Mix Examples-Units, Dimensions and Measurement Questions in Gujarati

(C) ઊર્જાનો એકમ જુલ $(J)$ છે,જે $kg \cdot m^2/s^2$ ને સમાન છે.
વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે કારણ કે સ્ટ્રેસનો એકમ $N/m^2$ છે અને સ્ટ્રેન પરિમાણરહિત છે.
વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે કારણ કે પૃષ્ઠતાણ એ એકમ લંબાઈ દીઠ બળ છે $(N/m)$.
વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે કારણ કે દબાણ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ છે $(N/m^2)$.
વિકલ્પ $(C)$ ખોટો છે કારણ કે $kg \cdot m/s$ એ વેગમાનનો એકમ છે,ઊર્જાનો નહીં. તેથી,સાચો જવાબ $(C)$ છે.

(D) ઉર્જા (કાર્ય) નો એકમ $Joule$ $(J)$ છે અને સમયનો એકમ $second$ $(s)$ છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે કોણીય વેગમાન $(L)$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-1}]$ છે.
$Joule$ ના પરિમાણો $[ML^2T^{-2}]$ છે અને $second$ ના પરિમાણો $[T]$ છે.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $[ML^2T^{-2}] \times [T] = [ML^2T^{-1}]$ મળે છે,જે કોણીય વેગમાનના પરિમાણો સાથે સુસંગત છે.
તેથી,$Joule-second$ એ કોણીય વેગમાનનો એકમ છે.

(A) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
સમઘનનું ઘનફળ $V = a^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $S = 6a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઘનફળ અને પૃષ્ઠફળના આંકડાકીય મૂલ્યો સમાન છે:
$a^3 = 6a^2$.
બંને બાજુને $a^2$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ ધારીને):
$a = 6$.
તેથી,સમઘનનું ઘનફળ $V = a^3 = 6^3 = 216 \, units^3$ થાય.

(A) $CGS$ પદ્ધતિમાં ઉર્જાનો એકમ $Erg$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્ય અથવા ઉર્જા $E$ એ બળ $F$ અને સ્થાનાંતર $d$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે,એટલે કે $E = F \times d$.
બળ માટે આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $F = \frac{E}{d}$ મળે છે.
એકમોને મૂકતા,બળનો એકમ $\frac{\text{ઉર્જાનો એકમ}}{\text{લંબાઈનો એકમ}}$ થાય છે.
આપેલા એકમોમાં,આ $\frac{Erg}{m}$ ને અનુરૂપ છે,જે $Erg \cdot m^{-1}$ છે.
તેથી,$Erg \cdot m^{-1}$ એ બળનો એકમ છે.

(C) $CGS$ પદ્ધતિમાં યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નો એકમ $dyne/cm^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ N = 10^5 \ dyne$ અને $1 \ m^2 = 10^4 \ cm^2$.
તેથી,$1 \ dyne/cm^2 = \frac{10^{-5} \ N}{10^{-4} \ m^2} = 10^{-1} \ N/m^2$.
આને $x \times 10^{-1} \ N/m^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.
આમ,રૂપાંતરણ અવયવ $1$ છે.

(D) ન્યૂટન (બળનો $SI$ એકમ) અને ડાઇન (બળનો $CGS$ એકમ) વચ્ચેનો સાચો સંબંધ $1 \text{ Newton} = 10^5 \text{ Dynes}$ છે.
તેથી,$1 \text{ Newton} = 10^{-5} \text{ Dynes}$ વાળો સંબંધ ખોટો છે.

(D) ફેઝ તફાવત રેડિયન $(rad)$ માં માપવામાં આવે છે.
ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્ય જૂલ પ્રતિ કેલરી $(J/cal)$ માં માપવામાં આવે છે.
ધ્વનિની પ્રબળતા ડેસિબલ $(dB)$ માં માપવામાં આવે છે.
પોઈસનનો ગુણોત્તર એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે,જે તેને પરિમાણરહિત અને એકમરહિત રાશિ બનાવે છે.
તેથી,પોઈસનનો ગુણોત્તર અન્ય કરતા અલગ છે કારણ કે તેનો કોઈ એકમ નથી.

(D) ઊર્જાનો એકમ જૂલ $(J)$ છે.
$1.$ Watt-sec = (Joule/sec) $\times$ sec = Joule (ઊર્જાનો એકમ).
$2.$ Kilowatt-hour = $10^3$ Watt $\times$ $3600$ sec = $3.6 \times 10^6$ Joule (ઊર્જાનો એકમ).
$3.$ eV (ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ) એ ઊર્જાનો એકમ છે $(1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J})$.
$4.$ Joule-sec એ કોણીય વેગમાનનો એકમ છે ($L = I\omega$ અથવા $L = pr$),ઊર્જાનો નહીં.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$A$. કોણીય વેગમાન $(L = mvr)$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $(h = E/f)$ બંનેના પરિમાણો $[M L^2 T^{-1}]$ છે.
$B$. જડત્વની ચાકમાત્રા $(I = mr^2)$ ના પરિમાણો $[M L^2]$ છે. બળની ચાકમાત્રા (ટોર્ક,$\tau = r \times F$) ના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}]$ છે. આ સમાન નથી.
$C$. કાર્ય $(W = F \cdot d)$ અને ટોર્ક $(\tau = r \times F)$ બંનેના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
$D$. આઘાત $(J = F \Delta t)$ અને વેગમાન $(p = mv)$ બંનેના પરિમાણો $[M L T^{-1}]$ છે.
તેથી,જે જોડીના પરિમાણો સમાન નથી તે જડત્વની ચાકમાત્રા અને બળની ચાકમાત્રા છે.

(D) એકમ કદ દીઠ ઉર્જા = $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ = $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
એકમ કદ દીઠ વોલ્ટેજ અને વિદ્યુતભારનો ગુણાકાર = $\frac{V \times Q}{\text{Volume}} = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
એકમ દળ દીઠ કોણીય વેગમાન = $\frac{[ML^2T^{-1}]}{[M]} = [L^2T^{-1}]$.
આમ,એકમ દળ દીઠ કોણીય વેગમાનનું પરિમાણ બાકીની ત્રણ રાશિઓ કરતા અલગ છે.

(A) કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
પાવરનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{\text{કાર્ય}}{\text{સમય}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T]} = [ML^2T^{-3}]$ છે.
કારણ કે પાવરના પરિમાણો કાર્ય,ટોર્ક અને ઉર્જા કરતા અલગ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કાર્યનું પરિમાણ $W = F \cdot d = [MLT^{-2}] \cdot [L] = [ML^2T^{-2}]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિ ઊર્જાનું પરિમાણ કાર્ય જેટલું જ છે,જે $[ML^2T^{-2}]$ છે.
કોણીય વેગમાનનું પરિમાણ $[ML^2T^{-1}]$ છે.
ટોર્કનું પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે.
રેખીય વેગમાનનું પરિમાણ $[MLT^{-1}]$ છે.
ગતિ ઊર્જાનું પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે.
વેગનું પરિમાણ $[LT^{-1}]$ છે.
તેથી,સમાન પરિમાણો ધરાવતી જોડી કાર્ય અને સ્થિતિ ઊર્જા છે.

(A) અલગ પરિમાણો ધરાવતી જોડી શોધવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$A$. રેખીય વેગમાન = $\text{દળ} \times \text{વેગ} = [M L T^{-1}]$. બળની ચાકમાત્રા (ટોર્ક) = $\text{બળ} \times \text{અંતર} = [M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$. આ બંનેના પરિમાણો અલગ છે.
$B$. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ ના પરિમાણો $[M L^2 T^{-1}]$ છે. કોણીય વેગમાન $(L = mvr)$ ના પરિમાણો $[M] \times [L T^{-1}] \times [L] = [M L^2 T^{-1}]$ છે. આ બંનેના પરિમાણો સમાન છે.
$C$. દબાણ = $\text{બળ} / \text{ક્ષેત્રફળ} = [M L T^{-2}] / [L^2] = [M L^{-1} T^{-2}]$. સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ = $\text{સ્ટ્રેસ} / \text{સ્ટ્રેન} = [M L^{-1} T^{-2}] / [1] = [M L^{-1} T^{-2}]$. આ બંનેના પરિમાણો સમાન છે.
$D$. ટોર્ક = $\text{બળ} \times \text{અંતર} = [M L^2 T^{-2}]$. સ્થિતિ ઊર્જા = $\text{કાર્ય} = [M L^2 T^{-2}]$. આ બંનેના પરિમાણો સમાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[F] = [MLT^{-2}]$ છે.
સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ: $\text{Stress} = F/A$. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ થાય છે.
દબાણ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ: $\text{Pressure} = F/A$. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ થાય છે.
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈન (વિકૃતિ) નો ગુણોત્તર છે: $Y = \text{Stress} / \text{Strain}$. વિકૃતિ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસનું પારિમાણિક સૂત્ર સ્ટ્રેસ જેટલું જ એટલે કે $[ML^{-1}T^{-2}]$ થાય છે.
આમ,ત્રણેય રાશિઓનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}]$ સમાન છે.

(A) ભૌતિક રાશિનું પરિમાણ એ મૂળભૂત એકમો પર આવતા ઘાતાંકો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$(a)$ બળનું યુગ્મ (ટોર્ક) = $|\overrightarrow r \times \overrightarrow F | = [M^1 L^2 T^{-2}]$
કાર્ય = $|\vec F \cdot \vec d| = [M^1 L^2 T^{-2}]$
બંનેનું પરિમાણીય સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ સમાન હોવાથી,તેઓ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે.
$(b)$ બળ = $[M^1 L^1 T^{-2}]$,પાવર = $[M^1 L^2 T^{-3}]$. આ બંને અલગ છે.
$(c)$ ગુપ્ત ઉષ્મા = $[L^2 T^{-2}]$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા = $[L^2 T^{-2} K^{-1}]$. આ બંને અલગ છે.
$(d)$ કાર્ય = $[M^1 L^2 T^{-2}]$,પાવર = $[M^1 L^2 T^{-3}]$. આ બંને અલગ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ જોડીઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્ટ્રેસ અને દબાણ: બંનેના પરિમાણો $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
$2$. ખૂણો અને વિકૃતિ: બંને પરિમાણરહિત રાશિઓ $[M^0L^0T^0]$ છે.
$3$. તણાવ અને પૃષ્ઠતાણ: તણાવ એ બળ છે જેના પરિમાણો $[MLT^{-2}]$ છે,જ્યારે પૃષ્ઠતાણ એ એકમ લંબાઈ દીઠ બળ છે જેના પરિમાણો $[MT^{-2}]$ છે. આમ,તેમના પરિમાણો સમાન નથી.
$4$. પ્લાન્કનો અચળાંક અને કોણીય વેગમાન: બંનેના પરિમાણો $[ML^2T^{-1}]$ છે.
તેથી,જે જોડીના પરિમાણો સમાન નથી તે તણાવ અને પૃષ્ઠતાણ છે.

(C) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્લાન્કનો અચળાંક: $[M L^2 T^{-1}]$,કોણીય વેગમાન: $[M L^2 T^{-1}]$. આ બંનેના પરિમાણો સમાન છે.
$2$. આઘાત: $[M L T^{-1}]$,રેખીય વેગમાન: $[M L T^{-1}]$. આ બંનેના પરિમાણો સમાન છે.
$3$. કોણીય વેગમાન: $[M L^2 T^{-1}]$,આવૃત્તિ: $[T^{-1}]$. આ બંનેના પરિમાણો અલગ છે.
$4$. દબાણ: $[M L^{-1} T^{-2}]$,યંગ મોડ્યુલસ: $[M L^{-1} T^{-2}]$. આ બંનેના પરિમાણો સમાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર સમાન હોવાથી,તેમના પરિમાણો સમાન છે.
તેથી,સાચી જોડી ટોર્ક અને કાર્ય છે.

(B) દબાણનું પારિમાણિક સૂત્ર $P = \frac{F}{A} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
હવે,એકમ કદ દીઠ ઉર્જાના પરિમાણો તપાસીએ:
$\text{એકમ કદ દીઠ ઉર્જા} = \frac{\text{ઉર્જા}}{\text{કદ}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
આમ,દબાણ અને એકમ કદ દીઠ ઉર્જાના પરિમાણો સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કોણીય વેગ $\omega$ નું પરિમાણ $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ પરિમાણરહિત છે અને $t$ એ સમય છે. તેથી,$[\omega] = [T^{-1}]$.
આવૃત્તિ $n$ નું પરિમાણ એકમ સમયમાં થતા દોલનોની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તેથી $[n] = [T^{-1}]$.
કોણીય વેગ અને આવૃત્તિ બંને સમાન પરિમાણીય સૂત્ર $[T^{-1}]$ ધરાવતા હોવાથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(D) દબાણનો એકમ $Pascal$ $(Pa)$ છે,જેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
તેથી,$Pascal-second$ $(Pa \cdot s)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}] \times [T] = [M L^{-1} T^{-1}]$ થાય છે.
શ્યાનતા ગુણાંક $(\eta)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\eta = \frac{F}{A (\Delta v / \Delta z)}$
જ્યાં $F$ એ બળ છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,અને $\frac{\Delta v}{\Delta z}$ એ વેગ પ્રચલન છે.
$\eta$ ના પરિમાણો:
$\eta \text{ ના પરિમાણો} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M L^{-1} T^{-1}]$.
આમ,$Pascal-second$ એ શ્યાનતા ગુણાંકના પરિમાણ ધરાવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ નું પરિમાણ $[ML^2T^{-1}]$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું પરિમાણ $[ML^2]$ છે.
બંનેનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{[h]}{[I]} = \frac{[ML^2T^{-1}]}{[ML^2]} = [T^{-1}]$.
પરિમાણ $[T^{-1}]$ એ આવૃત્તિનું પરિમાણ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કયા જૂથના પરિમાણો અલગ છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક ભૌતિક રાશિના પારિમાણિક સૂત્રનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$A$: સ્થિતિમાનનો તફાવત,$EMF$,અને વોલ્ટેજ એ એકમ દીઠ વિદ્યુતભાર દીઠ ઊર્જા દર્શાવે છે. તેમનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે. તેઓ સમાન છે.
$B$: દબાણ,પ્રતિબળ અને યંગ મોડ્યુલસ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ દર્શાવે છે. તેમનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે. તેઓ સમાન છે.
$C$: ઉષ્મા,ઊર્જા અને કાર્ય એ ઊર્જાના સ્વરૂપો છે. તેમનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે. તેઓ સમાન છે.
$D$: ડાયપોલ મોમેન્ટ $(p = q \times d)$ ના પરિમાણો $[L T A]$ છે. ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સ $(\Phi = E \cdot A)$ ના પરિમાણો $[M L^3 T^{-3} A^{-1}]$ છે. ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $(E = F/q)$ ના પરિમાણો $[M L T^{-3} A^{-1}]$ છે. આ બધા અલગ છે.
તેથી,અલગ પરિમાણો ધરાવતું જૂથ $D$ છે.

(C) વિધાન $(1)$ સાચું છે કારણ કે ચોકસાઈ એ સાર્થક અંકોની સંખ્યા અને માપનની ચોકસાઈ સાથે સંબંધિત છે. $50.14 \, cm$ માં $4$ સાર્થક અંકો છે,જ્યારે $0.00025 \, A$ માં માત્ર $2$ સાર્થક અંકો છે. તેથી,પ્રથમ માપન વધુ સચોટ છે.
વિધાન $(2)$ સાચું છે કારણ કે જ્યારે અલગ-અલગ એકમો ધરાવતી રાશિઓનો સરવાળો કરવામાં આવે,ત્યારે આપણે ચોકસાઈને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. $478 \, km = 478000 \, m$. $397 \, m$ ઉમેરતા $478397 \, m$ મળે છે. જોકે,સાર્થક અંકો અને ચોકસાઈની દ્રષ્ટિએ,પરિણામ સૌથી ઓછી ચોકસાઈ ધરાવતા માપન દ્વારા મર્યાદિત હોય છે. $478 \, km$ એ એકમના સ્થાન $(1 \, km)$ સુધીની ચોકસાઈ ધરાવે છે,તેથી $397 \, m$ $(0.397 \, km)$ નો સરવાળો $478 \, km$ ના સ્કેલની સાપેક્ષમાં નગણ્ય છે. આમ,કુલ અંતર $478 \, km$ તરીકે લેવામાં આવે છે.

(C) નળાકારનું કદ $V = \pi r^2 l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 5.0 \, cm$,$\Delta l = 0.1 \, cm$.
ત્રિજ્યા $r = 2.0 \, cm$,$\Delta r = 0.01 \, cm$ (કારણ કે વર્નિયર કેલિપર્સની લઘુત્તમ માપશક્તિ વ્યાસ માટે છે,તેથી ત્રિજ્યામાં ત્રુટિ સાધનની લઘુત્તમ માપશક્તિ જેટલી જ $0.01 \, cm$ રહેશે).
કદમાં પ્રતિશત ત્રુટિ = $\left( 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l} \right) \times 100$.
$= \left( 2 \times \frac{0.01}{2.0} \times 100 + \frac{0.1}{5.0} \times 100 \right) \%$.
$= (1 + 2) \% = 3 \%$.

(D) $1$. રેનોલ્ડ્સ નંબર અને ઘર્ષણાંક બંને પરિમાણરહિત રાશિઓ છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના પરિમાણો $[M^0L^0T^0]$ છે.
$2$. ગુપ્ત ઉષ્મા $(L)$ ને એકમ દળ દીઠ ઉર્જા $(Q/m)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું પરિમાણ $[M^0L^2T^{-2}]$ છે. ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન $(V)$ ને એકમ દળ દીઠ કાર્ય $(W/m)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું પરિમાણ પણ $[M^0L^2T^{-2}]$ છે.
$3$. ક્યુરી એ રેડિયોએક્ટિવિટીનો એકમ છે,જે પ્રતિ સેકન્ડ વિઘટનની સંખ્યા દર્શાવે છે,જેનું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે. પ્રકાશ તરંગની આવૃત્તિનું પરિમાણ પણ $[T^{-1}]$ છે.
$4$. તેથી,આપેલી તમામ જોડીઓ સમાન પરિમાણો ધરાવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $1$. ક્યુરી એ રેડિયોએક્ટિવિટીનો એકમ છે,જે પ્રતિ સેકન્ડ થતા વિઘટનની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. તેનું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે,જે $(G)$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. પ્રકાશ વર્ષ એ અંતરનો એકમ છે. તેનું પરિમાણ $[L]$ છે,જે $(H)$ ને અનુરૂપ છે.
$3$. ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ એ પદાર્થ સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ વિદ્યુત ક્ષેત્ર છે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = F/q$. પરિમાણ: $[MLT^{-2}] / [IT] = [MLT^{-3}I^{-1}]$,જે $(I)$ ને અનુરૂપ છે.
$4$. પરમાણુ ભાર એ દળનો પરિમાણરહિત ગુણોત્તર છે. તેનું પરિમાણ $[M^0L^0T^0]$ છે,પરંતુ તે દળ દર્શાવતું હોવાથી,ચોક્કસ સંદર્ભમાં તે $[M]$ સાથે સંકળાયેલ છે,જે $(B)$ ને અનુરૂપ છે.
$5$. ડેસિબલ એ લોગરીધમિક એકમ છે જેનો ઉપયોગ પાવર અથવા તીવ્રતા જેવી ભૌતિક રાશિના બે મૂલ્યોના ગુણોત્તરને વ્યક્ત કરવા માટે થાય છે. તે પરિમાણરહિત છે,જે $(C)$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,સાચી જોડ $(i)-G, (ii)-H, (iii)-I, (iv)-B, (v)-C$ છે.

(A) પૈડા દ્વારા એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર તેના પરિઘ જેટલું હોય છે,જે $\pi D$ છે,જ્યાં $D$ એ વ્યાસ છે.
$n$ પરિભ્રમણ માટે,કુલ અંતર $S = n \times \pi \times D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $n = 2000$,$S = 9.5\, km = 9500\, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$9500 = 2000 \times \pi \times D$
$D = \frac{9500}{2000 \times \pi}$
$\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$D = \frac{9.5}{2 \times 3.14159} \approx 1.51\, m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વ્યાસ $1.5\, m$ છે.

(B) પ્રકૃતિમાં રહેલા ચાર મૂળભૂત બળો, તેમની સાપેક્ષ શક્તિના વધતા ક્રમમાં નીચે મુજબ છે:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (સૌથી નબળું)
$2$. નબળું ન્યુક્લિયર બળ
$3$. વિદ્યુતચુંબકીય (સ્થિત-વિદ્યુત) બળ
$4$. પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ (સૌથી મજબૂત)
તેથી, સાચો ક્રમ છે: ગુરુત્વાકર્ષણ < નબળું < સ્થિત-વિદ્યુત < પ્રબળ બળ.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) કાર્ય એ બળ અને સ્થાનાંતર (લંબાઈ) નો ગુણાકાર છે: $W = F \times d$.
જો બળ $F$ નો એકમ $4$ ગણો વધારવામાં આવે,તો નવું બળ $F' = 4F$ થાય.
જો લંબાઈ $d$ નો એકમ $4$ ગણો વધારવામાં આવે,તો નવું સ્થાનાંતર $d' = 4d$ થાય.
ઉર્જાનો નવો એકમ $W'$ આ મુજબ હશે: $W' = F' \times d' = (4F) \times (4d) = 16 \times (F \times d) = 16W$.
તેથી,ઉર્જાનો એકમ $16$ ગણો વધશે.

(C) ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક,જેને $J$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એક રૂપાંતરણ અવયવ છે જેનો ઉપયોગ યાંત્રિક ઉર્જાના એકમો (જૂલ) ને ઉષ્મીય ઉર્જાના એકમો (કેલરી) સાથે જોડવા માટે થાય છે.
કારણ કે $1 \text{ કેલરી} = 4.186 \text{ જૂલ}$,તેથી $J$ નું મૂલ્ય આશરે $4.186 \text{ J/cal}$ છે.
તે ભૌતિક રાશિ નથી,પરંતુ એક અચળ અવયવ છે જે આપણને ઉર્જાના વિવિધ એકમો વચ્ચે રૂપાંતર કરવાની મંજૂરી આપે છે.

(A) આપેલ અવસ્થા સમીકરણ: $\left( P + \frac{aT^2}{V} \right) V^c = (RT + b)$.
બંને બાજુને $V^c$ વડે ભાગતા:
$P + \frac{aT^2}{V} = (RT + b) V^{-c}$.
$P$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$P = (RT + b) V^{-c} - aT^2 V^{-1}$.
આ સમીકરણને આપેલ સ્વરૂપ $P = AV^m - BV^n$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $A = (RT + b)$ અને $B = aT^2$ (બંને માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે):
$P = (RT + b) V^{-c} - (aT^2) V^{-1}$.
$V$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$m = -c$ અને $n = -1$.

(B) સરેરાશ સૌર દિવસ એ પૃથ્વી દ્વારા સૂર્યની સાપેક્ષમાં તેની ધરી પર એકવાર ફરવા માટે લેવાયેલો સમય છે,જે આશરે $24$ કલાક છે.
નક્ષત્ર દિવસ એ પૃથ્વી દ્વારા દૂરના તારાઓની સાપેક્ષમાં તેની ધરી પર એકવાર ફરવા માટે લેવાયેલો સમય છે,જે આશરે $23$ કલાક અને $56$ મિનિટ છે.
સરેરાશ સૌર દિવસ ($24$ કલાક) અને નક્ષત્ર દિવસ ($23$ કલાક $56$ મિનિટ) વચ્ચેનો તફાવત $4$ મિનિટ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કઈ જોડ સમાન પરિમાણી નથી તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(A)$ કોણીય વેગમાન $(L)$ નું સૂત્ર $L = mvr$ છે. તેના પરિમાણ $[ML^2T^{-1}]$ છે. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ ઊર્જા સાથે $E = h\nu$ દ્વારા સંબંધિત છે,તેથી $[h] = [E]/[\nu] = [ML^2T^{-2}]/[T^{-1}] = [ML^2T^{-1}]$. આમ,તેઓ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે.
$(B)$ આઘાત $(I)$ એ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે,$I = \Delta p$. તેથી,આઘાત અને રેખીય વેગમાન સમાન પરિમાણ $[MLT^{-1}]$ ધરાવે છે.
$(C)$ જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ના પરિમાણ $[ML^2]$ છે. ટોર્ક $(\tau)$ નું સૂત્ર $\tau = r \times F$ છે,જેના પરિમાણ $[L] \times [MLT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]$ છે. કારણ કે $[ML^2] \neq [ML^2T^{-2}]$,આ જોડ સમાન પરિમાણ ધરાવતી નથી.
$(D)$ કાર્ય $(W)$ એ બળ $\times$ સ્થાનાંતર છે,જેના પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે. ટોર્ક $(\tau)$ પણ $[ML^2T^{-2}]$ પરિમાણ ધરાવે છે. આમ,તેઓ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે.
તેથી,જે જોડ સમાન પરિમાણી નથી તે જડત્વની ચાકમાત્રા અને ટોર્ક છે.

(A) બળનું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે.
કાર્યનું પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે.
ટોર્કનું પરિમાણ બળ અને લંબ અંતરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$ છે.
ઊર્જાનું પરિમાણ કાર્ય જેટલું જ હોય છે,જે $[ML^2T^{-2}]$ છે.
તણાવ (પ્રતિબળ) નું પરિમાણ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
આમ,ટોર્ક અને કાર્ય બંનેના પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ સમાન છે.
તેથી,સાચી જોડ ટોર્ક અને કાર્ય છે.

(B) એવી જોડી શોધવા માટે જેમાં એક સદિશ અને એક અદિશ રાશિ હોય અને તેમના પરિમાણ સમાન હોય,આપણે વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. કાર્ય અને ઊર્જા: બંને અદિશ રાશિઓ છે અને તેમના પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે.
$2$. ટોર્ક અને કાર્ય: ટોર્ક એ સદિશ રાશિ છે અને કાર્ય એ અદિશ રાશિ છે. બંનેના પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે.
$3$. પ્રેરણ (Impulse) અને વેગમાન: બંને સદિશ રાશિઓ છે અને તેમના પરિમાણ $[MLT^{-1}]$ છે.
$4$. શક્તિ અને દબાણ: શક્તિ અદિશ $[ML^2T^{-3}]$ છે અને દબાણ અદિશ $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
આમ,ટોર્ક (સદિશ) અને કાર્ય (અદિશ) ના પરિમાણ સમાન $[ML^2T^{-2}]$ છે.

(A) સ્નિગ્ધતાના ગુણાંકનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-1} T^{-1}]$ છે.
પૃષ્ઠતાણનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^{-2}]$ છે.
મૂળભૂત એકમોની ઘાતની સરખામણી કરતા:
દળ $(M)$ માટે: બંનેમાં ઘાત $1$ છે.
લંબાઈ $(L)$ માટે: સ્નિગ્ધતામાં $-1$ છે,જ્યારે પૃષ્ઠતાણમાં $0$ છે.
સમય $(T)$ માટે: સ્નિગ્ધતામાં $-1$ છે,જ્યારે પૃષ્ઠતાણમાં $-2$ છે.
તેથી,જે મૂળભૂત એકમની ઘાત બંનેમાં સમાન છે તે દળ છે.

(C) કઈ જોડ સમાન પરિમાણ ધરાવતી નથી તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$. પ્રેરકત્વ $(L)$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2} A^{-2}]$ છે,જ્યારે વેગમાન $(p = mv)$ નું પરિમાણ $[M L T^{-1}]$ છે. આ સમાન નથી.
$B$. કાર્ય $(W = F \cdot d)$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2}]$ છે,અને ટૉર્ક $(\tau = r \times F)$ નું પરિમાણ પણ $[M L^2 T^{-2}]$ છે. આ સમાન છે.
$C$. જડત્વની ચાકમાત્રા $(I = mr^2)$ નું પરિમાણ $[M L^2]$ છે,અને બળની ચાકમાત્રા $(\tau = r \times F)$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2}]$ છે. આ સમાન નથી.
$D$. કોણીય વેગમાન $(L = mvr)$ નું પરિમાણ $[M L^2 T^{-1}]$ છે,અને પ્લાન્ક અચળાંક $(h = E/f)$ નું પરિમાણ પણ $[M L^2 T^{-1}]$ છે. આ સમાન છે.
નોંધ: પ્રશ્ન એવી જોડ વિશે પૂછે છે જે સમાન પરિમાણ ધરાવતી નથી. વિકલ્પ $A$ અને $C$ બંને આ શરત સંતોષે છે,પરંતુ સામાન્ય રીતે ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં $C$ ને સાચો જવાબ ગણવામાં આવે છે.

(B) રીંગની ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ છે.
રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M R^{2}$ હોવાથી,આપણે તેને ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ:
$K = \frac{1}{2} (M R^{2}) \omega^{2} = \frac{1}{2} M R^{2} \omega^{2}$.
સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta M}{M} + 2 \frac{\Delta R}{R} + 2 \frac{\Delta \omega}{\omega}$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta R}{R} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta \omega}{\omega} \times 100 \right)$.
આપેલ કિંમતો $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 1 \%$ અને $\frac{\Delta \omega}{\omega} \times 100 = 1 \%$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta K}{K} \times 100 = 2 \% + 2(1 \%) + 2(1 \%) = 2 \% + 2 \% + 2 \% = 6 \%$.

(A) પ્રકૃતિમાં રહેલા ચાર મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ પ્રબળતા નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્ટ્રૉંગ ન્યુક્લિયર બળ $(SNF)$: સૌથી પ્રબળ બળ,જે ન્યુક્લિયોન્સ વચ્ચે લાગે છે.
$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ $(EMF)$: બીજા ક્રમનું પ્રબળ બળ,જે વિદ્યુતભારિત કણો વચ્ચે લાગે છે.
$3$. વીક ન્યુક્લિયર બળ $(WNF)$: ત્રીજા ક્રમનું પ્રબળ બળ,જે રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયમાં ભાગ લે છે.
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(GF)$: સૌથી નિર્બળ બળ,જે દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચે લાગે છે.
તેમના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $SNF : EMF : WNF : GF \approx 1 : 10^{-2} : 10^{-13} : 10^{-39}$.
તેથી,સાપેક્ષ પ્રબળતાનો સાચો ક્રમ $SNF > EMF > WNF > GF$ છે.

(A) પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$A$. સ્પ્રિંગ અચળાંક $(k)$: $F = kx \implies k = F/x$. પરિમાણ: $[MLT^{-2}]/[L] = [M^1L^0T^{-2}]$. જે $(3)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$B$. પાસ્કલ $(Pa)$: દબાણનો એકમ $(P = F/A)$. પરિમાણ: $[MLT^{-2}]/[L^2] = [M^1L^{-1}T^{-2}]$. જે $(4)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$C$. હર્ટઝ $(Hz)$: આવૃત્તિનો એકમ $(f = 1/T)$. પરિમાણ: $[T^{-1}] = [M^0L^0T^{-1}]$. જે $(2)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$D$. જૂલ $(J)$: ઉર્જા/કાર્યનો એકમ $(W = F \cdot d)$. પરિમાણ: $[MLT^{-2}] \cdot [L] = [M^1L^2T^{-2}]$. જે $(1)$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-3, B-4, C-2, D-1$ છે.

(B) $1$. પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ ના પરિમાણ $[ML^2T^{-1}]$ છે અને કોણીય વેગમાન $(L = mvr)$ ના પરિમાણ પણ $[ML^2T^{-1}]$ છે.
$2$. પ્રતિબળ (Stress) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું પરિમાણ $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે. દબાણ (Pressure) પણ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ છે,જેનું પરિમાણ $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
$3$. બળનું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે અને તણાવ (Tension) એ એક પ્રકારનું બળ હોવાથી તેનું પરિમાણ પણ $[MLT^{-2}]$ છે.
$4$. પૃષ્ઠતાણ (Surface tension) એ એકમ લંબાઈ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું પરિમાણ $[MT^{-2}]$ છે.
આમ,પ્રતિબળનું પરિમાણ $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે અને પૃષ્ઠતાણનું પરિમાણ $[MT^{-2}]$ હોવાથી,આ બંનેના પરિમાણ સમાન નથી.

(A) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ $n = \frac{c}{v} = \sqrt{\frac{\mu \epsilon}{\mu_0 \epsilon_0}} = \sqrt{\mu_r \epsilon_r}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$\mu_r$ એ સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી છે અને $\epsilon_r$ (જેને ઘણીવાર $K$,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે) એ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી છે.
આમ,$n = \sqrt{\mu_r K}$.
વક્રીભવનાંક $n$ એ બે ઝડપનો ગુણોત્તર હોવાથી,તે પરિમાણ રહિત રાશિ છે.
તેથી,$\sqrt{\mu_r K}$ નું પરિમાણિક સૂત્ર $M^0 L^0 T^0$ છે.

(A) આપેલ ઊર્જા $E = 700 \ kcal$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ kcal = 10^3 \ cal$ અને $1 \ cal = 4.2 \ J$ થાય.
તેથી,$E = 700 \times 10^3 \times 4.2 \ J = 2940 \times 10^3 \ J = 2.94 \times 10^6 \ J$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ kWh = 3.6 \times 10^6 \ J$ થાય.
ઊર્જાને જૂલમાંથી $kWh$ માં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $3.6 \times 10^6$ વડે ભાગીશું.
$E (kWh \text{ માં}) = \frac{2.94 \times 10^6 \ J}{3.6 \times 10^6 \ J/kWh} = \frac{2.94}{3.6} \approx 0.816 \ kWh$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.81 \ kWh$ મળે છે.

(A) ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર: $\text{ઉર્જા ઘનતા} = \frac{\text{ઉર્જા}}{\text{કદ}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ની વ્યાખ્યા: $Y = \frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}} = \frac{\text{બળ/ક્ષેત્રફળ}}{\text{લંબાઈમાં ફેરફાર/મૂળ લંબાઈ}}$.
સ્ટ્રેન પરિમાણરહિત હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસના પરિમાણો સ્ટ્રેસ જેટલા જ હોય છે: $[Y] = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
વક્રીભવનાંક અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક પરિમાણરહિત રાશિઓ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના પરિમાણો $[MT^{-2}A^{-1}]$ છે.
આમ,ઉર્જા ઘનતા અને યંગ મોડ્યુલસના પરિમાણો સમાન છે.

(C) પરિમાણીય સુસંગતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક રાશિનું મૂલ્ય એકમ પદ્ધતિ બદલાવા છતાં અચળ રહે છે,જે $n_1 u_1 = n_2 u_2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,ઘનતા $\rho = 4 \, g \, cm^{-3}$ છે.
નવી પદ્ધતિમાં,દળનો એકમ $M_2 = 100 \, g$ અને લંબાઈનો એકમ $L_2 = 10 \, cm$ છે.
નવી પદ્ધતિમાં ઘનતા $\rho = n_2 \frac{M_2}{L_2^3}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $4 \, g \, cm^{-3} = n_2 \frac{100 \, g}{(10 \, cm)^3}$.
$4 = n_2 \frac{100}{1000}$.
$4 = n_2 \times 0.1$.
$n_2 = \frac{4}{0.1} = 40$.

(B) સ્ટીલની પટ્ટી $20^{\circ}C$ તાપમાને સાચું માપ આપવા માટે અંકિત કરેલી છે.
જ્યારે તાપમાન ઘટીને $0^{\circ}C$ થાય છે,ત્યારે સ્ટીલની પટ્ટીમાં ઉષ્મીય સંકોચન થાય છે.
સંકોચનને કારણે,પટ્ટી પરના અંકનો એકબીજાની નજીક આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $0$ અને $25 \, cm$ ના અંક વચ્ચેનું અંતર $20^{\circ}C$ તાપમાન કરતા ઓછું થઈ જાય છે.
પટ્ટી ટૂંકી હોવાથી,તે જ ભૌતિક વસ્તુને માપવા માટે વધુ 'પટ્ટીની લંબાઈ' ની જરૂર પડશે.
તેથી,સંકોચાયેલી પટ્ટી પર $25 \, cm$ નું વાંચન એ $25 \, cm$ કરતા ઓછી વાસ્તવિક લંબાઈ દર્શાવે છે.
આમ,લાકડાની વાસ્તવિક લંબાઈ $25 \, cm$ કરતા ઓછી હશે.

(A) ધારો કે $\alpha_s = 12 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ એ સ્ટીલનો ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક છે અને $\alpha_x = 2 \times 10^{-6} /^{\circ}C$ એ ધાતુ $X$ નો ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક છે.
$T = 40^{\circ}C$ તાપમાને,માપેલ લંબાઈ $L_m = 100 \, mm$ છે.
જેમ તાપમાન વધે છે તેમ સ્ટીલની સ્કેલ વિસ્તરે છે. $40^{\circ}C$ તાપમાને સ્કેલની લંબાઈ $L_s = L_0(1 + \alpha_s \Delta T)$ થાય છે.
ધાતુ $X$ નો સમઘન પણ વિસ્તરે છે: $L_x = L_{0x}(1 + \alpha_x \Delta T)$.
માપેલ મૂલ્ય એ પદાર્થની લંબાઈ અને સ્કેલની લંબાઈનો ગુણોત્તર છે: $L_m = L_x / (1 + \alpha_s \Delta T) = L_{0x}(1 + \alpha_x \Delta T) / (1 + \alpha_s \Delta T)$.
દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા $(1+x)^{-1} \approx 1-x$,આપણને મળે છે $L_m \approx L_{0x}(1 + \alpha_x \Delta T)(1 - \alpha_s \Delta T) \approx L_{0x}(1 + (\alpha_x - \alpha_s) \Delta T)$.
અહીં $L_m = 100 \, mm$,$\Delta T = 40^{\circ}C$,$\alpha_x - \alpha_s = (2 - 12) \times 10^{-6} = -10 \times 10^{-6} /^{\circ}C$.
$100 = L_{0x}(1 - 10 \times 10^{-6} \times 40) = L_{0x}(1 - 400 \times 10^{-6}) = L_{0x}(1 - 0.0004)$.
$L_{0x} = 100 / 0.9996 > 100 \, mm$.

(D) આપેલ રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$\varepsilon = L^{-3} M^{-1} T^2 Q^2$
$R = L^2 M T^{-1} Q^{-2}$
$V = L^2 M T^{-2} Q^{-1}$
$G = L^3 M^{-1} T^{-2}$
$1$. કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે,તેથી તેનું પરિમાણ $M^0 L^0 T^0 Q^0$ છે. આમ,$[\theta] = \varepsilon^0 R^0 G^0 V^0$ સાચું છે.
$2$. વેગ $[v] = L T^{-1}$.
વિકલ્પ $B$ તપાસતા: $\varepsilon^{-1} R^{-1} = (L^3 M T^{-2} Q^{-2}) (L^{-2} M^{-1} T^1 Q^2) = L^1 T^{-1} = [v]$. આ સાચું છે.
$3$. બળ $[F] = M L T^{-2}$.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $\varepsilon^1 V^2 = (L^{-3} M^{-1} T^2 Q^2) (L^4 M^2 T^{-4} Q^{-2}) = L^1 M^1 T^{-2} = [F]$. આ સાચું છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.