यदि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन | vedclass

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Question

(D) समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ इसके किनारे हैं।यह

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(D) समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ इसके किनारे हैं।यहाँ,किनारे $\vec{u} = (a - b)$,$\vec{v} = (b - c)$ और $\vec{w} = (c - a)$ हैं।आयतन $V = |(a - b) \cdot ((b - c) 	imes (c - a))|$.क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $(b - c) 	imes (c - a) = (b 	imes c) - (b 	imes a) - (c 	imes c) + (c 	imes a)$.चूँकि $c 	imes c = 0$,इसलिए $(b - c) 	imes (c - a) = (b 	imes c) - (b 	imes a) + (c 	imes a)$.अब $(a - b)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट लेने पर:$V = (a - b) \cdot (b 	imes c - b 	imes a + c 	imes a)$$V = a \cdot (b 	imes c) - a \cdot (b 	imes a) + a \cdot (c 	imes a) - b \cdot (b 	imes c) + b \cdot (b 	imes a) - b \cdot (c 	imes a)$.अदिश त्रिगुणित गुणनफल के गुणधर्म के अनुसार,यदि दो सदिश समान हों तो उसका मान $0$ होता है:$a \cdot (b 	imes c) = [a, b, c]$$a \cdot (b 	imes a) = 0$$a \cdot (c 	imes a) = 0$$b \cdot (b 	imes c) = 0$$b \cdot (b 	imes a) = 0$$b \cdot (c 	imes a) = [b, c, a] = [a, b, c]$.इन मानों को रखने पर: $V = [a, b, c] - 0 + 0 - 0 + 0 - [a, b, c] = 0$.

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