Multiplication Theorem on Probability Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ઘટના $E_1$ એ લોકડાઉન થવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ લોકડાઉન ન થવાની ઘટના છે. ધારો કે $A$ એ એક મહિનામાં રોગચાળો નિયંત્રિત થવાની ઘટના છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(E_1) = 0.7$
$P(E_2) = 1 - 0.7 = 0.3$
$P(A \mid E_1) = 0.8$
$P(A \mid E_2) = 0.3$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A) = P(E_1) \times P(A \mid E_1) + P(E_2) \times P(A \mid E_2)$
$P(A) = (0.7 \times 0.8) + (0.3 \times 0.3)$
$P(A) = 0.56 + 0.09 = 0.65$
આમ,રોગચાળો એક મહિનામાં નિયંત્રિત થાય તેની સંભાવના $0.65$ છે.

(D) ધારો કે $P(B_1)$ અને $P(B_2)$ એ અનુક્રમે થેલી $B_1$ અને થેલી $B_2$ પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $W$ એ સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $B_1$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W|B_1) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
થેલી $B_2$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W|B_2) = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(W) = P(B_1) \times P(W|B_1) + P(B_2) \times P(W|B_2)$
$P(W) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{7}$
$P(W) = \frac{1}{3} + \frac{3}{14} = \frac{14+9}{42} = \frac{23}{42}$.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $= 10$.
લાલ દડાની સંખ્યા $= 6$.
પુરવણી વગર એક પછી એક $3$ દડા કાઢવામાં આવે છે.
પ્રથમ લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(R_1) = \frac{6}{10}$ છે.
બીજો લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(R_2|R_1) = \frac{5}{9}$ છે.
ત્રીજો લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(R_3|R_1 \cap R_2) = \frac{4}{8}$ છે.
માગેલ સંભાવના $P(R_1 \cap R_2 \cap R_3) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.44 = 0.3 + x - (0.3 \cdot x)$.
$0.44 - 0.3 = x - 0.3x$.
$0.14 = 0.7x$.
$x = \frac{0.14}{0.7} = 0.2$.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે થેલી $A, B, C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $B$ એ કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $A$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|E_1) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ છે.
થેલી $B$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|E_2) = \frac{2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
થેલી $C$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|E_3) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમ મુજબ,$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$.
$P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5}$.
$P(B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{2}{15} = \frac{9 + 5 + 6}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$.

(C) ધારો કે $B_1$ એ પ્રથમ ટોપલી છે અને $B_2$ એ બીજી ટોપલી છે.
$B_1$ માં,કુલ ફળો = $5 + 7 = 12$.
$B_1$ માંથી સફરજન પસંદ કરવાની સંભાવના,$P(A_1) = \frac{5}{12}$.
$B_1$ માંથી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવના,$P(O_1) = \frac{7}{12}$.
$B_2$ માં,કુલ ફળો = $4 + 8 = 12$.
$B_2$ માંથી સફરજન પસંદ કરવાની સંભાવના,$P(A_2) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$B_2$ માંથી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવના,$P(O_2) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
આપણે એક સફરજન અને એક નારંગી મેળવવા માંગીએ છીએ. આ બે પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. $B_1$ માંથી સફરજન અને $B_2$ માંથી નારંગી: $P(A_1) \times P(O_2) = \frac{5}{12} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{36}$.
$2$. $B_1$ માંથી નારંગી અને $B_2$ માંથી સફરજન: $P(O_1) \times P(A_2) = \frac{7}{12} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{36}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{10}{36} + \frac{7}{36} = \frac{17}{36}$.

(D) ઘટના $A_i$ ન બને તેની સંભાવના $P(\bar{A}_i) = 1 - P(A_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(A_i) = \frac{1}{1+i}$,તેથી $P(\bar{A}_i) = 1 - \frac{1}{1+i} = \frac{1+i-1}{1+i} = \frac{i}{1+i}$.
જેহেতু $A_i$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી એક પણ $A_i$ ન બને તેની સંભાવના તેમના પૂરક ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે:
$P(\text{કોઈ પણ } A_i \text{ ન બને}) = P(\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap \ldots \cap \bar{A}_n) = P(\bar{A}_1) \cdot P(\bar{A}_2) \cdot \ldots \cdot P(\bar{A}_n)$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ ગુણાકાર છે જ્યાં દરેક પદનો અંશ અગાઉના પદના છેદ સાથે ઉડી જાય છે:
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}$.

(D) લાલ દડો બે પરસ્પર નિવારક રીતે કાઢી શકાય છે.
$(i)$ થેલી $I$ પસંદ કરવી અને તેમાંથી લાલ દડો કાઢવો.
(ii) થેલી $II$ પસંદ કરવી અને તેમાંથી લાલ દડો કાઢવો.
ધારો કે $E_1$,$E_2$ અને $A$ નીચે મુજબની ઘટનાઓ છે:
$E_1 = \text{થેલી } I \text{ પસંદ કરવી}$
$E_2 = \text{થેલી } II \text{ પસંદ કરવી}$
બે થેલીઓમાંથી એક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી:
$P(E_1) = \frac{1}{2}$ અને $P(E_2) = \frac{1}{2}$
હવે,$P(A|E_1) = \text{પ્રથમ થેલી પસંદ કરવામાં આવે ત્યારે લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના} = \frac{4}{7}$
$P(A|E_2) = \text{બીજી થેલી પસંદ કરવામાં આવે ત્યારે લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના} = \frac{2}{5}$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A) = P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)$
$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{5}$
$P(A) = \frac{2}{7} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 7}{35} = \frac{17}{35}$

(A) ધારો કે $U_1$ એ પ્રથમ પાત્ર પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $U_2$ એ બીજા પાત્રને પસંદ કરવાની ઘટના છે. પાત્રો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,$P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}$.
પાત્ર $1$ માં $3$ લીલા અને $2$ કાળા દડા છે,તેથી કુલ દડાની સંખ્યા $5$ છે. પાત્ર $1$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|U_1) = \frac{2}{5}$ છે.
પાત્ર $2$ માં $2$ લીલા અને $5$ કાળા દડા છે,તેથી કુલ દડાની સંખ્યા $7$ છે. પાત્ર $2$ માંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B|U_2) = \frac{5}{7}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $P(B)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(B) = P(U_1) \times P(B|U_1) + P(U_2) \times P(B|U_2)$
$P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{7}$
$P(B) = \frac{1}{5} + \frac{5}{14}$
$P(B) = \frac{14 + 25}{70} = \frac{39}{70}$

(C) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $X$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $Y$ પસંદ કરવાની ઘટના છે. એક થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $W$ એ સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $X$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W|E_1) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ છે.
થેલી $Y$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W|E_2) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W) = P(E_1) \cdot P(W|E_1) + P(E_2) \cdot P(W|E_2)$ છે.
$P(W) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(A) થેલી $B$ માં $4$ સફેદ દડા અને $2$ કાળા દડા છે. થેલી $B$ માં કુલ દડા $= 4 + 2 = 6$.
થેલી $B$ માંથી $1$ સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
બીજી થેલી $C$ માં $3$ સફેદ દડા અને $5$ કાળા દડા છે. થેલી $C$ માં કુલ દડા $= 3 + 5 = 8$.
થેલી $C$ માંથી $1$ સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P_2 = \frac{3}{8}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને દડા સફેદ હોવાની સંભાવના $P = P_1 \times P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ છે.

(D) ધારો કે $B$ એ વિદ્યાર્થી છોકરો હોવાની ઘટના છે અને $G$ એ વિદ્યાર્થી છોકરી હોવાની ઘટના છે. ધારો કે $T$ એ વિદ્યાર્થીની ઊંચાઈ $1.6 \ m$ કરતા વધારે હોવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(G) = 0.60$,તેથી $P(B) = 1 - 0.60 = 0.40$.
છોકરાની ઊંચાઈ $1.6 \ m$ કરતા વધારે હોવાની સંભાવના: $P(T|B) = 5 \% = 0.05 = \frac{5}{100}$.
છોકરીની ઊંચાઈ $1.6 \ m$ કરતા વધારે હોવાની સંભાવના: $P(T|G) = 2 \% = 0.02 = \frac{2}{100}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(T) = P(B) \cdot P(T|B) + P(G) \cdot P(T|G)$
$P(T) = 0.40 \cdot 0.05 + 0.60 \cdot 0.02$
$P(T) = 0.020 + 0.012 = 0.032$
$P(T) = \frac{32}{1000} = \frac{4}{125}$.

(C) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે થેલી $A$,થેલી $B$ અને થેલી $C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $B$ એ કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
થેલી $A$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B|E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
થેલી $B$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B|E_2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
થેલી $C$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B|E_3) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$
$P(B) = \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}\right)$
$P(B) = \frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(B) ડેકમાં કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે અને એક્કાની સંખ્યા $4$ છે.
જ્યારે પ્રથમ પત્તું ખેંચવામાં આવે,ત્યારે એક્કો મળવાની સંભાવના $P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
પત્તું બદલ્યા વગર (without replacement) ખેંચવામાં આવતું હોવાથી,હવે ડેકમાં $51$ પત્તાં બાકી રહે છે,જેમાંથી $3$ એક્કા છે.
પ્રથમ પત્તું એક્કો હોવાની શરતે બીજા પત્તાંના એક્કા હોવાની સંભાવના $P(A_2|A_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ છે.
બંને પત્તાં એક્કા હોવાની સંભાવના $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2|A_1)$ છે.
$P(A_1 \cap A_2) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$.

(B) ધારો કે $U_A, U_B,$ અને $U_C$ એ અનુક્રમે પાત્ર $A, B,$ અને $C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. કારણ કે પાત્ર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,$P(U_A) = P(U_B) = P(U_C) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $W$ એ સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
શરતી સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(W|U_A) = \frac{6}{6+2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$P(W|U_B) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$
$P(W|U_C) = \frac{4}{4+4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(W) = P(U_A)P(W|U_A) + P(U_B)P(W|U_B) + P(U_C)P(W|U_C)$
$P(W) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$
$P(W) = \frac{1}{3} \times (\frac{6}{8} + \frac{5}{8} + \frac{4}{8}) = \frac{1}{3} \times \frac{15}{8} = \frac{5}{8}$.

(C) કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે. ડેકમાં $4$ રાજા અને $4$ એક્કા હોય છે.
પગલું $1$: પ્રથમ પત્તું રાજા આવવાની સંભાવના = $4/52 = 1/13$.
પગલું $2$: બીજું પત્તું રાજા આવવાની સંભાવના (પત્તું પાછું મૂક્યા વગર) = $3/51 = 1/17$.
પગલું $3$: ત્રીજું પત્તું એક્કો આવવાની સંભાવના (પત્તું પાછું મૂક્યા વગર) = $4/50 = 2/25$.
કુલ સંભાવના = $(4/52) \times (3/51) \times (4/50) = (1/13) \times (1/17) \times (2/25) = 2 / 5525$.