Mix Examples-Units, Dimensions and Measurement Questions in Gujarati

(B) $1$. યંગ મોડ્યુલસ $(Y) = \frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}} = \frac{[MLT^{-2}]/[L^2]}{[1]} = [ML^{-1}T^{-2}]$. તેથી,$(A)-(III)$.
$2$. સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$: સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$F = 6\pi\eta rv$,તેથી $\eta = \frac{F}{6\pi rv} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L][LT^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$. તેથી,$(B)-(I)$.
$3$. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = h\nu$ પરથી,$h = \frac{E}{\nu} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2T^{-1}]$. તેથી,$(C)-(II)$.
$4$. વર્ક ફંક્શન $(\phi)$: તે ઉર્જાનું એક સ્વરૂપ છે,તેથી $[\phi] = [ML^2T^{-2}]$. તેથી,$(D)-(IV)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(III), (B)-(I), (C)-(II), (D)-(IV)$ છે.

(C) દબાણ પ્રચલન $= \frac{dp}{dx} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[L]} = [M^1 L^{-2} T^{-2}]$. તેથી,$(A)-(III)$.
ઉર્જા ઘનતા $= \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$. તેથી,$(B)-(II)$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $= \frac{\text{Force}}{\text{Charge}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[AT]} = [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$. તેથી,$(C)-(IV)$.
ગુપ્ત ઉષ્મા $= \frac{\text{Heat}}{\text{Mass}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[M]} = [M^0 L^2 T^{-2}]$. તેથી,$(D)-(I)$.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{h}{h'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 5.25\,mm$ અને $h' = 5.00\,mm$ છે.
મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ $(MSD)$ $= \frac{1}{20}\,cm = 0.5\,mm$ છે.
ટ્રાવેલિંગ માઇક્રોસ્કોપનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ $= 1\,MSD - 1\,VSD = 1\,MSD - \frac{49}{50}\,MSD = \frac{1}{50}\,MSD = \frac{0.5\,mm}{50} = 0.01\,mm$ છે.
વક્રીભવનાંકના સૂત્રનું લઘુગણક લેતા: $\ln \mu = \ln h - \ln h'$.
વિકલન કરતા,સાપેક્ષ અનિશ્ચિતતા મળે છે: $\frac{d\mu}{\mu} = \frac{dh}{h} + \frac{dh'}{h'}$.
અહીં,$dh = dh' = LC = 0.01\,mm$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d\mu = \mu \left( \frac{dh}{h} + \frac{dh'}{h'} \right) = \left( \frac{5.25}{5.00} \right) \left( \frac{0.01}{5.25} + \frac{0.01}{5.00} \right)$.
$d\mu = \frac{0.01}{5.00} + \frac{0.01}{5.25} = 0.002 + 0.00190476 = 0.00390476$.
$d\mu \approx 3.90476 \times 10^{-3} = \frac{39.0476}{10} \times 10^{-3} \approx \frac{41}{10} \times 10^{-3}$.
આમ,$x = 41$ મળે છે.

(D) ભૌતિક રાશિઓને તેમના $SI$ એકમો સાથે જોડવા માટે:
$1$. ટોર્ક: ટોર્ક એટલે બળ $\times$ અંતર. તેનો $SI$ એકમ $N\,m = (kg\,m\,s^{-2})\,m = kg\,m^2\,s^{-2}$ છે. તેથી,$(A)-(IV)$.
$2$. ઉર્જા ઘનતા: ઉર્જા ઘનતા એટલે એકમ કદ દીઠ ઉર્જા. તેનો $SI$ એકમ $J/m^3 = (kg\,m^2\,s^{-2})/m^3 = kg\,m^{-1}\,s^{-2}$ છે. તેથી,$(B)-(I)$.
$3$. દબાણ પ્રચલન: દબાણ પ્રચલન એટલે એકમ લંબાઈ દીઠ દબાણ. તેનો $SI$ એકમ $Pa/m = (N/m^2)/m = N/m^3 = (kg\,m\,s^{-2})/m^3 = kg\,m^{-2}\,s^{-2}$ છે. તેથી,$(C)-(III)$.
$4$. આઘાત: આઘાત એટલે બળ $\times$ સમય. તેનો $SI$ એકમ $N\,s = (kg\,m\,s^{-2})\,s = kg\,m\,s^{-1}$ છે. તેથી,$(D)-(II)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(IV), (B)-(I), (C)-(III), (D)-(II)$ છે.

(B) અવરોધ $(R)$,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ના પરિમાણો સમાન હોય છે,જે અવરોધનું પરિમાણ $([M L^2 T^{-3} A^{-2}])$ છે.
કારણ કે ત્રણેય રાશિઓના પરિમાણો સમાન છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{R}{\sqrt{X_L X_C}}$ નું પરિમાણ $\frac{[R]}{\sqrt{[R][R]}} = \frac{[R]}{[R]} = 1$ થશે.
તેથી,પદ $\frac{R}{\sqrt{X_L X_C}}$ પરિમાણરહિત છે.

(C) ટોર્ક $\tau = r \times F$. પારિમાણિક સૂત્ર: $[L] \times [MLT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]$. જે $(II)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(B)$ પ્રતિબળ $= F/A$. પારિમાણિક સૂત્ર: $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$. જે $(IV)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(C)$ દબાણ પ્રચલન $= \Delta P / \Delta x$. પારિમાણિક સૂત્ર: $[ML^{-1}T^{-2}] / [L] = [ML^{-2}T^{-2}]$. જે $(I)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(D)$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$,$F = 6\pi \eta r v$ પરથી. પારિમાણિક સૂત્ર: $[MLT^{-2}] = [\eta] [L] [LT^{-1}] \Rightarrow [\eta] = [ML^{-1}T^{-1}]$. જે $(III)$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(III)$ છે.

(C) $1$. સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$: $F = \eta A \frac{dv}{dy}$ પરથી,$\eta = \frac{F}{A(dv/dy)}$. પરિમાણ: $\frac{[M L T^{-2}]}{[L^2][T^{-1}]} = [M L^{-1} T^{-1}]$. ($III$ સાથે સુસંગત છે)
$2$. પૃષ્ઠતાણ $(S)$: $S = \frac{F}{l}$. પરિમાણ: $\frac{[M L T^{-2}]}{[L]} = [M L^0 T^{-2}]$. ($IV$ સાથે સુસંગત છે)
$3$. કોણીય વેગમાન $(L)$: $L = mvr$. પરિમાણ: $[M][L T^{-1}][L] = [M L^2 T^{-1}]$. ($II$ સાથે સુસંગત છે)
$4$. ચાકગતિ ઉર્જા $(K)$: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$. પરિમાણ: $[M L^2][T^{-1}]^2 = [M L^2 T^{-2}]$. ($I$ સાથે સુસંગત છે)
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II, D-I$ છે.

(B) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi \frac{d^2}{4}$ છે.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$ મળે છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta d}{d}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta L}{L} = 0.1 \%$ અને $\frac{\Delta d}{d} = 0.1 \%$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta R}{R} = 0.1 \% + 2(0.1 \%) = 0.1 \% + 0.2 \% = 0.3 \%$.

(B) $1$. ટોર્ક $(\tau) = r \times F$. પરિમાણીય સૂત્ર: $[M^1 L^2 T^{-2}]$. તેથી,$A-IV$.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B) = F / (qv)$. પરિમાણીય સૂત્ર: $[M^1 T^{-2} A^{-1}]$. તેથી,$B-III$.
$3$. ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M) = I \times A$. પરિમાણીય સૂત્ર: $[L^2 A^1]$. તેથી,$C-II$.
$4$. શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $(\mu_0) = [B \cdot r^2 / (I \cdot l)]$. પરિમાણીય સૂત્ર: $[M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]$. તેથી,$D-I$.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે.

(D) ઘનકોણ (solid angle) ને $d\Omega = \frac{dA}{r^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે ક્ષેત્રફળ અને અંતરના વર્ગનો ગુણોત્તર હોવાથી,તેના પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ છે,જે તેને પરિમાણરહિત રાશિ બનાવે છે.
વિકૃતિ (strain) ને લંબાઈમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$\text{Strain} = \frac{\Delta l}{l}$,જે પણ પરિમાણરહિત $[M^0 L^0 T^0]$ છે.
ખૂણો $\theta = \frac{l}{r}$ એ ચાપની લંબાઈ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર છે,જે પણ પરિમાણરહિત $[M^0 L^0 T^0]$ છે.
તેથી,વિકૃતિ અને ખૂણો બંનેના પરિમાણ ઘનકોણના પરિમાણ સમાન છે.

(A) $GM_e M_s$ નો એકમ બળ $\times$ અંતર એટલે કે ઉર્જા છે. ઉર્જાનો એકમ જૂલ છે. $1 \text{ Joule} = 1 \text{ Volt} \times 1 \text{ Coulomb}$. વળી,$G M_e M_s = (N \cdot m^2/kg^2) \cdot kg^2 = N \cdot m^2 = (kg \cdot m/s^2) \cdot m^2 = kg \cdot m^3 \cdot s^{-2}$. તેથી,$(A) \rightarrow (p)$ અને $(q)$.
$(B)$ $\frac{3RT}{M}$ એ $v_{rms}^2$ છે. તેનો એકમ $(m/s)^2 = m^2 \cdot s^{-2}$ છે. તેથી,$(B) \rightarrow (r)$.
$(C)$ $\frac{F}{qB} = v$ (વેગ). તેથી,$\frac{F^2}{q^2 B^2} = v^2$. તેનો એકમ $(m/s)^2 = m^2 \cdot s^{-2}$ છે. વળી,$\frac{1}{2} C V^2 = E$ (ઉર્જા). તેથી $V^2 = 2E/C$. એકમો: $J/F = (J/C) \cdot (J/V) = V \cdot V = V^2$. તેથી,$(C) \rightarrow (r)$ અને $(s)$.
$(D)$ $\frac{GM_e}{R_e}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન છે,જે એકમ દળ દીઠ ઉર્જા છે. એકમો: $J/kg = (N \cdot m)/kg = (kg \cdot m/s^2 \cdot m)/kg = m^2 \cdot s^{-2}$. તેથી,$(D) \rightarrow (r)$.

(C) આપેલ છે:
પિચ $= 0.5 \ mm$
વર્તુળાકાર સ્કેલના વિભાગો $= 50$
મુખ્ય સ્કેલનું રીડિંગ $= 2.5 \ mm$
વર્તુળાકાર સ્કેલનું રીડિંગ $= 20$
દળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $(\Delta M/M) \times 100 = 2 \%$
લીસ્ટ કાઉન્ટ $(LC) = \frac{\text{પિચ}}{\text{વર્તુળાકાર સ્કેલના વિભાગો}} = \frac{0.5 \ mm}{50} = 0.01 \ mm$
ગોળાનો વ્યાસ $(D) = \text{મુખ્ય સ્કેલનું રીડિંગ} + (LC \times \text{વર્તુળાકાર સ્કેલનું રીડિંગ})$
$D = 2.5 \ mm + (0.01 \ mm \times 20) = 2.5 \ mm + 0.2 \ mm = 2.7 \ mm$
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi (D/2)^3} = \frac{6M}{\pi D^3}$
ઘનતામાં સાપેક્ષ ટકાવારી ત્રુટિ નીચે મુજબ છે:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta D}{D} \right) \times 100$
અહીં,$\Delta D = LC = 0.01 \ mm$ અને $D = 2.7 \ mm$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 2 \% + 3 \times \left( \frac{0.01}{2.7} \right) \times 100$
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 2 \% + 3 \times 0.37 \% = 2 \% + 1.11 \% = 3.11 \% \approx 3.1 \%$

(C) $(P)$ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k)$: $U = \frac{1}{2}kT$ પરથી,$[k] = [U]/[T] = [ML^2T^{-2}]/[K] = [ML^2T^{-2}K^{-1}]$. તેથી,$P-4$.
$(Q)$ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક $(\eta)$: $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ પરથી,$[\eta] = [F]/([A][dv/dx]) = [MLT^{-2}]/([L^2][LT^{-1}/L]) = [ML^{-1}T^{-1}]$. તેથી,$Q-2$.
$(R)$ પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$: $E = h\nu$ પરથી,$[h] = [E]/[\nu] = [ML^2T^{-2}]/[T^{-1}] = [ML^2T^{-1}]$. તેથી,$R-1$.
$(S)$ ઉષ્મીય વાહકતા $(k)$: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA\Delta\theta}{\ell}$ પરથી,$[k] = [dQ/dt][\ell]/([A][\Delta\theta]) = [ML^2T^{-3}][L]/([L^2][K]) = [MLT^{-3}K^{-1}]$. તેથી,$S-3$.
આમ,સાચી જોડ $P-4, Q-2, R-1, S-3$ છે.

(A) $1$. કોણીય આઘાત એ કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે,જેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-1}]$ છે. તેથી,$(A)-(III)$.
$2$. ગુપ્ત ઉષ્મા એ એકમ દળ દીઠ ઉર્જા છે,$L = Q/m$,જેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^2 T^{-2}]$ છે. તેથી,$(B)-(I)$.
$3$. વિદ્યુત અવરોધકતા $\rho$ માટે $R = \rho l/A$ સૂત્ર છે,તેથી $\rho = RA/l$. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^3 T^{-3} A^{-2}]$ છે. તેથી,$(C)-(IV)$.
$4$. વિદ્યુતચાલક બળ એ એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ થયેલું કાર્ય છે,$V = W/q$,જેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે. તેથી,$(D)-(II)$.

(B) સમાન પરિમાણો ન ધરાવતી જોડી નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. ટોર્ક $( \tau)$ અને ઉર્જા $(E)$: બંનેના પરિમાણો $[ML^2T^{-2}]$ છે.
$2$. પૃષ્ઠતાણ $(\sigma)$ અને આઘાત $(I)$: પૃષ્ઠતાણના પરિમાણો $[MT^{-2}]$ છે,જ્યારે આઘાતના પરિમાણો $[MLT^{-1}]$ છે. આ સમાન નથી.
$3$. કોણીય વેગમાન $(L)$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: બંનેના પરિમાણો $[ML^2T^{-1}]$ છે.
$4$. દબાણ $(P)$ અને યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$: બંનેના પરિમાણો $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
તેથી,જે જોડી સમાન પરિમાણો ધરાવતી નથી તે પૃષ્ઠતાણ અને આઘાત છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y) = \frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}} = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell} = \frac{MLT^{-2}}{L^2} = [ML^{-1}T^{-2}] \rightarrow (II)$.
$(B)$ ટોર્ક $(\tau) = r \times F = L \times MLT^{-2} = [ML^2T^{-2}] \rightarrow (IV)$.
$(C)$ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક $(\eta)$,$F = \eta A \frac{dv}{dx}$ પરથી $\Rightarrow \eta = \frac{F}{A(dv/dx)} = \frac{MLT^{-2}}{L^2(LT^{-1}/L)} = [ML^{-1}T^{-1}] \rightarrow (I)$.
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $(G)$,$F = \frac{GM_1M_2}{r^2}$ પરથી $\Rightarrow G = \frac{Fr^2}{M^2} = \frac{MLT^{-2} \cdot L^2}{M^2} = [M^{-1}L^3T^{-2}] \rightarrow (III)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(III)$ છે.

(B) સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક: પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-1}]$ છે. તેથી,$(A)-(IV)$.
$(B)$ તરંગની તીવ્રતા: તીવ્રતા એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર,$[ML^2T^{-3}] / [L^2] = [ML^0T^{-3}]$. તેથી,$(B)-(I)$.
$(C)$ દબાણ પ્રચલન: દબાણ પ્રચલન એટલે એકમ લંબાઈ દીઠ દબાણ,$[ML^{-1}T^{-2}] / [L] = [ML^{-2}T^{-2}]$. તેથી,$(C)-(II)$.
$(D)$ સંકોચનીયતા: સંકોચનીયતા એ બલ્ક મોડ્યુલસનો વ્યસ્ત છે,$1 / [ML^{-1}T^{-2}] = [M^{-1}LT^2]$. તેથી,$(D)-(III)$.
આમ,સાચી જોડ $(A)-(IV), (B)-(I), (C)-(II), (D)-(III)$ છે.

(A) બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k)$: $k = \frac{PV}{NT}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[k] = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[K]} = ML^2 T^{-2} K^{-1}$. ($III$ સાથે સુસંગત છે)
$(B)$ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$: $F = 6\pi \eta rv$. પારિમાણિક સૂત્ર $[\eta] = \frac{[F]}{[r][v]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L][LT^{-1}]} = ML^{-1} T^{-1}$. ($IV$ સાથે સુસંગત છે)
$(C)$ પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = hf$. પારિમાણિક સૂત્ર $[h] = \frac{[E]}{[f]} = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = ML^2 T^{-1}$. ($I$ સાથે સુસંગત છે)
$(D)$ ઉષ્મા વાહકતા $(k)$: $\frac{dQ}{dt} = k A \frac{dT}{dx}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[k] = \frac{[ML^2 T^{-3}][L]}{[L^2][K]} = MLT^{-3} K^{-1}$. ($II$ સાથે સુસંગત છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-I, D-II$ છે.

(B) વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ $P_e = q \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $d$ એ અંતર છે. તેના પરિમાણ $[A T L]$ છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે. તેના પરિમાણ $[A L^2]$ છે.
તેમનો ગુણોત્તર $\frac{P_e}{M} = \frac{[A T L]}{[A L^2]} = [M^0 L^{-1} T^1 A^0]$ થાય છે.
આને $[M^P L^Q T^R A^S]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $P = 0$ અને $Q = -1$ મળે છે.

(C) દળ ઘનતા $= \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}} = \frac{M}{L^3} = [ML^{-3}T^0]$. જે $(IV)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(B)$ આઘાત $= \text{બળ} \times \text{સમય} = [MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$. જે $(II)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(C)$ પાવર $= \frac{\text{કાર્ય}}{\text{સમય}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T]} = [ML^2T^{-3}]$. જે $(I)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$(D)$ જડત્વની ચાકમાત્રા $= \text{દળ} \times (\text{અંતર})^2 = [M] \times [L^2] = [ML^2T^0]$. જે $(III)$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(IV), (B)-(II), (C)-(I), (D)-(III)$ છે.

(D) $1$. યંગ મોડ્યુલસ $(Y) = \frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}} = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$. તેથી,$A-III$.
$2$. સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $(\eta)$: સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$F = 6\pi\eta rv$,તેથી $\eta = \frac{F}{6\pi rv} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L][LT^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$. તેથી,$B-I$.
$3$. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = hf$ પરથી,$h = \frac{E}{f} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2T^{-1}]$. તેથી,$C-II$.
$4$. વર્ક ફંક્શન $(\varphi)$: તે ઉર્જાનું એક સ્વરૂપ છે,તેથી $[\varphi] = [ML^2T^{-2}]$. તેથી,$D-IV$.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-I, C-II, D-IV$ છે.

(B) વેગ પ્રચલનનું પારિમાણિક સૂત્ર વેગ અને અંતરના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $[v]/[d] = (LT^{-1})/(L) = T^{-1}$.
આવૃત્તિનું પારિમાણિક સૂત્ર સમયગાળાનું વ્યસ્ત છે: $1/T = T^{-1}$.
સમયનું પારિમાણિક સૂત્ર માત્ર $T$ છે.
આ સરખામણી કરતા,વેગ પ્રચલન અને આવૃત્તિ બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર $T^{-1}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ ઘનતા $\rho_1 = 20 \ g/cm^3$ છે.
નવી પદ્ધતિમાં,દળનો એકમ $M_2 = 10 \ kg = 10^4 \ g$ અને લંબાઈનો એકમ $L_2 = 5 \ m = 500 \ cm$ છે.
નવી પદ્ધતિમાં ઘનતા $\rho_2 = N \frac{M_2}{L_2^3} = N \frac{10^4 \ g}{(500 \ cm)^3}$ થશે.
ભૌતિક રાશિ સમાન રહેતી હોવાથી,$\rho_1 = \rho_2$.
$20 \ g/cm^3 = N \frac{10^4 \ g}{125 \times 10^6 \ cm^3}$.
$N = \frac{20 \times 125 \times 10^6}{10^4} = 20 \times 125 \times 10^2 = 2500 \times 10^2 = 2.5 \times 10^5$ નવા એકમ.

(C) કઈ જોડીનું પારિમાણિક સૂત્ર સમાન નથી તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. કાર્ય $(W = F \cdot d)$ અને ટોર્ક $(\tau = r \times F)$ બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
$2$. કોણીય વેગમાન $(L = mvr)$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $(h = E/f)$ બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-1}]$ છે.
$3$. તણાવ એ એક બળ છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે. પૃષ્ઠતાણ એ એકમ લંબાઈ દીઠ બળ છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MT^{-2}]$ છે. આ બંને સમાન નથી.
$4$. આઘાત $(J = F \cdot \Delta t)$ અને રેખીય વેગમાન $(p = mv)$ બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-1}]$ છે.
તેથી,જે જોડીનું પારિમાણિક સૂત્ર સમાન નથી તે તણાવ અને પૃષ્ઠતાણ છે.

(A) ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનફળનો સપાટીના ક્ષેત્રફળની સાપેક્ષમાં બદલાવનો દર શોધવા માટે,આપણે $\frac{dV}{dA} = \frac{dV/dr}{dA/dr}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$V$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$.
$A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dr} = 8 \pi r$.
તેથી,$\frac{dV}{dA} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
જ્યારે $r = 2 \ cm$ હોય,ત્યારે બદલાવનો દર $\frac{dV}{dA} = \frac{2}{2} = 1 \ cm$ થાય છે.

(B) નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે: $A = 2 \pi rh + 2 \pi r^2$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $A$ માં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(2 \pi rh) + \frac{d}{dt}(2 \pi r^2)$
ઊંચાઈ $h$ અચળ છે તેમ ધારતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi h \frac{dr}{dt} + 4 \pi r \frac{dr}{dt}$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = (2 \pi h + 4 \pi r) \frac{dr}{dt}$.

(A) કયા પરિમાણો સમાન છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેકનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(i)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$: વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qvB$ છે,તેથી $[B] = [F] / ([q][v]) = [MLT^{-2}] / ([IT][LT^{-1}]) = [MT^{-2}I^{-1}]$.
$(ii)$ ઉર્જા ઘનતા $(u)$: એકમ કદ દીઠ ઉર્જા,$[u] = [ML^2T^{-2}] / [L^3] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$(iii)$ વક્રીભવનાંક $(\mu)$: તે ઝડપનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત $[M^0L^0T^0]$ છે.
$(iv)$ યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$: સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેનનો ગુણોત્તર,$[Y] = [ML^{-1}T^{-2}] / [1] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$(v)$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $(K)$: તે પરમિટિવિટીનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત $[M^0L^0T^0]$ છે.
આ સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $(ii)$ ઉર્જા ઘનતા અને $(iv)$ યંગ મોડ્યુલસ બંનેના પરિમાણો $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે,અને $(iii)$ વક્રીભવનાંક અને $(v)$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક બંને પરિમાણરહિત છે. વિકલ્પો જોતા,$(ii)$ અને $(iv)$ સમાન પરિમાણો ધરાવે છે.

(A) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ,વિદ્યુતચુંબકીય,પ્રબળ ન્યુક્લિયર અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ.
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અનંત અવધિ ધરાવે છે,તેથી તે મહત્તમ અવધિ ધરાવતું બળ છે.
$2$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ ખૂબ જ ટૂંકી અવધિ ધરાવે છે,જે આશરે $10^{-16} \ m$ છે,તેથી તે ન્યૂનતમ અવધિ ધરાવતું બળ છે.
આમ,સાચો ક્રમ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (મહત્તમ) અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ (ન્યૂનતમ) છે.

(C) યુનાઈટેડ નેશન્સે $2005$ ને આંતરરાષ્ટ્રીય ભૌતિકવિજ્ઞાન વર્ષ તરીકે જાહેર કર્યું હતું.
આ જાહેરાત આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈનના "ચમત્કારિક વર્ષ" ($Annus$ $Mirabilis$) ની $100$ મી વર્ષગાંઠની ઉજવણી કરવા માટે કરવામાં આવી હતી.
$1905$ માં, આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને ચાર ક્રાંતિકારી વૈજ્ઞાનિક પેપર્સ પ્રકાશિત કર્યા હતા, જેણે અવકાશ, સમય અને દ્રવ્ય વિશેની આપણી સમજને મૂળભૂત રીતે બદલી નાખી હતી.

(C) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ શક્તિઓ,જેમાં સૌથી મજબૂત (પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ) ને $1$ તરીકે લેવામાં આવે છે,તે નીચે મુજબ છે:
$(A)$ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $= 1$ ($f$ સાથે જોડાય છે)
$(B)$ નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $\approx 10^{-13}$ ($h$ સાથે જોડાય છે)
$(C)$ વિદ્યુતચુંબકીય બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $\approx 10^{-2}$ ($e$ સાથે જોડાય છે)
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $\approx 10^{-39}$ ($i$ સાથે જોડાય છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-f, B-h, C-e, D-i$ છે.

(C) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F_{G})$,નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ $(F_{W})$,વિદ્યુતચુંબકીય બળ $(F_{E})$ અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ $(F_{N})$ છે.
તેમની સાપેક્ષ પ્રબળતા આશરે નીચે મુજબ છે:
$F_{G} \approx 1$
$F_{W} \approx 10^{25}$
$F_{E} \approx 10^{36}$
$F_{N} \approx 10^{38}$
આમ,$F_{G}: F_{W}: F_{E}: F_{N}$ નો ગુણોત્તર $1: 10^{25}: 10^{36}: 10^{38}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$F_{G}: F_{N}: F_{E}: F_{W}$ માટે સૌથી નજીકનો ગુણોત્તર $1: 10^{38}: 10^{36}: 10^{26}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(C) ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં બે મુખ્ય અભિગમો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ એકીકરણ (Unification): ઘણા બધા નિયમો અને સિદ્ધાંતો રાખવાને બદલે,આપણે એવા થોડાક જ નિયમો રજૂ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ જે મોટી સંખ્યામાં કિસ્સાઓ માટે લાગુ પડે છે.
(ii) ન્યૂનીકરણ (Reduction): કોઈ મોટા અથવા જટિલ પ્રશ્નનું વિશ્લેષણ કરવા માટે,આપણે તેને નાના,સરળ ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ જેને વ્યક્તિગત રીતે ઉકેલી શકાય છે.

(B) $P-Q$ યામ પદ્ધતિમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાનો આલેખ બે ચલો વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે, આને $P = m Q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ રેખાનો ઢાળ છે.
સીધી રેખા માટે ઢાળ $m = \tan \theta$ અચળ હોવાથી, આપણને $\frac{P}{Q} = m = \text{અચળ}$ મળે છે.
તેથી, ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના આલેખ માટેની સાચી શરત $\frac{P}{Q} = \text{અચળ}$ છે.

(D) સૌર અચળાંક $S = 2 \text{ cal cm}^{-2} \text{ min}^{-1}$ આપેલ છે.
તેને $S.I.$ એકમ ($W/m^2$ અથવા $J s^{-1} m^{-2}$) માં ફેરવવા માટે:
$1 \text{ calorie} = 4.184 \text{ J}$
$1 \text{ cm}^2 = 10^{-4} \text{ m}^2$
$1 \text{ minute} = 60 \text{ s}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{2 \times 4.184 \text{ J}}{10^{-4} \text{ m}^2 \times 60 \text{ s}}$
$S = \frac{8.368}{60 \times 10^{-4}} \text{ W/m}^2$
$S = \frac{8.368}{0.006} \text{ W/m}^2 \approx 1394.6 \text{ W/m}^2$
આ મૂલ્યને રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને આશરે $1.4 \text{ kW/m}^2$ અથવા $1.4 \text{ kW m}^{-2}$ મળે છે.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે. તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ ને કારણે આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta T$ છે. તેથી, $(a) - (iv)$.
$(b)$ સ્કેલના ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે વાસ્તવિક લંબાઈ અને સ્કેલ રીડિંગનો ગુણોત્તર $(1 + \alpha \Delta T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, $(b) - (iii)$.
$(c)$ અચળ દબાણે આદર્શ વાયુ માટે, કદ પ્રસરણાંક $\gamma = \frac{1}{T}$ છે. તેથી, તેનો વ્યસ્ત $T$ થાય છે. તેથી, $(c) - (ii)$.
$(d)$ હૂકના નિયમ મુજબ, $\frac{F}{A} = Y \frac{\Delta L}{L}$, તેથી $\frac{F}{YA} = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$. તેથી, $(d) - (i)$.
આમ, સાચી જોડ $(a-iv), (b-iii), (c-ii), (d-i)$ છે.

(A) $1$. ઉષ્મા વાહકતા $(k)$: સૂત્ર $\frac{Q}{t} = \frac{kA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$ પરથી,$[k] = \frac{[Q][l]}{[t][A][\Delta\theta]} = \frac{[ML^2T^{-2}][L]}{[T][L^2][K]} = [MLT^{-3}K^{-1}]$. તેથી,$(A) - (i)$.
$2$. બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(k_B)$: $PV = Nk_BT$ પરથી,$[k_B] = \frac{[PV]}{[N][T]} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[K]} = [ML^2T^{-2}K^{-1}]$. તેથી,$(B) - (iii)$.
$3$. ગુપ્ત ઉષ્મા $(L)$: $Q = mL$ પરથી,$[L] = \frac{[Q]}{[m]} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[M]} = [M^0L^2T^{-2}]$. તેથી,$(C) - (iv)$.
$4$. વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(s)$: $Q = ms\Delta\theta$ પરથી,$[s] = \frac{[Q]}{[m][\Delta\theta]} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[M][K]} = [M^0L^2T^{-2}K^{-1}]$. તેથી,$(D) - (ii)$.
આમ,સાચી જોડ $(A) - (i), (B) - (iii), (C) - (iv), (D) - (ii)$ છે.

(B) આપેલ ભૌતિક રાશિઓ માટેના પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[$બળ$] = [MLT^{-2}]$
$[$પૃષ્ઠતાણ$] = [MT^{-2}]$
$[$આવૃત્તિ$] = [T^{-1}]$
$[$વેગ પ્રચલન$] = [T^{-1}]$
$[$કોણીય ઝડપ$] = [T^{-1}]$
$[$ઘનકોણ$] = [M^0L^0T^0]$ (પરિમાણરહિત)
$[$સ્ટીફનનો અચળાંક$] = [MT^{-3}K^{-4}]$
$[$પ્લાન્કનો અચળાંક$] = [ML^2T^{-1}]$
આની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે આવૃત્તિ અને વેગ પ્રચલન બંને $[T^{-1}]$ પરિમાણ ધરાવે છે.
તેથી,સાચી જોડી આવૃત્તિ અને વેગ પ્રચલન છે.

(B) બે પદાર્થો $A$ અને $B$ માટે સાપેક્ષ વેગ $(v_A \pm v_B)$ ને એકમ $(ms^{-1})$ અને પરિમાણ $[LT^{-1}]$ બંને હોય છે.
બે પદાર્થોની સાપેક્ષ ઘનતા $(\rho = \frac{\rho_A}{\rho_B})$ ને કોઈ એકમ કે પરિમાણ હોતા નથી કારણ કે તે બે સમાન ભૌતિક રાશિઓનો ગુણોત્તર છે.
ખૂણો રેડિયનમાં માપવામાં આવે છે. આમ,તેને એકમ છે પણ પરિમાણ નથી.
ઉર્જા જૂલમાં માપવામાં આવે છે અને તેને પરિમાણ $[ML^2 T^{-2}]$ છે.
તેથી,માત્ર સાપેક્ષ ઘનતાને એકમ કે પરિમાણ હોતા નથી.

(B) કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર $[W] = [F] \times [s] = [MLT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}]$ છે.
કોણીય વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[L] = [m][v][r] = [M][LT^{-1}][L] = [ML^2 T^{-1}]$ છે.
ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[\tau] = [F] \times [r] = [MLT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}]$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[U] = [m][g][h] = [M][LT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}]$ છે.
રેખીય વેગમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર $[p] = [m][v] = [M][LT^{-1}] = [MLT^{-1}]$ છે.
ગતિ ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[K] = [M][v^2] = [M][LT^{-1}]^2 = [ML^2 T^{-2}]$ છે.
વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[v] = [LT^{-1}]$ છે.
આમ,કાર્ય અને ટોર્ક બંનેના પરિમાણો $[ML^2 T^{-2}]$ સમાન છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) કઈ રાશિઓ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેમના પરિમાણીય સૂત્રોનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. કાર્ય $(W)$ ને બળ $\times$ સ્થાનાંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનું પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે.
$2$. ટોર્ક $(\tau)$ ને બળ $\times$ લંબ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનું પરિમાણ $[ML^2T^{-2}]$ છે.
$3$. કાર્ય અને ટોર્ક બંને સમાન પરિમાણીય સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ ધરાવતા હોવાથી,તેઓ સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓ છે.
$4$. અન્ય વિકલ્પો: બળ $[MLT^{-2}]$ છે,પાવર $[ML^2T^{-3}]$ છે,ગુપ્ત ઉષ્મા $[L^2T^{-2}]$ છે,અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા $[L^2T^{-2}K^{-1}]$ છે. આમ,માત્ર કાર્ય અને ટોર્ક સમાન છે.

(B) બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_B$ એ ઉર્જા અને તાપમાનને જોડે છે: $E = k_B T$. તેથી, $[k_B] = [\text{ઉર્જા}] / [\text{તાપમાન}] = [ML^2T^{-2}] / [K] = [ML^2T^{-2}K^{-1}]$. આ $III$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ, $F = 6\pi \eta r v$. સ્નિગ્ધતા $\eta$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[F] / ([L][LT^{-1}]) = [MLT^{-2}] / [L^2T^{-1}] = [ML^{-1}T^{-1}]$ છે. આ $II$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ પાણીનું તુલ્યમાન એ પાણીનું દળ છે જે સમાન તાપમાનના ફેરફાર માટે પદાર્થ જેટલી જ ઉષ્માનું શોષણ કરે છે. તેનું પરિમાણ $[M]$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાં, $[ML^0T^0]$ એ દળનું યોગ્ય નિરૂપણ છે. આ $I$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ ઉષ્મા વહનના સૂત્ર $Q/t = KA(\theta_1 - \theta_2)/l$ પરથી, ઉષ્મા વાહકતા ગુણાંક $K = (Q \cdot l) / (A \cdot t \cdot \Delta\theta)$. પરિમાણો: $[ML^2T^{-2} \cdot L] / [L^2 \cdot T \cdot K] = [MLT^{-3}K^{-1}]$. આ $IV$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી, સાચો ક્રમ $A-III, B-II, C-I, D-IV$ છે.

(C) ધારો કે આપેલી પદ્ધતિ $S_1$ છે અને $CGS$ પદ્ધતિ $S_2$ છે.
પદ્ધતિ $S_1$ માં, દળનો એકમ $M_1 = 20 \, g$ અને લંબાઈનો એકમ $L_1 = 5 \, cm$ છે.
ઘનતા $\rho_1 = 4$ એકમ $S_1$ માં છે.
ઘનતાની વ્યાખ્યા $\rho = \frac{M}{L^3}$ છે.
$S_1$ માં, મૂલ્ય $\rho_1 = 4 \frac{M_1}{L_1^3} = 4 \frac{20 \, g}{(5 \, cm)^3} = 4 \frac{20 \, g}{125 \, cm^3}$ છે.
$CGS$ $(g/cm^3)$ માં મૂલ્યની ગણતરી કરતા:
$\rho_{CGS} = 4 \times \frac{20 \, g}{125 \, cm^3} = 4 \times \frac{20}{125} \, g/cm^3 = 4 \times \frac{4}{25} \, g/cm^3 = \frac{16}{25} \, g/cm^3$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ $25$ એકમ છે.

(A) સાચી જોડ $A-(iii), B-(iv), C-(i), D-(ii)$ છે.
$(A)$ ઇલેક્ટ્રોવીક આંતરક્રિયા એ એકીકૃત સિદ્ધાંત છે જે વિદ્યુતચુંબકીય અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળોને જોડે છે,જે મૂળભૂત બળોની સંખ્યાને ચારથી ઘટાડીને ત્રણ કરે છે.
$(B)$ અણુઓ વચ્ચે તેમની ત્રિજ્યા જેટલા અંતરે લાગતું બળ મુખ્યત્વે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રકૃતિનું હોય છે,જે તેમના ઘટક ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસની આંતરક્રિયાથી ઉદભવે છે.
$(C)$ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ એ ન્યુક્લિયર બંધન બળ માટે જવાબદાર છે,જે ક્વાર્ક્સને જોડીને ન્યુક્લિયોન્સ બનાવે છે અને ન્યુક્લિયોન્સને જોડીને ન્યુક્લિયસ બનાવે છે.
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ ગ્રહો,તારાઓ અને આકાશગંગાઓ જેવા ખગોળીય પરિમાણ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેની મુખ્ય આંતરક્રિયા છે.

(B) વિધાન $(b)$ માં,$1 \ m$ લંબાઈ માટે પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{0.01}{1} \times 100 = 1 \%$ છે.
$0.5 \ m$ લંબાઈ માટે,પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{0.01}{0.5} \times 100 = 2 \%$ છે.
પ્રતિશત ત્રુટિ અલગ હોવાથી,માપન સમાન રીતે સચોટ નથી. તેથી,વિધાન $(b)$ ખોટું છે.
વિધાન $(c)$ માં,$1.6$ માં સાર્થક અંકોની સંખ્યા $2$ છે અને $0.60$ માં પણ $2$ છે (શરૂઆતના શૂન્યો સાર્થક નથી). તેથી,વિધાન $(c)$ ખોટું છે.
વિધાન $(d)$ માં,રાઉન્ડિંગના નિયમો મુજબ,જો દૂર કરવાનો અંક $5$ હોય,તો તેની આગળનો અંક બેકી હોય તો તે બદલાતો નથી. તેથી,$2.445$ ને બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા $2.44$ મળે. તેથી,વિધાન $(d)$ પણ ખોટું છે.
નોંધ: આ પ્રશ્નમાં એક કરતા વધુ ખોટા વિધાનો $(b, c, d)$ છે.

(A) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ, દુર્બળ ન્યુક્લિયર બળ, વિદ્યુતચુંબકીય બળ અને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ.
$1$. દુર્બળ ન્યુક્લિયર બળનો વિસ્તાર આશરે $10^{-18} \,m$ છે, જે ચારેય મૂળભૂત બળોમાં સૌથી ટૂંકો છે.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણ અને વિદ્યુતચુંબકીય બળનો વિસ્તાર અનંત છે.
$3$. બળોની સાપેક્ષ પ્રબળતા આ મુજબ છે: પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ $(1)$ > વિદ્યુતચુંબકીય બળ $(10^{-2})$ > દુર્બળ ન્યુક્લિયર બળ $(10^{-13})$ > ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(10^{-39})$.
તેથી, દુર્બળ ન્યુક્લિયર બળનો વિસ્તાર સૌથી ટૂંકો છે તે વિધાન સાચું છે.

(D) $1$. ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન: $[V] = [\text{ઉર્જા} / \text{દળ}] = [ML^2 T^{-2} / M] = M^0 L^2 T^{-2}$. જે $II$ સાથે સુસંગત છે。
$2$. સ્ટેફનનો અચળાંક $(\sigma)$: $P = \sigma A T^4$ પરથી, $[\sigma] = [P / (A T^4)] = [ML^2 T^{-3} / (L^2 K^4)] = M L^0 T^{-3} K^{-4}$. જે $III$ સાથે સુસંગત છે。
$3$. પરમિટિવિટી $(\varepsilon_0)$: કુલંબના નિયમ $F = q^2 / (4 \pi \varepsilon_0 r^2)$ પરથી, $[\varepsilon_0] = [q^2 / (F r^2)] = [(I T)^2 / (MLT^{-2} \cdot L^2)] = M^{-1} L^{-3} T^4 I^2$. જે $IV$ સાથે સુસંગત છે。
$4$. વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(c)$: $Q = mc \Delta T$ પરથી, $[c] = [Q / (m \Delta T)] = [ML^2 T^{-2} / (M \cdot K)] = M^0 L^2 T^{-2} K^{-1}$. જે $I$ સાથે સુસંગત છે。
આમ, સાચી જોડ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.

(B) પ્રકૃતિમાં રહેલા મૂળભૂત બળો તેમની સાપેક્ષ પ્રબળતાના ઉતરતા ક્રમમાં નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ: $1$
$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ: $10^{-2}$
$3$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: $10^{-13}$
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: $10^{-39}$
વિદ્યુતચુંબકીય બળ $(E)$ અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ $(W)$ ની પ્રબળતાનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે તેમની સાપેક્ષ પ્રબળતાનો ભાગાકાર કરીશું:
$\frac{E}{W} = \frac{10^{-2}}{10^{-13}} = 10^{-2 - (-13)} = 10^{11}$
તેથી,ગુણોત્તર $10^{11}$ છે.

(B) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,વિદ્યુતચુંબકીય બળ,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ અને નબળું ન્યુક્લિયર બળ.
આ પૈકી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સૌથી નબળું મૂળભૂત બળ છે,નબળું ન્યુક્લિયર બળ નહીં.
તેથી,નબળું ન્યુક્લિયર બળ સૌથી નબળું છે તેવું વિધાન ખોટું છે.
સંરક્ષણના નિયમો ખરેખર પ્રકૃતિની સમપ્રમાણતા સાથે ઊંડો સંબંધ ધરાવે છે.
સંરક્ષણનો નિયમ એ અવલોકનો અને પ્રયોગો પર આધારિત એક પૂર્વધારણા છે.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાઓમાં,દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતા $(E = mc^2)$ જળવાય છે,જેનો અર્થ છે કે દળનું ઊર્જામાં અને ઊર્જાનું દળમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે.

(B) નોએથરના પ્રમેય (Noether's theorem) મુજબ,સંરક્ષણના નિયમો પ્રકૃતિની સમપ્રમાણતા સાથે ઊંડો સંબંધ ધરાવે છે.
પ્રકૃતિમાં કુલ ચાર મૂળભૂત બળો છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,વિદ્યુતચુંબકીય બળ,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ.
તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.