यदि सदिश $\vec{a} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + a\hat{k}$,और $\vec{c} = a\hat{i} + \hat{k}$ दिए गए हैं,तो $a$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए इन तीन सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम हो।

$(\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot \{(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})\} =$

यदि $a = i - j + k$,$b = i + 2j - k$ और $c = 3i + pj + 5k$ समतलीय हैं,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{\lambda} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ और $\vec{\lambda} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2(x + y + z)$ (जहाँ $x + y + z \neq 0$),तो अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$ क्या है?

कथन-$1$: यदि बिंदु $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, z)$ और $(1, 1, 1)$ समतलीय हैं,तो $z = 2$ है।
कथन-$2$: यदि $4$ बिंदु $P, Q, R$ और $S$ समतलीय हैं,तो चतुष्फलक $PQRS$ का आयतन $0$ होता है।

यदि $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ और $\vec{c} \times \vec{a}$ कोरों वाले समांतर षट्फलक का आयतन $9 \text{ घन इकाई}$ है, तो $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}),(\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a})$ और $(\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})$ कोरों वाले समांतर षट्फलक का आयतन क्या होगा?