Mix Examples-Units, Dimensions and Measurement Questions in Gujarati

(C) યંગ મોડ્યુલસ માટેનું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે.
યંગ મોડ્યુલસનું પારિમાણિક સૂત્ર $[Y] = [M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
$CGS$ પદ્ધતિમાં એકમ $\text{dyne/cm}^2$ છે,અને $MKS$ $(SI)$ પદ્ધતિમાં એકમ $\text{N/m}^2$ છે.
$1 \text{ N/m}^2 = 1 \frac{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2}{\text{m}^2} = 1 \text{ kg} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$.
$1 \text{ dyne/cm}^2 = 1 \frac{\text{g} \cdot \text{cm/s}^2}{\text{cm}^2} = 1 \text{ g} \cdot \text{cm}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$.
$1 \text{ dyne/cm}^2$ ને $MKS$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$
$1 \text{ cm}^{-1} = (10^{-2} \text{ m})^{-1} = 10^2 \text{ m}^{-1}$.
તેથી,$1 \text{ dyne/cm}^2 = 10^{-3} \text{ kg} \cdot 10^2 \text{ m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2} = 10^{-1} \text{ N/m}^2 = 0.1 \text{ N/m}^2$.
આમ,$CGS$ માંથી $MKS$ માં રૂપાંતરણ અવયવ $0.1$ છે.

(D) અદિશ રાશિને એવી ભૌતિક રાશિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેનું મૂલ્ય (magnitude) હોય છે પરંતુ દિશા હોતી નથી. દિશાના અભાવને કારણે,તેનું મૂલ્ય યામ પદ્ધતિના પરિભ્રમણ હેઠળ બદલાતું નથી. તેથી,અદિશ રાશિનું મૂલ્ય તમામ અવલોકનકારો માટે સમાન રહે છે,પછી ભલે તેમના અક્ષોનો અભિગમ ગમે તે હોય.

(D) દબાણનો $SI$ એકમ $N/m^2$ (પાસ્કલ) છે અને $CGS$ એકમ $dyne/cm^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, N = 10^5\, dyne$ અને $1\, m = 10^2\, cm$ થાય છે.
તેથી,$1\, N/m^2 = \frac{10^5\, dyne}{(10^2\, cm)^2} = \frac{10^5}{10^4}\, dyne/cm^2 = 10\, dyne/cm^2$.
આપેલ દબાણ $P = 50\, N/m^2$ છે.
$CGS$ માં રૂપાંતર કરતા: $P = 50 \times 10\, dyne/cm^2 = 500\, dyne/cm^2$.

(D) $1$. કોણીય વેગમાન $(L)$ નું સૂત્ર $L = mvr$ છે. તેના પરિમાણો $[M] \times [LT^{-1}] \times [L] = [ML^2T^{-1}]$ થાય છે.
$2$. ગુપ્ત ઉષ્મા $(L_h)$ નું સૂત્ર $L_h = Q/m$ છે. તેના પરિમાણો $[ML^2T^{-2}] / [M] = [L^2T^{-2}]$ થાય છે.
$3$. કેપેસીટન્સ $(C)$ નું સૂત્ર $C = Q/V$ છે. કારણ કે $V = W/Q$,તેથી $C = Q^2/W$ થાય. તેના પરિમાણો $[AT]^2 / [ML^2T^{-2}] = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ થાય છે.
આમ,સાચો ક્રમ $[ML^2T^{-1}], [L^2T^{-2}], [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ છે.

(B) નળાકારનું કદ $V$ સૂત્ર $V = \pi R^2 h = \frac{\pi}{4} D^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $D = 12.6\, cm$,$\Delta D = 0.1\, cm$,$h = 34.2\, cm$,અને $\Delta h = 0.1\, cm$.
પ્રથમ,કદની ગણતરી કરો: $V = \frac{3.14159}{4} \times (12.6)^2 \times 34.2 \approx 4264.4\, cm^3$.
યોગ્ય સાર્થક અંકોમાં રાઉન્ડિંગ કરતા (આપેલ ડેટાના આધારે ત્રણ સાર્થક અંકો),$V = 4260\, cm^3$.
હવે,સાપેક્ષ ત્રુટિની ગણતરી કરો: $\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta h}{h}$.
$\Delta V = V \times (2 \times \frac{0.1}{12.6} + \frac{0.1}{34.2}) = 4264.4 \times (0.01587 + 0.00292) \approx 4264.4 \times 0.01879 \approx 80.13$.
નિપેક્ષ ત્રુટિને એક સાર્થક અંકમાં રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $\Delta V = 80\, cm^3$ મળે છે.
આમ,કદ $V = 4260 \pm 80\, cm^3$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ છે,જેનું પરિમાણ સમય $[T]$ છે.
તે જ રીતે,$RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC$ છે,જેનું પરિમાણ પણ સમય $[T]$ છે.
તેથી,પદ $\frac{L}{RCV}$ ને $\frac{L/R}{CV} = \frac{\tau}{CV}$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q = CV$,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે,તેથી $\frac{L}{RCV} = \frac{L/R}{Q} = \frac{[T]}{[AT]} = [A^{-1}]$.
આમ,પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0 A^{-1}]$ છે.

(A) વિધાન $(A)$ સાચું છે: કોઈપણ ભૌતિક રાશિને અલગ-અલગ એકમોમાં માપી શકાય છે (દા.ત.,લંબાઈને $m, cm, ft, inch$ માં માપી શકાય છે).
વિધાન $(B)$ સાચું છે: કોઈપણ ભૌતિક રાશિનું પારિમાણિક સૂત્ર અનન્ય હોય છે,જે તેની મૂળભૂત પ્રકૃતિ દર્શાવે છે.
વિધાન $(C)$ સાચું છે: અલગ-અલગ ભૌતિક રાશિઓ સમાન પરિમાણ ધરાવી શકે છે (દા.ત.,કાર્ય અને ઉર્જા બંનેના પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે).
વિધાન $(D)$ સાચું છે: પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી કરી શકાય છે.
આમ,ચારેય વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચા વિધાનોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(C) ઉર્જાનું સૂત્ર $E = F \times d$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $d$ એ અંતર (લંબાઈ) છે.
જો બળનો એકમ $4$ ગણો વધારવામાં આવે,તો નવું બળ $F' = 4F$ થાય.
જો લંબાઈનો એકમ $4$ ગણો વધારવામાં આવે,તો નવું અંતર $d' = 4d$ થાય.
નવી ઉર્જા $E'$ એ $E' = F' \times d' = (4F) \times (4d) = 16(F \times d) = 16E$ થશે.
તેથી,ઉર્જાનો એકમ $16$ ગણો વધશે.

(B) $1$. દબાણ અને પ્રતિબળ: બંનેના પરિમાણ $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
$2$. તણાવ અને પૃષ્ઠતાણ: તણાવ એ બળ છે જેનું પરિમાણ $[M L T^{-2}]$ છે,જ્યારે પૃષ્ઠતાણ એ એકમ લંબાઈ દીઠ બળ છે જેનું પરિમાણ $[M T^{-2}]$ છે. તેથી,તેમના પરિમાણ સમાન નથી.
$3$. વિકૃતિ અને ખૂણો: બંને પરિમાણરહિત રાશિઓ $[M^0 L^0 T^0]$ છે.
$4$. ઉર્જા અને કાર્ય: બંનેના પરિમાણ $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $1$. પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(dV/dx)$ ના પરિમાણો $[M L T^{-3} A^{-1}]$ છે,અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E = F/q)$ ના પરિમાણો પણ $[M L T^{-3} A^{-1}]$ છે.
$2$. ટોર્ક $(\tau = r \times F)$ અને ગતિ ઉર્જા $(K = 1/2 mv^2)$ બંનેના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
$3$. પ્રકાશ વર્ષ એ અંતરનો એકમ છે જેના પરિમાણો $[L]$ છે,જ્યારે સમયગાળો એ સમયનો એકમ છે જેના પરિમાણો $[T]$ છે. કારણ કે $[L] \neq [T]$,આ જોડીના પરિમાણો સમાન નથી.
$4$. ઈમ્પીડન્સ $(Z)$ અને રિએક્ટન્સ $(X)$ બંનેના પરિમાણો અવરોધના પરિમાણો $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ જેટલા જ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) વિદ્યુતભાર $e$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ નો ગુણાકાર ઉર્જા $(W = eV)$ દર્શાવે છે.
આમ,પદ $\frac{eV}{T} = \frac{W}{T}$ બને છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે ઉર્જા $W$ એ $RT$ ના સમપ્રમાણમાં છે (જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે).
તેથી,$\frac{W}{T}$ ના પરિમાણો વાયુ અચળાંક $R$ ના પરિમાણો સમાન છે.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_B$ એ $\frac{R}{N_A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી (જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે),$\frac{eV}{T}$ ના એકમો બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંકના એકમોને સમાન છે.

(B) $Assertion$ સાચું છે કારણ કે ભૌતિક રાશિઓને પ્રત્યક્ષ (દા.ત. મીટર સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને) અથવા પરોક્ષ (દા.ત. તારાઓના અંતર માટે લંબન પદ્ધતિ) રીતે માપી શકાય છે.
$Reason$ પણ સાચું છે કારણ કે કોઈપણ માપનની વિશ્વસનીયતા વપરાયેલ સાધનની સચોટતા અને ચોકસાઈ પર આધાર રાખે છે,અને અંતિમ પરિણામમાં સંબંધિત અનિશ્ચિતતાઓ અથવા ત્રુટિઓને ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે.
જો કે,$Reason$ એ સમજાવતું નથી કે આપણે પ્રત્યક્ષ કે પરોક્ષ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ શા માટે કરીએ છીએ; તે માપન દર્શાવવા માટેના માપદંડો સમજાવે છે. તેથી,$Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(N/A) $1\; cm = 10^{-2}\; m$ હોવાથી,$1\; cm$ બાજુવાળા સમઘનનું કદ $(10^{-2}\; m)^{3} = 10^{-6}\; m^{3}$ થાય.
$(b)$ નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 2\pi r(r + h)$ છે. અહીં $r = 2.0\; cm = 20\; mm$ અને $h = 10.0\; cm = 100\; mm$ આપેલ છે. તેથી,$S = 2 \times 3.14 \times 20\; mm \times (20\; mm + 100\; mm) = 2 \times 3.14 \times 20 \times 120\; mm^{2} = 1.5072 \times 10^{4}\; mm^{2}$.
$(c)$ ઝડપ $= 18\; km/h = 18 \times (5/18)\; m/s = 5\; m/s$. $1\; s$ માં કાપેલું અંતર $= 5\; m/s \times 1\; s = 5\; m$.
$(d)$ સાપેક્ષ ઘનતા એ પદાર્થની ઘનતા અને પાણીની ઘનતા $(1\; g/cm^{3})$ નો ગુણોત્તર છે. તેથી,સીસાની ઘનતા $= 11.3 \times 1\; g/cm^{3} = 11.3\; g/cm^{3}$. $1\; g/cm^{3} = 10^{3}\; kg/m^{3}$ હોવાથી,ઘનતા $11.3 \times 10^{3}\; kg/m^{3}$ થાય.

(N/A) કારણ કે $1\; kg = 10^{3}\; g$ અને $1\; m^{2} = 10^{4}\; cm^{2}$,તેથી $1\; kg\; m^{2}\; s^{-2} = 10^{3}\; g \times 10^{4}\; cm^{2}\; s^{-2} = 10^{7}\; g\; cm^{2}\; s^{-2}$.
$(b)$ $1\; ly$ (પ્રકાશવર્ષ) એ પ્રકાશ દ્વારા એક વર્ષમાં કાપેલું અંતર છે. $1\; ly = (3 \times 10^{8}\; m/s) \times (365.25 \times 24 \times 3600\; s) \approx 9.46 \times 10^{15}\; m$. તેથી,$1\; m = 1 / (9.46 \times 10^{15})\; ly \approx 1.057 \times 10^{-16}\; ly$.
$(c)$ $1\; m = 10^{-3}\; km$ અને $1\; s = (1/3600)\; h$,તેથી $1\; s^{-2} = (3600)^{2}\; h^{-2}$. તેથી,$3.0\; m\; s^{-2} = 3.0 \times 10^{-3}\; km \times (3600)^{2}\; h^{-2} = 3.0 \times 10^{-3} \times 12960000\; km\; h^{-2} = 3.888 \times 10^{4}\; km\; h^{-2}$.
$(d)$ $G = 6.67 \times 10^{-11}\; N\; m^{2}\; kg^{-2}$. કારણ કે $1\; N = 1\; kg\; m\; s^{-2}$,$G = 6.67 \times 10^{-11}\; (kg\; m\; s^{-2})\; m^{2}\; kg^{-2} = 6.67 \times 10^{-11}\; kg^{-1}\; m^{3}\; s^{-2}$. એકમોનું રૂપાંતરણ કરતા: $1\; kg^{-1} = (10^{3}\; g)^{-1} = 10^{-3}\; g^{-1}$ અને $1\; m^{3} = (10^{2}\; cm)^{3} = 10^{6}\; cm^{3}$. તેથી,$G = 6.67 \times 10^{-11} \times 10^{-3}\; g^{-1} \times 10^{6}\; cm^{3}\; s^{-2} = 6.67 \times 10^{-8}\; cm^{3}\; s^{-2}\; g^{-1}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યા,$r = 0.5 \mathring{A} = 0.5 \times 10^{-10} \, m$.
એક હાઇડ્રોજન પરમાણુનું કદ $= \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{4}{3} \times 3.14159 \times (0.5 \times 10^{-10})^{3} \approx 0.5236 \times 10^{-30} \, m^{3}$.
$1$ મોલ હાઇડ્રોજનમાં $N_{A} = 6.022 \times 10^{23}$ પરમાણુઓ હોય છે.
$1$ મોલ હાઇડ્રોજન પરમાણુઓનું કુલ કદ $= N_{A} \times \text{એક પરમાણુનું કદ} = 6.022 \times 10^{23} \times 0.5236 \times 10^{-30} \, m^{3} \approx 3.153 \times 10^{-7} \, m^{3}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,પરિણામ $3.16 \times 10^{-7} \, m^{3}$ મળે છે.

(N/A) ચોમાસા દરમિયાન,ભારતમાં સરેરાશ વરસાદ લગભગ $215 \ cm$ છે,એટલે કે પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = 2.15 \ m$. ભારતનું ક્ષેત્રફળ $A \approx 3.3 \times 10^{12} \ m^2$ છે. વરસાદના પાણીનું કદ $V = A \times h \approx 7.09 \times 10^{12} \ m^3$. પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ લેતા,વરસાદના પાણીનું દળ $M = \rho V \approx 7.09 \times 10^{15} \ kg$ થાય.
$(b)$ સમુદ્રમાં તરતા જાણીતા પાયાના ક્ષેત્રફળ $A$ વાળા જહાજને ધ્યાનમાં લો. તેની ઊંડાઈ $d_1$ માપો. જ્યારે હાથીને જહાજ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઊંડાઈ વધીને $d_2$ થાય છે. હાથી દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V = A(d_2 - d_1)$ છે. હાથીનું દળ $M = \rho_{water} \times A(d_2 - d_1)$ થશે.
$(c)$ વાવાઝોડા દરમિયાન પવનની ગતિ એનિમોમીટરનો ઉપયોગ કરીને માપી શકાય છે,જે પવન દ્વારા ફરતા કપની ગતિ માપે છે. વૈકલ્પિક રીતે,કોઈ જાણીતા સમયના અંતરાલમાં વસ્તુઓના સ્થાનાંતરનું અવલોકન કરી શકાય છે.
$(d)$ સ્ક્રૂ ગેજનો ઉપયોગ કરીને માથાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને વાળના એક તારનો વ્યાસ $d$ માપો. વાળના તારની સંખ્યા $N \approx A / (\pi (d/2)^2)$ થશે.
$(e)$ ધારો કે રૂમનું કદ $V$ છે. $NTP$ પર,એક મોલ હવા $22.4 \times 10^{-3} \ m^3$ કદ રોકે છે. એક મોલમાં અણુઓની સંખ્યા $6.023 \times 10^{23}$ છે. આમ,રૂમમાં અણુઓની સંખ્યા $N = (V / 22.4 \times 10^{-3}) \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.7 \times 10^{25} \times V$ થશે.

(A) સોડિયમ પરમાણુનો વ્યાસ $= 2.5 \; \mathring{A} = 2.5 \times 10^{-10} \; m$.
સોડિયમ પરમાણુની ત્રિજ્યા,$r = 1.25 \times 10^{-10} \; m$.
એક સોડિયમ પરમાણુનું કદ,$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.25 \times 10^{-10})^3 \approx 8.18 \times 10^{-30} \; m^3$.
એક સોડિયમ પરમાણુનું દળ,$m = \frac{\text{પરમાણ્વીય દળ}}{\text{એવોગેડ્રો આંક}} = \frac{23 \times 10^{-3} \; kg}{6.023 \times 10^{23}} \approx 3.82 \times 10^{-26} \; kg$.
સોડિયમ પરમાણુની ઘનતા,$\rho = \frac{m}{V} = \frac{3.82 \times 10^{-26}}{8.18 \times 10^{-30}} \approx 4.67 \times 10^3 \; kg \; m^{-3}$.
આપેલ સ્ફટિકમય સોડિયમની ઘનતા $= 970 \; kg \; m^{-3} \approx 10^3 \; kg \; m^{-3}$.
બંને ઘનતાઓ $10^3 \; kg \; m^{-3}$ ના ક્રમની છે. તેઓ સમાન ક્રમની છે કારણ કે ઘન અવસ્થામાં પરમાણુઓ નજીકથી ગોઠવાયેલા હોય છે,પરંતુ આંતર-પરમાણ્વીય અંતર પરમાણુના કદની સરખામણીમાં હોય છે.

(N/A) અદિશ રાશિ માત્ર તેના મૂલ્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેમાં કોઈ દિશા હોતી નથી. સદિશ રાશિ તેના મૂલ્ય અને તેની સાથે સંકળાયેલી દિશા બંને દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$1$. અદિશ રાશિઓ: કદ,દળ,ઝડપ,ઘનતા,મોલની સંખ્યા અને કોણીય આવૃત્તિ.
$2$. સદિશ રાશિઓ: પ્રવેગ,વેગ,સ્થાનાંતર અને કોણીય વેગ.

(B) કાર્ય અને વિદ્યુત પ્રવાહ એ અદિશ રાશિઓ છે。
કાર્ય એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે, $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર હંમેશા અદિશ હોવાથી, કાર્ય એ અદિશ ભૌતિક રાશિ છે。
વિદ્યુત પ્રવાહ તેના મૂલ્ય દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જોકે તેની દિશા હોય છે, પરંતુ તે સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરતું નથી (તે બીજગણિતીય સરવાળાનું પાલન કરે છે). તેથી, તેને અદિશ રાશિ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે。

(E) ખોટું: અદિશ રાશિ હોવા છતાં,અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણોમાં ઉર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી.
$(b)$ ખોટું: અદિશ રાશિ હોવા છતાં,તાપમાન ઋણ મૂલ્યો લઈ શકે છે.
$(c)$ ખોટું: કુલ પથ લંબાઈ એ અદિશ રાશિ છે,છતાં તે લંબાઈનું પરિમાણ ધરાવે છે.
$(d)$ ખોટું: ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન જેવી અદિશ રાશિ અવકાશમાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ બદલાઈ શકે છે.
$(e)$ સાચું: અક્ષોના અલગ-અલગ અભિગમ ધરાવતા અવલોકનકારો માટે અદિશનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.

(N/A) ભૌતિક રાશિઓને તે સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે માત્ર મૂલ્યની જરૂર છે (અદિશ) કે મૂલ્ય અને દિશા બંનેની જરૂર છે (સદિશ) તેના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$1$. અદિશ રાશિઓ: આ રાશિઓ માત્ર મૂલ્ય ધરાવે છે.
- ઝડપ
- દબાણ
- તાપમાન
- કાર્ય
- ઊર્જા
$2$. સદિશ રાશિઓ: આ રાશિઓ મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.
- સ્થાન
- વેગ
- પ્રવેગ
- બળ

(N/A) $DNA$ નો એક બંધ તોડવા માટે જરૂરી ઉર્જા:
$\frac{10^{-20} \; J}{1.6 \times 10^{-19} \; J/eV} \simeq 0.06 \; eV$.
નોંધ: $0.1 \; eV = 100 \; meV$ ($100$ મિલિ-ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ).
$(b)$ હવાના અણુની ગતિ ઉર્જા:
$\frac{10^{-21} \; J}{1.6 \times 10^{-19} \; J/eV} \simeq 0.0062 \; eV$.
આ $6.2 \; meV$ ની સમકક્ષ છે.
$(c)$ પુખ્ત માનવીનો સરેરાશ દૈનિક ઉર્જા વપરાશ આશરે $10^7 \; J$ છે. તેને કિલોકેલરીમાં ફેરવતા:
$\frac{10^7 \; J}{4.2 \times 10^3 \; J/kcal} \simeq 2400 \; kcal$.

(N/A) પ્રવાહી અવસ્થામાં,પાણીના અણુઓ ખૂબ જ નજીકથી ગોઠવાયેલા હોય છે. તેથી,પાણીના અણુની ઘનતાને જથ્થાબંધ પાણીની ઘનતા $= 1000 \; kg \; m^{-3}$ ની લગભગ સમાન ગણી શકાય.
પાણીના એક અણુના કદનો અંદાજ કાઢવા માટે,આપણે એક અણુનું દળ જાણવાની જરૂર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \; mole$ પાણીનું દળ આશરે $(2 + 16) \; g = 18 \; g = 0.018 \; kg$ છે.
$1 \; mole$ માં આશરે $6 \times 10^{23}$ અણુઓ (એવોગેડ્રો આંક) હોય છે,તેથી પાણીના એક અણુનું દળ $(0.018) / (6 \times 10^{23}) \; kg = 3 \times 10^{-26} \; kg$ થાય.
તેથી,પાણીના એક અણુના કદનો અંદાજ નીચે મુજબ છે:
પાણીના અણુનું કદ $= (3 \times 10^{-26} \; kg) / (1000 \; kg \; m^{-3}) = 3 \times 10^{-29} \; m^3$.
જો અણુ ગોળાકાર હોય તો,$V = (4/3) \pi r^3$,જે ત્રિજ્યા $r \approx 2 \times 10^{-10} \; m = 2 \; \mathring{A}$ આપે છે.

(N/A) કાર્યનો $MKS$ એકમ જૂલ $(J)$ છે.
જૂલની વ્યાખ્યા: જ્યારે $1 \text{ Newton}$ નું બળ કોઈ પદાર્થને બળની દિશામાં $1 \text{ metre}$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરે,ત્યારે થયેલ કાર્યને $1 \text{ Joule}$ કહેવાય છે.
$1 \text{ Joule} = 1 \text{ N} \cdot \text{m} = 1 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}$.
કાર્યનો $CGS$ એકમ અર્ગ (erg) છે.
અર્ગની વ્યાખ્યા: જ્યારે $1 \text{ dyne}$ નું બળ કોઈ પદાર્થને બળની દિશામાં $1 \text{ cm}$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરે,ત્યારે થયેલ કાર્યને $1 \text{ erg}$ કહેવાય છે.
$1 \text{ erg} = 1 \text{ dyne} \cdot \text{cm} = 1 \text{ g} \cdot \text{cm}^2 \cdot \text{s}^{-2}$.
કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર: $[M^1 L^2 T^{-2}]$.
રૂપાંતરણ: $1 \text{ Joule} = 10^7 \text{ erg}$.
કાર્ય/ઊર્જાના વ્યવહારુ એકમો:

અર્ગ (erg)	$10^{-7} \text{ J}$
ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ (eV)	$1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$
કેલરી (cal)	$4.186 \text{ J}$
કિલોવોટ અવર (kWh)	$3.6 \times 10^6 \text{ J}$

(N/A) કારણ કે $1 \ \text{J} = 1 \ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$ અને $1 \ \text{erg} = 1 \ \text{g} \cdot \text{cm}^2/\text{s}^2$,તેથી $1 \ \text{J} = (10^3 \ \text{g}) \times (10^2 \ \text{cm})^2 / \text{s}^2 = 10^7 \ \text{erg}$.
$(b)$ $1 \ \text{eV}$ એ $1 \ \text{V}$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ઉર્જા છે,તેથી $1 \ \text{eV} = (1.602 \times 10^{-19} \ \text{C}) \times (1 \ \text{V}) = 1.602 \times 10^{-19} \ \text{J}$.
$(c)$ $1 \ \text{kWh} = (10^3 \ \text{W}) \times (3600 \ \text{s}) = 1000 \ \text{J/s} \times 3600 \ \text{s} = 3.6 \times 10^6 \ \text{J}$.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક $G$ નો એકમ $N \cdot m^2 / kg^2$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નો એકમ $m / s^2$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^1 T^{-2}]$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{G}{g}$ નો એકમ:
$\frac{N \cdot m^2 / kg^2}{m / s^2} = \frac{(kg \cdot m / s^2) \cdot m^2 / kg^2}{m / s^2} = \frac{m^2}{kg} = m^2 \cdot kg^{-1}$ થશે.
તેનું પારિમાણિક સૂત્ર:
$\frac{[M^{-1} L^3 T^{-2}]}{[M^0 L^1 T^{-2}]} = [M^{-1} L^2 T^0]$ થશે.

(0.1, 1) $1$. આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, Pa = 1 \, N/m^2$. તેથી,$0.1 \, Pa = 0.1 \, Nm^{-2}$.
$2$. $Nm^{-2}$ ને $\text{dyne} \, cm^{-2}$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે રૂપાંતરણ પરિબળોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $1 \, N = 10^5 \, \text{dyne}$ અને $1 \, m^2 = (10^2 \, cm)^2 = 10^4 \, cm^2$.
$3$. આમ,$1 \, Nm^{-2} = \frac{10^5 \, \text{dyne}}{10^4 \, cm^2} = 10 \, \text{dyne} \, cm^{-2}$.
$4$. તેથી,$0.1 \, Nm^{-2} = 0.1 \times 10 \, \text{dyne} \, cm^{-2} = 1 \, \text{dyne} \, cm^{-2}$.
$5$. અંતિમ પરિણામ $0.1 \, Pa = 0.1 \, Nm^{-2} = 1 \, \text{dyne} \, cm^{-2}$ છે.

(D) બળનો એકમ $N$ (ન્યૂટન) છે,જે $kg\,m\,s^{-2}$ છે.
આપેલ એકમ $N\,m^{-1}\,s^{-2}$ છે.
બળના પાયાના એકમો મૂકતા: $(kg\,m\,s^{-2}) \times m^{-1} \times s^{-2} = kg\,s^{-4}$.
વૈકલ્પિક રીતે,પરિમાણો તપાસીએ: $[N] = [MLT^{-2}]$,$[m^{-1}] = [L^{-1}]$,$[s^{-2}] = [T^{-2}]$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા: $[MLT^{-2}] \times [L^{-1}] \times [T^{-2}] = [MT^{-4}]$.
આ એકમ દબાણ $(N\,m^{-2})$,પૃષ્ઠતાણ $(N\,m^{-1})$,અથવા બળ અચળાંક $(N\,m^{-1})$ જેવી કોઈ પ્રમાણિત મૂળભૂત ભૌતિક રાશિ સાથે સુસંગત નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $l$ છે.
આપેલ છે કે કદ $V$ અને પૃષ્ઠફળ $A$ સમાન છે:
$V = A$
$l^3 = 6l^2$
બંને બાજુ $l^2$ વડે ભાગતા ($l \neq 0$ હોવાથી):
$l = 6$
હવે,કદ $V$ થશે:
$V = l^3 = (6)^3 = 216 \text{ ઘન એકમ}$.

(A) આપેલ છે,ગેલેક્સીનું અંતર $d = 10^{25} \ m$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$.
સમય $t$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $t = \frac{d}{c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$t = \frac{10^{25}}{3 \times 10^{8}} = \frac{1}{3} \times 10^{17} \ s$.
આને $t = 0.333 \times 10^{17} \ s = 3.33 \times 10^{16} \ s$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $3.33 < 5$ હોવાથી,પરિમાણનો ક્રમ $10^{16} \ s$ થશે.

$(a)$ સમતલ કોણ $\theta = \frac{l}{r}$ નો એકમ રેડિયન છે, પરંતુ તેનું પરિમાણીય સૂત્ર $[M^{0} L^{0} T^{0}]$ છે।
$(b)$ વિકૃતિ (Strain) $= \frac{\Delta l}{l} = \frac{\text{લંબાઈમાં ફેરફાર}}{\text{મૂળ લંબાઈ}}$। તેને એકમ કે પરિમાણ હોતા નથી।
$(c)$ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક $G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^{2} \cdot \text{kg}^{-2}$। તે એકમ ધરાવતો અચળાંક છે।
$(d)$ રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ એક પરિમાણરહિત અચળાંક છે।

(N/A) કારણ કે $1\,\mu m = 10^{-6}\,m$ અને $1\,fm = 10^{-15}\,m$,તેથી $\frac{10^{-6}}{10^{-15}} = 10^{9}$ થાય.
$(b)$ $0.0060$ સંખ્યામાં,આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી. શૂન્ય સિવાયનો અંક $6$ અને દશાંશ ચિહ્ન પછીનું અંતિમ શૂન્ય સાર્થક છે. આમ,કુલ $2$ સાર્થક અંકો છે.
$(c)$ નેનોટેકનોલોજીના અભ્યાસ માટે સ્કેનિંગ ટનલિંગ માઈક્રોસ્કોપ $(STM)$ વિકસાવવામાં આવ્યું છે.

(A) પર્વતનું અંતર માપવા માટે ઇકો (પ્રતિધ્વનિ) પદ્ધતિ અથવા પરાવર્તન પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે.
$(b)$ સમયના માપન માટે સિઝિયમ પરમાણુ ઘડિયાળ સૌથી સચોટ ઘડિયાળ છે.
$(c)$ $15.753$ ને ત્રણ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવા માટે,આપણે ચોથો અંક જોઈએ છીએ,જે $5$ છે. ત્રીજા સાર્થક અંક $(7)$ પછીનો અંક $5$ છે અને તેની પાછળ શૂન્યતર અંક $(3)$ હોવાથી,ત્રીજા અંકમાં $1$ ઉમેરવામાં આવે છે. આમ,$15.753$ નું મૂલ્ય $15.8$ થાય છે.

(D) ખોટું. વજન એ સાધિત રાશિ છે કારણ કે તે $W = mg$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $m$ એ દળ (મૂળભૂત) છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ (સાધિત) છે.
$(b)$ ખોટું. ઓલિક એસિડના અણુનું પરિમાણ માપવા માટે ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપ અથવા ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ થાય છે,માઇક્રોમીટરનો નહીં (જે એક યાંત્રિક માપન સાધન છે).
$(c)$ ખોટું. સાધિત રાશિના પરિમાણ અમુક મૂળભૂત રાશિઓ માટે શૂન્ય હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,વેગના પરિમાણ $[M^0 L^1 T^{-1}]$ છે,જેમાં દળનું પરિમાણ શૂન્ય છે.

(A) સાચું. ઉદાહરણ તરીકે,સમતલ કોણ રેડિયનમાં મપાય છે પરંતુ તે પરિમાણરહિત છે.
$(b)$ ખોટું. આઘાતનો એકમ $N \cdot s$ (અથવા $kg \cdot m/s$) છે. ઊર્જાના પ્રચલન (બળ) નો એકમ $N$ (અથવા $kg \cdot m/s^2$) છે. તેથી,તેઓ સમાન નથી.
$(c)$ સાચું. પ્રણાલીગત રીતે,એકલ માપનમાં નિરપેક્ષ ત્રુટિને માપન સાધનની લઘુતમ માપશક્તિ જેટલી લેવામાં આવે છે.

(NONE) ખોટું. પારિમાણિક દૃષ્ટિએ ખોટું સમીકરણ ભૌતિક રીતે પણ ખોટું જ હોય છે.
$(b)$ ખોટું. $1 \ AU = 1.496 \times 10^{11} \ m$. $9.46 \times 10^{15} \ m$ એ $1 \ \text{પ્રકાશ વર્ષ}$ નું મૂલ્ય છે.
$(c)$ ખોટું. બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે, જ્યારે પ્રતિબળ (બળ/ક્ષેત્રફળ) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.
$(d)$ ખોટું. ભૌતિક રાશિનાં પરિમાણ એકમ પદ્ધતિ પર આધારિત નથી; માત્ર તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય બદલાય છે.

(D) $1$. વિનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ જણાવે છે કે $\lambda_{max} T = b$,જ્યાં $b$ એ વિનનો અચળાંક છે. તરંગલંબાઇ $\lambda$ નો એકમ $m$ અને તાપમાન $T$ નો એકમ $K$ છે. તેથી,વિન અચળાંકનો એકમ $m K$ થાય છે,જે $(iii)$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ જણાવે છે કે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત પાવર $P/A = \sigma T^4$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે. પાવરનો એકમ $W$ (વોટ),ક્ષેત્રફળનો $m^2$ અને તાપમાનનો $K$ છે. તેથી,$\sigma$ નો એકમ $W m^{-2} K^{-4}$ થાય છે,જે $(i)$ ને અનુરૂપ છે.
$3$. તેથી,સાચી જોડ $(a-iii), (b-i)$ છે.

(N/A) ટોર્ક અને કાર્ય બંનેનો એકમ $N \cdot m$ (ન્યૂટન-મીટર) અથવા $J$ (જૂલ) છે. તેમ છતાં,તેઓ અલગ ભૌતિક રાશિઓ છે કારણ કે:
$1$. ટોર્ક એ સદિશ રાશિ છે,જ્યારે કાર્ય એ અદિશ રાશિ છે.
$2$. ટોર્ક એ બળની ચાકમાત્રા (ભ્રમણ અસર) દર્શાવે છે,જ્યારે કાર્ય એ સ્થાનાંતર દરમિયાન બળ દ્વારા થયેલ ઉર્જાનું સ્થળાંતર દર્શાવે છે.

(A) ઉર્જાનો એકમ (જૂલ) $J = kg \cdot m^2/s^2$ છે.
આને $s^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$J \cdot s^2 = (kg \cdot m^2/s^2) \cdot s^2 = kg \cdot m^2$.
$kg \cdot m^2$ એકમ ધરાવતી ભૌતિક રાશિ જડત્વની ચાકમાત્રા $(I = \sum mr^2)$ છે.
તેથી,$J \cdot s^2$ એ જડત્વની ચાકમાત્રાનો એકમ છે.

(B) $1$. રિડબર્ગ અચળાંક $({R}_{H})$: રિડબર્ગ અચળાંકનો $SI$ એકમ ${m}^{-1}$ છે. તેથી,$(a)-(iii)$.
$2$. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = h\nu$ સંબંધ પરથી,$h$ નો એકમ $J \cdot s = (kg \cdot m^{2} \cdot s^{-2}) \cdot s = {kg} {m}^{2} {s}^{-1}$ થાય છે. તેથી,$(b)-(ii)$.
$3$. ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $(u_{B})$: ઉર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા,$u = \frac{E}{V}$. તેનો $SI$ એકમ $J/m^{3} = (kg \cdot m^{2} \cdot s^{-2}) / m^{3} = {kg} {m}^{-1} {s}^{-2}$ થાય છે. તેથી,$(c)-(iv)$.
$4$. શ્યાનતા ગુણાંક $(\eta)$: $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ સૂત્ર પરથી,$\eta$ નો એકમ $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}$ થાય છે. તેથી,$(d)-(i)$.
આમ,સાચી જોડ $(a)-(iii), (b)-(ii), (c)-(iv), (d)-(i)$ છે.

(A) પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$(a)$ ટોર્ક $(\tau) = \text{બળ} \times \text{અંતર} = [MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$, જે $(iii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(b)$ આઘાત $(I) = \text{બળ} \times \text{સમય} = [MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$, જે $(i)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(c)$ તણાવ એ એક પ્રકારનું બળ છે, તેથી તેનું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે, જે $(iv)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(d)$ પૃષ્ઠતાણ $(S) = \frac{\text{બળ}}{\text{લંબાઈ}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L]} = [MT^{-2}]$, જે $(ii)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી, સાચી જોડ $(a)-(iii), (b)-(i), (c)-(iv), (d)-(ii)$ છે.

(A) $1$. કેપેસીટન્સ $(C)$: $q = CV$ પરથી,$[C] = [q/V] = [q^2 / (Work)] = [A^2 T^2 / (M L^2 T^{-2})] = M^{-1} L^{-2} T^4 A^2$. તેથી,$(a) \rightarrow (iii)$.
$2$. શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $(\varepsilon_0)$: કુલંબના નિયમ $F = (q_1 q_2) / (4 \pi \varepsilon_0 r^2)$ પરથી,$[\varepsilon_0] = [q^2 / (F L^2)] = [A^2 T^2 / (M L T^{-2} L^2)] = M^{-1} L^{-3} T^4 A^2$. તેથી,$(b) \rightarrow (ii)$.
$3$. શૂન્યાવકાશની પરમીબિલિટી $(\mu_0)$: $c = 1 / \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\mu_0 = 1 / (\varepsilon_0 c^2)$. પરિમાણો મૂકતા,$[\mu_0] = [1 / (M^{-1} L^{-3} T^4 A^2 \cdot L^2 T^{-2})] = M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}$. તેથી,$(c) \rightarrow (iv)$.
$4$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$: $F = qE$ પરથી,$[E] = [F/q] = [M L T^{-2} / (A T)] = M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}$. તેથી,$(d) \rightarrow (i)$.
સાચી જોડ $(a) \rightarrow (iii), (b) \rightarrow (ii), (c) \rightarrow (iv), (d) \rightarrow (i)$ છે.

(D) $1$. તરંગ સંખ્યા $(k = 1/\lambda)$ અને રિડબર્ગ અચળાંક $(R)$ બંનેના પરિમાણ $[L^{-1}]$ છે.
$2$. પ્રતિબળ અને સ્થિતિસ્થાપકતાનો ગુણાંક (યંગ મોડ્યુલસ,બલ્ક મોડ્યુલસ વગેરે) બંનેના પરિમાણ $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
$3$. કોર્સિવિટી $(H)$ અને મેગ્નેટાઇઝેશન $(M)$ બંનેના પરિમાણ $[A L^{-1}]$ છે.
$4$. વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(S)$ ના પરિમાણ $[L^2 T^{-2} K^{-1}]$ છે ($S = Q / (m \Delta T)$ પરથી),જ્યારે ગુપ્ત ઉષ્મા $(L)$ ના પરિમાણ $[L^2 T^{-2}]$ છે ($L = Q / m$ પરથી).
આમ,$[L^2 T^{-2} K^{-1}] \neq [L^2 T^{-2}]$ હોવાથી,અલગ પરિમાણ ધરાવતી જોડી વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા અને ગુપ્ત ઉષ્મા છે.

(B) $1$. ટોર્ક એ બળ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતરનો ગુણાકાર છે. તેનો $SI$ એકમ $Nm$ છે.
$2$. સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. તેનો $SI$ એકમ $N/m^2$ અથવા $Nm^{-2}$ છે.
$3$. ગુપ્ત ઉષ્મા એ પદાર્થના એકમ દળની અવસ્થા બદલવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે. તેનો $SI$ એકમ $J/kg$ અથવા $Jkg^{-1}$ છે.
$4$. પાવર એ કાર્ય કરવાનો દર છે. કાર્ય = બળ $\times$ સ્થાનાંતર હોવાથી,પાવર = બળ $\times$ વેગ. તેનો $SI$ એકમ $N \times (m/s) = Nms^{-1}$ છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(III), (B)-(IV), (C)-(II), (D)-(I)$ છે.

(B) વરસાદ દ્વારા મળતા પાણીનો સપાટી વિસ્તાર $A = 600 \, km^2 = 600 \times (10^3)^2 \, m^2 = 6 \times 10^8 \, m^2$ છે.
વાર્ષિક સરેરાશ વરસાદ $h = 2.4 \, m$ છે.
વરસાદ દ્વારા મળતા પાણીનું કુલ કદ $V = A \times h = 6 \times 10^8 \times 2.4 = 14.4 \times 10^8 \, m^3 = 1.44 \times 10^9 \, m^3$ છે.
$1 \, m^3 = 1000 \, L$ હોવાથી,લિટરમાં કુલ કદ $1.44 \times 10^9 \times 10^3 = 1.44 \times 10^{12} \, L$ થાય.
સંરક્ષિત પાણીનું પ્રમાણ કુલ કદના $10 \%$ છે: $V_{cons} = 0.10 \times 1.44 \times 10^{12} \, L = 1.44 \times 10^{11} \, L$.
આ સંરક્ષિત પાણી દ્વારા મુંબઈની વાર્ષિક પાણીની જરૂરિયાતનો કેટલો ટકા ભાગ પૂરો થાય છે તે $\frac{1.44 \times 10^{11}}{1.4 \times 10^{12}} \times 100 \approx 10 \%$ છે.

(D) બળનું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે.
$A$. વજન એ એક બળ છે $(W = mg)$,તેથી તેનું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે.
$B$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનના ફેરફારનો દર એ બળ જેટલો હોય છે $(F = dp/dt)$,તેથી તેનું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે.
$C$. એકમ લંબાઈ દીઠ કાર્ય એટલે $W/L$. કારણ કે $W = F \times d$,તેથી $W/L = (F \times d)/L = F$. આમ,તેનું પરિમાણ $[MLT^{-2}]$ છે.
$D$. એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ કાર્યને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V = W/q)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. વિદ્યુત સ્થિતિમાનનું પરિમાણ $[ML^2T^{-3}A^{-1}]$ છે,જે બળના પરિમાણ જેટલું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે મૂળભૂત એકમો $L$,$v$,અને $F$ છે. નવા એકમો $L' = 2L$,$v' = 2v$,અને $F' = 2F$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ $v = L/T$,તેથી સમયનો એકમ $T = L/v$. સમયનો નવો એકમ $T' = L'/v' = (2L)/(2v) = L/v = T$. આમ,સમયનો એકમ બદલાતો નથી.
આપણે જાણીએ છીએ કે બળ $F = ma = m(v/T)$,તેથી દળનો એકમ $m = FT/v$. દળનો નવો એકમ $m' = F'T'/v' = (2F \times T)/(2v) = FT/v = m$. આમ,દળનો એકમ બદલાતો નથી.
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગમાન $p = mv$. વેગમાનનો નવો એકમ $p' = m'v' = m \times (2v) = 2mv = 2p$. આમ,વેગમાનનો એકમ બમણો થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉર્જા $E = F \times L$. ઉર્જાનો નવો એકમ $E' = F' \times L' = (2F) \times (2L) = 4FL = 4E$. આમ,ઉર્જાનો એકમ મૂળ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણો થાય છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે વેગમાનનો એકમ બમણો થાય છે.

(A) આઘાતનું પરિમાણ $J = F \times \Delta t = [MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$ છે.
તેથી,"એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ આઘાત" નું પરિમાણ $\frac{[MLT^{-1}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-1}]$ થાય.
હવે,આપેલા વિકલ્પોના પરિમાણો તપાસીએ:
$A$. સ્નિગ્ધતા (સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$): બળ $F = \eta A \frac{dv}{dx}$,તેથી $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2] [LT^{-1}/L]} = [ML^{-1}T^{-1}]$.
$B$. પૃષ્ઠતાણ: $[MT^{-2}]$.
$C$. બલ્ક મોડ્યુલસ: $[ML^{-1}T^{-2}]$.
$D$. બળ: $[MLT^{-2}]$.
આમ,"એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ આઘાત" નો એકમ સ્નિગ્ધતાના એકમ સમાન છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
$1$. વિકૃતિ એ પરિમાણમાં થતા ફેરફાર અને મૂળ પરિમાણનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત અને એકમરહિત છે.
$2$. રેનોલ્ડ્સ નંબર એ પ્રવાહી મિકેનિક્સમાં વપરાતી પરિમાણરહિત રાશિ છે.
$3$. કોણીય સ્થાનાંતરને વર્તુળના કેન્દ્ર પર ચાપ દ્વારા આંતરાતા ખૂણા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\theta = \frac{\text{ચાપ}}{\text{ત્રિજ્યા}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેનો એકમ રેડિયન $(rad)$ અથવા ડિગ્રી છે,પરંતુ તે બે લંબાઈનો ગુણોત્તર હોવાથી તે પરિમાણરહિત છે.
$4$. પોઈસન ગુણોત્તર એ પાર્શ્વીય વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે,જે તેને પરિમાણરહિત અને એકમરહિત બનાવે છે.

$(A)$ $\text{પૃષ્ઠતાણ}$ $= \frac{F}{l} = \frac{MLT^{-2}}{L} = MT^{-2} = kg s^{-2}$ $(IV)$.
$(B)$ $\text{દબાણ}$ $= \frac{F}{A} = \frac{MLT^{-2}}{L^2} = ML^{-1}T^{-2} = kg m^{-1} s^{-2}$ $(III)$.
$(C)$ $\text{સ્નિગ્ધતા}$ $= \frac{F}{A(\frac{dv}{dz})} = \frac{MLT^{-2}}{L^2(\frac{LT^{-1}}{L})} = ML^{-1}T^{-1} = kg m^{-1} s^{-1}$ $(I)$.
$(D)$ $\text{આઘાત}$ $= F \times \Delta t = MLT^{-2} \times T = MLT^{-1} = kg m s^{-1}$ $(II)$.
તેથી, સાચી જોડ $(A)-(IV), (B)-(III), (C)-(I), (D)-(II)$ છે.