Isothermal Process Questions in Hindi

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए, एक आदर्श गैस का अवस्था समीकरण $PV = \text{स्थिरांक}$ होता है।
आयतन $V$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें $P + V(dP/dV) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $P = -V(dP/dV)$।
परिभाषा के अनुसार, आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (bulk modulus) $K$ का मान $K = -V(dP/dV)$ होता है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि समतापीय प्रत्यास्थता $K_i$ गैस के दाब $P$ के बराबर होती है।

(C) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है,जिसे $U = nC_vT$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय (isothermal) है,इसलिए तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 0$ है।
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v \Delta T = 0$ होता है।
इसका अर्थ है कि पूरी प्रक्रिया के दौरान गैस की आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है।

(C) समतापीय प्रक्रिया को एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें पूरी प्रक्रिया के दौरान निकाय का तापमान स्थिर रहता है $(T = \text{स्थिर})$।
एक आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान का फलन होती है $(U = f(T))$।
चूंकि समतापीय प्रक्रिया में तापमान स्थिर रहता है, इसलिए आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा भी स्थिर रहती है $(\Delta U = 0)$।
अतः, विकल्प $(C)$ सही कथन है।

(A) दो समतापीय वक्र स्थिर तापमान पर दबाव और आयतन के बीच संबंध को दर्शाते हैं। यदि दो समतापीय वक्र एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो इसका अर्थ यह होगा कि उस विशिष्ट बिंदु पर (जो एक अद्वितीय दबाव और आयतन द्वारा परिभाषित है),निकाय का तापमान एक साथ दो अलग-अलग मानों पर है। चूंकि संतुलन में एक निकाय का किसी दी गई अवस्था पर केवल एक ही अद्वितीय तापमान हो सकता है,इसलिए दो अलग-अलग समतापीय वक्रों का प्रतिच्छेद करना भौतिक रूप से असंभव है। इसलिए,वे कभी भी एक-दूसरे को नहीं काट सकते हैं।

(C) समतापीय प्रक्रिया में,प्रसार के दौरान निकाय का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान का फलन है $(U = f(T))$,इसलिए स्थिर तापमान का अर्थ है कि गैस की आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,$\Delta U = 0$।

(D) समतापीय उत्क्रमणीय प्रसार में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = \mu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$.
यहाँ,$\mu$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है,$V_1$ प्रारंभिक आयतन है और $V_2$ अंतिम आयतन है।
दिया गया है: ऑक्सीजन का द्रव्यमान $(m)$ = $96\, g$,$O_2$ का मोलर द्रव्यमान $(M)$ = $32\, g/mol$.
मोलों की संख्या $\mu = \frac{m}{M} = \frac{96}{32} = 3\, mol$.
तापमान $T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\, K$.
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 70\, L$,अंतिम आयतन $V_2 = 140\, L$.
प्राकृतिक लघुगणक को $10$ के आधार में बदलने पर: $\ln(x) = 2.303 \log_{10}(x)$.
मान रखने पर: $W = 3 \times R \times 300 \times 2.3 \log_{10}\left(\frac{140}{70}\right)$.
$W = 900 \times 2.3 \times R \times \log_{10}(2)$.
अतः,किया गया कार्य $2.3 \times 900\, R\, \log_{10} 2$ है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ होता है।
चूंकि $n$,$R$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $PV = \text{स्थिरांक}$ होगा।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$P \Delta V + V \Delta P = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $V \Delta P = -P \Delta V$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $PV$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\Delta P}{P} = -\frac{\Delta V}{V}$.

(D) समतापीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W$ का सूत्र है: $W = -\mu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$।
दिया गया है: $\mu = 1 \text{ mole}$,$T = 273 \text{ K}$,$V_1 = 22.4 \text{ litres}$,$V_2 = 11.2 \text{ litres}$,और $R = 8.31 \text{ J/mol K}$।
मान रखने पर:
$W = -1 \times 8.31 \times 273 \times \ln\left(\frac{11.2}{22.4}\right)$।
$W = -8.31 \times 273 \times \ln(0.5)$।
चूंकि $\ln(0.5) = -\ln(2) \approx -0.693$,
$W = -8.31 \times 273 \times (-0.693) \approx 1572.5 \text{ J}$।
नोट: गैस पर किया गया कार्य धनात्मक होता है,लेकिन गैस द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$-1572.5 \text{ J}$ संपीड़न के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य दर्शाता है।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
$1$ मोल गैस के लिए आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ से,$P = \frac{RT}{V}$ प्राप्त होता है।
आयतन $V_1$ से $V_2$ तक समतापीय विस्तार के दौरान किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$
$P$ का मान रखने पर:
$W = \int_{V_1}^{V_2} \frac{RT}{V} \, dV$
चूंकि $R$ और $T$ स्थिर हैं,हम उन्हें समाकलन से बाहर ले सकते हैं:
$W = RT \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} \, dV$
$W = RT [\ln V]_{V_1}^{V_2}$
$W = RT (\ln V_2 - \ln V_1)$
$W = RT \log_{e} \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$.

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
परिभाषा के अनुसार,समतापीय संपीड्यता $\beta_T$ को $\beta_T = -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$,इसलिए $P = \frac{nRT}{V}$ होता है।
चूंकि $T$ स्थिर है,दाब $P$ आयतन $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,और संपीड्यता को $\beta_T = \frac{1}{P}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,दाब $P$ समतापीय संपीड्यता के व्युत्क्रम द्वारा निर्धारित होता है,अर्थात $P = \frac{1}{\beta_T}$।

(A) समतापीय प्रक्रिया एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें निकाय का तापमान स्थिर रहता है, अर्थात $T = \text{constant}$.
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार, $PV = nRT$ होता है।
चूंकि समतापीय प्रक्रिया के लिए $n$, $R$ और $T$ स्थिर हैं, इसलिए $PV$ का गुणनफल स्थिर होना चाहिए।
अतः, $PV = \text{constant}$, जो बॉयल के नियम का गणितीय कथन है।
इस प्रकार, समतापीय परिवर्तन के दौरान एक आदर्श गैस बॉयल के नियम का पालन करती है।

(C) समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान स्थिर रहता है $(dT = 0)$।
चूंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है $(U = f(T))$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा भी स्थिर रहती है $(dU = 0)$।
हालाँकि,समतापीय प्रक्रिया होने के लिए,निकाय द्वारा या निकाय पर किए गए कार्य की भरपाई के लिए निकाय और परिवेश के बीच ऊर्जा का आदान-प्रदान होना आवश्यक है $(dQ = dW)$।
इसलिए,यह कथन कि 'ऊर्जा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता' गलत है।

(A) समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 0$ है।
परिभाषा के अनुसार,विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{Q}{m \Delta T}$ है,जहाँ $Q$ दी गई ऊष्मा है,$m$ द्रव्यमान है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि समतापीय प्रक्रिया में $\Delta T = 0$ होता है,इसलिए हर (denominator) शून्य हो जाता है।
अतः,$C = \frac{Q}{m \times 0} = \infty$।
इस प्रकार,समतापीय प्रक्रिया में गैस की विशिष्ट ऊष्मा अनंत होती है।

(A) समतापीय प्रक्रिया स्थिर तापमान पर होती है।
स्थिर तापमान बनाए रखने के लिए,निकाय को अपने परिवेश के साथ तापीय संतुलन में होना चाहिए।
इसके लिए पात्र की दीवारों का अत्यधिक सुचालक होना आवश्यक है ताकि निकाय और परिवेश के बीच ऊष्मा का आदान-प्रदान स्वतंत्र रूप से हो सके।
दिए गए विकल्पों में से,तांबा एक धातु है और ऊष्मा का अच्छा सुचालक है,जबकि कांच,लकड़ी और कपड़ा ऊष्मा के कुचालक हैं।
इसलिए,तांबे से बना पात्र समतापीय प्रक्रिया के लिए उपयुक्त है।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है। चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = 0$ होता है।
गैस द्वारा किया गया कार्य $dW = P dV$ द्वारा दिया जाता है।
जब आयतन आधा हो जाता है,तो अंतिम आयतन $V_2 = V_1 / 2$ होता है।
इसलिए,आयतन में परिवर्तन $dV = V_2 - V_1 = V_1 / 2 - V_1 = -V_1 / 2$ होता है।
चूंकि $dV$ ऋणात्मक है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $dW = P dV$ ऋणात्मक होता है। यह दर्शाता है कि गैस पर कार्य किया गया है।

(B) एक ऊष्मागतिक प्रक्रिया को अवस्था चरों $P$,$V$,और $T$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
$Isochoric$ (समआयतनिक) प्रक्रिया वह है जिसमें आयतन $V$ स्थिर रहता है।
$Isobaric$ (समदाबी) प्रक्रिया वह है जिसमें दबाव $P$ स्थिर रहता है।
$Isothermal$ (समतापीय) प्रक्रिया को ऐसी प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें निकाय का तापमान $T$ परिवर्तन के दौरान स्थिर रहता है,भले ही दबाव $P$ और आयतन $V$ बदलते रहें।
इसलिए,सही उत्तर $B$ है।

(B) समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान $T$ स्थिर रहता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है। चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,$\Delta T = 0$,जिसका अर्थ है कि $\Delta U = 0$। जब गैस को संपीड़ित किया जाता है,तो गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए $\Delta W < 0$। इन मानों को प्रथम नियम में रखने पर,$\Delta Q = 0 + \Delta W$। चूंकि $\Delta W < 0$,इसलिए $\Delta Q$ भी ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि स्थिर तापमान बनाए रखने के लिए गैस द्वारा परिवेश में ऊष्मा मुक्त की जाती है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
चूंकि $\Delta U = 0$ है,इसलिए $\Delta Q = \Delta W$।
इस मामले में,गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए $\Delta W = -1.5 \times 10^4 \ J$ (परंपरा के अनुसार,निकाय पर किया गया कार्य ऋणात्मक होता है)।
इसलिए,$\Delta Q = -1.5 \times 10^4 \ J$।
जूल को कैलोरी में बदलने के लिए,हम $1 \ \text{cal} \approx 4.18 \ J$ का उपयोग करते हैं।
$\Delta Q = \frac{-1.5 \times 10^4}{4.18} \ \text{cal} \approx -3.588 \times 10^3 \ \text{cal} \approx -3.6 \times 10^3 \ \text{cal}$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि ऊष्मा गैस से बाहर निकली है।

(A) समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान स्थिर रहता है।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
$\Delta U = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta Q = \Delta W$ प्राप्त होता है।
अतः,गैस को दी गई ऊष्मा पूरी तरह से बाह्य कार्य करने में व्यय होती है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,एक आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = \mu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई मान हैं: $\mu = 1 \, mol$,$R = 8.31 \, J/mol \cdot K$,$T = 300 \, K$,$V_1 = 10 \, L$,और $V_2 = 20 \, L$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$W = 1 \times 8.31 \times 300 \times \ln\left(\frac{20}{10}\right)$
$W = 2493 \times \ln(2)$
$\ln(2) \approx 0.6931$ का उपयोग करने पर:
$W = 2493 \times 0.6931 \approx 1728 \, J$।

(B) चूंकि प्रक्रिया बहुत धीमी गति से होती है और निकाय अपने परिवेश के साथ तापीय संतुलन में रहता है,इसलिए यह एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,निकाय द्वारा किया गया कार्य $W$ का सूत्र है:
$W = \mu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$
दिया गया है:
मोल की संख्या $\mu = 0.2 \, mol$
तापमान $T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, K$
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.3 \, J/(mol \cdot K)$
अंतिम आयतन $V_2 = 2V_1$,इसलिए $\frac{V_2}{V_1} = 2$
मान रखने पर:
$W = 0.2 \times 8.3 \times 300 \times \ln(2)$
$W = 0.2 \times 8.3 \times 300 \times 0.693$
$W = 498 \times 0.693 \approx 345 \, J$
अतः,निकाय द्वारा किया गया कार्य लगभग $345 \, J$ है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध बॉयल के नियम द्वारा दिया जाता है: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
दिया गया है:
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 1 \, L = 1000 \, cm^3$.
प्रारंभिक दाब $P_1 = 72 \, cm$ $Hg$.
अंतिम आयतन $V_2 = 900 \, cm^3$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2} = \frac{72 \times 1000}{900} = 80 \, cm$ $Hg$.
दाब में वृद्धि $\Delta P = P_2 - P_1 = 80 - 72 = 8 \, cm$ $Hg$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है,अर्थात $U = f(T)$।
समतापीय प्रक्रिया के दौरान,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
इसलिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
चूंकि $\Delta U = 0$,इसलिए $\Delta Q = \Delta W$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा,गैस द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) समतापीय प्रक्रिया एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें पूरी प्रक्रिया के दौरान निकाय का तापमान स्थिर रहता है।
तापमान को स्थिर रखने के लिए,निकाय को तापीय संतुलन बनाए रखने के लिए अपने परिवेश के साथ बहुत धीरे-धीरे ऊष्मा का आदान-प्रदान करना पड़ता है।
यदि प्रक्रिया तेज होती है,तो निकाय के पास ऊष्मा का आदान-प्रदान करने के लिए पर्याप्त समय नहीं होता है और तापमान बदल जाता है,जिससे यह समतापीय के बजाय रुद्धोष्म (adiabatic) हो जाती है।
इसलिए,समतापीय प्रक्रियाएं स्वाभाविक रूप से धीमी प्रक्रियाएं होती हैं।

(C) प्रक्रिया समतापीय है,इसलिए $T = \text{स्थिरांक}$.
चूंकि $PV = \mu RT$,इसलिए $P = \frac{\mu RT}{V}$ है।
पात्र $A$ के लिए,दबाव में परिवर्तन $\Delta P = P_i - P_f = \frac{\mu_A RT}{V} - \frac{\mu_A RT}{2V} = \frac{\mu_A RT}{2V} \dots (i)$.
पात्र $B$ के लिए,दबाव में परिवर्तन $1.5 \Delta P = P_i - P_f = \frac{\mu_B RT}{V} - \frac{\mu_B RT}{2V} = \frac{\mu_B RT}{2V} \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर,$\frac{\Delta P}{1.5 \Delta P} = \frac{\mu_A}{\mu_B} \implies \frac{1}{1.5} = \frac{\mu_A}{\mu_B} \implies \frac{\mu_A}{\mu_B} = \frac{2}{3}$.
चूंकि $\mu = \frac{m}{M}$,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है,इसलिए $\frac{m_A/M}{m_B/M} = \frac{2}{3} \implies \frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$.
अतः,$3m_A = 2m_B$.

(A) दिए गए वान डर वाल्स समीकरण के अनुसार:
$(V - n\beta) \left( P + \frac{\alpha n^2}{V^2} \right) = nRT$
$P$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P = \frac{nRT}{V - n\beta} - \frac{\alpha n^2}{V^2}$
किया गया कार्य $W$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \left( \frac{nRT}{V - n\beta} - \frac{\alpha n^2}{V^2} \right) dV$
$W = nRT \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V - n\beta} - \alpha n^2 \int_{V_1}^{V_2} V^{-2} dV$
पदों का समाकलन करने पर:
$W = nRT [\log_e(V - n\beta)]_{V_1}^{V_2} - \alpha n^2 \left[ -\frac{1}{V} \right]_{V_1}^{V_2}$
$W = nRT \log_e \left( \frac{V_2 - n\beta}{V_1 - n\beta} \right) + \alpha n^2 \left( \frac{1}{V_2} - \frac{1}{V_1} \right)$
$W = nRT \log_e \left( \frac{V_2 - n\beta}{V_1 - n\beta} \right) + \alpha n^2 \left( \frac{V_1 - V_2}{V_1 V_2} \right)$

(B) समतापीय प्रक्रिया में, तापमान $T$ स्थिर रहता है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार, $PV = nRT$ होता है।
चूंकि $n$, $R$ और $T$ स्थिर हैं, इसलिए $PV = \text{constant}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $P \propto \frac{1}{V}$।
यह संबंध $PV$ आरेख में एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों में से, विकल्प $B$ में दिया गया ग्राफ इस अतिपरवलयिक संबंध को दर्शाता है।

(B) ऊष्मागतिकी में, समतापीय प्रक्रिया (Isothermal process) एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें निकाय का तापमान $T$ स्थिर रहता है $(dT = 0)$।
इस प्रक्रिया के दौरान, निकाय में ऊष्मा का स्थानांतरण इतनी धीमी गति से होता है कि तापीय संतुलन बना रहता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार, यदि $T$ स्थिर है, तो $PV$ का गुणनफल भी स्थिर रहना चाहिए $(PV = \text{constant})$।
इसलिए, जबकि $T$ स्थिर रहता है, दबाव $P$ और आयतन $V$ दोनों बदलते हैं ताकि समीकरण संतुष्ट हो सके।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \mu RT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$
दिया गया है:
मोलों की संख्या $\mu = 1 \; mol$
गैस नियतांक $R = 8.31 \; J/mol \cdot K$
तापमान $T = 300 \; K$
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 10 \; L$
अंतिम आयतन $V_2 = 20 \; L$
मान रखने पर:
$W = 1 \times 8.31 \times 300 \times \ln\left(\frac{20}{10}\right)$
$W = 2493 \times \ln(2)$
$\ln(2) \approx 0.693$ का उपयोग करने पर:
$W \approx 2493 \times 0.693 \approx 1727.65 \; J$
निकटतम पूर्णांक में,$W \approx 1728 \; J$ प्राप्त होता है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$.
दिया गया है: $n = 5 \, \text{मोल}$,$T = 500 \, K$,$V_f = 2V_i$,और $R \approx 8.314 \, J/(mol \cdot K)$.
मान रखने पर: $W = 5 \times 8.314 \times 500 \times \ln(2)$.
चूंकि $\ln(2) \approx 0.693$,इसलिए $W = 5 \times 8.314 \times 500 \times 0.693$.
$W = 2500 \times 8.314 \times 0.693 \approx 14412 \, J$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,किया गया कार्य लगभग $14400 \, J$ है।

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta U = Q + W$,जहाँ $\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,$Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है,और $W$ निकाय पर किया गया कार्य है।
एक आदर्श गैस के लिए समतापीय प्रक्रिया में,आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है। चूंकि तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta U = 0$ होता है।
अतः,समीकरण $0 = Q + W$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $Q = -W$।
यह दिया गया है कि गैस अपने परिवेश के विरुद्ध कार्य करती है,इसलिए गैस पर किया गया कार्य $W = -150 \, J$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Q = -(-150 \, J) = +150 \, J$ प्राप्त होता है।
$Q$ का धनात्मक मान यह दर्शाता है कि गैस में $150 \, J$ ऊष्मा जोड़ी गई है।

(A) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{f}{2} \mu RT = \frac{f}{2} \left( \frac{N}{N_A} \right) RT$ है,जिसका अर्थ है $U \propto NT$।
समतापीय प्रक्रिया में,तापमान $T$ स्थिर रहता है। इसलिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ अणुओं की संख्या $N$ के सीधे समानुपाती हो जाती है $(U \propto N)$।
परिणामस्वरूप,यदि अणुओं की संख्या $N$ बढ़ाई जाती है,तो समतापीय प्रक्रिया के दौरान आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है।

(B) समतापीय प्रक्रिया से गुजरने वाली एक आदर्श गैस के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है। आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = nRT$ होता है। चूँकि $n$,$R$,और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $PV$ का गुणनफल स्थिर होना चाहिए। अतः,$P = \text{constant} / V$,जिसका अर्थ है कि $P \propto 1/V$।

(B) पहले मामले में,गैस का दबाव $P_1$ इस प्रकार है: $P_1 = P_0 + \frac{Mg}{A}$।
दूसरे मामले में,जब ट्यूब को उल्टा किया जाता है,तो गैस का दबाव $P_2$ इस प्रकार है: $P_2 = P_0 - \frac{Mg}{A}$।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,इसलिए $P_1 V_1 = P_2 V_2$। चूंकि $V = A \times L$,हमें $P_1 L_1 = P_2 L_2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{L_2}{L_1} = \frac{P_1}{P_2} = \frac{P_0 + \frac{Mg}{A}}{P_0 - \frac{Mg}{A}} = \frac{P_0 A + Mg}{P_0 A - Mg}$।
मान रखने पर: $P_0 A = 10^5 \times 20 \times 10^{-6} = 2 \, N$ और $Mg = 0.002 \times 10 = 0.02 \, N$।
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{2 + 0.02}{2 - 0.02} = \frac{2.02}{1.98} = \frac{202}{198} = \frac{101}{99}$।

(D) चूंकि दीवारें ऊष्मा-चालक हैं और प्रक्रिया धीमी है,इसलिए तापमान $T_0$ पर स्थिर रहता है। यह एक समतापीय प्रक्रिया है।
$1$. समतापीय प्रक्रिया के लिए,$\Delta U = 0$ (आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है)।
$2$. गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \int P \, dV = \int_{V_0}^{\eta V_0} \frac{RT_0}{V} \, dV = RT_0 \ln \eta$ है।
$3$. पिस्टन हल्का है,इसलिए गैस का दबाव हमेशा वायुमंडलीय दबाव $P_{atm}$ के बराबर होता है। चूंकि $PV = RT_0$,इसलिए $P = \frac{RT_0}{V}$। प्रारंभ में $P_i = \frac{RT_0}{V_0}$ और अंत में $P_f = \frac{RT_0}{\eta V_0} = \frac{P_i}{\eta}$। अतः,अंतिम दबाव प्रारंभिक दबाव का $\frac{1}{\eta}$ गुना है।
$4$. वायुमंडल के विरुद्ध किया गया कार्य $W_{atm} = P_{atm} \Delta V = P_i (\eta V_0 - V_0) = P_i V_0 (\eta - 1) = RT_0(\eta - 1)$ है।
अतः,विकल्प $D$ में दिया गया कथन कि अंतिम दबाव $\frac{1}{(\eta - 1)}$ गुना है,गलत है।

(A) प्रक्रिया $DA$ एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया है क्योंकि तापमान $T$,$300 \text{ K}$ पर स्थिर है जबकि दबाव $1 \times 10^5 \text{ Pa}$ से $2 \times 10^5 \text{ Pa}$ तक बदलता है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{by}} = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $V = \frac{nRT}{P}$ है,इसलिए $\frac{V_f}{V_i} = \frac{P_i}{P_f}$।
अतः,$W_{\text{by}} = nRT \ln\left(\frac{P_D}{P_A}\right) = 2.303 nRT \log_{10}\left(\frac{P_D}{P_A}\right)$।
यहाँ $n = 2$,$T = 300 \text{ K}$,$P_D = 1 \times 10^5 \text{ Pa}$,और $P_A = 2 \times 10^5 \text{ Pa}$ दिए गए हैं।
$W_{\text{by}} = 2.303 \times 2 \times R \times 300 \times \log_{10}\left(\frac{1 \times 10^5}{2 \times 10^5}\right) = 2.303 \times 600 \times R \times \log_{10}(0.5)$।
$W_{\text{by}} = 1381.8 \times R \times (-0.3) = -414.54 R \approx -414 R$।
गैस पर किया गया कार्य $W_{\text{on}} = -W_{\text{by}} = -(-414 R) = +414 R$ है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$ है।
यह दिया गया है कि गैस $600\,J$ कार्य करती है,इसलिए $dW = 600\,J$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$dQ = 0 + 600\,J = 600\,J$ प्राप्त होता है।
चूंकि $dQ$ धनात्मक है,इसलिए गैस परिवेश से $600\,J$ ऊष्मा अवशोषित करती है।

(B) मोलर विशिष्ट ऊष्मा धारिता $C$ को $C = \frac{\Delta Q}{n \Delta T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\Delta Q$ दी गई ऊष्मा है,$n$ मोलों की संख्या है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि $\Delta T = 0$.
सूत्र में $\Delta T = 0$ रखने पर,हमें $C = \frac{\Delta Q}{n \times 0} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,समतापीय प्रक्रिया की विशिष्ट ऊष्मा अनंत होती है।

(D) समतापीय प्रक्रिया के लिए,गैस पर किया गया कार्य $W = -nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,$P_i V_i = P_f V_f$,जिसका अर्थ है $\frac{V_f}{V_i} = \frac{P_i}{P_f}$।
दिया गया है कि दबाव दोगुना हो जाता है,$P_f = 2P_i$,इसलिए $\frac{P_i}{P_f} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\frac{V_f}{V_i} = \frac{1}{2}$।
गैस पर किया गया कार्य $W = -nRT \ln\left(\frac{1}{2}\right) = nRT \ln(2)$ होगा।
यहाँ $n = 1$ मोल और $T = 27 + 273 = 300\,K$ है।
मान रखने पर,$W = 1 \times R \times 300 \times \ln(2) = 300R \ln(2)$।

(D) दिए गए $P-V$ आरेख से,प्रक्रिया $P = \frac{\text{constant}}{V}$ संबंध का पालन करती है,जिसका अर्थ है $PV = \text{constant}$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,यदि $PV$ स्थिर है,तो $T$ भी स्थिर होना चाहिए $(T = \text{constant})$।
यह एक समतापीय (isothermal) प्रक्रिया को दर्शाता है।
$T-P$ आरेख में,एक समतापीय प्रक्रिया को एक क्षैतिज रेखा द्वारा दर्शाया जाता है (जहाँ $P$ के बदलने पर $T$ स्थिर रहता है)।
$P-V$ ग्राफ को देखने पर,बिंदु $1$ से $2$ की ओर जाने पर दबाव $P$ घटता है (क्योंकि $V$ बढ़ता है)।
इसलिए,$T-P$ आरेख में,प्रक्रिया एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए जो $1$ से शुरू होती है और $P$ के घटने पर $2$ की ओर जाती है।
दिए गए विकल्पों में से,वह ग्राफ जिसमें $T$ स्थिर है और $P$ के घटने पर $1$ से $2$ की ओर संक्रमण होता है,विकल्प $(d)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
$n$ मोल आदर्श गैस के लिए,$V_1$ से $V_2$ तक समतापीय विस्तार के दौरान विनिमय की गई ऊष्मा $\Delta Q$ किए गए कार्य $W$ के बराबर होती है,क्योंकि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} \, dV = nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$।
चूंकि $n = 1$ मोल दिया गया है,इसलिए ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = RT \ln \frac{V_2}{V_1}$ होगा।
एंट्रॉपी में परिवर्तन $\Delta S$ को $\Delta S = \frac{\Delta Q}{T}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\Delta Q$ का मान रखने पर,हमें $\Delta S = \frac{RT \ln \frac{V_2}{V_1}}{T} = R \ln \frac{V_2}{V_1}$ प्राप्त होता है।

(D) समतापीय प्रक्रिया के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य $W_{by} = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $PV = nRT$,इसलिए $P = nRT/V$ है।
इसका समाकलन करने पर,$W_{by} = nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V} dV = nRT \ln(V_f/V_i)$ प्राप्त होता है।
बॉयल के नियम के अनुसार,$P_i V_i = P_f V_f$,इसलिए $V_f/V_i = P_i/P_f$ है।
अतः,$W_{by} = nRT \ln(P_i/P_f) = -nRT \ln(P_f/P_i)$।
गैस पर किया गया कार्य,गैस द्वारा किए गए कार्य का ऋणात्मक मान होता है: $W_{on} = -W_{by} = -nRT \ln(V_f/V_i) = nRT \ln(P_f/P_i)$।

(D) ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $\Delta Q = \Delta U + P\Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है $(U = f(T))$।
समतापी प्रक्रिया में,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta T = 0$ होता है।
चूंकि $\Delta U = nC_v\Delta T$,इसलिए समतापी प्रक्रिया के लिए $\Delta U = 0$ होता है।
प्रथम नियम में इसका मान रखने पर: $\Delta Q = 0 + P\Delta V$,जिसका अर्थ है कि $\Delta Q = P\Delta V$।
अतः,दी गई ऊष्मा निकाय द्वारा किए गए कार्य में परिवर्तित होती है,न कि आंतरिक ऊर्जा में।
इस प्रकार,कथन गलत है और कारण ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का एक सही कथन है।

(D) Assertion गलत है। अलग-अलग तापमानों के लिए दो समतापीय वक्र एक-दूसरे को कभी नहीं काट सकते। यदि वे किसी बिंदु पर काटते हैं,तो इसका अर्थ यह होगा कि उस विशिष्ट $(P, V)$ अवस्था पर निकाय का तापमान एक साथ दो अलग-अलग मानों का है,जो असंभव है।
Reason सही है। समतापीय प्रक्रिया एक धीमी प्रक्रिया है जो निकाय को अपने परिवेश के साथ तापीय संतुलन में रहने की अनुमति देती है। $P-V$ आरेख पर समतापीय वक्र का ढाल $-\frac{dP}{dV} = \frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $P$ और $V$ धनात्मक हैं,इसलिए ढाल सीमित है और रुद्धोष्म (adiabatic) वक्रों की तुलना में अपेक्षाकृत कम है (जिनका ढाल $\gamma \frac{P}{V}$ होता है)।

(D) समतापीय प्रक्रिया वह प्रक्रिया है जो स्थिर तापमान पर होती है। एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है। चूंकि $T$ स्थिर है,$P = (nRT)/V$,जिसका अर्थ है $P \propto 1/V$।
दो अलग-अलग समतापीय वक्र दो अलग-अलग तापमानों ($T_1$ और $T_2$) के अनुरूप होते हैं। यदि वे एक-दूसरे को काटते हैं,तो इसका मतलब यह होगा कि प्रतिच्छेदन बिंदु पर,निकाय का तापमान एक साथ दो अलग-अलग होगा,जो भौतिक रूप से असंभव है।
इसके अलावा,तापीय संतुलन बनाए रखने के लिए समतापीय प्रक्रियाएं स्वाभाविक रूप से धीमी (क्वासी-स्टैटिक) होती हैं,जो $Reason$ में किए गए दावे के विपरीत है कि वे तेजी से होती हैं।
इसलिए,$Assertion$ और $Reason$ दोनों गलत हैं।

(N/A) आदर्श गैस की समतापीय प्रक्रिया में तापमान स्थिर रहता है।
चूंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है,इसलिए समतापीय प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
इस समीकरण में $\Delta U = 0$ रखने पर:
$\Delta Q = \Delta W$
इसका अर्थ यह है कि समतापीय प्रक्रिया में,निकाय को दी गई संपूर्ण ऊष्मा का उपयोग निकाय द्वारा कार्य करने में किया जाता है।

(N/A) ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जहाँ $\Delta Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है,$\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है,और $\Delta W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान स्थिर रहता है $(T = \text{स्थिर})$।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है,इसलिए समतापीय प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है $(\Delta U = 0)$।
इस मान को ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\Delta Q = \Delta W$।
इसका अर्थ यह है कि समतापीय प्रसार में,निकाय को दी गई संपूर्ण ऊष्मा का उपयोग निकाय द्वारा कार्य करने में किया जाता है।

(N/A) हाँ,यह संभव है कि किसी निकाय को गर्म करने पर भी उसका तापमान स्थिर रहे।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$ होता है।
यदि दी गई ऊष्मा $(dQ)$ का पूर्णतः उपयोग परिवेश के विरुद्ध कार्य $(dW)$ करने में किया जाता है,तो आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(dU)$ शून्य होगा।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा तापमान का फलन है $(U \propto T)$,यदि $dU = 0$ है,तो तापमान में परिवर्तन $(dT)$ भी शून्य होगा।
यह समतापीय प्रक्रिया के दौरान होता है,जैसे कि स्थिर दबाव पर $0^{\circ}C$ पर बर्फ का पिघलना या $100^{\circ}C$ पर पानी का उबलना।