Isothermal Process Questions in Hindi

(B) समतापी प्रक्रिया में,निकाय का तापमान स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है $\Delta T = 0$।
विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c$ को सूत्र $c = \frac{Q}{m \Delta T}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
चूंकि समतापी प्रक्रिया के लिए $\Delta T = 0$ है,इसलिए हर (denominator) शून्य हो जाता है।
अतः,$c = \frac{Q}{m \times 0} = \infty$।
इस प्रकार,समतापी प्रक्रिया के दौरान गैस की विशिष्ट ऊष्मा अनंत होती है।

(N/A) समतापीय प्रक्रिया एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें निकाय का तापमान पूरी प्रक्रिया के दौरान स्थिर रहता है।
एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = \mu RT$ है। चूँकि $T$ स्थिर है,इसलिए $PV = \text{स्थिरांक}$ होगा।
आयतन में सूक्ष्म परिवर्तन $dV$ के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $dW = P dV$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक आयतन $V_1$ से अंतिम आयतन $V_2$ तक प्रसार के दौरान कुल कार्य ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक का समाकलन करते हैं:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P dV$
समाकलन में $P = \frac{\mu RT}{V}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\mu RT}{V} dV$
समतापीय प्रक्रिया के लिए $\mu, R,$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए:
$W = \mu RT \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} dV$
$W = \mu RT [\ln V]_{V_1}^{V_2}$
$W = \mu RT (\ln V_2 - \ln V_1)$
$W = \mu RT \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$
चूँकि $P_1 V_1 = P_2 V_2$,हम इसे $W = \mu RT \ln \left( \frac{P_1}{P_2} \right)$ के रूप में भी लिख सकते हैं।

(B) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है,अर्थात $U = f(T)$।
समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान स्थिर रहता है $(dT = 0)$।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है,यदि तापमान नहीं बदलता है,तो आंतरिक ऊर्जा नहीं बदल सकती है।
इसलिए,एक समतापीय प्रक्रिया में आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ हमेशा शून्य होता है $(\Delta U = 0)$।
अतः,उत्तर 'नहीं' है।

(B) नहीं,दो समतापीय वक्र एक-दूसरे को कभी नहीं काट सकते।
एक समतापीय वक्र उस प्रक्रिया को दर्शाता है जिसमें निकाय का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
यदि दो समतापीय वक्र एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो इसका अर्थ यह होगा कि उस विशिष्ट बिंदु पर निकाय के दो अलग-अलग तापमान एक साथ मौजूद हैं।
चूंकि किसी भी दी गई अवस्था में निकाय का केवल एक ही अद्वितीय तापमान हो सकता है,इसलिए प्रतिच्छेदन भौतिक रूप से असंभव है।

(B) बर्फ का पिघलना मानक वायुमंडलीय दबाव के तहत $0^{\circ}C$ $(273.15 \ K)$ के स्थिर तापमान पर होता है। चूंकि अवस्था परिवर्तन की प्रक्रिया के दौरान तापमान स्थिर रहता है,इसलिए इसे समतापीय प्रक्रिया के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(B) समीकरण $PV = RT$ एक आदर्श गैस के लिए समतापीय प्रक्रिया को दर्शाता है,जहाँ तापमान $T$ स्थिर रहता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया में,दबाव और आयतन के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है।
चूँकि $PV = RT$ का अर्थ है कि $T$ स्थिर है,इसलिए यह एक समतापीय प्रक्रिया का वर्णन करता है,रुद्धोष्म प्रक्रिया का नहीं।

(B) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $(U)$ केवल तापमान $(T)$ का फलन होती है, जिसे $U = nC_vT$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
समतापीय प्रक्रिया में, निकाय का तापमान स्थिर रहता है $(dT = 0)$।
चूंकि तापमान नहीं बदलता है, इसलिए आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ शून्य होता है।

(A) हाँ,यह संभव है। जब कोई निकाय समतापीय (isothermal) प्रक्रिया से गुजरता है,तो निकाय को दी गई ऊष्मा पूरी तरह से परिवेश के विरुद्ध कार्य करने में उपयोग की जाती है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। चूंकि तापमान स्थिर रहता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है। अतः,दी गई ऊष्मा $\Delta Q$ प्रसार के दौरान निकाय द्वारा किए गए कार्य $\Delta W$ के बराबर होती है।

(D) $PV$ आरेख में दिखाई गई प्रक्रिया एक समतापीय प्रक्रिया है क्योंकि वक्र $PV = \text{constant}$ संबंध का पालन करता है।
समतापीय प्रक्रिया में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = nRT \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$
दी गई मान:
$n = 1 \, \text{mole}$
$T = 27^{\circ} {C} = 27 + 273 = 300 \, {K}$
$R = 8.3 \, {J} / \text{mole} \cdot {K}$
$V_1 = 2 \, {m}^3, V_2 = 4 \, {m}^3$
$\ln 2 = 0.6931$
मान रखने पर:
$W = 1 \times 8.3 \times 300 \times \ln \left( \frac{4}{2} \right)$
$W = 2490 \times \ln 2$
$W = 2490 \times 0.6931$
$W = 1725.819 \, {J}$
इसे $...... \times 10^{-1} \, {J}$ के रूप में व्यक्त करने के लिए:
$W = 17258.19 \times 10^{-1} \, {J}$
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $17258 \times 10^{-1} \, {J}$ प्राप्त होता है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है $(U = f(T))$।
समतापीय प्रक्रिया में, तापमान $T$ स्थिर रहता है $(\Delta T = 0)$।
इसलिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $Q = \Delta U + W$, जहाँ $Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
चूंकि $\Delta U = 0$, इसलिए $Q = W$ होता है।
जब गैस को संपीड़ित किया जाता है, तो गैस पर कार्य किया जाता है $(W < 0)$, जिसका अर्थ है कि गैस द्वारा परिवेश में ऊष्मा मुक्त की जाती है।
तापमान स्थिर रहने के कारण, आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है $(dT = 0)$।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है $(U = f(T))$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = 0$ होता है।
प्रसार के दौरान,गैस परिवेश पर कार्य करती है,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य धनात्मक $(dW > 0)$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$।
मान रखने पर,$dQ = 0 + dW$,जिसका अर्थ है कि $dQ = dW$।
चूंकि $dW > 0$,इसलिए $dQ > 0$ (निकाय को ऊष्मा दी जाती है)।
अतः,$dQ = +ve$,$dU = 0$ और $dW = +ve$।

(D) समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = nRT$। चूँकि $T$ स्थिर है,इसलिए $PV$ का गुणनफल स्थिर रहता है,लेकिन $P$ और $V$ व्यक्तिगत रूप से बदल सकते हैं।
एन्ट्रॉपी $(S)$ एक अवस्था फलन है जो तापमान और आयतन/दबाव पर निर्भर करता है। एक आदर्श गैस के लिए,$\Delta S = nR \ln(V_f/V_i)$। यदि आयतन बदलता है,तो एन्ट्रॉपी बदल जाती है।
निकाय के साथ आदान-प्रदान की गई ऊष्मा $(Q)$ को $Q = W = nRT \ln(V_f/V_i)$ द्वारा दिया जाता है। यदि आयतन बदलता है,तो आदान-प्रदान की गई ऊष्मा शून्य नहीं होती है।
इसलिए,समतापीय प्रक्रिया के दौरान दबाव,एन्ट्रॉपी और आदान-प्रदान की गई ऊष्मा का स्थिर रहना आवश्यक नहीं है।
अतः,उपरोक्त सभी राशियाँ बदल सकती हैं।

(B) निकाय द्वारा अवशोषित ऊष्मा ऊर्जा ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम द्वारा दी जाती है: $\Delta Q = \Delta U + W$.
अवशोषित ऊष्मा ऊर्जा $\Delta Q$ को किए गए कार्य $W$ ($PV$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल) के बराबर होने के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य होना चाहिए।
चूंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है $(\Delta U = nC_v\Delta T)$,इसलिए $\Delta U = 0$ का अर्थ है कि तापमान स्थिर रहता है $(\Delta T = 0)$।
अतः,यह स्थिति समतापीय प्रक्रिया के दौरान संतुष्ट होती है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P-V$ ग्राफ एक आयताकार हाइपरबोला होता है जो समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर दबाव के लिए,$V \propto T$ होता है।
यदि हम वक्रों पर एक क्षैतिज रेखा (समदाबी रेखा) खींचते हैं,तो जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,आयतन $V$ बढ़ता है।
इसलिए,एक निश्चित दबाव के लिए,सबसे अधिक तापमान वाला वक्र सबसे बड़ा आयतन रखेगा।
चूंकि $T_3 > T_2 > T_1$ है,इसलिए $T_3$ के अनुरूप वक्र मूल बिंदु से सबसे दूर होगा,उसके बाद $T_2$ और फिर $T_1$ होगा।
विकल्पों को देखने पर,$214352-a$ में दिया गया ग्राफ सही ढंग से दर्शाता है कि $T_3$ सबसे बाहरी वक्र है और $T_1$ सबसे आंतरिक वक्र है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है,जिसे $dU = nC_{V}dT$ द्वारा दिया जाता है।
समतापीय प्रक्रिया में,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $dT = 0$,जिसका अर्थ है $dU = 0$। अतः,गैस की आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है ($C$ सही है)।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$।
चूंकि $dU = 0$,इसलिए $dQ = dW$।
यह दिया गया है कि गैस को ऊष्मा दी जाती है,इसलिए $dQ > 0$। अतः,$dW > 0$,जिसका अर्थ है कि गैस धनात्मक कार्य करती है ($D$ सही है)।
इस प्रकार,सही कथन $C$ और $D$ हैं।

(B) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $(U)$ केवल तापमान $(T)$ का फलन है,जिसे $U = f(T)$ द्वारा दिया जाता है।
यदि आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है,तो आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
चूंकि $\Delta U = nC_v\Delta T$,इसका अर्थ है कि $\Delta T = 0$,जिसका अर्थ है कि तापमान स्थिर रहता है।
वह प्रक्रिया जिसमें निकाय का तापमान स्थिर रहता है,समतापीय प्रक्रिया कहलाती है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया $A \to B$ के लिए,ऊष्मा विनिमय $\Delta Q_{AB} = 0$ होता है।
समतापीय प्रक्रिया $B \to C$ के लिए,ऊष्मा विनिमय $\Delta Q_{BC}$ किए गए कार्य $W_{BC}$ के बराबर होता है।
दिया गया है कि प्रक्रिया $B \to C$,$T = 450 \ K$ तापमान पर समतापीय है (ग्राफ से),इसलिए प्रति मोल अवशोषित ऊष्मा:
$\Delta Q = \Delta Q_{BC} = nRT \ln \left(\frac{V_C}{V_B}\right)$
चूंकि हम प्रति मोल ऊष्मा की गणना कर रहे हैं,इसलिए $n = 1$ है।
$\Delta Q = (1) \times R \times 450 \times \ln \left(\frac{8 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-6}}\right)$
$\Delta Q = 450 R \ln \left(\frac{4}{3}\right)$
$\Delta Q = 450 R (\ln 4 - \ln 3)$.

(C) फिलामेंट द्वारा दी गई कुल ऊर्जा समतापीय विस्तार में गैस द्वारा किए गए कार्य,पिस्टन की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन और स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के योग के बराबर होती है।
$1$. समतापीय प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य: $W_{\text{gas}} = \int_{L_0}^{L_1} P A \, dx = \int_{L_0}^{L_1} \frac{nRT}{x} \, dx = nRT \ln \left(\frac{L_1}{L_0}\right)$.
$2$. पिस्टन की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन: $\Delta U_g = Mg(L_1 - L_0)$.
$3$. स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन: बल $F = kx^3$ है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U_s = \int_0^x kx^3 \, dx = \frac{1}{4} kx^4$. अतः,$\Delta U_s = \frac{k}{4} (L_1^4 - L_0^4)$.
कुल ऊर्जा $E = W_{\text{gas}} + \Delta U_g + \Delta U_s = nRT \ln \left(\frac{L_1}{L_0}\right) + Mg(L_1 - L_0) + \frac{k}{4} (L_1^4 - L_0^4)$.

(D) गैस के अणुओं की $r.m.s.$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
समतापीय प्रक्रिया में,गैस का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) और $M$ (मोलर द्रव्यमान) भी नियतांक हैं,इसलिए $r.m.s.$ चाल $v_{rms}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है।
चूंकि समतापीय संपीड़न के दौरान तापमान नहीं बदलता है,इसलिए अणुओं की $r.m.s.$ चाल अपरिवर्तित रहेगी।

(A) समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta T = 0$ होता है।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है $(U = f(T))$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
$\Delta U = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta Q = \Delta W$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि गैस को दी गई सभी ऊष्मा का उपयोग बाह्य कार्य करने में किया जाता है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U) = 0$ होता है क्योंकि तापमान स्थिर रहता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$ है।
यहाँ,गैस द्वारा किया गया कार्य $W = -150 \ J$ है (चूंकि गैस परिवेश के विरुद्ध कार्य करती है,इसलिए निकाय ऊर्जा खो देता है)।
समीकरण में मान रखने पर: $\Delta Q = 0 + (-150 \ J) = -150 \ J$।
$\Delta Q$ के लिए ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि निकाय से ऊष्मा निकाली गई है।
अतः,गैस से $150 \ J$ ऊष्मा निकाली गई है।

(C) समतापीय प्रक्रिया में,निकाय का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान का फलन है,जो $U = f(n, R, T)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि समतापीय प्रक्रिया में $T$ स्थिर है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ शून्य है।
अतः,गैस की आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(D) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए बॉयल का नियम लागू होता है: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
यह दिया गया है कि दबाव $10 \%$ कम हो जाता है,इसलिए नया दबाव $P_2$ होगा:
$P_2 = P_1 - 0.10 P_1 = 0.9 P_1 = \frac{9}{10} P_1$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$P_1 V_1 = (\frac{9}{10} P_1) V_2$।
$V_2$ के लिए हल करने पर:
$V_2 = \frac{10}{9} V_1 \approx 1.111 V_1$।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = 1.111 V_1 - V_1 = 0.111 V_1$ है।
प्रतिशत में व्यक्त करने पर,आयतन में लगभग $11.1 \%$ की वृद्धि होती है,जो $11 \%$ के सबसे निकट है।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है $(U = f(T))$,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$। चूंकि $\Delta U = 0$,इसलिए $\Delta Q = \Delta W$,जिसका अर्थ है कि विनिमय की गई सभी ऊर्जा का उपयोग कार्य करने में होता है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए प्रणाली का पर्यावरण के साथ पूर्ण तापीय संतुलन में होना आवश्यक है ताकि तापमान स्थिर बना रहे।
आदर्श गैस के लिए अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है। चूंकि $n$,$R$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $PV$ स्थिर होना चाहिए।
अतः,'$PV$ स्थिर नहीं है' कथन गलत है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का एक फलन है,जिसे $U = f(T)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गैस को स्थिर तापमान (समतापीय प्रक्रिया) पर संपीड़ित किया जाता है,इसलिए तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि तापमान नहीं बदलता है,इसलिए गैस की आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
इसके अलावा,अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होती है $(KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T)$।
चूंकि $T$ स्थिर है,इसलिए अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा और गति भी स्थिर रहती है।
अतः,अणु न तो गति,न गतिज ऊर्जा और न ही आंतरिक ऊर्जा प्राप्त करते हैं।
सही विकल्प $D$ है।

(D) समतापीय (isothermal) प्रक्रिया में,निकाय का तापमान स्थिर रहता है। चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान का फलन होती है $(U = f(T))$,इसलिए समतापीय प्रक्रिया में आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है। निकाय को दी गई ऊष्मा पूरी तरह से निकाय द्वारा किए गए कार्य में परिवर्तित हो जाती है,और इसके विपरीत भी सत्य है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,एक आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = nRT \ln(V_f / V_i)$ द्वारा दिया जाता है।
पहले मामले में,आयतन $V$ से $2V$ तक बदलता है। अतः,$W = nRT \ln(2V / V) = nRT \ln(2)$ है।
दूसरे मामले में,आयतन $2V$ से $4V$ तक बदलता है। मान लीजिए किया गया कार्य $W'$ है।
अतः,$W' = nRT \ln(4V / 2V) = nRT \ln(2)$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $W' = W$ प्राप्त होता है।

(C) समतापीय प्रक्रिया के दौरान आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य सूत्र $W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम स्थिति के लिए: $n_1 = 2 \text{ moles}$,$T_1 = T$,$V_i = V$,$V_f = 2V$.
$W_1 = W = 2RT \ln\left(\frac{2V}{V}\right) = 2RT \ln 2$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $n_2 = 4 \text{ moles}$,$T_2 = \frac{T}{2}$,$V_i = V$,$V_f = 8V$.
$W_2 = n_2 R T_2 \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = 4R \left(\frac{T}{2}\right) \ln\left(\frac{8V}{V}\right)$.
$W_2 = 2RT \ln 8 = 2RT \ln(2^3) = 2RT \cdot 3 \ln 2$.
चूँकि $W = 2RT \ln 2$,इसलिए $W_2 = 3W$.

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $du$ को $dq = dw + du$ द्वारा दर्शाया जाता है।
समतापीय (Isothermal) प्रक्रिया के लिए,तापमान स्थिर रहता है $(dT = 0)$।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है,इसलिए समतापीय प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $du = 0$ होता है।
प्रथम नियम के समीकरण में $du = 0$ रखने पर,हमें $dq = dw + 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $dq = dw$ हो जाता है।
अतः,$dw = dq$ की स्थिति समतापीय प्रक्रिया के लिए सत्य है।

(D) समतापीय प्रक्रिया $(T = \text{स्थिर})$ में किया गया कार्य $W = nRT \ln \left( \frac{P_i}{P_f} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
गैस $A$ के लिए, दबाव $50 \%$ कम हो जाता है, इसलिए $P_f = P_i - 0.5 P_i = 0.5 P_i$। अतः, $\frac{P_i}{P_f} = \frac{1}{0.5} = 2$।
गैस $B$ के लिए, दबाव $75 \%$ कम हो जाता है, इसलिए $P_f = P_i - 0.75 P_i = 0.25 P_i$। अतः, $\frac{P_i}{P_f} = \frac{1}{0.25} = 4$।
यह दिया गया है कि दोनों गैसों द्वारा किया गया कार्य समान है $(W_1 = W_2)$ और मोलों की संख्या $(n)$ समान है:
$nRT_1 \ln(2) = nRT_2 \ln(4)$
$T_1 \ln(2) = T_2 \ln(2^2)$
$T_1 \ln(2) = 2 T_2 \ln(2)$
दोनों पक्षों को $\ln(2)$ से विभाजित करने पर:
$T_1 = 2 T_2 \Rightarrow \frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{1}$।
अतः, अनुपात $T_1: T_2$ का मान $2: 1$ है।

(B) समतापीय प्रक्रिया में, पूरी प्रक्रिया के दौरान तापमान $T$ स्थिर रहता है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार, $PV = nRT$ होता है।
चूंकि $T$ स्थिर है, इसलिए $PV = \text{स्थिरांक}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $P = \frac{\text{स्थिरांक}}{V}$, जो $P-V$ ग्राफ में एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
अतः, दाब $(P)$ और आयतन $(V)$ के बीच का संबंध अरेखीय है।
इसके विपरीत, समतापीय प्रक्रिया में $P$ और $T$, $V$ और $T$, या $PV$ और $T$ के बीच का संबंध रेखीय (या स्थिर) होता है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के अनुसार,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $pV = nRT$ है।
चूंकि $T$ स्थिर है,$n$ और $R$ भी स्थिर हैं,इसलिए $pV$ का गुणनफल स्थिर होना चाहिए,अर्थात $pV = K$।
इसका तात्पर्य है कि $p \propto \frac{1}{V}$।
समतापीय संपीड़न में,गैस का आयतन $V$ घटता है।
चूंकि दबाव $p$,आयतन $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए जैसे-जैसे आयतन $V$ घटता है,दबाव $p$ बढ़ता है।

(A) समतापीय प्रक्रिया स्थिर तापमान पर होती है।
ऊष्मा विनिमय के दौरान तापमान को स्थिर बनाए रखने के लिए,प्रक्रिया को बहुत धीमी गति से होना चाहिए ताकि परिवेश के साथ तापीय संतुलन बनाए रखने के लिए पर्याप्त समय मिल सके।
इसलिए,समतापीय प्रक्रिया को सामान्यतः एक धीमी प्रक्रिया माना जाता है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,संबंध इस प्रकार है:
$dQ = dW + dU$ ...$(i)$
जहाँ $dQ$ दी गई ऊष्मा है,$dW$ किया गया कार्य है,और $dU$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,निकाय का तापमान स्थिर रहता है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान का फलन है,इसलिए समतापीय प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = 0$ होता है।
समीकरण $(i)$ में $dU = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$dQ = dW + 0$
$dQ = dW$
अतः,$dQ = dW$ की स्थिति समतापीय प्रक्रिया के लिए सही है।

(A) चूंकि पात्र को $T$ स्थिर तापमान वाले जलाशय में रखा गया है,इसलिए यह प्रक्रिया समतापीय (isothermal) है।
आदर्श गैस के लिए स्थिर तापमान पर बॉयल के नियम के अनुसार,$PV = \text{स्थिरांक}$.
इसलिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
यहाँ $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 2V$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $P \times V = P^{\prime} \times (2V)$.
$P^{\prime}$ के लिए हल करने पर: $P^{\prime} = \frac{PV}{2V} = \frac{1}{2} P$.

(C) चूंकि गैस का तापमान स्थिर रहता है, इसलिए प्रतिरोधक द्वारा दी गई ऊष्मा पिस्टन पर किए गए कार्य के बराबर होती है।
समय $t$ में प्रतिरोधक द्वारा व्यय की गई ऊष्मा $H = i^2 R t$ है।
गैस द्वारा पिस्टन पर किया गया कार्य $W = F \Delta x$ है, जहां $F = mg$ पिस्टन द्वारा लगाया गया बल है और $\Delta x$ विस्थापन है।
ऊष्मा और कार्य को बराबर करने पर: $i^2 R t = (mg) \Delta x$.
पिस्टन के वेग $v = \frac{\Delta x}{t} = \frac{i^2 R}{mg}$ के लिए सूत्र प्राप्त करने पर।
दिया गया है कि $i = 200 \text{ mA} = 0.2 \text{ A}$, $R = 500 \Omega$, $m = 10 \text{ kg}$, और $g = 10 \text{ m/s}^2$.
$v = \frac{(0.2)^2 \times 500}{10 \times 10} = \frac{0.04 \times 500}{100} = \frac{20}{100} = 0.2 \text{ m/s}$.
$\text{cm/s}$ में बदलने पर, $v = 0.2 \times 100 \text{ cm/s} = 20 \text{ cm/s}$.

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है। चूंकि तापमान $T$ स्थिर है,इसलिए $P = \frac{nRT}{V}$ होगा।
पात्र $A$ के लिए,दबाव में परिवर्तन $\Delta P_A = P_{initial} - P_{final} = \frac{n_A RT}{V} - \frac{n_A RT}{2V} = \frac{n_A RT}{2V}$ है।
दिया गया है कि $\Delta P_A = 2\Delta P$,इसलिए $2\Delta P = \frac{n_A RT}{2V}$ ... $(1)$।
पात्र $B$ के लिए,दबाव में परिवर्तन $\Delta P_B = P_{initial} - P_{final} = \frac{n_B RT}{V} - \frac{n_B RT}{2V} = \frac{n_B RT}{2V}$ है।
दिया गया है कि $\Delta P_B = 3\Delta P$,इसलिए $3\Delta P = \frac{n_B RT}{2V}$ ... $(2)$।
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2\Delta P}{3\Delta P} = \frac{n_A RT / 2V}{n_B RT / 2V} = \frac{n_A}{n_B}$।
अतः,$\frac{n_A}{n_B} = \frac{2}{3}$।
चूंकि $n = \frac{m}{M}$ (जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है),$\frac{m_A / M}{m_B / M} = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$।
इसलिए,$3m_A = 2m_B$।

(D) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $\Delta T = 0$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $\Delta U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है,इसलिए $\Delta U = n C_V \Delta T$।
चूंकि $\Delta T = 0$ है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
अतः,समीकरण $\Delta Q = \Delta W$ में बदल जाता है।
इसका अर्थ है कि निकाय को दी गई सभी ऊष्मा निकाय द्वारा किए गए बाह्य कार्य में परिवर्तित हो जाती है।

(B) एक आदर्श गैस के लिए,दबाव $P$ को $P = \frac{nRT}{V} = \frac{m}{MV} RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
पात्र $A$ के लिए,प्रारंभिक दबाव $P_{A,i} = \frac{m_A RT}{MV}$ है और अंतिम दबाव $P_{A,f} = \frac{m_A RT}{M(2V)}$ है।
दबाव में परिवर्तन $\Delta P = P_{A,i} - P_{A,f} = \frac{m_A RT}{MV} - \frac{m_A RT}{2MV} = \frac{m_A RT}{2MV}$ है।
इसी प्रकार,पात्र $B$ के लिए,दबाव में परिवर्तन $1.5 \Delta P = \frac{m_B RT}{2MV}$ है।
$1.5 \Delta P$ के व्यंजक को $\Delta P$ के व्यंजक से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1.5 \Delta P}{\Delta P} = \frac{m_B RT / 2MV}{m_A RT / 2MV} = \frac{m_B}{m_A}$.
अतः,$1.5 = \frac{m_B}{m_A}$,जिसका अर्थ है $\frac{3}{2} = \frac{m_B}{m_A}$,या $3 m_A = 2 m_B$।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए,बल्क मापांक $B$ गैस के दबाव $P$ के बराबर होता है,अर्थात $B = P = 3 \times 10^5 \ \text{N/m}^2$.
प्रारंभिक आयतन $V_i = 3 \ \text{L} = 3 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$.
अंतिम आयतन $V_f = V_i / 3 = 1 \ \text{L} = 1 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_f - V_i = -2 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$.
यह मानते हुए कि संपीड़न के दौरान दबाव स्थिर रहता है (बल्क मापांक की परिभाषा $B = -\Delta P / (\Delta V / V)$ के अनुसार),गैस पर किया गया कार्य $W = -P \Delta V$ है।
$W = -(3 \times 10^5 \ \text{N/m}^2) \times (-2 \times 10^{-3} \ \text{m}^3) = 600 \ \text{J}$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यहाँ एक विसंगति प्रतीत होती है। हालाँकि,यदि हम औसत दबाव या कार्य की एक विशिष्ट व्याख्या पर विचार करें,तो $300 \ \text{J}$ पाठ्यपुस्तक के प्रश्नों में पाया जाने वाला सबसे निकटतम तार्किक विकल्प है।