Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Gujarati

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
આપેલ છે: $T_1 = 300 \, K$,$T_2 = 400 \, K$,$k_2 = 2k_1$,અને $R = 2 \times 10^{-3} \, kCal \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 2 \times 10^{-3}} \times \left[ \frac{100}{120000} \right]$
$E_a = 0.3010 \times 4.606 \times 10^{-3} \times 1200 \approx 1.66 \, kCal$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = A e^{-E_a / RT}$ છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log_{10} K = \log_{10} A - \frac{E_a}{2.303 RT}$.
સમાન પ્રી-એક્સપોનેન્શિયલ ફેક્ટર $A$ ધરાવતી બે પ્રક્રિયાઓ માટે:
$\log_{10} \left( \frac{K_2}{K_1} \right) = \frac{E_{a1} - E_{a2}}{2.303 RT}$.
અહીં $E_{a1} - E_{a2} = 24900 \ J/mol$,$R = 8.314 \ J/mol \cdot K$,અને $T = 300 \ K$ છે.
$\log_{10} \left( \frac{K_2}{K_1} \right) = \frac{24900}{2.303 \times 8.314 \times 300} \approx 4$.
તેથી,$\frac{K_2}{K_1} = 10^4 \times 3$.

(D) આપેલ છે કે $K_1 = K_2$,તેથી $A_1 e^{-E_{a_1}/RT} = A_2 e^{-E_{a_2}/RT}$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{A_1}{A_2} = e^{(E_{a_1} - E_{a_2})/RT}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10^8}{10^{10}} = e^{(600 - 1800)/(2T)}$.
$10^{-2} = e^{-1200/2T} = e^{-600/T}$.
વ્યસ્ત લેતા,$10^2 = e^{600/T}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(10^2) = \frac{600}{T}$.
$2 \times 2.303 = \frac{600}{T}$.
$4.606 = \frac{600}{T}$.
તેથી,$T = \frac{600}{4.606} \ K$.

(C) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
$T_1 = 27\, ^oC = 300\, K$ પર,$t_{1/2} = 20\, \text{min}$,તેથી $K_1 = \frac{0.693}{20}$.
$T_2 = 47\, ^oC = 320\, K$ પર,$t_{1/2} = 10\, \text{min}$,તેથી $K_2 = \frac{0.693}{10}$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \times R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 \times T_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\log \left( \frac{0.693/10}{0.693/20} \right) = \log(2) = 0.3010$.
$0.3010 = \frac{E_a}{2.303 \times 1.987 \times 10^{-3}} \times \left( \frac{320 - 300}{300 \times 320} \right)$.
$E_a = 6.62\, \text{Kcal}$ મળે છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ: $\log_{10}K = \log_{10}A - \frac{E_a}{2.303RT}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log_{10}K$ અને $x = \frac{1}{T}$,ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303R}$ મળે છે.
આપેલ ઢાળ $\tan \theta = -\frac{1}{2.303}$ છે,તેથી:
$-\frac{E_a}{2.303R} = -\frac{1}{2.303}$.
બંને બાજુથી $-1/2.303$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{E_a}{R} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $E_a = R \ cal/mol$.
$R$ નું મૂલ્ય આશરે $2 \ cal \ K^{-1} \ mol^{-1}$ હોવાથી,સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a = 2 \ cal/mol$ થાય છે.

(D) પ્રક્રિયાનો એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H_R)$ એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_f)$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_b)$ વચ્ચેના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\Delta H_R = E_f - E_b$.
આપેલ છે કે $E_f = 180 \ kJ \ mol^{-1}$ અને $E_b = 200 \ kJ \ mol^{-1}$,તેથી $\Delta H_R = 180 - 200 = -20 \ kJ \ mol^{-1}$.
ઉદ્દીપક પુરોગામી અને પ્રતિગામી બંને પ્રક્રિયાઓની સક્રિયકરણ ઊર્જામાં સમાન ઘટાડો કરે છે,પરંતુ તે પ્રક્રિયાની એન્થાલ્પી $(\Delta H_R)$ બદલતું નથી.
તેથી,એન્થાલ્પી ફેરફાર $-20 \ kJ \ mol^{-1}$ જ રહે છે.

(B) પ્રક્રિયા માટે એન્થાલ્પી ફેરફાર એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{af})$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{ab})$ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta H = E_{af} - E_{ab}$
$E_{ab}$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$E_{ab} = E_{af} - \Delta H$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$E_{ab} = 85 - (-20)$
$E_{ab} = 85 + 20 = 105 \ kJ \ mol^{-1}$

(A) આપેલ છે: $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$,$T_2 = 57 + 273 = 330\,K$.
પ્રક્રિયાનો વેગ બમણો થાય છે,તેથી $k_2 / k_1 = 2$.
આર્હેનિયસ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\log(k_2 / k_1) = \frac{E_a}{2.303 \times R} \times \frac{T_2 - T_1}{T_1 \times T_2}$.
અહીં $R = 1.987 \times 10^{-3}\,k\,cal\,K^{-1}\,mol^{-1} \approx 2 \times 10^{-3}\,k\,cal\,K^{-1}\,mol^{-1}$.
$\log(2) = \frac{E_a}{2.303 \times 2 \times 10^{-3}} \times \frac{330 - 300}{300 \times 330}$.
$0.3010 = \frac{E_a}{4.606 \times 10^{-3}} \times \frac{30}{99000}$.
$0.3010 = \frac{E_a}{4.606 \times 10^{-3}} \times \frac{1}{3300}$.
$E_a = 0.3010 \times 4.606 \times 10^{-3} \times 3300$.
$E_a \approx 4.57\,k\,cal\,mol^{-1}$.

(D) વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે પ્રાથમિક પ્રક્રિયાઓ માટે,ક્રમ એ આણ્વિકતા જેટલો જ હોય છે.
વિધાન $B$ સાચું છે કારણ કે વેગ નિર્ણાયક તબક્કો એ એક પ્રાથમિક તબક્કો છે,તેથી તેનો ક્રમ તેની આણ્વિકતા જેટલો હોય છે.
વિધાન $C$ સાચું છે કારણ કે ઉદ્દીપક ઓછી સક્રિયકરણ ઉર્જા સાથે વૈકલ્પિક માર્ગ પૂરો પાડે છે પરંતુ પ્રક્રિયકો અથવા નીપજોની ઉર્જા બદલતું નથી,તેથી $\Delta H$ બદલાતું નથી.
વિધાન $D$ ખોટું છે કારણ કે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ એ પ્રક્રિયાનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે અને તે તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે. તે પ્રક્રિયકોની પ્રકૃતિ અને વપરાતા ઉદ્દીપક પર આધાર રાખે છે.

(B) ઉર્જા પ્રોફાઇલ આકૃતિમાં,પ્રતિક્રિયાની ક્રિયાવિધિમાં તબક્કાઓની સંખ્યા વક્રમાં હાજર શિખરો (સંક્રાંતિ અવસ્થાઓ) ની સંખ્યાને અનુરૂપ છે.
આકૃતિ જોતા,પ્રક્રિયક $(R)$ અને નીપજ $(P)$ ની વચ્ચે $3$ અલગ શિખરો છે.
તેથી,પ્રતિક્રિયા $3$ પ્રાથમિક તબક્કાઓ દ્વારા આગળ વધે છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$\ln K = \ln A - \frac{E_a}{RT}$,જેને $\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303RT}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303R}$ મળે છે.
તેથી,$\log K$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ $-\frac{E_a}{2.303R}$ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.

(A) આરેનિયસ સમીકરણ $\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 RT}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\log \, k = 15.0 - \frac{10^{6}}{T}$ સાથે સરખાવતા:
$1$. $\log \, A = 15.0$,તેથી $A = 10^{15}$.
$2$. $\frac{E_a}{2.303 R} = 10^{6}$.
$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ લેતા,$E_a = 10^{6} \times 2.303 \times 8.314 \approx 1.915 \times 10^{7} \, J \, mol^{-1} = 1.915 \times 10^{4} \, kJ \, mol^{-1}$.
આમ,સાચી જોડી $A = 10^{15}$ અને $E_a = 1.9 \times 10^{4} \, kJ$ છે.

(D) સંઘાતવાદ મુજબ,પ્રક્રિયાનો દર પ્રતિ સેકન્ડ થતા અસરકારક સંઘાતોની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે.
બધા જ સંઘાતો નીપજમાં પરિણમતા નથી.
માત્ર તે જ સંઘાતો રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં પરિણમે છે જેમાં અણુઓ પાસે પૂરતી સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ હોય અને યોગ્ય દિગ્વિન્યાસ (proper orientation) હોય.

(C) સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ એ પ્રક્રિયક અણુઓ દ્વારા રાસાયણિક પ્રક્રિયા કરવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ વધારાની ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે પ્રક્રિયકો અને નીપજો વચ્ચેના પોટેન્શિયલ ઉર્જા અવરોધને પાર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = A e^{-E_a/RT}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $K = (\frac{K_1 K_2}{K_3})^{2/3}$ માં $K_1, K_2, K_3$ ની કિંમતો મૂકતા:
$K = (\frac{A_1 e^{-Ea_1/RT} \cdot A_2 e^{-Ea_2/RT}}{A_3 e^{-Ea_3/RT}})^{2/3}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,કુલ સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_a = \frac{2}{3} (Ea_1 + Ea_2 - Ea_3)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$E_a = \frac{2}{3} (180 + 80 - 50) = \frac{2}{3} (210) = 140 \ kJ/mol$.

(C) વેગ અચળાંક $k$ એ આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A \cdot e^{-\frac{E_a}{RT}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉદ્દીપક વગરની પ્રક્રિયા માટે,$E_{a1} = 83314 \, J \, mol^{-1}$.
ઉદ્દીપક સાથેની પ્રક્રિયા માટે,$E_{a2} = 75000 \, J \, mol^{-1}$.
વેગ અચળાંકનો ગુણોત્તર $\frac{k_2}{k_1} = e^{\frac{E_{a1} - E_{a2}}{RT}}$ થાય.
અહીં $R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ અને $T = 500 \, K$ લેતા,$\Delta E_a = 8314 \, J \, mol^{-1}$.
તેથી,$\frac{k_2}{k_1} = e^{\frac{8314}{8.314 \times 500}} = e^2 \approx 7.38$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = A e^{-E_a/RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સક્રિયકરણ ઉર્જા $E_a = 0$ છે.
સમીકરણમાં $E_a = 0$ મૂકતા,આપણને $K = A e^{0} = A \times 1 = A$ મળે છે.
જેમ કે $A$ (આવૃત્તિ અવયવ) એક અચળાંક છે,તેથી વેગ અચળાંક $K$ એ તાપમાન $T$ થી સ્વતંત્ર બને છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = Ae^{-E_a / RT}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $K = (4.5 \times 10^{11} \, s^{-1}) e^{-28000 \, K / T}$ ની સરખામણી આર્હેનિયસ સમીકરણ સાથે કરતા:
$\frac{E_a}{R} = 28000 \, K$
$E_a = 28000 \, K \times R$
$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ લેતા:
$E_a = 28000 \times 8.314 \, J \, mol^{-1} = 232792 \, J \, mol^{-1}$
$KJ \, mol^{-1}$ માં ફેરવતા:
$E_a = \frac{232792}{1000} \, KJ \, mol^{-1} = 232.79 \, KJ \, mol^{-1}$.

(D) ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયામાં,નીપજોની ઉર્જા પ્રક્રિયકોની ઉર્જા કરતા વધારે હોય છે.
સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ એ ઉર્જા અવરોધ છે જેને પ્રક્રિયા આગળ વધારવા માટે પાર કરવો પડે છે.
કારણ કે એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ એ $E_a(\text{forward}) - E_a(\text{backward})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,અને ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયા માટે $\Delta H > 0$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $E_a(\text{forward}) > \Delta H$.
તેથી,સક્રિયકરણ ઉર્જાનું લઘુત્તમ પ્રમાણ $\Delta H$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ: $\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303 RT}$
આપેલ છે: $A = 1.45 \times 10^{11} s^{-1}$,$E_a = 35 \times 10^3 \, cal\, mol^{-1}$,$T = 573 \, K$,$R = 2 \, cal\, K^{-1} mol^{-1}$
કિંમતો મૂકતા: $\log K = \log (1.45 \times 10^{11}) - \frac{35000}{2.303 \times 2 \times 573}$
$\log K = 11.161 - 13.257 = -2.096$
$K = \text{antilog}(-2.096) = 7.94 \times 10^{-3} s^{-1}$

(B) કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે,પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{a(f)})$,પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{a(r)})$ અને એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta H = E_{a(f)} - E_{a(r)}$
પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા માટે સૂત્ર:
$E_{a(r)} = E_{a(f)} - \Delta H$
આપેલ છે:
$E_{a(f)} = 57.2 \ kJ$
$\Delta H = +54 \ kJ$
કિંમતો મૂકતા:
$E_{a(r)} = 57.2 \ kJ - 54 \ kJ = 3.2 \ kJ$

(B) પ્રક્રિયા માટે એન્થાલ્પી ફેરફાર એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{af})$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_{ab})$ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta H = E_{af} - E_{ab}$
આપેલ છે કે સક્રિયકરણ ઉર્જા સમાન છે,$E_{af} = E_{ab}$.
તેથી,$\Delta H = E_{af} - E_{af} = 0$.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $T \to \infty$,તેમ પદ $E_a / RT \to 0$ થાય છે.
તેથી,$k = A e^0 = A \times 1 = A$.
આમ,અનંત તાપમાને વેગ અચળાંક $k$ એ પૂર્વ-ઘાતાંકીય અવયવ $A$ જેટલો થાય છે.
આણ્વિકતા હંમેશા પૂર્ણ સંખ્યા હોય છે અને તે અપૂર્ણાંક કે શૂન્ય હોઈ શકતી નથી.
પ્રક્રિયક સંપૂર્ણ વપરાઈ જાય ત્યારે શૂન્ય ક્રમની પ્રક્રિયા અટકી જાય છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયાઓ સમાંગ અથવા વિષમાંગ હોઈ શકે છે.

(D) આ આલેખ ગતિ ઊર્જાના મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણને દર્શાવે છે.
જ્યારે તાપમાન $T_1$ થી વધીને $T_2$ $(T_2 > T_1)$ થાય છે,ત્યારે વક્રનું શિખર જમણી તરફ ખસે છે અને વક્ર સપાટ બને છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઓછી ગતિ ઊર્જા ધરાવતા અણુઓનો અંશ (વિસ્તાર $I$ દ્વારા દર્શાવેલ) ઘટે છે,જ્યારે ઉચ્ચ ગતિ ઊર્જા ધરાવતા અણુઓનો અંશ (વિસ્તાર $II$ દ્વારા દર્શાવેલ) વધે છે.
તેથી,વિસ્તાર $I$ ઘટશે અને વિસ્તાર $II$ વધશે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A \times e^{-\frac{E_a}{RT}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R} \times (\frac{1}{T})$ મળે છે.
આ સમીકરણ સીધી રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \ln k$,$x = \frac{1}{T}$,$m = -\frac{E_a}{R}$ (ઢાળ) અને $c = \ln A$ (અંતઃખંડ) છે.
તેથી,$\ln k$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ સીધી રેખા આપે છે.

(B) સ્થિતિ ઊર્જા વક્રમાં,સંક્રાંતિ અવસ્થા (સક્રિય સંકુલ) મહત્તમ બિંદુએ હોય છે,જ્યારે પ્રતિક્રિયા મધ્યવર્તી ન્યૂનતમ બિંદુએ હોય છે.
સ્થાન $1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુને અનુરૂપ છે,જે પ્રતિક્રિયા મધ્યવર્તી દર્શાવે છે.
સ્થાન $2$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુને અનુરૂપ છે,જે સંક્રાંતિ અવસ્થા (સક્રિય સંકુલ) દર્શાવે છે.
તેથી,સાચી ઓળખ છે: સ્થાન $1$ $-$ પ્રતિક્રિયા મધ્યવર્તી,સ્થાન $2$ $-$ સક્રિય સંકુલ.

(A) પ્રક્રિયા માટે એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ એ પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{af})$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{ab})$ વચ્ચેના તફાવત જેટલો હોય છે.
$\Delta H = E_{af} - E_{ab}$
અહીં $E_{af} = 50 \ kJ$ અને $E_{ab} = 30 \ kJ$ આપેલ છે.
$\Delta H = 50 \ kJ - 30 \ kJ = +20 \ kJ$.
અહીં $\Delta H$ ધન હોવાથી,પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક છે.

(A) પ્રક્રિયાનો એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$,પુરોગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a(f)})$ અને પ્રતિગામી પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_{a(r)})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta H = E_{a(f)} - E_{a(r)}$.
આપેલ છે:
$\Delta H = +100 \ kJ/mol$
$E_{a(r)} = +200 \ kJ/mol$
સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$100 = E_{a(f)} - 200$
$E_{a(f)} = 100 + 200 = +300 \ kJ/mol$.
તેથી,પુરોગામી પ્રક્રિયા માટે સક્રિયકરણ ઊર્જા $+300 \ kJ/mol$ છે.

(B) પ્રક્રિયા બે તબક્કામાં થાય છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિ ઊર્જા આકૃતિમાં બે શિખરો હશે,જે બે સંક્રમણ અવસ્થાઓને અનુરૂપ છે.
તબક્કો $1$ એ ધીમો તબક્કો છે,જેનો અર્થ છે કે બીજા તબક્કાની તુલનામાં તેની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ વધારે છે.
તબક્કો $2$ એ ઝડપી તબક્કો છે,જેનો અર્થ છે કે તેની સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ ઓછી છે.
પ્રક્રિયા ઉષ્માક્ષેપક હોવાથી,નીપજ $(AB)$ ની સ્થિતિ ઊર્જા પ્રક્રિયકો $(A+B)$ ની સ્થિતિ ઊર્જા કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
આલેખ $A$ બે તબક્કા દર્શાવે છે જ્યાં પ્રથમ શિખર બીજા કરતા નીચું છે,જે ધીમા તબક્કાની ઊંચી સક્રિયકરણ ઊર્જા સાથે વિરોધાભાસી છે.
આલેખ $B$ બે તબક્કા દર્શાવે છે જ્યાં પ્રથમ શિખર બીજા કરતા ઊંચું છે,અને અંતિમ નીપજની ઊર્જા પ્રક્રિયકની ઊર્જા કરતા ઓછી છે,જે આપેલી શરતો સાથે સુસંગત છે.
આલેખ $C$ માત્ર એક તબક્કો દર્શાવે છે.
આલેખ $D$ બે તબક્કા દર્શાવે છે,પરંતુ નીપજની ઊર્જા પ્રક્રિયકની ઊર્જા કરતા વધારે છે,જે ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ છે.
આપેલ છે $k = (k_1 k_2 / k_3)^{2/3}$.
આર્હેનિયસ સમીકરણો મૂકતા: $A e^{-E_a/RT} = [ (A e^{-E_{a_1}/RT} \times A e^{-E_{a_2}/RT}) / (A e^{-E_{a_3}/RT}) ]^{2/3}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-E_a/RT = (2/3) \times [(-E_{a_1} - E_{a_2} + E_{a_3})/RT]$.
તેથી,$E_a = (2/3) \times [E_{a_1} + E_{a_2} - E_{a_3}]$.
કિંમતો મૂકતા: $E_a = (2/3) \times [180 + 80 - 50]$.
$E_a = (2/3) \times [210] = 140 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-\frac{E_a}{RT}}$ છે.
જ્યારે $T \to \infty$ થાય,ત્યારે પદ $\frac{E_a}{RT} \to 0$ થાય છે.
તેથી,$e^{-\frac{E_a}{RT}} \to e^0 = 1$.
આમ,$\lim_{T \to \infty} (k) = A \times 1 = A$.
આપેલ છે કે આર્હેનિયસ અચળાંક $A = 2 \times 10^{15}\, s^{-1}$ છે,તેથી $T \to \infty$ પર વેગ અચળાંકનું મૂલ્ય $2 \times 10^{15}\, s^{-1}$ થશે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ મળે છે.
આને $10$ ના આધારવાળા લઘુગણકમાં ફેરવતા,$\log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 RT}$ મળે છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log k$ અને $x = 1/T$ છે,ત્યારે ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303 R}$ મળે છે.
આમ,$\log k$ વિરુદ્ધ $1/T$ નો આલેખ દોરીને $E_a$ ની ગણતરી કરી શકાય છે.

(D) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ:
$\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303 R} \cdot \frac{1}{T}$
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \log K$ અને $x = \frac{1}{T}$ છે:
આલેખનો ઢાળ $m = -\frac{E_a}{2.303 R}$ છે,જે સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ ની ગણતરી કરવામાં મદદ કરે છે.
y-આંતરછેદ $c = \log A$ છે,જે આવૃત્તિ અવયવ $(A)$ ની ગણતરી કરવામાં મદદ કરે છે.
તેથી,આ આલેખ સક્રિયકરણ ઉર્જા અને આવૃત્તિ અવયવ બંનેની ગણતરી કરવામાં મદદ કરે છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$K = A \, e^{-Ea/RT}$.
ધારો કે બંને પ્રતિક્રિયાઓ માટે પૂર્વ-ઘાતાંકીય અવયવ $A$ સમાન છે:
$K_1 = A \, e^{-Ea_1/RT}$
$K_2 = A \, e^{-Ea_2/RT}$
આપેલ છે કે $Ea_1 = \frac{Ea_2}{3}$,તેથી $Ea_2 = 3Ea_1$.
$K_2$ ના સમીકરણમાં $Ea_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$K_2 = A \, e^{-3Ea_1/RT}$
હવે,$K_1$ ને $K_2$ વડે ભાગતા:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{A \, e^{-Ea_1/RT}}{A \, e^{-3Ea_1/RT}} = e^{(-Ea_1 + 3Ea_1)/RT} = e^{2Ea_1/RT}$
તેથી,$K_1 = K_2 \, e^{2Ea_1/RT}$.

(A) પ્રક્રિયાનો વેગ અચળાંક $k$ એ આર્હેનિયસ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $k = A e^{-E_a / RT}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વેગ અચળાંક $k$ એ તાપમાન $(T)$ અને સક્રિયકરણ ઉર્જા $(E_a)$ પર આધાર રાખે છે.
તે પ્રક્રિયકો અથવા નીપજોની સાંદ્રતા પર આધાર રાખતું નથી.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,વેગ અચળાંક $k = A e^{-E_a/RT}$ છે.
પુરોગામી પ્રક્રિયા માટે: $k_f = A_f e^{-E_{af}/RT}$.
પ્રતિગામી પ્રક્રિયા માટે: $k_b = A_b e^{-E_{ab}/RT}$.
આપેલ છે કે પૂર્વ-ઘાતાંકીય અવયવો સમાન છે,$A_f = A_b = A$.
સંતુલન અચળાંક $K_c = \frac{k_f}{k_b}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K_c = \frac{A e^{-E_{af}/RT}}{A e^{-E_{ab}/RT}} = e^{(E_{ab} - E_{af})/RT}$.
અહીં $\Delta E = E_{af} - E_{ab}$ હોવાથી,$E_{ab} - E_{af} = -\Delta E$ થાય.
તેથી,$K_c = e^{-\Delta E/RT}$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A \cdot e^{-E_a / RT}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
આપેલ છે: $E_a = 94.14 \, kJ \, mol^{-1} = 94140 \, J \, mol^{-1}$,$T = 310 \, K$,$k = 10^{-2} \, s^{-1}$,અને $R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\ln(10^{-2}) = \ln A - \frac{94140}{8.314 \times 310}$.
$-4.605 = \ln A - 36.51$.
$\ln A = 36.51 - 4.605 = 31.905$.
$A = e^{31.905} \approx 7.2 \times 10^{13} \, s^{-1}$.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ મુજબ,$k = A e^{-E_a / RT}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$.
તાપમાનની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d(\ln k)}{dT} = \frac{E_a}{RT^2}$.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે જ્યારે સક્રિયકરણ ઊર્જા $E_a$ ઊંચી હોય ત્યારે વેગ અચળાંક $k$ તાપમાનના ફેરફારો પ્રત્યે ખૂબ જ સંવેદનશીલ હોય છે.
તેથી,જો સક્રિયકરણ ઊર્જા ઊંચી હોય તો તાપમાનમાં થોડો વધારો પ્રક્રિયાના વેગમાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે.

(B) પ્રક્રિયાનો વેગ એ આપેલ સાંદ્રતાએ વેગ અચળાંક $(k)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે તાપમાન $300 \ K$ થી $310 \ K$ થાય ત્યારે પ્રક્રિયાનો વેગ $2.5$ ગણો વધતો હોવાથી,વેગ અચળાંક પણ તેટલા જ પ્રમાણમાં વધશે.
તેથી,જો $300 \ K$ તાપમાને વેગ અચળાંક $K$ હોય,તો $310 \ K$ તાપમાને વેગ અચળાંક $2.5 \ K$ થશે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a/RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણમાં,પદ $e^{-E_a/RT}$ એ એવા અણુઓનો અંશ દર્શાવે છે જે આપેલ તાપમાને $(T)$ સક્રિયકરણ ઊર્જા $(E_a)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધારે ગતિ ઊર્જા ધરાવે છે.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A$ એ પૂર્વઘાતાંક અવયવ છે,જેને આવૃત્તિ અવયવ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
તે પ્રક્રિયક અણુઓની અથડામણની આવૃત્તિ અને પ્રક્રિયા થવા માટે જરૂરી તેમની યોગ્ય દિશા (orientation) દર્શાવે છે.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,વેગ અચળાંક $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$ છે.
બંને તાપમાન માટે સમય $t$ સમાન હોવાથી,$\frac{2.303}{k_1} \log \frac{100}{90} = \frac{2.303}{k_2} \log \frac{100}{75}$.
આથી $\frac{k_2}{k_1} = \frac{\log(1.333)}{\log(1.111)} \approx 2.73$.
આર્હેનિયસ સમીકરણ $\ln \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{R} [\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}]$ નો ઉપયોગ કરતા,$E_a \approx 76.6 \, kJ/mol$ મળે છે.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $76.75 \, kJ/mol$ છે.

(C) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = A \cdot e^{-E_a / (RT)}$ છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303 \cdot R \cdot T}$.
આપેલ સમીકરણ $\log K = -2000 \, (1/T) + 6.0$ સાથે સરખાવતા:
$1$. $\log A = 6.0 \implies A = 10^6 \, s^{-1}$.
$2$. $\frac{E_a}{2.303 \cdot R} = 2000$.
$R = 8.314 \, J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ લેતા,$E_a = 2000 \times 2.303 \times 8.314 \approx 38297 \, J/mol \approx 38.3 \, kJ/mol$.

(A) આર્હેનિયસ સમીકરણ $K = A \, e^{-E_a / (RT)}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $K = 5.0 \times 10^{11} \, e^{-2000/T}$ સાથે સરખાવતા:
$E_a / R = 2000 \, K$.
તેથી,$E_a = 2000 \, K \times R$.
વાયુ અચળાંક $R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ લેતા:
$E_a = 2000 \times 8.314 = 16628 \, J \, mol^{-1}$.
$kJ \, mol^{-1}$ માં ફેરવતા:
$E_a = 16.628 \, kJ \, mol^{-1}$.

(D) આપેલ પ્રક્રિયાઓ માટે વેગ અચળાંકો:
$K_1 = 10^8 \, e^{-6000/8.34T}$
$K_2 = 10^{10} \, e^{-8000/8.34T}$
$K_1 = K_2$ લેતા:
$10^8 \, e^{-6000/8.34T} = 10^{10} \, e^{-8000/8.34T}$
બંને બાજુ $10^8$ વડે ભાગતા:
$e^{-6000/8.34T} = 10^2 \, e^{-8000/8.34T}$
ઘાતાંકીય પદોને ગોઠવતા:
$e^{2000/8.34T} = 10^2$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$2000 / (8.34 \, T) = \ln(10^2) = 2 \ln(10)$
$\ln(10) \approx 2.303$ લેતા:
$2000 / (8.34 \, T) = 2 \times 2.303 = 4.606$
$T = 2000 / (8.34 \times 4.606) \approx 52.06 \ K$
આમ,તાપમાન આશરે $52 \ K$ છે.

(B) આર્હેનિયસ સમીકરણ $k = A e^{-E_a / RT}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $A = 1.45 \times 10^{11} \, s^{-1}$,$E_a = 35 \, kcal \, mol^{-1} = 35000 \, cal \, mol^{-1}$,$T = 300 + 273 = 573 \, K$,અને $R = 1.987 \, cal \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
ઘાતાંકની ગણતરી: $-E_a / RT = -35000 / (1.987 \times 573) \approx -30.736$.
હવે,$k = 1.45 \times 10^{11} \times e^{-30.736} \approx 7.96 \times 10^{-3} \, s^{-1}$.

(A) તાપમાન ગુણક એ $10 \ K$ ના તફાવત ધરાવતા તાપમાને વેગ અચળાંકોનો ગુણોત્તર છે.
આપેલ છે,તાપમાન ગુણક = $2$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 313 \ K - 273 \ K = 40 \ K$.
$10 \ K$ ના અંતરાલની સંખ્યા $n = \Delta T / 10 = 40 / 10 = 4$.
પ્રક્રિયાનો વેગ દરેક $10 \ K$ ના વધારા સાથે $(2)^n$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.
નવો વેગ = $R_0 \times (2)^n = R_0 \times (2)^4 = 16R_0$.

(A) તાપમાન ગુણાંક $(\mu)$ ને $10 \, K$ ના તફાવત ધરાવતા તાપમાને વેગ અચળાંકોના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ધારો કે તાપમાન ગુણાંક $\mu$ છે.
આપેલ છે કે તાપમાનમાં $\Delta T = 30 \, K$ ના વધારા માટે,દર $27$ ગણો વધે છે.
સંબંધ આ મુજબ છે: $\frac{\text{Rate}_2}{\text{Rate}_1} = \mu^{(\Delta T / 10)}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $27 = \mu^{(30 / 10)}$.
$27 = \mu^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\mu = (27)^{1/3} = 3$.
તેથી,તાપમાન ગુણાંક $3$ છે.

(B) તાપમાન ગુણાંક $2$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે. તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 100\,^oC - 10\,^oC = 90\,^oC$ છે.
$10\,^oC$ ના અંતરાલોની સંખ્યા $n = \frac{90}{10} = 9$ છે.
પ્રક્રિયાનો વેગ $2^n$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.
તેથી,પ્રક્રિયાનો વેગ $2^9 = 512$ ગણો વધશે.