Continuity Questions in Gujarati

(C) ચિહ્ન વિધેય $\operatorname{sgn}(u)$ એ $u = 0$ આગળ અસતત છે.
$f(x) = \operatorname{sgn}\left(3 \cos x - \frac{a}{3}\right)$ તમામ $x$ માટે સતત હોય તે માટે,દલીલ $3 \cos x - \frac{a}{3}$ ક્યારેય $0$ ન થવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે તમામ $x$ માટે $3 \cos x - \frac{a}{3} \neq 0$,એટલે કે $\cos x \neq \frac{a}{9}$.
$\cos x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,સમીકરણ $\cos x = \frac{a}{9}$ નો કોઈ ઉકેલ ન હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\frac{a}{9} > 1$ અથવા $\frac{a}{9} < -1$ હોય.
$\frac{a}{9} > 1$ માટે,$a > 9$ મળે.
$\frac{a}{9} < -1$ માટે,$a < -9$ મળે.
આપણે $a$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત શોધવાની છે.
$a > 9$ હોવાથી,$a$ ની સૌથી નાની પૂર્ણાંક કિંમત $10$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે $x = 0$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા ચકાસીએ. $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (3 - \sin(1/x))|x|$. કારણ કે $|\sin(1/x)| \le 1$,આપણી પાસે $2|x| \le (3 - \sin(1/x))|x| \le 4|x|$ છે. સેન્ડવિચ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$. આમ,$f$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
આગળ,આપણે $x = 0$ ની નજીક $f(x)$ ના મૂલ્યો તપાસીએ. કોઈપણ $x \ne 0$ માટે,$|x| > 0$ અને $(3 - \sin(1/x)) \ge 3 - 1 = 2 > 0$. તેથી,તમામ $x \ne 0$ માટે $f(x) = (3 - \sin(1/x))|x| > 0$ થાય.
કારણ કે $f(0) = 0$ અને $0$ ના સામીપ્યમાં તમામ $x \ne 0$ માટે $f(x) > 0$ છે,તેથી $0$ ના સામીપ્યમાં તમામ $x$ માટે $f(x) \ge f(0)$ થાય. આથી,$f$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.

(A) $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત હોવા માટે,શરત $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ નું પાલન થવું જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે લક્ષ $\lim_{x \to 2} ([x] + [-x])$ ની કિંમત શોધીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $x \notin \mathbb{Z}$ માટે,$[x] + [-x] = -1$ થાય છે.
કારણ કે લક્ષ $x \to 2$ માં $x$ ની કિંમતો $2$ ની અત્યંત નજીક હોય છે પરંતુ $2$ હોતી નથી,તેથી:
$\lim_{x \to 2} ([x] + [-x]) = -1.$
સાતત્ય માટે,આપણે $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ ની જરૂર છે.
આપેલ છે કે $f(2) = \lambda,$ તેથી $\lambda = -1$ મળે છે.

(C) $x = 1$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે:
$f(1) = |1 - 3| = |-2| = 2$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (\frac{x^2}{4} - \frac{3x}{2} + \frac{13}{4}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{13}{4} = \frac{1 - 6 + 13}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} |x - 3| = |1 - 3| = 2$.
અહીં $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ સતત છે.
$x = 3$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે:
$x = 3$ ની આસપાસ વિધેય $f(x) = |x - 3|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$|x - 3|$ એ માનાંક વિધેય હોવાથી તે દરેક જગ્યાએ સતત છે.
આમ,$f(x)$ એ $x = 1$ અને $x = 3$ આગળ સતત છે.

(A) $g(f(x))$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 1^-} g(f(x)) = \lim_{x \to 1^+} g(f(x)) = g(f(1))$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,$x = 1$ આગળ $f(x)$ ની લક્ષ કિંમતો મેળવીએ:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x - 1}{2} = 0$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1/2$.
$f(1) = 1/2$.
હવે,$x = 1$ આગળ $g(f(x))$ ની સાતત્યની શરત લાગુ કરીએ:
$g(\lim_{x \to 1^-} f(x)) = g(\lim_{x \to 1^+} f(x)) = g(f(1))$.
$g(0) = g(1/2) = g(1/2)$.
$g(x) = (2x + 1)(x - k) + 3$ નો ઉપયોગ કરીને $g(0)$ અને $g(1/2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$g(0) = (2(0) + 1)(0 - k) + 3 = -k + 3$.
$g(1/2) = (2(1/2) + 1)(1/2 - k) + 3 = (1 + 1)(1/2 - k) + 3 = 2(1/2 - k) + 3 = 1 - 2k + 3 = 4 - 2k$.
$g(0) = g(1/2)$ ને સરખાવતા:
$-k + 3 = 4 - 2k$.
$2k - k = 4 - 3$.
$k = 1$.

(A) આપણને $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} [(kx)^2]}{n^3}$ આપેલ છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[y] = y - \{y\}$,જ્યાં $0 \le \{y\} < 1$,આપણને મળે છે:
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} ((kx)^2 - \{(kx)^2\})}{n^3}$.
$f(x) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{x^2 \sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3} - \frac{\sum_{k=1}^{n} \{(kx)^2\}}{n^3} \right)$.
કારણ કે $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,પ્રથમ પદ $\lim_{n \to \infty} \frac{x^2 n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{x^2}{6} \times 2 = \frac{x^2}{3}$ થાય છે.
બીજા પદમાં $\sum_{k=1}^{n} \{(kx)^2\}$ નો સમાવેશ થાય છે. $0 \le \{(kx)^2\} < 1$ હોવાથી,સરવાળો $n$ દ્વારા સીમિત છે. તેથી,$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \{(kx)^2\}}{n^3} = 0$.
તેથી,$f(x) = \frac{x^2}{3}$.
$f(x) = \frac{x^2}{3}$ એ બહુપદી વિધેય હોવાથી,તે તમામ $x \in R$ માટે સતત છે.

(B) $x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે $\lim_{x \to 0} f(x)$ ની કિંમત મેળવીએ.
આપેલ છે કે $f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} \right)} \right)$.
$|\sin \theta| \leq 1$ હોવાથી,$|f(x)| = |x \sin \left( \frac{1}{x} \right) \sin \left( \frac{1}{x \sin \left( \frac{1}{x} \right)} \right)| \leq |x \sin \left( \frac{1}{x} \right)| \leq |x|$.
જેમ $x \to 0$,તેમ $|x| \to 0$,તેથી સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$. આમ,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
વિકલનીયતા ચકાસવા માટે,આપણે $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin \left( \frac{1}{h} \right) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} \right)} \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \sin \left( \frac{1}{h} \right) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} \right)} \right)$ મેળવીએ.
ધારો કે $g(h) = \sin \left( \frac{1}{h} \right) \sin \left( \frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} \right)} \right)$. જેમ $h \to 0$,તેમ $\sin \left( \frac{1}{h} \right)$ એ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે. પદ $\frac{1}{h \sin \left( \frac{1}{h} \right)}$ પણ દોલન કરે છે અને અનંત કિંમતો ધારણ કરે છે,જેના કારણે બીજું સાઈન પદ પણ દોલન કરે છે. તેથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.
આમ,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે પણ વિકલનીય નથી.

(B) વિધેય $f(x) = \left[ \frac{(x - 2)^3}{a} \right] \sin(x - 2) + a \cos(x - 2)$ એ $[4, 6]$ અંતરાલમાં સતત રહે તે માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની અંદરનું પદ અચળ હોવું જોઈએ અથવા ગુણાકારમાં રહેલા $\sin(x - 2)$ પદ દ્વારા અસતતતા દૂર થવી જોઈએ.
અંતરાલ $x \in [4, 6]$ માટે,$(x - 2)^3$ ની કિંમત $(4 - 2)^3 = 8$ થી $(6 - 2)^3 = 64$ સુધી બદલાય છે.
જો દરેક $x \in [4, 6]$ માટે $0 < \frac{(x - 2)^3}{a} < 1$ હોય,તો $\left[ \frac{(x - 2)^3}{a} \right] = 0$ થાય.
આ ત્યારે શક્ય છે જ્યારે $\frac{64}{a} \le 1$,એટલે કે $a \ge 64$.
જો $a > 64$ હોય,તો દરેક $x \in [4, 6]$ માટે $\left[ \frac{(x - 2)^3}{a} \right] = 0$ થાય,જેથી $f(x) = a \cos(x - 2)$ મળે,જે સતત છે.
જો $a = 64$ હોય,તો $x = 6$ આગળ $\left[ \frac{(6 - 2)^3}{64} \right] = [1] = 1$ થાય,અને $x < 6$ માટે $\left[ \frac{(x - 2)^3}{64} \right] = 0$ થાય. આથી $x = 6$ આગળ અસતતતા ઉદભવે,સિવાય કે $\sin(x - 2) = 0$ હોય. પરંતુ $\sin(4) \neq 0$ હોવાથી $a = 64$ શક્ય નથી.
આમ,સતતતા માટેની શરત $a > 64$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$65$ એ એકમાત્ર કિંમત છે જે $a > 64$ નું પાલન કરે છે.

(B) વિધેય $f(x) = [2x^3 - 5]$ એવા બિંદુઓ આગળ અસતત છે જ્યાં તેનો તર્ક $2x^3 - 5$ પૂર્ણાંક હોય.
આપણે અંતરાલ $(1, 2)$ માં એવા બિંદુઓ $x$ શોધી રહ્યા છીએ જેથી $2x^3 - 5 = k$ થાય,જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે.
$x \in (1, 2)$ હોવાથી,$1 < x < 2$ મળે.
ઘન કરતા,$1 < x^3 < 8$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$2 < 2x^3 < 16$ મળે.
$5$ બાદ કરતા,$2 - 5 < 2x^3 - 5 < 16 - 5$,એટલે કે $-3 < 2x^3 - 5 < 11$ મળે.
આમ,$k$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે.
આવી કુલ $13$ પૂર્ણાંક કિંમતો છે.
દરેક પૂર્ણાંક $k$ માટે,અંતરાલ $(1, 2)$ માં એક અનન્ય $x = \sqrt[3]{\frac{k+5}{2}}$ મળે છે.
તેથી,અંતરાલ $(1, 2)$ માં અસતત બિંદુઓની સંખ્યા $13$ છે.

(A) $x = \frac{1}{2}$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસવા માટે,આપણે $x \to \frac{1}{2}$ માટે લક્ષની કિંમત મેળવીએ.
$f(x)$ એ $x = a$ આગળ સતત હોય તો $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ થવું જોઈએ.
અહીં,$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ (કારણ કે $\frac{1}{2}$ સંમેય સંખ્યા છે).
કોઈપણ સંમેય સંખ્યાઓની શ્રેણી $r_n \to \frac{1}{2}$ માટે,$f(r_n) = r_n \to \frac{1}{2}$.
કોઈપણ અસંમેય સંખ્યાઓની શ્રેણી $i_n \to \frac{1}{2}$ માટે,$f(i_n) = 1 - i_n \to 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $f(\frac{1}{2})$ જેટલું હોવાથી,$f(x)$ એ $x = \frac{1}{2}$ આગળ સતત છે.
હવે,વિકલનીયતા તપાસીએ: $f'(1/2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1/2 + h) - f(1/2)}{h}$.
જો $1/2 + h$ સંમેય હોય,તો $\frac{f(1/2+h) - f(1/2)}{h} = \frac{1/2+h - 1/2}{h} = 1$.
જો $1/2 + h$ અસંમેય હોય,તો $\frac{f(1/2+h) - f(1/2)}{h} = \frac{1 - (1/2+h) - 1/2}{h} = \frac{-h}{h} = -1$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ ન હોવાથી,$f(x)$ એ $x = \frac{1}{2}$ આગળ વિકલનીય નથી.

(D) આપણે લક્ષ $f(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {4\sin^2 x} \right)}^{n}}}}{{{3^n} - {{\left( {4\cos^2 x} \right)}^{n}}}}$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: જો $|4\sin^2 x| < 3$ અને $|4\cos^2 x| < 3$ હોય,તો $f(x) = 0$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\sin^2 x < \frac{3}{4}$ અને $\cos^2 x < \frac{3}{4}$,એટલે કે $\frac{1}{4} < \sin^2 x < \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે $x \in (m\pi + \frac{\pi}{6}, m\pi + \frac{\pi}{3})$.
કિસ્સો $2$: જો $|4\sin^2 x| > 3$ અને $|4\cos^2 x| < 3$ હોય,તો $f(x) = \infty$ (લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી).
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\sin^2 x > \frac{3}{4}$,એટલે કે $x \in (m\pi + \frac{\pi}{3}, m\pi + \frac{2\pi}{3})$.
કિસ્સો $3$: જો $|4\cos^2 x| > 3$ અને $|4\sin^2 x| < 3$ હોય,તો $f(x) = 0$.
$x = m\pi \pm \frac{\pi}{6}$ પર,છેદ $0$ ની નજીક જાય છે અથવા પદો અવ્યાખ્યાયિત બને છે,જે અસતતતા તરફ દોરી જાય છે. આમ,$f(x)$ આ બિંદુઓ પર અસતત છે. $f(0) = 0$ અને $f(\pi/3) = 1$ ચકાસતા સાબિત થાય છે કે બધા વિધાનો સાચા છે.

(A) $f(x)$ ને $x = -2$ આગળ મહત્તમ કિંમત મળે તે માટે,$f(-2)$ ની કિંમત $x = -2$ ની આસપાસના $f(x)$ ના મૂલ્યો કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
પ્રથમ,$x \neq -2$ માટે વિધેય $g(x) = 2 - |x^2 + 5x + 6|$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|x^2 + 5x + 6| \ge 0$,તેથી $2 - |x^2 + 5x + 6| \le 2$.
$g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $x^2 + 5x + 6 = 0$,એટલે કે $(x+2)(x+3) = 0$,તેથી $x = -2$ અથવા $x = -3$.
વિધેય $x \neq -2$ માટે $f(x) = g(x)$ અને $f(-2) = a^2 + 1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી,$f(x)$ ને $x = -2$ આગળ મહત્તમ કિંમત મળે તે માટે,આપણે $f(-2) \ge \lim_{x \to -2} f(x)$ હોવું જરૂરી છે.
$x \to -2$ તરીકે લક્ષની ગણતરી કરતા:
$\lim_{x \to -2} (2 - |x^2 + 5x + 6|) = 2 - |(-2)^2 + 5(-2) + 6| = 2 - |4 - 10 + 6| = 2 - 0 = 2$.
આમ,આપણે $a^2 + 1 \ge 2$ ની જરૂર છે.
$a^2 \ge 1$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|a| \ge 1$ મળે છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત હોવા માટે,$x \to 2$ હોય ત્યારે $f(x)$ નું લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ અને તે $f(2)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અહીં $x \neq 2$ માટે $f(x) = [x] + [-x]$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$[x] + [-x] = \begin{cases} 0, & \text{જો } x \in \mathbb{Z} \\ -1, & \text{જો } x \notin \mathbb{Z} \end{cases}$ થાય.
અહીં $x = 2$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,આપણે $x$ ની કિંમત $2$ ની ડાબી બાજુ $(x \to 2^-)$ અને જમણી બાજુ $(x \to 2^+)$ થી લક્ષ મેળવીએ.
જ્યારે $x$ એ $2$ ની નજીક હોય પણ $x \neq 2$ હોય,ત્યારે $x$ એ પૂર્ણાંક નથી,તેથી $[x] + [-x] = -1$ થાય.
તેથી,$\lim_{x \to 2} f(x) = -1$.
સાતત્ય માટે,$f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = -1$.

(C) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ થાય.
$\lim_{x \to 2} (x - 1)^{\frac{1}{2 - x}} = k$. આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપ છે.
સૂત્ર $\lim_{x \to a} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} (g(x) - 1)h(x)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$k = e^{\lim_{x \to 2} (x - 1 - 1) \cdot \frac{1}{2 - x}}$
$k = e^{\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{2 - x}}$
$k = e^{\lim_{x \to 2} \frac{-(2 - x)}{2 - x}}$
$k = e^{-1}$.

(A) જો વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોય,તો $\lim_{x \to 0} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોવું જોઈએ અને $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થાય.
હવે,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{k - 1}{e^{2x} - 1} \right)$.
$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{2x} - 1 - (k - 1)x}{x(e^{2x} - 1)} \right)$.
$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2x + 2x^2 + \dots) - 1 - kx + x}{x(2x + 2x^2 + \dots)}$.
$= \lim_{x \to 0} \frac{(3 - k)x + 2x^2 + \dots}{2x^2 + 2x^3 + \dots}$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,અંશમાં $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $3 - k = 0$,જે $k = 3$ આપે છે.
$k = 3$ મૂકતા,લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \dots}{2x^2 + 2x^3 + \dots} = \frac{2}{2} = 1$ થાય છે.
તેથી,$f(0) = 1$,અને ક્રમયુક્ત જોડ $(3, 1)$ છે.

(C) વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $[0, \infty)$ માં સતત હોવા માટે,તે $x=1$ અને $x=\sqrt{2}$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$1$. $x=1$ આગળ સાતત્ય:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$
$\frac{2(1)^2}{a} = a \implies \frac{2}{a} = a \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2}$.
$2$. $x=\sqrt{2}$ આગળ સાતત્ય:
$\lim_{x \to \sqrt{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \sqrt{2}^+} f(x) = f(\sqrt{2})$
$a = \frac{2b^2 - 4b}{(\sqrt{2})^3} = \frac{2b^2 - 4b}{2\sqrt{2}} = \frac{b^2 - 2b}{\sqrt{2}}$.
કિસ્સો $1$: જો $a = \sqrt{2}$ હોય,તો $\sqrt{2} = \frac{b^2 - 2b}{\sqrt{2}} \implies b^2 - 2b = 2 \implies b^2 - 2b - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$b = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
તેથી,$(a, b) = (\sqrt{2}, 1 \pm \sqrt{3})$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જોડ $(\sqrt{2}, 1 - \sqrt{3})$ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 0} f(g(x)) = f(\lim_{x \to 0} g(x))$.
પ્રથમ,અંદરના વિધેયનું લક્ષ મેળવીએ: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2}$ મળે.
$\left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $\lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{\sin^2 \frac{3x}{2}}{\left( \frac{3x}{2} \right)^2} = \frac{9}{2} \cdot (1)^2 = \frac{9}{2}$.
$f(x)$ સતત હોવાથી,$\lim_{x \to 0} f \left( \frac{1 - \cos 3x}{x^2} \right) = f \left( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} \right) = f \left( \frac{9}{2} \right)$.
આપેલ છે કે $f \left( \frac{9}{2} \right) = \frac{2}{9}$,તેથી અંતિમ જવાબ $\frac{2}{9}$ છે.

(B) $x=0$ આગળ $f(x)$ માટે:
$LHL = \lim_{h \to 0^-} (-h) \sin(-1/h) = \lim_{h \to 0^-} h \sin(1/h) = 0$.
$RHL = \lim_{h \to 0^+} h \sin(1/h) = 0$.
$f(0) = 0$ હોવાથી,$LHL = RHL = f(0)$,તેથી $f$ એ $x=0$ આગળ સતત છે. વિધાન $I$ સાચું છે.
$g(x) = x f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x), & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ માટે.
$x=0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસવા માટે,આપણે $g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$ મેળવીએ છીએ.
સીમા અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે શાંત છે,તેથી $g$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે. વિધાન $II$ સાચું છે.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = \pi$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to \pi} f(x) = f(\pi) = k$ થવું જોઈએ.
ધારો કે $x = \pi + h$,જ્યાં $x \to \pi$ ત્યારે $h \to 0$. તેથી $(\pi - x)^2 = (-h)^2 = h^2$.
$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 + \cos(\pi + h)} - 1}{h^2} = k$.
કારણ કે $\cos(\pi + h) = -\cos h$,તેથી:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 - \cos h} - 1}{h^2}$.
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2 - \cos h} - 1)(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{2 - \cos h - 1}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
$k = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
નિત્યસમ $1 - \cos h = 2 \sin^2(h/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \lim_{h \to 0} \frac{2 \sin^2(h/2)}{h^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{2 \sin^2(h/2)}{4(h/2)^2(\sqrt{2 - \cos h} + 1)}$.
કારણ કે $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$:
$k = \frac{2}{4} \times \frac{1}{\sqrt{2 - 1} + 1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) ધારો કે $h(x) = f(x) - g(x) = x \log x - (2 - x) = x \log x + x - 2$.
આપણે અંતરાલ $[1, 2]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર વિધેય $h(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$h(1) = 1 \cdot \log(1) + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1$.
$h(2) = 2 \cdot \log(2) + 2 - 2 = 2 \log(2) = \log(4)$.
અહીં $\log(4) > 0$ (કારણ કે $4 > 1$),તેથી $h(1) < 0$ અને $h(2) > 0$ મળે છે.
$h(x)$ એ $[1, 2]$ પર સતત વિધેય હોવાથી,મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય (Intermediate Value Theorem) મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (1, 2)$ એવું મળે કે જેથી $h(c) = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f(c) = g(c)$. આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે,$f'(x) = \log x + x(1/x) = \log x + 1$. $x \in [1, 2]$ માટે,$f'(x) \geq 1 > 0$,તેથી $f(x)$ વધતું વિધેય છે. $g'(x) = -1 < 0$,તેથી $g(x)$ ઘટતું વિધેય છે. $f(1) < g(1)$ અને $f(2) > g(2)$ હોવાથી,આલેખ $[1, 2]$ માં છેદશે. આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે અને તે વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = [x] + |1 - x|$,જ્યાં $x \in [-1, 3]$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$,તેથી $f(x) = -1 + (1 - x) = -x$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = 0 + (1 - x) = 1 - x$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = 1 + (x - 1) = x$.
$x \in [2, 3)$ માટે,$[x] = 2$,તેથી $f(x) = 2 + (x - 1) = x + 1$.
$x = 3$ માટે,$f(3) = [3] + |1 - 3| = 3 + 2 = 5$.
સાતત્ય તપાસતા:
$x=0$ આગળ: $LHL = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$,$RHL = \lim_{x \to 0^+} (1 - x) = 1$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,$f$ એ $x=0$ આગળ અસતત છે.
$x=1$ આગળ: $LHL = \lim_{x \to 1^-} (1 - x) = 0$,$RHL = \lim_{x \to 1^+} (x) = 1$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,$f$ એ $x=1$ આગળ અસતત છે.
$x=2$ આગળ: $LHL = \lim_{x \to 2^-} (x) = 2$,$RHL = \lim_{x \to 2^+} (x + 1) = 3$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,$f$ એ $x=2$ આગળ અસતત છે.
$x=3$ આગળ: $LHL = \lim_{x \to 3^-} (x + 1) = 4$,$f(3) = 5$. $LHL \neq f(3)$ હોવાથી,$f$ એ $x=3$ આગળ અસતત છે.
આમ,વિધાન $1$ સાચું છે. વિધાન $2$ માં $f(x)$ ની વ્યાખ્યા ખોટી છે,તેથી વિધાન $2$ ખોટું છે.

(D) વિધાન $1$ સાચું છે. આ બિંદુ $x_0$ આગળ સાતત્યની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે.
વિધાન $2$ ખોટું છે. વિધેય $f$ એ $x_0$ આગળ અસતત હોય જો તે $x_0$ આગળ સતત ન હોય. આ ત્યારે થાય છે જો $\lim_{x \to x_0} f(x)$ નું અસ્તિત્વ ન હોય,અથવા જો $\lim_{x \to x_0} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોય પરંતુ $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$ હોય. વિધાન $2$ માત્ર અસતતતાના એક વિશિષ્ટ કિસ્સાનું વર્ણન કરે છે (removable discontinuity) અને અન્ય કિસ્સાઓ જેવા કે jump discontinuity અથવા infinite discontinuity ને અવગણે છે જ્યાં લક્ષનું અસ્તિત્વ જ ન હોઈ શકે.

(D) $f(x)$ સતત હોવા માટે,તે $x=1, x=3,$ અને $x=5$ જેવા સંક્રમણ બિંદુઓ પર સતત હોવું જોઈએ.
$x=1$ પર:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 5$
$RHL = \lim_{x \to 1^+} f(x) = a + b(1) = a + b$
સાતત્ય માટે,$a + b = 5$ $(i)$
$x=3$ પર:
$LHL = \lim_{x \to 3^-} f(x) = a + 3b$
$RHL = \lim_{x \to 3^+} f(x) = b + 5(3) = b + 15$
સાતત્ય માટે,$a + 3b = b + 15 \implies a + 2b = 15$ $(ii)$
$x=5$ પર:
$LHL = \lim_{x \to 5^-} f(x) = b + 5(5) = b + 25$
$RHL = \lim_{x \to 5^+} f(x) = 30$
સાતત્ય માટે,$b + 25 = 30 \implies b = 5$
$b=5$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$a + 2(5) = 15 \implies a + 10 = 15 \implies a = 5$
હવે આ કિંમતોને $(i)$ માં તપાસો:
$a + b = 5 + 5 = 10 \neq 5$
આમ,$a=5$ અને $b=5$ એ $x=1$ પરની શરતનું પાલન કરતા નથી,તેથી $a$ અને $b$ ની એવી કોઈ કિંમતો નથી જેના માટે વિધેય દરેક જગ્યાએ સતત હોય.

(A) આપણે વિવિધ અંતરાલોમાં વિધેય $f(x)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$x \in [-1, 0)$ માટે,$|x| = -x$ અને $[x] = -1$,તેથી $f(x) = -x - 1$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$|x| = x$ અને $[x] = 0$,તેથી $f(x) = x + 0 = x$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$|x| = x$,તેથી $f(x) = x + x = 2x$.
$x \in [2, 3]$ માટે,$|x| = x$,તેથી $f(x) = x + x = 2x$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} -x-1, & -1 \leq x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 2x, & 1 \leq x \leq 3 \end{cases}$.
$x=0$ પર સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ અને $f(0) = 0$. $-1 \neq 0$ હોવાથી,$f$ એ $x=0$ પર અસતત છે.
$x=1$ પર સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$ અને $f(1) = 2(1) = 2$. $1 \neq 2$ હોવાથી,$f$ એ $x=1$ પર અસતત છે.
$x=2$ પર સાતત્ય તપાસતા: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2) = 4$ અને $f(2) = 2(2) = 4$. લક્ષ અને વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવાથી,$f$ એ $x=2$ પર સતત છે.
તેથી,$f$ માત્ર બે બિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ પર અસતત છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x = 5$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને $x = 5$ આગળ વિધેયની કિંમત સમાન હોવી જોઈએ.
$LHL = \lim_{x \to 5^-} f(x) = a|\pi - 5| + 1 = a(5 - \pi) + 1$ (કારણ કે $5 > \pi$,તેથી $|\pi - 5| = 5 - \pi$).
$RHL = \lim_{x \to 5^+} f(x) = b|\pi - 5| + 3 = b(5 - \pi) + 3$.
$f(5) = a|\pi - 5| + 1 = a(5 - \pi) + 1$.
$LHL$ અને $RHL$ ને સરખાવતા:
$a(5 - \pi) + 1 = b(5 - \pi) + 3$.
પદોને ગોઠવતા:
$a(5 - \pi) - b(5 - \pi) = 3 - 1$.
$(a - b)(5 - \pi) = 2$.
તેથી,$a - b = \frac{2}{5 - \pi}$.

(D) આપેલ છે $f(x) = [x] - [\frac{x}{4}]$.
$x = 4$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} [x] - \lim_{x \to 4^+} [\frac{x}{4}] = 4 - 1 = 3$.
$x = 4$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} [x] - \lim_{x \to 4^-} [\frac{x}{4}] = 3 - 0 = 3$.
વળી,$f(4) = [4] - [\frac{4}{4}] = 4 - 1 = 3$.
અહીં $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^-} f(x) = f(4) = 3$ હોવાથી,વિધેય $f$ એ $x = 4$ આગળ સતત છે.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જરૂરી છે.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ મેળવીએ:
$RHL = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+x} - 1)}{x \cdot \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{1+x} + 1$ વડે ગુણતા:
$RHL = \lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ મેળવીએ:
$LHL = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin((p+1)x) + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin((p+1)x)}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (p+1) + 1 = p+2$.
$f(0) = q$ હોવાથી,સાતત્ય માટે $LHL = RHL = f(0)$ થવું જોઈએ:
$p + 2 = 1/2 \implies p = 1/2 - 2 = -3/2$.
$q = 1/2$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(p, q) = (-3/2, 1/2)$ મળે છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$k = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ થવું જોઈએ.
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log_{e}\left(\frac{1+3x}{1-2x}\right)$
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log_{e}\left(\frac{a}{b}\right) = \log_{e}(a) - \log_{e}(b)$:
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log_{e}(1+3x) - \log_{e}(1-2x)}{x}$
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\log_{e}(1+3x)}{x} - \frac{\log_{e}(1-2x)}{x} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log_{e}(1+u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 3 \cdot \frac{\log_{e}(1+3x)}{3x} - (-2) \cdot \frac{\log_{e}(1-2x)}{-2x} \right)$
$k = 3(1) - (-2)(1) = 3 + 2 = 5$.

(B) આપેલ છે કે $A = \lim_{x \to 0} x[\frac{4}{x}]$.
ગુણધર્મ $[y] = y - \{y\}$ નો ઉપયોગ કરતા,$A = \lim_{x \to 0} x(\frac{4}{x} - \{\frac{4}{x}\}) = \lim_{x \to 0} (4 - x\{\frac{4}{x}\})$.
$0 \leq \{\frac{4}{x}\} < 1$ હોવાથી,સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{x \to 0} x\{\frac{4}{x}\} = 0$.
તેથી,$A = 4$.
વિધેય $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ ત્યાં અસતત છે જ્યાં $[x^2]$ અસતત હોય,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $x^2$ પૂર્ણાંક હોય,સિવાય કે જ્યાં $\sin(\pi x) = 0$ હોય.
$x^2 = k$ $(k \in \mathbb{Z})$ માટે,$f(x)$ અસતત છે સિવાય કે $\sin(\pi \sqrt{k}) = 0$.
$A=4$ માટે વિકલ્પો તપાસતા: $\sqrt{A+1} = \sqrt{5}$. $x^2 = 5$ એ પૂર્ણાંક છે અને $\sin(\pi \sqrt{5}) \neq 0$ હોવાથી,વિધેય $x = \sqrt{5}$ આગળ અસતત છે.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે, ડાબી બાજુનું લક્ષ, જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત સમાન હોવી જોઈએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(a+2)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (a+2) + 1 = a+3$.
$2$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(x+3x^2)^{1/3} - x^{1/3}}{x^{4/3}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{1/3}((1+3x)^{1/3} - 1)}{x^{4/3}} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+3x)^{1/3} - 1}{x}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n \approx 1 + nu$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{1}{3}(3x)) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x-1}{x} = 1$.
$3$. $x=0$ આગળ કિંમત:
$f(0) = b$.
સાતત્ય માટે, $a+3 = b = 1$.
આમ, $a = -2$ અને $b = 1$.
તેથી, $a+2b = -2 + 2(1) = 0$.

(A) પ્રથમ,નોંધો કે વિધેય આપેલ બિંદુ $x = 1$ આગળ વ્યાખ્યાયિત છે અને તેનું મૂલ્ય $f(1) = 2(1) + 3 = 5$ છે.
ત્યારબાદ,જ્યારે $x$ એ $1$ ની નજીક જાય ત્યારે વિધેયનું લક્ષ શોધો:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (2x + 3) = 2(1) + 3 = 5$.
કારણ કે $\lim_{x \to 1} f(x) = 5 = f(1)$,તેથી $x = 1$ આગળ વિધેયનું લક્ષ એ $x = 1$ આગળ વિધેયના મૂલ્ય જેટલું જ છે.
તેથી,વિધેય $f$ એ $x = 1$ આગળ સતત છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ બિંદુ $x = c$ આગળ સતત કહેવાય જો $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ હોય.
પગલું $1$: $x = 0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધો.
$f(0) = 0^{2} = 0$.
પગલું $2$: જ્યારે $x$ એ $0$ ની નજીક જાય ત્યારે વિધેયની લક્ષ (limit) શોધો.
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^{2} = 0^{2} = 0$.
પગલું $3$: લક્ષ અને વિધેયના મૂલ્યની સરખામણી કરો.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ અને $f(0) = 0$,તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ થાય છે.
આમ,વિધેય $f(x) = x^{2}$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,માનાંક વિધેય નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{જો } x < 0 \\ x, & \text{જો } x \ge 0 \end{cases}$
સ્પષ્ટપણે,વિધેય $x = 0$ આગળ વ્યાખ્યાયિત છે અને $f(0) = 0$ છે.
$x = 0$ આગળ $f$ નું ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ છે:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$
તે જ રીતે,$x = 0$ આગળ $f$ નું જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ છે:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$
અહીં $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$ હોવાથી,વિધેય $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.

(N/A) વિધેય $f(x)$ એ $x = a$ આગળ સતત કહેવાય જો $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ હોય.
$1$. પ્રથમ,આપણે $x = 0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ:
$f(0) = 1$.
$2$. ત્યારબાદ,જ્યારે $x$ એ $0$ ની નજીક જાય ત્યારે વિધેયનું લક્ષ શોધીએ:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^3 + 3) = 0^3 + 3 = 3$.
$3$. લક્ષ અને વિધેયના મૂલ્યની સરખામણી કરતા:
અહીં $\lim_{x \to 0} f(x) = 3$ અને $f(0) = 1$ હોવાથી,$\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$ મળે છે.
તેથી,વિધેય $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત નથી.

(A) વિધેય $f(x) = k$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in \mathbb{R}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ માટે,વિધેયનું મૂલ્ય $f(c) = k$ છે.
$x = c$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે લક્ષની ગણતરી કરીએ છીએ:
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} k = k$.
કારણ કે કોઈપણ સ્વૈચ્છિક વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ માટે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c) = k$ થાય છે,તેથી વિધેય $f(x) = k$ તેના પ્રદેશના દરેક બિંદુએ સતત છે,જે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ $\mathbb{R}$ છે.

(N/A) તદેવ વિધેય $f(x) = x$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in \mathbb{R}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ સ્વૈચ્છિક વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે $x$ જ્યારે $c$ ને અનુલક્ષે ત્યારે વિધેયનું લક્ષ મેળવીએ:
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} x = c$.
વળી,$x = c$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય $f(c) = c$ છે.
અહીં $\lim_{x \to c} f(x) = f(c) = c$ હોવાથી,દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ માટે સાતત્યની શરત સંતોષાય છે.
તેથી,તદેવ વિધેય $f(x) = x$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે સતત છે.

(A) આપણે $f$ ને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{જો } x < 0 \\ x, & \text{જો } x \ge 0 \end{cases}$
$x = 0$ માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ છે અને જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 0^+} (x) = 0$ છે. કારણ કે $f(0) = 0$,વિધેય $x = 0$ આગળ સતત છે.
ધારો કે $c$ એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે જેથી $c < 0$. તો $f(c) = -c$. વળી,$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-x) = -c$. કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ તમામ ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.
હવે,ધારો કે $c$ એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે જેથી $c > 0$. તો $f(c) = c$. વળી,$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x) = c$. કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.
આમ,$f(x) = |x|$ એ તમામ વાસ્તવિક બિંદુઓ પર સતત છે.

(N/A) વિધેય $f(x) = x^{3} + x^{2} - 1$ એ બહુપદી વિધેય છે.
બહુપદી વિધેયો તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $c \in \mathbb{R}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x = c$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય $f(c) = c^{3} + c^{2} - 1$ છે.
હવે,આપણે $x \to c$ હોય ત્યારે વિધેયનું લક્ષ મેળવીએ:
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^{3} + x^{2} - 1) = c^{3} + c^{2} - 1$.
કોઈપણ સ્વૈચ્છિક વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ માટે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ હોવાથી,વિધેય $f$ તેના પ્રદેશના દરેક બિંદુએ સતત છે.
તેથી,$f$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પર એક સતત વિધેય છે.

(N/A) ધારો કે $c$ એ $f$ ના પ્રદેશમાં કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
જ્યારે $x$ એ $c$ ને અનુલક્ષે છે ત્યારે વિધેયનું લક્ષ શોધીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{1}{x} = \frac{1}{c}$.
હવે,$x = c$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય શોધીએ:
$f(c) = \frac{1}{c}$.
અહીં,તમામ $c \neq 0$ માટે $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = f(c)$ હોવાથી,વિધેય $f(x) = \frac{1}{x}$ તેના પ્રદેશ $(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\})$ ના દરેક બિંદુએ સતત છે.
તેથી,$f$ એ સતત વિધેય છે.

(N/A) વિધેય $f$ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાના તમામ બિંદુઓ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
કિસ્સો $1$: જો $c < 1$ હોય,તો $f(c) = c + 2$. તેથી,$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 2) = c + 2 = f(c)$.
આમ,$f$ એ $1$ થી નાની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.
કિસ્સો $2$: જો $c > 1$ હોય,તો $f(c) = c - 2$. તેથી,$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x - 2) = c - 2 = f(c)$.
આમ,$f$ એ $x > 1$ ના તમામ બિંદુઓ માટે સતત છે.
કિસ્સો $3$: જો $c = 1$ હોય,તો $x = 1$ આગળ $f$ ની ડાબી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 2) = 1 + 2 = 3$.
$x = 1$ આગળ $f$ ની જમણી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 2) = 1 - 2 = -1$.
અહીં $x = 1$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન નથી,તેથી $f$ એ $x = 1$ આગળ અસતત છે. આમ,$x = 1$ એ $f$ નું એકમાત્ર અસતત બિંદુ છે.

(C) વિધેય $f$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{જો } x < 1 \\ 0, & \text{જો } x = 1 \\ x - 2, & \text{જો } x > 1 \end{cases}$
કોઈપણ $x \neq 1$ માટે,વિધેય બહુપદી છે,જે સતત છે. આપણે ફક્ત $x = 1$ આગળ સાતત્ય તપાસવાની જરૂર છે.
$x = 1$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ છે:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 2) = 1 + 2 = 3$
$x = 1$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ છે:
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 2) = 1 - 2 = -1$
$x = 1$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય $f(1) = 0$ છે.
અહીં $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$ હોવાથી,$x = 1$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી. તેથી,વિધેય $x = 1$ આગળ અસતત છે.

(N/A) અહીં નોંધો કે આ વિધેય $x = 0$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. આ વિધેયનો પ્રદેશ $D = D_1 \cup D_2$ છે,જ્યાં $D_1 = \{x \in \mathbb{R} : x < 0\}$ અને $D_2 = \{x \in \mathbb{R} : x > 0\}$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $c \in D_1$ હોય,તો $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 2) = c + 2 = f(c)$ થાય. તેથી,$f$ એ $D_1$ માં સતત છે.
કિસ્સો $2$: જો $c \in D_2$ હોય,તો $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-x + 2) = -c + 2 = f(c)$ થાય. તેથી,$f$ એ $D_2$ માં સતત છે.
આમ,$f$ તેના પ્રદેશના તમામ બિંદુઓ પર સતત હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $f$ તેના પ્રદેશ પર સતત છે. નોંધો કે વિધેય $x = 0$ આગળ વ્યાખ્યાયિત નથી,તેથી આપણે $x = 0$ આગળ સાતત્યની ચર્ચા કરતા નથી.

(N/A) સ્પષ્ટપણે,વિધેય દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત છે. વિધેયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. નિરીક્ષણ દ્વારા,$f$ ના પ્રદેશને વાસ્તવિક રેખાના ત્રણ અલગ-અલગ ઉપગણોમાં વિભાજિત કરવું યોગ્ય છે.
ધારો કે $D_1 = \{ x \in \mathbb{R} : x < 0 \}$,$D_2 = \{ 0 \}$,અને $D_3 = \{ x \in \mathbb{R} : x > 0 \}$.
કિસ્સો $1$: $D_1$ ના કોઈપણ બિંદુએ,આપણી પાસે $f(x) = x^2$ છે,જે એક બહુપદી વિધેય છે અને તેના પ્રદેશમાં દરેક જગ્યાએ સતત છે.
કિસ્સો $2$: $D_3$ ના કોઈપણ બિંદુએ,આપણી પાસે $f(x) = x$ છે,જે એક બહુપદી વિધેય છે અને તેના પ્રદેશમાં દરેક જગ્યાએ સતત છે.
કિસ્સો $3$: હવે આપણે $x = 0$ આગળ વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ. $0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય $f(0) = 0$ છે.
$0$ આગળ $f$ ની ડાબી બાજુની લક્ષ (left-hand limit) છે:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 = 0^2 = 0$.
$0$ આગળ $f$ ની જમણી બાજુની લક્ષ (right-hand limit) છે:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$.
આમ,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$,અને તેથી $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે. કારણ કે $f$ તેના પ્રદેશના દરેક બિંદુએ સતત છે,તેથી $f$ એ સતત વિધેય છે.

વિધેય $p$ ને બહુપદી વિધેય કહેવાય છે જો તે $p(x) = a_{0} + a_{1}x + \ldots + a_{n}x^{n}$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે,$a_{n} \neq 0$ અને $a_{i} \in \mathbb{R}$.
આ વિધેય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in \mathbb{R}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ સ્વેચ્છ વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ માટે,જ્યારે $x$ એ $c$ ને અનુલક્ષે ત્યારે વિધેયનું લક્ષ નીચે મુજબ મળે છે:
$\lim_{x \to c} p(x) = \lim_{x \to c} (a_{0} + a_{1}x + \ldots + a_{n}x^{n})$
લક્ષના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\lim_{x \to c} p(x) = a_{0} + a_{1}c + \ldots + a_{n}c^{n} = p(c)$
કારણ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ માટે $\lim_{x \to c} p(x) = p(c)$ થાય છે,તેથી વિધેય $p(x)$ તેના પ્રદેશના દરેક બિંદુએ સતત છે.
આમ,દરેક બહુપદી વિધેય સતત છે.

(N/A) પ્રથમ,નોંધો કે $f$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. વિધેયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. આલેખ પરથી એવું જણાય છે કે $f$ દરેક પૂર્ણાંક બિંદુએ અસતત છે. નીચે આપણે ચકાસીએ કે શું આ સાચું છે.
કિસ્સો $1$: ધારો કે $c$ એક એવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે જે પૂર્ણાંક નથી. આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $c$ ની નજીકની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે,વિધેયનું મૂલ્ય $[c]$ જેટલું છે; એટલે કે,$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} [x] = [c]$. વળી,$f(c) = [c]$,અને તેથી વિધેય તમામ બિન-પૂર્ણાંક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.
કિસ્સો $2$: ધારો કે $c$ એક પૂર્ણાંક છે. તો આપણે પૂરતી નાની વાસ્તવિક સંખ્યા $r > 0$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $[c - r] = c - 1$ અને $[c + r] = c$ થાય.
સીમાઓના સંદર્ભમાં,આનો અર્થ એ થાય કે:
$\lim_{x \to c^-} f(x) = c - 1$ અને $\lim_{x \to c^+} f(x) = c$.
આ સીમાઓ કોઈપણ પૂર્ણાંક $c$ માટે એકબીજાને સમાન ન હોવાથી,વિધેય દરેક પૂર્ણાંક બિંદુએ અસતત છે.

(N/A) સંમેય વિધેય $f$ ને $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $p(x)$ અને $q(x)$ બહુપદી વિધેયો છે અને $q(x) \neq 0$ છે.
$f$ નો પ્રદેશ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ નો ગણ છે જેના માટે $q(x) \neq 0$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે દરેક બહુપદી વિધેય વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{R}$ પર દરેક જગ્યાએ સતત હોય છે.
સતત વિધેયોના બીજગણિત મુજબ,જો $p(x)$ અને $q(x)$ સતત વિધેયો હોય,તો તેમનો ભાગાકાર $\frac{p(x)}{q(x)}$ પણ તે તમામ બિંદુઓ પર સતત હોય છે જ્યાં છેદ $q(x) \neq 0$ હોય.
કારણ કે $p(x)$ અને $q(x)$ બહુપદીઓ છે,તેથી તેઓ દરેક જગ્યાએ સતત છે. તેથી,સંમેય વિધેય $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ તેના પ્રદેશના દરેક બિંદુએ સતત છે.

(N/A) $f(x) = \sin x$ ની સાતત્યતા ચકાસવા માટે,આપણે એ ચકાસવું જરૂરી છે કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ માટે $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = f(c)$ થાય છે કે નહીં.
પ્રથમ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin x = 0$.
ધારો કે $c$ એ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. આપણે $x = c + h$ લઈએ. જેમ $x \to c$ થાય,તેમ $h \to 0$ થાય છે.
હવે,આપણે લક્ષની કિંમત મેળવીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \sin x$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin(c + h)$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} [\sin c \cos h + \cos c \sin h]$
$= \sin c \cdot (\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \cos h) + \cos c \cdot (\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin h)$
$= \sin c \cdot (1) + \cos c \cdot (0)$
$= \sin c + 0 = \sin c$
અહીં $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \sin c = f(c)$ હોવાથી,વિધેય $f(x) = \sin x$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $c$ માટે સતત છે.

(N/A) વિધેય $f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે જ્યાં $\cos x \neq 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $x \neq (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈન વિધેય $g(x) = \sin x$ અને કોસાઈન વિધેય $h(x) = \cos x$ બંને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.
સતત વિધેયોના બીજગણિત મુજબ,જો $g(x)$ અને $h(x)$ સતત વિધેયો હોય,તો તેમનો ભાગાકાર $\frac{g(x)}{h(x)}$ પણ તે તમામ બિંદુઓ પર સતત હોય છે જ્યાં છેદ $h(x) \neq 0$ હોય.
આમ,$f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}$ એ બે સતત વિધેયોનો ભાગાકાર હોવાથી અને તે તેના પ્રદેશ $x \in \mathbb{R} \setminus \{(2n + 1) \frac{\pi}{2} : n \in \mathbb{Z}\}$ પર વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$f(x) = \tan x$ એ તેના સમગ્ર પ્રદેશ પર સતત વિધેય છે.

(N/A) વિધેય $f(x) = \sin(x^{2})$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in \mathbb{R}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે $f(x)$ ને બે વિધેયો $g(x)$ અને $h(x)$ ના સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $g(x) = \sin(x)$ અને $h(x) = x^{2}$ છે.
તેથી,$(g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(x^{2}) = \sin(x^{2}) = f(x)$ થાય.
કારણ કે $g(x) = \sin(x)$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સતત વિધેય છે અને $h(x) = x^{2}$ એ બહુપદી વિધેય છે જે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સતત છે,તેથી બે સતત વિધેયોનું સંયોજન પણ સતત હોય છે.
આમ,$f(x) = \sin(x^{2})$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સતત વિધેય છે.