$\int \left[ \log(\log x) + \frac{1}{(\log x)^2} \right] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना $I = \int \left[ \log(\log x) + \frac{1}{(\log x)^2} \right] dx$
$= \int \log(\log x) dx + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
प्रथम समाकलन के लिए,खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(\log x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$I = x \log(\log x) - \int x \cdot \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
$I = x \log(\log x) - \int \frac{1}{\log x} dx + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
अब,$\int \frac{1}{\log x} dx$ का खंडशः समाकलन करते हुए,$u = \frac{1}{\log x}$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$\int \frac{1}{\log x} dx = \frac{x}{\log x} - \int x \left( -\frac{1}{x(\log x)^2} \right) dx = \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x \log(\log x) - \left( \frac{x}{\log x} + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx \right) + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
$I = x \log(\log x) - \frac{x}{\log x} - \int \frac{1}{(\log x)^2} dx + \int \frac{1}{(\log x)^2} dx$
$I = x \log(\log x) - \frac{x}{\log x} + C$