Angular Variables and Basic of Uniform Circular Motion Questions in Hindi

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन गति की दिशा लगातार बदलती रहती है।
वृत्तीय पथ पर किसी भी बिंदु पर,तात्कालिक वेग सदिश हमेशा उस विशिष्ट बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि वेग को विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,और एक वृत्तीय पथ के लिए,किसी भी क्षण विस्थापन सदिश पथ के स्पर्शरेखीय होता है।

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,एक वस्तु वृत्ताकार पथ पर स्थिर चाल से चलती है।
चूंकि चाल वेग का परिमाण है,इसलिए वेग का परिमाण स्थिर रहता है।
हालाँकि,वेग की दिशा हमेशा वृत्ताकार पथ के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा (tangent) के अनुदिश होती है।
जैसे-जैसे वस्तु गति करती है,स्पर्शरेखा की दिशा लगातार बदलती रहती है।
इसलिए,वेग सदिश,जिसमें परिमाण और दिशा दोनों शामिल होते हैं,स्थिर नहीं रहता है।
अतः,केवल कथन $(i)$ सही है।

(N/A) कोणीय वेग $(\omega)$ का $SI$ मात्रक $\text{रेडियन प्रति सेकंड}$ $(\text{rad } s^{-1})$ है।
कोणीय त्वरण $(\alpha)$ का $SI$ मात्रक $\text{रेडियन प्रति सेकंड स्क्वायर}$ $(\text{rad } s^{-2})$ है।

(A) यह कथन सही है।
कोणीय स्थिति $\theta$ को मूल बिंदु पर स्थिति सदिश द्वारा बनाए गए कोण के रूप में परिभाषित किया गया है,जो एक अदिश राशि है।
कोणीय विस्थापन $\Delta\theta$ को कोणीय स्थिति में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है। अत्यंत सूक्ष्म घूर्णन के लिए,कोणीय विस्थापन एक सदिश राशि की तरह व्यवहार करता है क्योंकि यह सदिश योग के क्रमविनिमेय नियम का पालन करता है।
इसकी दिशा दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है,जो घूर्णन के तल के लंबवत होती है।

(B) $rpm$ का अर्थ है $revolution$ $per$ $minute$ (चक्कर प्रति मिनट)।
यह कोणीय वेग की एक इकाई है।
$1$ $rpm$ = $1$ चक्कर / $1$ मिनट।
चूंकि $1$ चक्कर = $2\pi$ रेडियन और $1$ मिनट = $60$ सेकंड,
इसलिए,$1$ $rpm$ = $\frac{2\pi \text{ rad}}{60 \text{ s}} = \frac{\pi}{30} \text{ rad/s}$।

(A) कोणीय चाल $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
घंटे की सुई के लिए,आवर्तकाल $T_h = 12 \text{ घंटे} = 12 \times 3600 \text{ सेकंड}$ है।
अतः,$\omega_h = \frac{2\pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$ है।
मिनट की सुई के लिए,आवर्तकाल $T_m = 1 \text{ घंटा} = 3600 \text{ सेकंड}$ है।
अतः,$\omega_m = \frac{2\pi}{3600} \text{ rad/s}$ है।
घंटे की सुई और मिनट की सुई की कोणीय चाल का अनुपात:
$\frac{\omega_h}{\omega_m} = \frac{2\pi / (12 \times 3600)}{2\pi / 3600} = \frac{3600}{12 \times 3600} = \frac{1}{12}$ है।
अतः,अनुपात $1: 12$ है।

(A) हाँ,यह संभव है। एकसमान वृत्तीय गति में,रैखिक वेग का परिमाण (चाल) स्थिर रहता है,लेकिन वृत्तीय पथ पर प्रत्येक बिंदु पर रैखिक वेग सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है। चूंकि वेग एक सदिश राशि है,इसलिए दिशा में परिवर्तन का अर्थ है वेग में परिवर्तन। दूसरी ओर,कोणीय वेग $\omega$ को $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। $r$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ अचर चाल से गतिमान कण के लिए,कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r}$ होता है। चूंकि $v$ और $r$ दोनों अचर हैं,इसलिए कोणीय वेग $\omega$ का परिमाण और दिशा (घूर्णन अक्ष के अनुदिश) दोनों स्थिर रहते हैं।

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण के दो घटक होते हैं: त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) और स्पर्शरेखीय।
$1$. त्रिज्यीय घटक $a_{r} = r \omega^{2}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि त्रिज्या $r$ और कोणीय वेग $\omega$ स्थिर हैं,इसलिए त्रिज्यीय त्वरण का परिमाण स्थिर रहता है। हालाँकि,इसकी दिशा हमेशा केंद्र की ओर होती है,जो लगातार बदलती रहती है।
$2$. स्पर्शरेखीय घटक $a_{t} = r \alpha$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चाल स्थिर है,इसलिए कोणीय त्वरण $\alpha = 0$ होता है,अतः $a_{t} = 0$ होता है। एक शून्य सदिश परिमाण और दिशा दोनों में स्थिर होता है।
$3$. यदि प्रश्न गैर-शून्य घटकों के बारे में है,तो त्रिज्यीय घटक का परिमाण स्थिर है,लेकिन इसकी दिशा बदलती है। स्पर्शरेखीय घटक शून्य (स्थिर) है।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है,जो हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण $a = \frac{v^{2}}{R}$ है।
धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,स्थिति सदिश मूल बिंदु से बिंदु की ओर होता है। अभिकेंद्र त्वरण सदिश $\vec{a}$ बिंदु $P$ से मूल बिंदु की ओर निर्देशित होता है।
बिंदु $P(R, \theta)$ से मूल बिंदु की ओर निर्देशित इकाई सदिश $-(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$ है।
अतः,त्वरण सदिश $\vec{a} = -a(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = -\frac{v^{2}}{R} \cos \theta \hat{i} - \frac{v^{2}}{R} \sin \theta \hat{j}$ होगा।

(A) दिए गए समीकरण $x = 4 \sin \left(\frac{\pi}{2} - \omega t\right)$ और $y = 4 \sin (\omega t)$ हैं।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$x$ के समीकरण को $x = 4 \cos (\omega t)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अब हमारे पास $x = 4 \cos (\omega t)$ और $y = 4 \sin (\omega t)$ है।
पथ ज्ञात करने के लिए,दोनों समीकरणों का वर्ग करके उन्हें जोड़ें:
$x^2 + y^2 = (4 \cos \omega t)^2 + (4 \sin \omega t)^2$
$x^2 + y^2 = 16 \cos^2 \omega t + 16 \sin^2 \omega t$
$x^2 + y^2 = 16 (\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t)$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए हमें $x^2 + y^2 = 4^2$ प्राप्त होता है।
यह मूल बिंदु पर केंद्रित $4 \text{ m}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है। अतः,कण का पथ वृत्ताकार है।

(D) गेंद का आवर्तकाल $T = 1.5 \, s$ है।
$t = 8.3 \, s$ में,पूरे किए गए चक्करों की संख्या $n = \frac{8.3}{1.5} = 5.533$ है।
$5$ पूर्ण चक्करों के बाद $(t = 7.5 \, s)$,गेंद $t = 0 \, s$ वाली अपनी प्रारंभिक स्थिति पर वापस आ जाती है।
शेष समय $\Delta t = 8.3 - 7.5 = 0.8 \, s$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1.5} = \frac{4\pi}{3} \, rad/s$ है।
$\Delta t = 0.8 \, s$ में तय किया गया कोण $\theta = \omega \Delta t = \left(\frac{4\pi}{3}\right) \times 0.8 = \frac{3.2\pi}{3} \approx 1.067\pi \, rad$ है।
यह कोण $\pi \, rad$ $(180^\circ)$ से थोड़ा अधिक है।
चूंकि कोण लगभग $192^\circ$ है,इसलिए गेंद प्रारंभिक स्थिति के व्यासीय रूप से विपरीत बिंदु के बहुत करीब है।
व्यास के लिए विस्थापन $2R = 2 \times 1 = 2 \, m$ है।
अतः,विस्थापन का परिमाण $2 \, m$ के सबसे निकट है।

(A) जब कोई कण एकसमान चाल से वृत्ताकार पथ पर गति करता है,तो इस गति को एकसमान वृत्तीय गति कहा जाता है।
एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्री होता है,जिसका अर्थ है कि यह वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
वृत्त के केंद्र के सापेक्ष कण का स्थिति सदिश केंद्र से कण की स्थिति की ओर त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर होता है।
चूंकि त्वरण सदिश केंद्र की ओर निर्देशित होता है और स्थिति सदिश केंद्र से दूर निर्देशित होता है,इसलिए ये दोनों सदिश एक-दूसरे के विपरीत (anti-parallel) होते हैं।
अतः,त्वरण की दिशा और स्थिति सदिश के बीच का कोण $180^{\circ}$ या $\pi$ रेडियन होगा।

(A) एक समान वृत्तीय गति में,कण का त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है,जो हर क्षण वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
मान लीजिए कि कण $xy$-समतल में $r$ त्रिज्या के वृत्त में स्थिर गति $v$ के साथ चलता है। किसी भी कोण $\theta$ पर त्वरण सदिश $\vec{a} = -\omega^2 \vec{r} = -\omega^2 (r \cos \theta \hat{i} + r \sin \theta \hat{j})$ द्वारा दिया जाता है।
एक पूर्ण चक्र ($\theta = 0$ से $\theta = 2\pi$) पर औसत त्वरण $\vec{a}_{avg} = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \vec{a} d\theta$ है।
$\vec{a}_{avg} = -\frac{\omega^2 r}{2\pi} [\int_{0}^{2\pi} \cos \theta d\theta \hat{i} + \int_{0}^{2\pi} \sin \theta d\theta \hat{j}] = -\frac{\omega^2 r}{2\pi} [0 \hat{i} + 0 \hat{j}] = \vec{0}$.
अतः,औसत त्वरण सदिश एक शून्य सदिश है।

(D) दिया गया है, आवर्तकाल $T = 40 \, s$.
कुल समय $t = 2 \, \text{मिनट} \, 20 \, s = 2 \times 60 + 20 = 140 \, s$.
चक्करों की संख्या $n = \frac{t}{T} = \frac{140}{40} = 3.5 = 3 \frac{1}{2}$ चक्कर।
$3.5$ चक्करों में तय की गई दूरी $= 3.5 \times (2 \pi R) = 7 \pi R$.
$3.5$ चक्करों के बाद, कण प्रारंभिक स्थिति के व्यासीय रूप से विपरीत बिंदु पर होगा। अतः, विस्थापन वृत्त के व्यास के बराबर होगा, जो $2R$ है।
अनुपात $\frac{|\text{विस्थापन}|}{\text{दूरी}} = \frac{2R}{7 \pi R} = \frac{2}{7 \pi}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर, हमें $\frac{2}{7 \times (22/7)} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11}$ प्राप्त होता है।

(C) घड़ी की सेकंड वाली सुई एक मिनट में एक पूरा चक्कर लगाती है।
मान लीजिए कि सेकंड वाली सुई की लंबाई $R$ है।
एक मिनट में,सेकंड वाली सुई का सिरा एक वृत्ताकार पथ पर चलता है और अपनी प्रारंभिक स्थिति पर वापस आ जाता है।
चूंकि प्रारंभिक और अंतिम स्थितियां समान हैं,इसलिए विस्थापन,जो प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की सबसे छोटी दूरी है,$0$ है।
तय की गई दूरी वृत्त की परिधि है,जो $2 \pi R$ है।

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,वस्तु की चाल स्थिर रहती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है,और द्रव्यमान $m$ तथा चाल $v$ दोनों स्थिर हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
वेग एक सदिश राशि है; हालांकि चाल स्थिर है,गति की दिशा लगातार बदलती रहती है,इसलिए वेग स्थिर नहीं रहता है।
वृत्तीय गति में त्वरण अभिकेंद्री त्वरण होता है,जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है। इसका परिमाण $a = \frac{v^2}{r}$ है। हालांकि परिमाण स्थिर है,दिशा लगातार बदलती रहती है,इसलिए त्वरण सदिश स्थिर नहीं रहता है।
विस्थापन एक सदिश राशि है जो स्थिति पर निर्भर करती है,जो वस्तु के वृत्ताकार पथ पर चलने के साथ लगातार बदलती रहती है।

(A) वस्तु की आवृत्ति $f = 140 \text{ rev/s}$ दी गई है।
कोणीय चाल $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच संबंध का सूत्र है:
$\omega = 2 \pi f$
$f$ का मान रखने पर:
$\omega = 2 \times \pi \times 140$
$\omega = 280 \pi \text{ rad/s}$
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$\omega = 280 \times 3.14159 \approx 879.64 \text{ rad/s}$
निकटतम पूर्णांक में मान लेने पर:
$\omega \approx 880 \text{ rad/s}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) साइकिल चालक $1$ मिनट $(60 \, s)$ में $7$ चक्कर पूरा करता है।
वृत्ताकार ट्रैक की परिधि $C = 2 \pi r = 2 \times 3.14159 \times 5 \, m \approx 31.416 \, m$ है।
$7$ चक्करों में तय की गई कुल दूरी $D = 7 \times 31.416 \, m = 219.912 \, m$ है।
एक समान गति $v = \text{दूरी} / \text{समय} = 219.912 \, m / 60 \, s \approx 3.665 \, m/s$ है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = v^2 / r$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a_c = (3.665)^2 / 5 \approx 13.432 / 5 \approx 2.686 \, m/s^2$ है।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.7 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) किसी भी बिंदु पर कण का वेग वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
मान लीजिए बिंदु $A$ पर वेग $\vec{v}_A$ है और बिंदु $B$ पर वेग $\vec{v}_B$ है।
दोनों वेगों का परिमाण $v$ है,इसलिए $|\vec{v}_A| = |\vec{v}_B| = v$ है।
त्रिज्याओं $OA$ और $OB$ के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
वेग सदिशों $\vec{v}_A$ और $\vec{v}_B$ के बीच का कोण भी $60^{\circ}$ होगा क्योंकि वेग हमेशा त्रिज्या के लंबवत होता है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_B - \vec{v}_A|$ द्वारा दिया जाता है।
समान परिमाण $v$ वाले दो सदिशों के बीच $\theta$ कोण होने पर उनके अंतर का परिमाण ज्ञात करने का सूत्र:
$|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta} = \sqrt{2v^2(1 - \cos \theta)} = \sqrt{2v^2(2 \sin^2(\theta/2))} = 2v \sin(\theta/2)$ है।
$\theta = 60^{\circ}$ रखने पर:
$|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(60^{\circ}/2) = 2v \sin(30^{\circ}) = 2v \times (1/2) = v$ प्राप्त होता है।
अतः,वेग में परिवर्तन का परिमाण $v$ है।

(A) कोणीय गति $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
यहाँ,$T$ पृथ्वी की अपनी धुरी पर घूर्णन का समय अंतराल है,जो $24 \text{ घंटे}$ है।
समय अंतराल को सेकंड में बदलने पर: $T = 24 \times 60 \times 60 \text{ s} = 86400 \text{ s}$.
सूत्र में $T$ का मान रखने पर: $\omega = \frac{2\pi}{86400} \text{ rad/s}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\omega = \frac{\pi}{43200} \text{ rad/s}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) अचर चाल $v$ से वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण का वेग एक सदिश राशि है। मान लीजिए बिंदु $A$ पर वेग $\vec{v}_A$ है और बिंदु $B$ पर वेग $\vec{v}_B$ है। दोनों का परिमाण $v$ है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_B - \vec{v}_A| = 2v \sin(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta = 60^{\circ}$ है।
$|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(60^{\circ}/2) = 2v \sin(30^{\circ}) = 2v \times (1/2) = v$.
पूरी गति के दौरान वेग का परिमाण $(v)$ स्थिर रहता है। इसलिए,वेग के परिमाण में परिवर्तन $v - v = 0$ है।
अतः,वेग में परिवर्तन का परिमाण $v$ है और वेग के परिमाण में परिवर्तन $0$ है।

(D) एकसमान वृत्तीय गति में,कोई वस्तु एक वृत्ताकार पथ पर स्थिर चाल के साथ गति करती है।
हालाँकि चाल स्थिर रहती है,लेकिन पथ के प्रत्येक बिंदु पर गति की दिशा बदलती रहती है।
चूँकि वेग एक सदिश राशि है (जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं),दिशा में परिवर्तन का अर्थ है कि वेग स्थिर नहीं है।
इसी प्रकार,संवेग $(p = mv)$ भी बदलता है क्योंकि वेग बदलता है।
अभिकेंद्र त्वरण $(a_c = v^2/r)$ वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,और जैसे-जैसे वस्तु गति करती है,इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है।
इसलिए,पूरी गति के दौरान केवल चाल ही स्थिर रहती है।

(B) वस्तु $r = 2\,m$ त्रिज्या और $v = 4\,m/s$ की अचर चाल से वृत्ताकार पथ पर गति करती है।
अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8\,m/s^2$ है।
$x = +2\,m$ पर,वेग $-4 \hat{j}\,m/s$ है,जिसका अर्थ है कि वस्तु दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में गति कर रही है।
$x = -2\,m$ पर,वस्तु व्यास के विपरीत बिंदु पर होगी।
चूंकि यह दक्षिणावर्त गति कर रही है,$x = -2\,m$ पर,वेग सदिश ऊपर की ओर निर्देशित होगा,इसलिए $v = 4 \hat{j}\,m/s$ होगा।
अभिकेंद्र त्वरण हमेशा केंद्र $(0,0)$ की ओर निर्देशित होता है। $x = -2\,m$ पर,केंद्र दाईं ओर है,इसलिए त्वरण धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में होगा,अर्थात $a = 8 \hat{i}\,m/s^2$।

(A) माना कण की स्थिर चाल $v$ है और वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$ है।
जब कण $90^{\circ}$ (या $\pi/2$ रेडियन) के कोण से मुड़ता है,तो चाप के अनुदिश तय की गई दूरी $s = R \theta = R(\pi/2) = \pi R / 2$ होती है।
इस गति के लिए लिया गया समय $t = s / v = (\pi R / 2) / v = \pi R / (2v)$ है।
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की सीधी दूरी है,जो जीवा की लंबाई $AB = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ है।
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है:
$\langle v \rangle = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समय}} = \frac{R\sqrt{2}}{\pi R / (2v)} = \frac{R\sqrt{2} \cdot 2v}{\pi R} = \frac{2\sqrt{2}v}{\pi}$.
तात्क्षणिक वेग $v$ और औसत वेग $\langle v \rangle$ का अनुपात है:
$\frac{v}{\langle v \rangle} = \frac{v}{2\sqrt{2}v / \pi} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$.
दिए गए अनुपात $\pi : x\sqrt{2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi}{x\sqrt{2}}$.
अतः,$x = 2$.

(D) औसत वेग का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $|\vec{v}_{avg}| = \frac{|\vec{r}_B - \vec{r}_A|}{\Delta t}$.
विस्थापन $|\vec{r}_B - \vec{r}_A|$ जीवा $AB$ की लंबाई है। $R$ त्रिज्या वाले वृत्त में,$\theta = 120^{\circ}$ कोण के लिए जीवा की लंबाई $2R \sin(\theta/2) = 2R \sin(60^{\circ}) = 2R(\sqrt{3}/2) = R\sqrt{3}$ होती है।
लिया गया समय $\Delta t$ चाप की लंबाई और चाल $v$ का अनुपात है। चाप की लंबाई $s = R\theta = R(2\pi/3)$ है।
अतः,$\Delta t = s/v = (2\pi R / 3) / \pi = 2R/3$.
इसलिए,$|\vec{v}_{avg}| = \frac{R\sqrt{3}}{2R/3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} = 1.5\sqrt{3} \, m/s$.

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वृत्ताकार पथ पर प्रत्येक बिंदु पर गति की दिशा बदलती रहती है।
चूंकि वेग एक सदिश राशि है (जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं),दिशा में परिवर्तन का अर्थ है वेग में परिवर्तन। इसलिए,वेग परिवर्तित होता रहता है।
इसके अलावा,अभिकेंद्र त्वरण,जो $a_c = v^2/r$ द्वारा दिया जाता है,वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। जैसे-जैसे कण गति करता है,इस त्वरण सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है ताकि यह हमेशा केंद्र की ओर बना रहे।
अतः,वेग और त्वरण दोनों परिवर्तित होते रहते हैं।

(A) दिया गया स्थिति सदिश $\vec{r} = a(\hat{i} \cos \omega t + \hat{j} \sin \omega t)$ है।
बल ज्ञात करने के लिए,हम पहले त्वरण $\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ की गणना करते हैं।
वेग $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = a\omega(-\hat{i} \sin \omega t + \hat{j} \cos \omega t)$ है।
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -a\omega^2(\hat{i} \cos \omega t + \hat{j} \sin \omega t) = -\omega^2\vec{r}$ है।
चूंकि $\vec{F} = m\vec{a}$,इसलिए $\vec{F} = -m\omega^2\vec{r}$ है।
यह दर्शाता है कि बल $\vec{F}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ के विपरीत दिशा में कार्य करता है।

(D) एकसमान वृत्तीय गति में,वस्तु की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वेग की दिशा हर क्षण लगातार बदलती रहती है। चूँकि वेग एक सदिश राशि है,दिशा में परिवर्तन का अर्थ है कि वेग बदल रहा है।
इसी प्रकार,अभिकेंद्र त्वरण हमेशा वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। जैसे-जैसे वस्तु गति करती है,वस्तु के सापेक्ष केंद्र की दिशा बदलती रहती है,जिसका अर्थ है कि त्वरण की दिशा भी लगातार बदलती रहती है। इस प्रकार,वेग और त्वरण दोनों बदल रहे हैं।
अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण $a = v^2/r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ चाल है और $r$ त्रिज्या है। दोनों कथन सही हैं,और कारण यह बताता है कि त्वरण क्यों बदल रहा है (क्योंकि इसका परिमाण $v^2/r$ स्थिर रहने पर भी इसकी दिशा बदलती रहती है)।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ के लंबवत होता है।
इसलिए,उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए: $\vec{v} \cdot \vec{\omega} = 0$.
दिया गया है कि $\vec{v} = (6 \hat{i} - 2 \hat{j}) \ m/s$ और $\vec{\omega} = (a \hat{i} + b \hat{j}) \ rad/s$.
इन मानों को अदिश गुणनफल के समीकरण में रखने पर:
$(6 \hat{i} - 2 \hat{j}) \cdot (a \hat{i} + b \hat{j}) = 0$
$6a - 2b = 0$
$6a = 2b$
$\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3$.

(C) वृत्तीय पथ की त्रिज्या $r = \frac{\pi}{2} \,m$ है。
कण $t$ समय में $x$ चक्कर लगाता है。
$x$ चक्करों में तय की गई कुल दूरी $d = x \times (2\pi r)$ है。
$r$ का मान रखने पर: $d = x \times (2\pi \times \frac{\pi}{2}) = x \times \pi^2 = \pi^2 x \,m$。
स्पर्शरेखीय वेग $v$ को तय की गई कुल दूरी और लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$v = \frac{d}{t} = \frac{\pi^2 x}{t} \,m/s$。
अतः, सही विकल्प $C$ है。

(B) समान वृत्तीय गति में,कण एक स्थिर कोणीय गति $\omega$ के साथ चलता है।
$1$. वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होता है। अतः,कथन $A$ सत्य है।
$2$. चूंकि गति स्थिर है,इसलिए कोई स्पर्शरेखीय त्वरण नहीं होता है। केवल अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}_c$ मौजूद होता है,जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। अतः,कथन $D$ सत्य है।
$3$. चूंकि त्वरण सदिश $\vec{a}_c$ केंद्र की ओर इंगित करता है और वेग सदिश $\vec{v}$ वृत्त के स्पर्शरेखीय (त्रिज्या के लंबवत) होता है,इसलिए वेग और त्वरण सदिश हमेशा एक दूसरे के लंबवत होते हैं। अतः,कथन $C$ सत्य है।
$4$. चूंकि त्वरण सदिश केंद्र की ओर इंगित करता है,इसलिए यह वृत्त के स्पर्शरेखीय नहीं होता है। अतः,कथन $B$ असत्य है।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,एक कण एक स्थिर चाल के साथ वृत्तीय पथ पर गति करता है।
चूंकि चाल स्थिर है,इसलिए रैखिक वेग का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
किसी भी बिंदु पर रैखिक वेग की दिशा हमेशा उस बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होती है।
अतः,रैखिक वेग हमेशा वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होता है और इसका परिमाण स्थिर रहता है।

(D) कोणीय चाल $\omega$ को प्रति इकाई समय में तय किए गए कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि दोनों वस्तुएं समान समय $t$ में एक चक्कर ($2\pi$ रेडियन) पूरा करती हैं,इसलिए उनकी कोणीय चालें समान हैं: $\omega_1 = \omega_2 = \frac{2\pi}{t}$.
रैखिक चाल $v$,कोणीय चाल $\omega$ और त्रिज्या $r$ से $v = r\omega$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
पहली वस्तु के लिए: $v_1 = r_1\omega_1$.
दूसरी वस्तु के लिए: $v_2 = r_2\omega_2$.
$m_2$ की रैखिक चाल का $m_1$ की रैखिक चाल से अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \frac{r_2\omega_2}{r_1\omega_1}$ है।
चूंकि $\omega_1 = \omega_2$,इसलिए अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \frac{r_2}{r_1}$ हो जाता है।

(D) $U.C.M.$ (एकसमान वृत्तीय गति) में,कण की चाल $V$ स्थिर रहती है।
चूंकि त्रिज्या $R$ भी स्थिर है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = V/R$ का परिमाण स्थिर रहता है।
कोणीय त्वरण $\alpha$ को कोणीय वेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\alpha = d\omega/dt$।
चूंकि $\omega$ स्थिर है,इसलिए समय के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होता है।
अतः,कण का कोणीय त्वरण $0$ है।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,वस्तु की चाल नियत रहती है,लेकिन गति की दिशा पथ के प्रत्येक बिंदु पर बदलती रहती है।
चूंकि वेग $\vec{v}$ एक सदिश राशि है,इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है,इसलिए वेग नियत नहीं है।
चूंकि संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ वेग सदिश पर निर्भर करता है,इसलिए यह भी लगातार बदलता रहता है।
एकसमान वृत्तीय गति में त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है,जो $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है। यद्यपि इसका परिमाण नियत है,लेकिन इसकी दिशा हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर होती है,जो लगातार बदलती रहती है। अतः,त्वरण नियत नहीं है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है। चूंकि द्रव्यमान $m$ और चाल $v = |\vec{v}|$ नियत हैं,इसलिए गति के दौरान गतिज ऊर्जा नियत रहती है।
अतः,सही विकल्प गतिज ऊर्जा है।

(D) कोणीय वेग $\omega$ को सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
घड़ी की घंटे वाली सुई के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 12 \text{ घंटे}$ है।
पृथ्वी के लिए,आवर्तकाल $T_2 = 24 \text{ घंटे}$ है।
अतः,घंटे वाली सुई का कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2\pi}{12}$ और पृथ्वी का कोणीय वेग $\omega_2 = \frac{2\pi}{24}$ है।
अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2\pi / 12}{2\pi / 24} = \frac{24}{12} = 2$ है।
इस प्रकार,अनुपात $\omega_1 : \omega_2$ का मान $2 : 1$ है।

(B) दिया गया है: व्यास $d = 50 \ cm = 0.5 \ m$।
त्रिज्या $r = d/2 = 0.25 \ m = 25 \times 10^{-2} \ m$।
आवृत्ति $f = 2 \ Hz$।
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \ rad/s$।
$U.C.M.$ में अभिकेंद्र त्वरण $a = r \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = (25 \times 10^{-2}) \times (4 \pi)^2$।
$a = 0.25 \times 16 \pi^2$।
$a = 4 \pi^2 \ m/s^2$।

(D) '$r$' त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर '$v$' चाल से गति कर रहे कण का अभिकेंद्र त्वरण '$a$' सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{v^2}{r}$.
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि अभिकेंद्र त्वरण चाल के वर्ग के सीधे आनुपातिक है: $a \propto v^2$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक चाल '$v_1 = v$' है और प्रारंभिक त्वरण '$a_1 = a$' है।
मान लीजिए कि अंतिम चाल '$v_2 = 2v$' है और अंतिम त्वरण '$a_2$' है।
अंतिम त्वरण और प्रारंभिक त्वरण का अनुपात लेने पर:
$\frac{a_2}{a_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{2v}{v}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
अतः,परिवर्तन के बाद और पहले त्वरण का अनुपात $4:1$ है।

(B) घड़ी की मिनट की सुई $60$ मिनट में एक पूरा चक्कर $(360^{\circ})$ पूरा करती है।
एक चक्कर के लिए लिया गया समय $T = 60 \text{ मिनट} = 60 \times 60 \text{ सेकंड} = 3600 \text{ सेकंड}$ है।
कोणीय चाल $\omega$ को प्रति इकाई समय में तय किए गए कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$।
मान रखने पर: $\omega = \frac{360^{\circ}}{3600 \text{ s}} = \frac{1}{10} \text{ deg/s} = 0.1 \text{ deg/s}$।

(D) एकसमान वृत्तीय गति में,पिंड की चाल समय के साथ स्थिर रहती है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$ को समय के सापेक्ष वेग के परिमाण (चाल) में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$a_t = \frac{dv}{dt}$।
चूंकि चाल '$v$' एकसमान (स्थिर) है,इसलिए समय के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होता है।
अतः,$a_t = 0$।

(B) $1$. वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे कण का रैखिक वेग $v$ हमेशा उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) की दिशा में होता है।
$2$. कोणीय वेग $\omega$ एक सदिश राशि है जिसकी दिशा दाएं हाथ के अंगूठे के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। $xy$-समतल में वामावर्त दिशा में घूम रहे कण के लिए,कोणीय वेग सदिश $\omega$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश होता है,जो वृत्त के समतल के लंबवत होता है (अर्थात,$z$-अक्ष के अनुदिश)।
$3$. चूंकि रैखिक वेग $v$ वृत्त के समतल में स्थित होता है और कोणीय वेग $\omega$ वृत्त के समतल के लंबवत होता है,इसलिए उनके बीच का कोण हमेशा $90^{\circ}$ होता है।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में किसी वस्तु के लिए अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ का सूत्र $a_c = R \omega^2$ होता है।
यहाँ,$R$ वृत्तीय पथ की त्रिज्या है और $\omega$ कोणीय वेग है।
कोणीय वेग $\omega$ और आवृत्ति $n$ के बीच का संबंध $\omega = 2 \pi n$ है।
इस मान को त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a_c = R (2 \pi n)^2$
$a_c = R (4 \pi^2 n^2)$
$a_c = 4 \pi^2 n^2 R$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) समान वृत्तीय गति में,वेग सदिश $v$ हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा (tangent) होता है।
मान लीजिए समय $t$ पर वेग $v_1$ है और समय $t + \delta t$ पर वेग $v_2$ है। वेग में परिवर्तन $\delta v = v_2 - v_1$ है।
चूंकि $U$.$C$.$M$. में चाल स्थिर रहती है,इसलिए $|v_1| = |v_2| = v$ होता है।
सदिश $\delta v$ एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार बनाता है जिसकी भुजाएं $v_1$ और $v_2$ हैं और उनके बीच का कोण $\theta$ है।
वेग में परिवर्तन $\delta v$ और प्रारंभिक वेग $v_1$ के बीच का कोण $\phi = \frac{180^{\circ} - \theta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे समय अंतराल $\delta t \rightarrow 0$ होता है,वेग सदिशों के बीच का कोण $\theta$ भी $0^{\circ}$ के करीब पहुंच जाता है।
इस समीकरण में $\theta \approx 0^{\circ}$ रखने पर,हमें $\phi = 90^{\circ} - 0^{\circ} = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,वेग में परिवर्तन तात्कालिक वेग सदिश के लंबवत होता है।

(A) वृत्तीय गति में किसी वस्तु की रेखीय चाल $V$ को $V = r\omega$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\omega$ कोणीय चाल है।
चूंकि दोनों कारें एक चक्कर समान समय $t$ में पूरा करती हैं,इसलिए उनकी कोणीय चालें समान हैं,अर्थात $\omega_{1} = \omega_{2} = \frac{2\pi}{t}$।
अतः,उनकी रेखीय चालों का अनुपात है:
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{r_{1}\omega_{1}}{r_{2}\omega_{2}}$
चूंकि $\omega_{1} = \omega_{2}$ है,इसलिए अनुपात सरल होकर हो जाता है:
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}$
इस प्रकार,$m_{1}$ की रेखीय चाल और $m_{2}$ की रेखीय चाल का अनुपात $r_{1}: r_{2}$ है।

(C) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु के लिए रेखीय वेग $(v)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$v = r \omega$
कोणीय वेग $(\omega)$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
$\omega = \frac{v}{r}$
अतः,कोणीय वेग $v / r$ है।

(C) घड़ी की घंटे वाली सुई $12$ घंटे में एक पूरा चक्कर $(360^{\circ})$ लगाती है।
सबसे पहले,समय को सेकंड में बदलें: $12 \text{ घंटे} = 12 \times 60 \text{ मिनट} = 12 \times 60 \times 60 \text{ सेकंड} = 43200 \text{ सेकंड}$।
कोणीय चाल $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{\theta}{t}$ है।
मान रखने पर: $\omega = \frac{360^{\circ}}{43200 \text{ s}}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\omega = \frac{360}{43200} = \frac{36}{4320} = \frac{1}{120} \text{ डिग्री प्रति सेकंड}$।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले और $v$ चाल से गति कर रहे कण की गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} m v^2$ है।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए,अभिकेंद्र त्वरण $(a)$ का सूत्र $a = \frac{v^2}{r}$ है,जिसका अर्थ है कि $v^2 = a r$.
अब,$v^2 = a r$ को गतिज ऊर्जा के समीकरण में रखने पर:
$E = \frac{1}{2} m (a r)$
त्वरण $(a)$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$2 E = m a r$
$a = \frac{2 E}{m r}$

(D) एकसमान वृत्तीय गति करने वाले कण के लिए, अभिकेंद्र त्वरण $a = \omega^2 r$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है, व्यास $d = 1 \ m$, इसलिए त्रिज्या $r = d/2 = 0.5 \ m$ है।
आवृत्ति $f = 4 \ Hz$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (4) = 8 \pi \ rad/s$ है।
इन मानों को त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a = (8 \pi)^2 \times 0.5$
$a = 64 \pi^2 \times 0.5$
$a = 32 \pi^2 \ m/s^2$.