-5(\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}) - (-5 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}) = -11 \hat{j} + 23 \hat{k}$.
अब,$\vec{c} = ((-11 \hat{j} + 23 \hat{k}) \times \hat{i}) \times \hat{i} \times \hat{i}$.
गणना करने पर $\vec{c} = 11 \hat{j} - 23 \hat{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{c} \cdot(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = (11 \hat{j} - 23 \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 11 - 23 = -12$.

(B) दिया गया है $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
सदिश त्रिक गुणनफल (vector triple product) के नियम $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
यहाँ $\vec{a} = (2, -3, 4)$,$\vec{b} = (3, 4, -5)$,$|\vec{a}|^2 = 29$,$|\vec{b}|^2 = 50$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = -26$,और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 13$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-26 \vec{a} - 29 \vec{b} + 13 \vec{a} - 29 \vec{c} + 13 \vec{b} - (-26) \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
$-13 \vec{a} - 16 \vec{b} - 3 \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$-13 (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 16 |\vec{b}|^2 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = [\vec{a}, \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}, \vec{b}]$.
$-13 (-26) - 16 (50) - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 8 & 13 \\ 3 & 4 & -5 \end{vmatrix}$.
$338 - 800 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = -396$.
$-462 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = -396 \Rightarrow -3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 66 \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{c} = -22$.
अतः,$24 - (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 24 - (-22) = 46$.

(C) सबसे पहले,ध्यान दें कि $|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{5}})^2 + (-\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} = 1$ और $|\vec{b}| = \sqrt{(\frac{2}{\sqrt{14}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{14}})^2 + (\frac{3}{\sqrt{14}})^2} = \sqrt{\frac{4+1+9}{14}} = 1$.
साथ ही,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1(2) + (-2)(1) + 0(3)}{\sqrt{70}} = 0$.
माना $E = (2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot [(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} - 2 \vec{b})]$ है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{u}$ का उपयोग करते हुए:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} - 2 \vec{b}) = [(\vec{a} \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b})) \vec{b} - (\vec{b} \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b})) \vec{a}]$
$= [(|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})) \vec{b} - ((\vec{b} \cdot \vec{a}) - 2|\vec{b}|^2) \vec{a}]$
$= [(1 - 0) \vec{b} - (0 - 2(1)) \vec{a}] = \vec{b} + 2 \vec{a}$.
अब,$E = (2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = |2 \vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
मान रखने पर: $E = 4(1)^2 + (1)^2 + 4(0) = 4 + 1 = 5$.

(A, B, C) दिया गया है कि $|\vec{x}| = |\vec{y}| = |\vec{z}| = \sqrt{2}$ और प्रत्येक जोड़े के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{z} = \vec{z} \cdot \vec{x} = |\vec{x}||\vec{y}| \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 1$.
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{x}$ और $\vec{y} \times \vec{z}$ के लंबवत है,$\vec{a}$,$\vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{z})$ के समानांतर है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{z}) = (\vec{x} \cdot \vec{z})\vec{y} - (\vec{x} \cdot \vec{y})\vec{z} = 1\vec{y} - 1\vec{z} = \vec{y} - \vec{z}$.
अतः,$\vec{a} = \lambda(\vec{y} - \vec{z})$.
तब $\vec{a} \cdot \vec{y} = \lambda(\vec{y} \cdot \vec{y} - \vec{z} \cdot \vec{y}) = \lambda(2 - 1) = \lambda$. इस प्रकार,$\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{y} - \vec{z})$,जो $(B)$ है।
इसी प्रकार,$\vec{b}$,$\vec{y}$ और $\vec{z} \times \vec{x}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{b}$,$\vec{y} \times (\vec{z} \times \vec{x}) = (\vec{y} \cdot \vec{x})\vec{z} - (\vec{y} \cdot \vec{z})\vec{x} = 1\vec{z} - 1\vec{x} = \vec{z} - \vec{x}$ के समानांतर है।
अतः,$\vec{b} = \mu(\vec{z} - \vec{x})$.
तब $\vec{b} \cdot \vec{z} = \mu(\vec{z} \cdot \vec{z} - \vec{x} \cdot \vec{z}) = \mu(2 - 1) = \mu$. इस प्रकार,$\vec{b} = (\vec{b} \cdot \vec{z})(\vec{z} - \vec{x})$,जो $(A)$ है।
अब,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lambda \mu (\vec{y} - \vec{z}) \cdot (\vec{z} - \vec{x}) = \lambda \mu (\vec{y} \cdot \vec{z} - \vec{y} \cdot \vec{x} - \vec{z} \cdot \vec{z} + \vec{z} \cdot \vec{x}) = \lambda \mu (1 - 1 - 2 + 1) = -\lambda \mu = -(\vec{a} \cdot \vec{y})(\vec{b} \cdot \vec{z})$,जो $(C)$ है।

(D) चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है और $\vec{c} \perp \vec{b}$,हम लिख सकते हैं $\vec{c} = \lambda (\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$ का उपयोग करते हुए।
$\vec{b} \cdot \vec{b} = 3^2 + 1^2 + (-1)^2 = 11$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(1) + (3)(-1) = 3 + 2 - 3 = 2$ की गणना करें।
अतः,$\vec{c} = \lambda (11 \vec{a} - 2 \vec{b}) = \lambda (11(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - 2(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})) = \lambda (5\hat{i} + 20\hat{j} + 35\hat{k}) = 5\lambda (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k})$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = 5$,इसलिए $5\lambda (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}) = 5$.
$5\lambda (1 + 8 + 21) = 5 \implies 30\lambda = 1 \implies \lambda = \frac{1}{30}$.
इसलिए,$\vec{c} = \frac{1}{6} (\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k})$.
$|\vec{c}| = \frac{1}{6} \sqrt{1^2 + 4^2 + 7^2} = \frac{1}{6} \sqrt{1 + 16 + 49} = \frac{\sqrt{66}}{6} = \sqrt{\frac{66}{36}} = \sqrt{\frac{11}{6}}$.

(C) माना $\vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ है।
चूंकि अभीष्ट सदिश $\vec{a}$ के लंबवत है और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ के समानांतर होगा।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$।
अदिश गुणन की गणना:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (5)(1) + (2)(-1) + (6)(1) = 5 - 2 + 6 = 9$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (5)(2) + (2)(1) + (6)(1) = 10 + 2 + 6 = 18$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 9(2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 18(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (18-18)\hat{i} + (9+18)\hat{j} + (9-18)\hat{k} = 27 \hat{j} - 9 \hat{k}$।
इसका परिमाण $|27 \hat{j} - 9 \hat{k}| = \sqrt{27^2 + (-9)^2} = \sqrt{729 + 81} = \sqrt{810} = 9 \sqrt{10}$ है।
इकाई सदिश $\pm \frac{27 \hat{j} - 9 \hat{k}}{9 \sqrt{10}} = \pm \frac{3 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{3 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया है $\overline{a} \times \overline{b} + \overline{c} = \overline{0}$,जिसका अर्थ है $\overline{a} \times \overline{b} = -\overline{c}$।
दोनों पक्षों का $\overline{a}$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर: $\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{b}) = -\overline{a} \times \overline{c}$।
वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट सूत्र $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b})\overline{c}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(\overline{a} \cdot \overline{b})\overline{a} - (\overline{a} \cdot \overline{a})\overline{b} = -\overline{a} \times \overline{c}$।
दिया है $\overline{a} = \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $\overline{a} \cdot \overline{a} = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = 2$।
दिया है $\overline{a} \cdot \overline{b} = 3$,इसलिए $3\overline{a} - 2\overline{b} = -\overline{a} \times \overline{c}$।
$\overline{a} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$।
अतः,$2\overline{b} = 3\overline{a} + (\overline{a} \times \overline{c}) = 3(\hat{j} - \hat{k}) + (-2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$।
इसलिए,$\overline{b} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$।

(B) दिया गया है कि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ लंबवत नहीं हैं,इसलिए $\overline{a} \cdot \overline{b} \neq 0$ है।
हमें $\overline{a} \cdot \overline{d} = 0$ और $\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{d}$ दिया गया है।
समीकरण $\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{d}$ के दोनों पक्षों का $\overline{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = \overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{d})$
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ का उपयोग करने पर:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{d}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d}$
चूंकि $\overline{a} \cdot \overline{d} = 0$,समीकरण सरल होकर यह हो जाता है:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} = 0 - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d}$
$\overline{d}$ के लिए हल करने पर:
$(\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d} = (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} - (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b}$
$(\overline{a} \cdot \overline{b})$ से विभाजित करने पर:
$\overline{d} = \overline{c} - \left(\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{\overline{a} \cdot \overline{b}}\right) \overline{b}$

(A) माना $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
चूंकि आवश्यक सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ के रूप में होना चाहिए।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(2) + (1)(1) + (-1)(1) = 2 + 1 - 1 = 2$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(1) + (-1)(1) = 1 + 1 - 1 = 1$.
अब,इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$\vec{v} = 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 1(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = (2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) - (2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = \hat{j}+\hat{k}$ है।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $A$ है (ऋणात्मक चिह्न को ध्यान में रखते हुए)।

(D) दिया गया है: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$.
चूंकि कोई भी दो सदिश संरेख नहीं हैं,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए,$\overline{b}$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,अर्थात $(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 0$.
$\overline{a}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें मिलता है: $-(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा को प्रतिस्थापित करने पर,$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
चूंकि सदिश शून्येतर हैं,$|\overline{b}||\overline{c}|$ से विभाजित करने पर: $\cos \theta = -\frac{1}{3}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
इसलिए,$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.

(B) दिया गया है $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{c} = \hat{j} - \hat{k}$.
हमें $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{c}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों में $\bar{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = \bar{a} \times \bar{c}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करने पर $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}$.
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{a} = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$,इसलिए $(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - 3\bar{b} = \bar{a} \times \bar{c}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $\bar{v} = \bar{a} \times \bar{c} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\bar{b}$ का $\bar{v}$ पर प्रक्षेप $l = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{v}|}{|\bar{v}|}$ है।
$(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - 3\bar{b} = \bar{v}$ में $\bar{v}$ के साथ डॉट गुणन करने पर:
$(\bar{a} \cdot \bar{b})(\bar{a} \cdot \bar{v}) - 3(\bar{b} \cdot \bar{v}) = \bar{v} \cdot \bar{v} = |\bar{v}|^2$.
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{v} = \bar{a} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 0$,इसलिए $-3(\bar{b} \cdot \bar{v}) = |\bar{v}|^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\bar{b} \cdot \bar{v}| = \frac{|\bar{v}|^2}{3}$.
तब $l = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{v}|}{|\bar{v}|} = \frac{|\bar{v}|^2}{3|\bar{v}|} = \frac{|\bar{v}|}{3}$.
$|\bar{v}|^2 = (-2)^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6$.
इसलिए $l = \frac{\sqrt{6}}{3}$,जिसका अर्थ है $l^2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
अतः,$3l^2 = 3 \times \frac{2}{3} = 2$.

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot \{(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b})\}$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए:
$(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b}) = -((2 \overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a} \times \overline{b}))$
$= -\{(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b}) \overline{a} - ((2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a}) \overline{b}\}$
चूंकि $\overline{a} \cdot \overline{a} = 1$ और $\overline{b} \cdot \overline{b} = 1$ (इकाई सदिश) और $\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = 0$ है,अतः सदिश लंबवत हैं।
इसलिए,$(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b} = 2(\overline{a} \cdot \overline{b}) + \overline{b} \cdot \overline{b} = 0 + 1 = 1$.
और $(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a} = 2(\overline{a} \cdot \overline{a}) + \overline{b} \cdot \overline{a} = 2(1) + 0 = 2$.
अतः,व्यंजक $- \{1 \cdot \overline{a} - 2 \cdot \overline{b}\} = 2 \overline{b} - \overline{a}$ हो जाता है।
अब,$E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (2 \overline{b} - \overline{a}) = -(\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (\overline{a}-2 \overline{b}) = -|\overline{a}-2 \overline{b}|^2$.
$|\overline{a}-2 \overline{b}|^2 = |\overline{a}|^2 + 4|\overline{b}|^2 - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) = 1 + 4(1) - 0 = 5$.
इसलिए,$E = -5$.

(B) दिया गया है,$|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=1$ और $|\bar{c}|=2$।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{c}$ का उपयोग करने पर।
दिया गया समीकरण: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - |\bar{a}|^2\bar{c} + \bar{b} = \bar{0}$।
चूंकि $|\bar{a}|=1$,इसलिए $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - \bar{c} = -\bar{b}$।
दोनों पक्षों का परिमाण का वर्ग लेने पर: $|(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - \bar{c}|^2 = |-\bar{b}|^2$।
$(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 |\bar{a}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c})(\bar{a} \cdot \bar{c}) = |\bar{b}|^2$।
$(\bar{a} \cdot \bar{c})^2(1) + 4 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = 1$।
$-(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = -3 \Rightarrow (\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = 3$।
अतः,$\bar{a} \cdot \bar{c} = \sqrt{3}$ (न्यून कोण के लिए)।
$|\bar{a}||\bar{c}| \cos \theta = \sqrt{3} \Rightarrow (1)(2) \cos \theta = \sqrt{3}$।
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$।

(A) हम जानते हैं कि सदिश त्रिक गुणन का नियम है: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$.
दिए गए समीकरण $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $\overline{b}$ का गुणांक शून्य होना चाहिए क्योंकि दाईं ओर $\overline{b}$ का कोई पद नहीं है। अतः,$(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 0$.
$\overline{a}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $-(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
अदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार,$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta$,इसलिए:
$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
चूंकि $\overline{b}$ और $\overline{c}$ शून्येतर सदिश हैं,हम $|\overline{b}||\overline{c}|$ से विभाजित कर सकते हैं:
$-\cos \theta = \frac{1}{3} \implies \cos \theta = -\frac{1}{3}$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
चूंकि $\theta$ दो सदिशों के बीच का कोण है,$0 \le \theta \le \pi$,इसलिए $\sin \theta \ge 0$.
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.

(C) हम सदिश त्रिक गुणन का सूत्र जानते हैं: $(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c} = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{b} \cdot \bar{c}) \bar{a}$.
दिया गया है कि $(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c} = -5 \bar{a} + 4 \bar{b}$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-(\bar{b} \cdot \bar{c}) = -5 \implies \bar{b} \cdot \bar{c} = 5$
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 4$
अब,हमें $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})$ का मान ज्ञात करना है।
सदिश त्रिक गुणन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$.
ज्ञात मानों $\bar{a} \cdot \bar{c} = 4$ और $\bar{a} \cdot \bar{b} = 3$ को रखने पर:
$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = 4 \bar{b} - 3 \bar{c}$.

(C) दिया गया है $|\overline{a}| = \sqrt{3}, |\overline{b}| = 1, |\overline{c}| = 2$.
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - (\overline{a} \cdot \overline{a}) \overline{c}$ का उपयोग करते हुए।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - |\overline{a}|^2 \overline{c} + 3 \overline{b} = \overline{0}$.
चूंकि $|\overline{a}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$,हमारे पास $(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - 3 \overline{c} = -3 \overline{b}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग परिमाण लेने पर: $|(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - 3 \overline{c}|^2 = |-3 \overline{b}|^2$.
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 |\overline{a}|^2 + 9 |\overline{c}|^2 - 6 (\overline{a} \cdot \overline{c})(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 |\overline{b}|^2$.
$(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 (3) + 9 (2)^2 - 6 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 9 (1)^2$.
$-3 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 + 36 = 9$.
$-3 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = -27 \implies (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 9$.
अतः,$\overline{a} \cdot \overline{c} = \pm 3$.
चूंकि $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}| |\overline{c}| \cos \theta$,इसलिए $(\sqrt{3})(2) \cos \theta = \pm 3$.
$\cos \theta = \pm \frac{3}{2\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसलिए,$\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

(D) सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $\vec{u} = \vec{a}$,$\vec{v} = \vec{b}$,और $\vec{w} = (\vec{a} \times \vec{c})$ है।
अतः $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a}$ होगा।
अब,$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot [(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] (\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a})$ होगा।
अदिश त्रिक गुणन $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1(4-2) - 1(-2+4) + 1(1-4) = 2 - 2 - 3 = -3$ है।
और $(\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{a}) = (3) - (-1+2-2) = 3 - (-1) = 4$ है।
अतः,परिणाम $(-3) \times 4 = -12$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए सदिश $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं क्योंकि $|\bar{a}| = \sqrt{\frac{9+1}{10}} = 1$ और $|\bar{b}| = \sqrt{\frac{4+9+36}{49}} = 1$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = \frac{6-6}{7\sqrt{10}} = 0$ की गणना करें।
अब,व्यंजक $(2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot[(\bar{a} \times \bar{b}) \times(\bar{a}+2 \bar{b})]$ को सरल करें।
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w}) \bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v}) \bar{w}$ का उपयोग करते हुए:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times(\bar{a}+2 \bar{b}) = -[(\bar{a}+2 \bar{b}) \times (\bar{a} \times \bar{b})] = -[(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{b}] \bar{a} + [(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{a}] \bar{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$|\bar{a}|=1$,और $|\bar{b}|=1$ है:
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{b} = \bar{a} \cdot \bar{b} + 2|\bar{b}|^2 = 0 + 2(1) = 2$ है।
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{a} = |\bar{a}|^2 + 2(\bar{b} \cdot \bar{a}) = 1 + 0 = 1$ है।
अतः,व्यंजक $-(2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot [-2 \bar{a} + \bar{b}] = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot (2 \bar{a}-\bar{b}) = |2 \bar{a}-\bar{b}|^2$ हो जाता है।
$|2 \bar{a}-\bar{b}|^2 = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4(1) + 1 - 4(0) = 5$।

(D) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
दिया गया है कि $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}\bar{c}$.
$\bar{b}$ और $\bar{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर (चूंकि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ असमतलीय हैं,इसलिए वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं),हमें प्राप्त होता है:
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $-(\bar{a} \cdot \bar{b}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $\bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(C) सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v})\bar{w}$ का उपयोग करते हुए,हम दिए गए व्यंजक का विस्तार करते हैं:
$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$
$\bar{b} \times (\bar{c} \times \bar{a}) = (\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a}$
इनका योग करने पर: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c} + (\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a} = \frac{1}{2}\bar{a}$
चूंकि $(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$ और $(\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c}$ कट जाते हैं,हमारे पास है: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a} = \frac{1}{2}\bar{a}$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} = (\frac{1}{2} + \bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a}$
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ संरेख नहीं हैं,गुणांक शून्य होने चाहिए: $\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ और $\frac{1}{2} + \bar{b} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0 \implies \theta_{ac} = 90^{\circ}$
$\bar{b} \cdot \bar{c} = -\frac{1}{2} \implies |\bar{b}||\bar{c}| \cos(\theta_{bc}) = -\frac{1}{2} \implies (1)(1) \cos(\theta_{bc}) = -\frac{1}{2} \implies \theta_{bc} = 120^{\circ}$
अतः,कोण $90^{\circ}$ और $120^{\circ}$ हैं।

(A) सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका के अनुसार: $\hat{a} \times (\hat{b} \times \hat{c}) = (\hat{a} \cdot \hat{c}) \hat{b} - (\hat{a} \cdot \hat{b}) \hat{c}$.
इसे दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर: $(\hat{a} \cdot \hat{c}) \hat{b} - (\hat{a} \cdot \hat{b}) \hat{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{c}$.
चूंकि $\hat{b}$ और $\hat{c}$ समांतर नहीं हैं,हम $\hat{b}$ और $\hat{c}$ के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$\hat{a} \cdot \hat{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $-(\hat{a} \cdot \hat{b}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \hat{a} \cdot \hat{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
माना $\hat{a}$ और $\hat{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है। चूंकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,$\hat{a} \cdot \hat{b} = |\hat{a}| |\hat{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
इसलिए,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$ प्राप्त होता है।

(D) सदिश त्रिक गुणन सर्वसमिका $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद का मूल्यांकन करते हैं:
$\hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} = 1(\vec{a}) - (1)\hat{i} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - \hat{i} = 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$\hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = (\hat{j} \cdot \hat{j})\vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} = 1(\vec{a}) - (2)\hat{j} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - 2\hat{j} = \hat{i} + 3\hat{k}$
$\hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) = (\hat{k} \cdot \hat{k})\vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k} = 1(\vec{a}) - (3)\hat{k} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - 3\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j}$
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$\vec{b} = (2\hat{j} + 3\hat{k}) + (\hat{i} + 3\hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j}) = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$
अंत में,परिमाण (magnitude) इस प्रकार है:
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}$

(C) सबसे पहले,हम $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के परिमाण और अदिश गुणनफल की जाँच करते हैं।
$|\overline{a}|^2 = \frac{1}{10}(16+9+1) = 2.6$.
$\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{3\sqrt{10}}(4-6+2) = 0$.
अतः,सदिश लंबवत हैं।
माना $E = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot \{(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b})\}$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ का उपयोग करने पर:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a}+2 \bar{b}) = |\bar{a}|^2 \bar{b} - 2|\bar{b}|^2 \bar{a}$.
अब,$E = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot (|\bar{a}|^2 \bar{b} - 2|\bar{b}|^2 \bar{a}) = -5|\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
यहाँ $|\bar{a}|^2 = 2.6$ और $|\bar{b}|^2 = 1$ है,इसलिए $E = -5(2.6)(1) = -13$।

(C) दिया गया है,$(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$.
हम जानते हैं कि सदिश त्रिक गुणन का सूत्र: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$.
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ स्वतंत्र सदिश हैं,इसलिए $\overline{b}$ का गुणांक शून्य होगा:
$\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$.
$\overline{a}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-\overline{b} \cdot \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
अदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta$:
$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
चूंकि सदिश शून्येतर हैं,$|\overline{b}||\overline{c}|$ से भाग देने पर:
$\cos \theta = -\frac{1}{3}$.
अब,सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
चूंकि $\theta$ दो सदिशों के बीच का कोण है,$0 \le \theta \le \pi$,इसलिए $\sin \theta \ge 0$:
$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(A) सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ है।
दिया गया है कि $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \overline{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \overline{c}$,इसलिए चूँकि $\overline{b}$ और $\overline{c}$ समांतर नहीं हैं,हम $\overline{b}$ और $\overline{c}$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।
इस प्रकार,$\overline{a} \cdot \overline{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $-\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\overline{a} \cdot \overline{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ इकाई सदिश हैं,$\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta = (1)(1) \cos \theta = \cos \theta$.
इसलिए,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $\theta \in [0, \pi]$,हमें $\theta = \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होता है।

(D) हम सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\overrightarrow{u} \times (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w})\overrightarrow{v} - (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{w}$.
सबसे पहले,आंतरिक भाग का मूल्यांकन करें: $\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b}$.
अब,इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\overrightarrow{a} \times [\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})] = \overrightarrow{a} \times [(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b}]$
$= (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,इसलिए पहला पद शून्य हो जाता है:
$= 0 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$
$= (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})$.

(C) हम सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हैं: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
इसे $(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x}$ पर लागू करने पर:
$(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x} = (\vec{y} \cdot \vec{x})\vec{x} - (\vec{x} \cdot \vec{x})\vec{y}$.
दिया गया है कि $\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$,इसलिए $\vec{y} \cdot \vec{x} = 0$.
साथ ही,$|\vec{x}| = 1$,इसलिए $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2 = 1^2 = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x} = (0)\vec{x} - (1)\vec{y} = -\vec{y}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) हम सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y})$ पर इसे लागू करने पर:
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y}) = (\bar{x} \cdot \bar{y})\bar{x} - (\bar{x} \cdot \bar{x})\bar{y}$.
दिया गया है कि $\bar{x} \cdot \bar{y} = 0$ और $|\bar{x}| = 1$,इसलिए $\bar{x} \cdot \bar{x} = |\bar{x}|^2 = 1^2 = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y}) = (0)\bar{x} - (1)\bar{y} = -\bar{y}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है कि $a$,$b$ और $c$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$a \cdot b = 0$ और $a \cdot c = 0$ ... $(i)$
अब,सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र का उपयोग करने पर:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$
समीकरण $(i)$ से मान रखने पर:
$a \times (b \times c) = (0) b - (0) c$
$a \times (b \times c) = 0 - 0 = 0$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिए गए सदिश $a = (1, 2, 3)$,$b = (2, -1, 1)$,और $c = (3, 2, 1)$ हैं।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
सबसे पहले,अदिश गुणन (डॉट प्रोडक्ट) की गणना करें:
$a \cdot c = (1)(3) + (2)(2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10$.
$a \cdot b = (1)(2) + (2)(-1) + (3)(1) = 2 - 2 + 3 = 3$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a \times (b \times c) = 10b - 3c$.
हमें $a \times (b \times c) = \alpha a + \beta b + \gamma c$ दिया गया है।
इसलिए,$0a + 10b - 3c = \alpha a + \beta b + \gamma c$.
$a, b,$ और $c$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha = 0, \beta = 10, \gamma = -3$.

(D) $\vec{a}$ और $(\vec{b} \times \vec{c})$ दोनों के लंबवत सदिश को सदिश गुणनफल $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (5 \hat{i} + 4 \hat{k}) = (2)(5) + (3)(0) + (0)(4) = 10$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (2)(0) + (3)(3) + (0)(4) = 9$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 10(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - 9(5 \hat{i} + 4 \hat{k})$
$= 30 \hat{j} + 40 \hat{k} - 45 \hat{i} - 36 \hat{k}$
$= -45 \hat{i} + 30 \hat{j} + 4 \hat{k}$.

(B) दिया गया है कि $a \times b = c$ और $b \times c = a$.
चूंकि $a \times b = c$,सदिश $c$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत है।
चूंकि $b \times c = a$,सदिश $a$,$b$ और $c$ दोनों के लंबवत है।
इसका अर्थ है कि $a, b, c$ परस्पर लंबवत सदिशों का एक समूह बनाते हैं।
सदिश गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए,$a \times c = a \times (a \times b)$.
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका के अनुसार,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
यहाँ,$a \times c = -(c \times a)$.
चूंकि $b \times c = a$,हमारे पास $a \times c = a \times (a \times b) = (a \cdot b)a - (a \cdot a)b$ है।
चूंकि $a, b, c$ परस्पर लंबवत हैं,$a \cdot b = 0$.
अतः,$a \times c = -|a|^2 b$.
यह दर्शाता है कि $a \times c$,$b$ का एक अदिश गुणज है,जिसका अर्थ है कि $a \times c$,$b$ के समांतर है।

(B) सदिश त्रिक गुणन का सूत्र इस प्रकार है:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$
इस सूत्र की तुलना कथन (ii) से करने पर,प्रश्न में दिया गया कथन (ii) $a \times (b \times c) = (a \cdot b) c - (a \cdot c) b$ है,जो सही सूत्र का ऋणात्मक है। अतः,कथन (ii) गलत है।
अब,कथन $(i)$ पर विचार करें: $(a \times b) \times c$. गुणधर्म $u \times v = -(v \times u)$ का उपयोग करते हुए:
$(a \times b) \times c = -c \times (a \times b)$
सदिश त्रिक गुणन का सूत्र लागू करने पर: $-[ (c \cdot b) a - (c \cdot a) b ] = (a \cdot c) b - (b \cdot c) a$.
इस प्रकार,कथन $(i)$ सही है। अतः,$(i)$ सही है और (ii) गलत है।

(B) दिया गया है कि $a \times (b \times c) = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करने पर,$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$.
इसे दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर:
$(a \cdot c) b - (a \cdot b) c = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
चूंकि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,मान लीजिए कि $a$ और $c$ के बीच का कोण $\alpha$ है और $a$ और $b$ के बीच का कोण $\beta$ है।
अतः $a \cdot c = \cos \alpha$ और $a \cdot b = \cos \beta$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(\cos \alpha) b - (\cos \beta) c = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
$b$ और $c$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \alpha = 30^{\circ}$.
$-\cos \beta = \frac{1}{2} \implies \cos \beta = -\frac{1}{2} \implies \beta = 120^{\circ}$.
इस प्रकार,$a$ और $b$ के बीच का कोण $120^{\circ}$ है और $a$ और $c$ के बीच का कोण $30^{\circ}$ है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) दिया गया है $|a| = 1, |b| = 1, |c| = 2$.
समीकरण $a \times (a \times c) = -b$ है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $a \times (a \times c) = (a \cdot c)a - (a \cdot a)c$ का उपयोग करने पर:
$(a \cdot c)a - |a|^2 c = -b$.
चूंकि $|a| = 1$,हमें $(a \cdot c)a - c = -b$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $a$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$(a \cdot c)(a \cdot a) - (a \cdot c) = - (b \cdot a) \Rightarrow (a \cdot c) - (a \cdot c) = - (b \cdot a) \Rightarrow b \cdot a = 0$.
अब,$(a \cdot c)a - c = -b$ का वर्ग करने पर:
$|(a \cdot c)a - c|^2 = |-b|^2$.
$(a \cdot c)^2 |a|^2 + |c|^2 - 2(a \cdot c)(a \cdot c) = |b|^2$.
$(a \cdot c)^2 - 2(a \cdot c)^2 + |c|^2 = |b|^2$.
$- (a \cdot c)^2 + 4 = 1 \Rightarrow (a \cdot c)^2 = 3$.
चूंकि $a \cdot c = |a||c| \cos \theta = 2 \cos \theta$,इसलिए $(2 \cos \theta)^2 = 3$.
$4 \cos^2 \theta = 3 \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{6}$.

(C) सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{A} \cdot \vec{B})\vec{C}$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{x} = \hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} = \vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i}$
$\vec{y} = \hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) - \vec{a} = ((\hat{j} \cdot \hat{j})\vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j}) - \vec{a} = \vec{a} - (\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j} - \vec{a} = -(\hat{j} \cdot \vec{a})\hat{j}$
$\vec{z} = \hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) - \vec{a} = ((\hat{k} \cdot \hat{k})\vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k}) - \vec{a} = \vec{a} - (\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k} - \vec{a} = -(\hat{k} \cdot \vec{a})\hat{k}$
मान लीजिए $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ है। तब:
$\vec{x} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) - a_1\hat{i} = a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$
$\vec{y} = -a_2\hat{j}$
$\vec{z} = -a_3\hat{k}$
अदिश त्रिक गुणन $\left[\begin{array}{lll}\vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\end{array}\right] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ है।
$\vec{y} \times \vec{z} = (-a_2\hat{j}) \times (-a_3\hat{k}) = a_2 a_3 (\hat{j} \times \hat{k}) = a_2 a_3 \hat{i}$।
$\left[\begin{array}{lll}\vec{x} & \vec{y} & \vec{z}\end{array}\right] = (a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \cdot (a_2 a_3 \hat{i}) = 0$ (क्योंकि $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$ और $\hat{k} \cdot \hat{i} = 0$)।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
चूंकि $a \times (b \times c) = \frac{1}{2}b$ दिया है,हमारे पास है:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{2}b$.
चूंकि $b$ और $c$ सामान्यतः असंरेख हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$a \cdot c = \frac{1}{2}$ और $a \cdot b = 0$.
$a \cdot c = \frac{1}{2}$ के लिए,$|a||c| \cos \theta_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow (1)(1) \cos \theta_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta_2 = 60^{\circ}$.
$a \cdot b = 0$ के लिए,$|a||b| \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow (1)(1) \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow \theta_1 = 90^{\circ}$.
अतः,$\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ} + 60^{\circ} = 150^{\circ}$.

(B) सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a}) = (\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a}$
$|\vec{a}|^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})}{|\vec{a}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = \vec{b} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|} \right) \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
यहाँ,$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ सदिश $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश है,और $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$ सदिश $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर अदिश प्रक्षेप है। अतः,$\vec{b} - \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b}$ सदिश $\vec{b}$ का $\vec{a}$ के लंबवत घटक को दर्शाता है।

(C) दिया गया है कि $a, b$ और $c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
दिया गया है $a \times (b \times c) = \frac{1}{\sqrt{2}}(b + c)$,इसलिए $(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{\sqrt{2}}b + \frac{1}{\sqrt{2}}c$.
चूंकि $b$ और $c$ समांतर नहीं हैं,हम $b$ और $c$ के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$a \cdot c = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $-(a \cdot b) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow a \cdot b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
अदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार,$a \cdot c = |a||c| \cos \beta = \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \beta = \frac{\pi}{4}$.
इसी प्रकार,$a \cdot b = |a||b| \cos \alpha = \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \alpha = \frac{3 \pi}{4}$.
अतः,$\alpha - \beta = \frac{3 \pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2 \pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

(C) दिए गए सदिश $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,और $c=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$ का उपयोग करने पर:
$a \cdot c = (2)(2) + (-3)(1) + (1)(1) = 4 - 3 + 1 = 2$
$b \cdot c = (1)(2) + (-1)(1) + (2)(1) = 2 - 1 + 2 = 3$
$(a \times b) \times c = 2(i - j + 2k) - 3(2i - 3j + k) = (2i - 2j + 4k) - (6i - 9j + 3k) = -4i + 7j + k$
$|(a \times b) \times c| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 49 + 1} = \sqrt{66}$.
अब,$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ के लिए:
$a \cdot c = 2$
$a \cdot b = (2)(1) + (-3)(-1) + (1)(2) = 2 + 3 + 2 = 7$
$a \times (b \times c) = 2(i - j + 2k) - 7(2i + j + k) = (2i - 2j + 4k) - (14i + 7j + 7k) = -12i - 9j - 3k$
$|a \times (b \times c)| = \sqrt{(-12)^2 + (-9)^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 81 + 9} = \sqrt{234}$.
अतः,$\frac{|(a \times b) \times c|}{|a \times (b \times c)|} = \sqrt{\frac{66}{234}} = \sqrt{\frac{11}{39}}$.
इसलिए,$|(a \times b) \times c| = \sqrt{\frac{11}{39}}|a \times (b \times c)|$.

(B) दिया गया है,$a = i + j - 2k$.
हमें $\sum \{(a \times i) \times j\}^2$ का मान ज्ञात करना है।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $(A \times B) \times C = (A \cdot C)B - (B \cdot C)A$ का उपयोग करते हुए:
$(a \times i) \times j = (a \cdot j)i - (i \cdot j)a$.
चूंकि $i \cdot j = 0$,यह $(a \cdot j)i$ में सरल हो जाता है।
अतः,$\sum \{(a \times i) \times j\}^2 = \sum \{(a \cdot j)i\}^2 = \sum (a \cdot j)^2 |i|^2$.
चूंकि $|i|^2 = 1$,यह $\sum (a \cdot j)^2$ हो जाता है।
मान लीजिए $a = a_x i + a_y j + a_z k$. तब $a \cdot i = a_x$,$a \cdot j = a_y$,और $a \cdot k = a_z$.
योग $\sum (a \cdot j)^2$ घटकों के वर्गों का योग दर्शाता है,जो $|a|^2$ है।
$|a|^2 = |i + j - 2k|^2 = 1^2 + 1^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.

(B) हम सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हैं: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$।
पहले पद पर इसे लागू करने पर: $i \times (r \times i) = (i \cdot i)r - (i \cdot r)i = r - r_x i$,जहाँ $r = r_x i + r_y j + r_z k$ है।
इसी प्रकार,अन्य पदों के लिए:
$j \times (r \times j) = (j \cdot j)r - (j \cdot r)j = r - r_y j$
$k \times (r \times k) = (k \cdot k)r - (k \cdot r)k = r - r_z k$।
इन तीनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$(i \times (r \times i)) + (j \times (r \times j)) + (k \times (r \times k)) = (r - r_x i) + (r - r_y j) + (r - r_z k)$
$= 3r - (r_x i + r_y j + r_z k)$
$= 3r - r = 2r$।

(A) दिया गया है,बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = 2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$ है।
समतल $\pi$ सदिशों $\vec{a} = -\hat{i}-2 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ द्वारा निर्धारित होता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ है।
रेखा समतल पर स्थित है और $\vec{b}$ के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{v} = \vec{n} \times \vec{b} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a}$ का उपयोग करते हुए।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (0)(1) + (-2)(2) = -1 - 4 = -5$.
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
अतः,$\vec{v} = -5(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - 6(-\hat{i}-2 \hat{k}) = -5\hat{i}-5\hat{j}-10\hat{k} + 6\hat{i} + 12\hat{k} = \hat{i}-5\hat{j}+2\hat{k}$.
नोट: दिशा सदिश को $-1$ से गुणा करने पर $-\hat{i}+5\hat{j}-2\hat{k}$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{p} + \lambda \vec{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k} + \lambda(-\hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k})$ है।

(C) दिया गया है $\vec{a}=-\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}$।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल और परिमाण की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (1)(-1) + (2)(-3) = -1 - 1 - 6 = -8$.
$|\vec{a}|^2 = (-1)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
$|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 1 + 9 = 11$.
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{d} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{a}$।
मान रखने पर: $\vec{d} = 6\vec{b} - (-8)\vec{a} = 6\vec{b} + 8\vec{a}$।
अब,$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{d} = (\vec{a}-\vec{b}) \cdot (8\vec{a} + 6\vec{b})$ की गणना करें।
$= 8(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{b})$।
$= 8(6) + 6(-8) - 8(-8) - 6(11)$।
$= 48 - 48 + 64 - 66 = -2$।