एक स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई l है जिसका एक | vedclass

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Question

(B) माना ऊर्ध्वाधर दूरी $l$ है। किसी भी कोण $	heta$ पर स्प्रिंग की लंबाई $h = l / \cos 	heta$ है। स्प्रिंग में विस्तार $x = h - l = l(1/\cos 	heta

Vedclass · Accepted Answer

$\cos ^{-1}\left(\frac{2}{2+\sqrt{3}}\right)$

Vedclass · Answer

(B) माना ऊर्ध्वाधर दूरी $l$ है। किसी भी कोण $	heta$ पर स्प्रिंग की लंबाई $h = l / \cos 	heta$ है। स्प्रिंग में विस्तार $x = h - l = l(1/\cos 	heta - 1)$ है।ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। अधिकतम वेग $v_{max}$ तब प्राप्त होता है जब स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई पर होती है (अर्थात $	heta = 0$,$x = 0$)। प्रारंभिक स्थिति $(	heta = 60^{\circ})$ पर स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} k x_i^2$ है,जहाँ $x_i = l(1/\cos 60^{\circ} - 1) = l(2-1) = l$ है। अतः $U_i = \frac{1}{2} k l^2$ है।किसी भी कोण $	heta$ पर,ऊर्जा समीकरण $\frac{1}{2} k l^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k (l/\cos 	heta - 1)^2 l^2$ है। अधिकतम वेग $v_{max}$ तब होता है जब विस्तार शून्य होता है,अर्थात $	heta = 0$ पर। अतः,$\frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} k l^2$ है।दिया गया है कि $v = \frac{1}{2} v_{max}$,इसलिए $v^2 = \frac{1}{4} v_{max}^2$ है। इसे ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2} k l^2 = \frac{1}{2} m (\frac{1}{4} v_{max}^2) + \frac{1}{2} k l^2 (1/\cos 	heta - 1)^2$। चूँकि $\frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} k l^2$ है,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} k l^2 = \frac{1}{8} k l^2 + \frac{1}{2} k l^2 (1/\cos 	heta - 1)^2$।$\frac{1}{2} k l^2$ से भाग देने पर: $1 = 1/4 + (1/\cos 	heta - 1)^2 \Rightarrow (1/\cos 	heta - 1)^2 = 3/4 \Rightarrow 1/\cos 	heta - 1 = \sqrt{3}/2 \Rightarrow 1/\cos 	heta = 1 + \sqrt{3}/2 = (2+\sqrt{3})/2$।अतः,$\cos 	heta = 2 / (2+\sqrt{3})$,इसलिए $	heta = \cos^{-1}(2 / (2+\sqrt{3}))$ है। सही विकल्प $B$ है।

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