Angular Variables and Basic of Uniform Circular Motion Questions in Hindi

(D) एकसमान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण $a = \frac{v^2}{R}$ होता है।
बिंदु $P_1$ पर,त्वरण सदिश $\vec{a}_1$ केंद्र की ओर निर्देशित होता है,अर्थात $\vec{a}_1 = \frac{v^2}{R} \hat{i}$।
बिंदु $P_2$ पर,त्वरण सदिश $\vec{a}_2$ केंद्र की ओर निर्देशित होता है,अर्थात $\vec{a}_2 = \frac{v^2}{R} \hat{j}$।
त्वरण में परिवर्तन $\Delta \vec{a} = \vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \frac{v^2}{R} \hat{j} - \frac{v^2}{R} \hat{i}$ है।
त्वरण में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{a}| = \sqrt{(\frac{v^2}{R})^2 + (-\frac{v^2}{R})^2} = \sqrt{2(\frac{v^2}{R})^2} = \frac{v^2}{R} \sqrt{2}$ होगा।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,चाल $v$ स्थिर रहती है,लेकिन वेग की दिशा बदलती रहती है।
मान लीजिए बिंदु $P$ पर वेग $\vec{v}_1$ है और बिंदु $Q$ पर वेग $\vec{v}_2$ है।
दोनों वेगों का परिमाण $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$ है।
वेग सदिशों $\vec{v}_1$ और $\vec{v}_2$ के बीच का कोण केंद्र पर चाप $PQ$ द्वारा अंतरित कोण के बराबर होता है,जो $\theta = 40^\circ$ है।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ द्वारा दिया जाता है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta} = \sqrt{2v^2(1 - \cos \theta)} = \sqrt{2v^2(2 \sin^2(\theta/2))} = 2v \sin(\theta/2)$ है।
$\theta = 40^\circ$ रखने पर,हमें $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(40^\circ/2) = 2v \sin 20^\circ$ प्राप्त होता है।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वृत्तीय पथ पर प्रत्येक बिंदु पर गति की दिशा लगातार बदलती रहती है।
चूंकि वेग एक सदिश राशि है (जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं),दिशा में परिवर्तन का अर्थ है वेग में परिवर्तन।
इसके अलावा,एकसमान वृत्तीय गति में त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है,जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
जैसे-जैसे कण गति करता है,इस अभिकेंद्र त्वरण सदिश की दिशा भी लगातार बदलती रहती है ताकि वह केंद्र की ओर निर्देशित रहे।
इसलिए,वेग और त्वरण दोनों की दिशा बदलती है,भले ही उनके परिमाण स्थिर रहते हों।

(B) कोणीय वेग $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
घड़ी की सेकंड वाली सुई के लिए,एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगा समय $T = 60 \text{ सेकंड}$ होता है।
सूत्र में $T$ का मान रखने पर:
$\omega = \frac{2\pi}{60} \text{ rad/s} = \frac{\pi}{30} \text{ rad/s}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) कोणीय वेग $\omega$ का सूत्र $\omega = 2\pi n$ होता है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड चक्करों की संख्या (आवृत्ति) है।
दिया गया है,$n = 120 \text{ चक्कर प्रति मिनट} = \frac{120}{60} \text{ चक्कर प्रति सेकंड} = 2 \text{ rev/s}$.
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$\omega = 2\pi \times 2 = 4\pi \, rad/s$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) कोणीय वेग $(\omega)$ को समय के सापेक्ष कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह एक सदिश राशि है जिसका उपयोग किसी अक्ष के परितः दृढ़ पिंड की घूर्णी गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है।
इसलिए,यह तब उपयोगी होता है जब पिंड घूर्णन कर रहा हो।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) कोणीय वेग $\omega = 3000$ चक्कर प्रति मिनट (rpm) दिया गया है।
सबसे पहले,इसे चक्कर प्रति सेकंड में बदलते हैं: $\omega = \frac{3000}{60} = 50$ चक्कर प्रति सेकंड।
चूंकि $1$ चक्कर $2\pi$ रेडियन के बराबर होता है,इसलिए कोणीय वेग रेडियन प्रति सेकंड में $\omega = 50 \times 2\pi = 100\pi \text{ rad/s}$ होगा।
समय $t = 1$ सेकंड में घूमा गया कोण $\theta = \omega t$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\theta = 100\pi \times 1 = 100\pi \text{ रेडियन}$।

(B) $r$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ एकसमान कोणीय चाल से घूम रहे $m$ द्रव्यमान के कण के लिए,अभिकेंद्री बल $F = m \omega^{2} r$ द्वारा दिया जाता है।
रिंग के आंतरिक भाग पर $R_{1}$ त्रिज्या पर स्थित कण के लिए,अभिकेंद्री बल $F_{1} = m \omega^{2} R_{1}$ है।
रिंग के बाहरी भाग पर $R_{2}$ त्रिज्या पर स्थित कण के लिए,अभिकेंद्री बल $F_{2} = m \omega^{2} R_{2}$ है।
इन दो बलों का अनुपात लेने पर:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{m \omega^{2} R_{1}}{m \omega^{2} R_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$.
अतः,बलों का अनुपात $\frac{R_{1}}{R_{2}}$ है।

(A) रैखिक चाल $(v)$,कोणीय चाल $(\omega)$ और वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = r\omega$.
यह दिया गया है कि रैखिक चाल $(v)$ नियत है,इसलिए हम कोणीय चाल के लिए सूत्र को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\omega = \frac{v}{r}$.
चूंकि $v$ नियत है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $\omega \propto \frac{1}{r}$.
अतः,कोणीय चाल वृत्त की त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(A) कण का कोणीय संवेग $L$,$L = r \times p$ के रूप में परिभाषित है। कोणीय संवेग में परिवर्तन की दर आरोपित बल आघूर्ण के बराबर होती है,जो $\frac{dL}{dt} = \tau = r \times F$ द्वारा दी जाती है।
एकसमान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र बल $F$ सदैव वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है।
चूंकि स्थिति सदिश $r$ केंद्र से मापा जाता है,इसलिए बल $F$ केंद्र से होकर गुजरता है,जिससे लीवर आर्म शून्य हो जाता है।
अतः,वृत्त के केंद्र के परित: बल आघूर्ण $\tau = r \times F = 0$ होता है।
चूंकि $\tau = 0$ है,इसलिए वृत्त के केंद्र के परित: कोणीय संवेग $L$ नियत (संरक्षित) रहता है।

(B) मान लीजिए कि कण $t = 0$ पर बिंदु $A(a, 0)$ से चलना शुरू करता है। $t$ समय के बाद,कण बिंदु $B$ पर पहुँचता है ताकि केंद्र पर बना कोण $\theta = \omega t$ हो।
$t$ समय पर कण के निर्देशांक $(a \cos \omega t, a \sin \omega t)$ हैं।
विस्थापन सदिश $\vec{d}$,$A$ से $B$ तक का सदिश है: $\vec{d} = (a \cos \omega t - a) \hat{i} + (a \sin \omega t) \hat{j}$.
विस्थापन का परिमाण $d = \sqrt{(a \cos \omega t - a)^2 + (a \sin \omega t)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$d = \sqrt{a^2(\cos^2 \omega t - 2 \cos \omega t + 1) + a^2 \sin^2 \omega t}$.
$\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $d = \sqrt{a^2(2 - 2 \cos \omega t)}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$d = \sqrt{2a^2(1 - \cos \omega t)} = \sqrt{4a^2 \sin^2(\omega t / 2)}$.
अतः,$d = 2a \sin(\omega t / 2)$.

(D) एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}_c$ होता है,जो हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
$x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर स्थित बिंदु $P$ के लिए,स्थिति सदिश $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
अभिकेंद्र त्वरण सदिश $\vec{a}_c$ बिंदु $P$ से मूल बिंदु $O$ की ओर इंगित करता है।
अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण $a_c = \frac{V^2}{R}$ है।
इस सदिश को घटकों में वियोजित करने पर:
$x$-घटक $a_x = -a_c \cos\theta = -\frac{V^2}{R} \cos\theta$ है।
$y$-घटक $a_y = -a_c \sin\theta = -\frac{V^2}{R} \sin\theta$ है।
अतः,त्वरण सदिश $\vec{a} = -\frac{V^2}{R} \cos\theta \hat{i} - \frac{V^2}{R} \sin\theta \hat{j}$ है।

(C) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु की कोणीय चाल $\omega$ कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ एक पूर्ण चक्कर पूरा करने में लगा समय है।
चूंकि दोनों कारें एक चक्कर समान समय $T$ में पूरा करती हैं,इसलिए उनके आवर्तकाल समान हैं $(T_1 = T_2 = T)$।
अतः,पहली कार की कोणीय चाल $\omega_1 = \frac{2\pi}{T}$ और दूसरी कार की कोणीय चाल $\omega_2 = \frac{2\pi}{T}$ है।
उनकी कोणीय चालों का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2\pi / T}{2\pi / T} = 1$ है।
इस प्रकार,अनुपात $1 : 1$ है।

(C) वृत्त की त्रिज्या $r = 5 \; cm = 5 \times 10^{-2} \; m$ है।
आवर्तकाल $T = 0.2 \pi \; sec$ है।
कण की चाल $v = \frac{2 \pi r}{T}$ है।
मान रखने पर: $v = \frac{2 \pi \times 5 \times 10^{-2}}{0.2 \pi} = \frac{10 \times 10^{-2}}{0.2} = 0.5 \; m/s$।
अभिकेंद्र त्वरण $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = \frac{(0.5)^2}{5 \times 10^{-2}} = \frac{0.25}{0.05} = 5 \; m/s^2$।

(B) वेग एक सदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि इसमें परिमाण (चाल) और दिशा दोनों होते हैं। वेग को स्थिर रहने के लिए,परिमाण और दिशा दोनों का स्थिर रहना आवश्यक है।
यदि किसी पिंड की चाल स्थिर है,तो भी उसका वेग बदल सकता है यदि उसकी दिशा बदलती है। इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण एकसमान वृत्तीय गति है,जहाँ चाल स्थिर रहती है,लेकिन प्रत्येक बिंदु पर गति की दिशा बदलने के कारण वेग बदलता रहता है और अभिकेंद्र त्वरण उत्पन्न होता है।
विकल्प $A$ गलत है क्योंकि स्थिर वेग का अर्थ स्थिर चाल होता है।
विकल्प $B$ सही है क्योंकि वृत्तीय पथ पर स्थिर चाल से गति कर रहे पिंड का वेग दिशा में निरंतर परिवर्तन के कारण बदलता रहता है।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि वृत्तीय पथ पर स्थिर चाल से गति कर रहे पिंड में अभिकेंद्र त्वरण होता है।
विकल्प $D$ गलत है क्योंकि यदि बल विस्थापन के लंबवत कार्य करता है (जैसे अभिकेंद्र बल),तो किया गया कार्य शून्य होता है।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,वस्तु की चाल स्थिर रहती है,लेकिन गति की दिशा हर बिंदु पर बदलती रहती है।
चूंकि रैखिक वेग एक सदिश राशि है (जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं),इसलिए यह लगातार बदलता रहता है।
वृत्तीय गति में त्वरण अभिकेंद्री त्वरण होता है,जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। जैसे-जैसे वस्तु की दिशा बदलती है,इस त्वरण की दिशा भी लगातार बदलती रहती है।
चूंकि बल $F = ma$ द्वारा त्वरण से संबंधित है,इसलिए बल की दिशा भी लगातार बदलती रहती है।
हालाँकि,कोणीय वेग $\omega$ स्थिर रहता है क्योंकि एकसमान वृत्तीय गति में कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर स्थिर होती है।

(B) व्यक्ति एक वृत्ताकार पथ पर एकसमान चाल से दौड़ रहा है।
एकसमान वृत्तीय गति में,पथ के प्रत्येक बिंदु पर वस्तु की चाल स्थिर रहती है।
पथ की त्रिज्या $r = 2 \sqrt 2 \, m$ है।
एक चक्कर पूरा करने में लगा समय (आवर्तकाल) $T = 10 \, s$ है।
एक चक्कर में तय की गई दूरी वृत्त की परिधि है,$C = 2 \pi r$।
$C = 2 \pi (2 \sqrt 2) = 4 \sqrt 2 \pi \, m$।
एकसमान चाल $v$ कुल दूरी और कुल समय के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$v = \frac{C}{T} = \frac{4 \sqrt 2 \pi}{10} = \frac{2 \sqrt 2 \pi}{5} \, m/s$।
चूंकि चाल स्थिर है,इसलिए $t = 2.5 \, s$ सहित किसी भी समय पर तात्क्षणिक चाल,औसत चाल के समान ही होती है।
अतः,तात्क्षणिक चाल $\frac{2 \sqrt 2 \pi}{5} \, m/s$ है।

(D) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु का अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \omega^2 r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है और $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों कारें समान समय $t$ में अपना वृत्त पूरा करती हैं,इसलिए उनके कोणीय वेग समान हैं,जो $\omega = \frac{2\pi}{t}$ है।
मान लीजिए कि दोनों कारों के अभिकेंद्र त्वरण क्रमशः $a_1$ और $a_2$ हैं।
तब,$a_1 = \omega^2 r_1$ और $a_2 = \omega^2 r_2$ होगा।
उनके अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{\omega^2 r_1}{\omega^2 r_2} = \frac{r_1}{r_2}$ है।
अतः,अनुपात $r_1 : r_2$ है।

(A) वस्तु मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्र वाले वृत्ताकार पथ पर गति कर रही है।
दिया गया है कि $x = -2 \, m$ पर,वेग $\vec{v} = -(4 \, m/s) \hat{j}$ है।
चूंकि वेग वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होता है,$x = -2 \, m$ (जो ऋणात्मक $X$-अक्ष पर है) पर वेग सदिश ऋणात्मक $Y$-दिशा में है। यह दर्शाता है कि वस्तु दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में गति कर रही है।
वृत्त की त्रिज्या $R = 2 \, m$ है।
वस्तु की चाल $v = 4 \, m/s$ है।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए,त्वरण अभिकेंद्री होता है,जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
जब वस्तु $y = 2 \, m$ (जो धनात्मक $Y$-अक्ष पर है) पर होती है,तो केंद्र $(0,0)$ पर होता है,इसलिए त्वरण सदिश को मूल बिंदु की ओर,यानी ऋणात्मक $Y$-दिशा में होना चाहिए।
अभिकेंद्री त्वरण का परिमाण $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(4)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, m/s^2$ है।
अतः,$y = 2 \, m$ पर त्वरण सदिश $\vec{a} = -(8 \, m/s^2) \hat{j}$ होगा।

(D) स्थिर चाल $v$ से गति करने वाले कण के लिए $\theta$ कोण पर वेग में परिवर्तन का परिमाण $\Delta \vec{v}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta v = 2v \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$
दिया गया है:
चाल $v = 10\,m/s$
कोण $\theta = 60^{\circ}$
मान रखने पर:
$\Delta v = 2 \times 10 \times \sin\left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)$
$\Delta v = 20 \times \sin(30^{\circ})$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ है:
$\Delta v = 20 \times 0.5 = 10\,m/s$
अतः,वेग में परिवर्तन का परिमाण $10\,m/s$ है।

(C) मान लीजिए कि कण की प्रारंभिक स्थिति $A$ है और अंतिम स्थिति $B$ है,जो $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर है। केंद्र $O$ पर बना कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
विस्थापन $A$ और $B$ के बीच की सीधी दूरी है,जिसे $x$ द्वारा दर्शाया गया है।
$\triangle OAB$ में,$OA = OB = r$ और $\angle AOB = 60^{\circ}$ है।
चूंकि दो भुजाएं बराबर हैं और उनके बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,तीसरी भुजा $x = AB = r$ होगी।

(C) वृत्ताकार पथ पर गति करते हुए कण का वेग सदिश हमेशा पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
माना बिंदु $P$ पर प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i$ है और बिंदु $Q$ पर अंतिम वेग $\vec{v}_f$ है।
दोनों वेगों का परिमाण $v$ है, इसलिए $|\vec{v}_i| = |\vec{v}_f| = v$.
दोनों वेग सदिशों के बीच का कोण केंद्र पर चाप $PQ$ द्वारा अंतरित कोण के बराबर होता है, जो $\theta = 40^o$ है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_f - \vec{v}_i|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश घटाव के सूत्र का उपयोग करते हुए, $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta}$.
मान रखने पर: $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta} = \sqrt{2v^2(1 - \cos \theta)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$|\Delta \vec{v}| = \sqrt{2v^2(2 \sin^2(\theta/2))} = \sqrt{4v^2 \sin^2(\theta/2)} = 2v \sin(\theta/2)$.
चूंकि $\theta = 40^o$ दिया गया है, इसलिए वेग में परिवर्तन का परिमाण $2v \sin(40^o/2) = 2v \sin 20^o$ होगा।

(B) माना $R$ वृत्त की त्रिज्या है। आधे चक्कर के बाद,कण बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक जाता है।
विस्थापन $A$ और $B$ के बीच की सीधी दूरी है,जो वृत्त का व्यास है,$AB = 2R$।
वृत्ताकार पथ पर तय की गई दूरी $\pi R$ है।
चूंकि चाल $v$ अचर है,इसलिए लिया गया समय $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} = \frac{\pi R}{v}$ होगा।
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
$\text{औसत वेग} = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{लिया गया समय}} = \frac{2R}{\pi R / v} = \frac{2v}{\pi}$।

(C) कोणीय वेग $\omega = 60^\circ/s$ दिया गया है।
डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए,हम $180^\circ = \pi\,rad$ संबंध का उपयोग करते हैं। अतः,$\omega = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}\,rad/s$।
घूर्णन केंद्र से दूरी $r = 3.5\,m = \frac{7}{2}\,m$ है।
रैखिक वेग $v$ का सूत्र $v = r\omega$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{7}{2} \times \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}\,m/s$।

(A) दिया गया है:
त्रिज्या $R = 1\, m$
चक्करों की संख्या $n = 22$
समय $t = 44\, s$
आवृत्ति $f = \frac{n}{t} = \frac{22}{44} = 0.5\, Hz$
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 0.5 = \pi\, rad/s$
अभिकेंद्र त्वरण $a_r = \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a_r = (\pi)^2 \times 1 = \pi^2\, m/s^2$
चूंकि चाल स्थिर है,इसलिए स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = 0$ है। अतः,कुल त्वरण अभिकेंद्र त्वरण है,जिसकी दिशा वृत्त के केंद्र की ओर होती है।

(C) दी गई त्रिज्या $r = 25\, cm = 0.25\, m$ है।
आवृत्ति $f = 2\, rev/s$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi\, rad/s$ द्वारा दिया जाता है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ सूत्र $a_c = r\omega^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $a_c = 0.25 \times (4\pi)^2$।
$a_c = 0.25 \times 16\pi^2$।
$a_c = 4\pi^2\, m/s^2$।

(D) एकसमान वृत्तीय गति में किसी कण की कोणीय चाल $\omega$ और उसके आवर्तकाल $T$ के बीच का संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि कणों $A$ और $B$ के आवर्तकाल समान हैं,अर्थात $T_A = T_B = T$ है।
इसलिए,कण $A$ की कोणीय चाल $\omega_A = \frac{2\pi}{T_A} = \frac{2\pi}{T}$ होगी।
इसी प्रकार,कण $B$ की कोणीय चाल $\omega_B = \frac{2\pi}{T_B} = \frac{2\pi}{T}$ होगी।
कोणीय चालों का अनुपात लेने पर,हमें $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{2\pi/T}{2\pi/T} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A$ की कोणीय चाल और $B$ की कोणीय चाल का अनुपात $1: 1$ है।

(A) दिया गया स्थिति सदिश: $\overrightarrow{r}(t) = \cos \omega t \hat{i} + \sin \omega t \hat{j}$।
वेग $\overrightarrow{v}(t)$ ज्ञात करने के लिए,हम $\overrightarrow{r}(t)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\overrightarrow{v}(t) = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = -\omega \sin \omega t \hat{i} + \omega \cos \omega t \hat{j}$।
त्वरण $\overrightarrow{a}(t)$ ज्ञात करने के लिए,हम $\overrightarrow{v}(t)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\overrightarrow{a}(t) = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = -\omega^2 \cos \omega t \hat{i} - \omega^2 \sin \omega t \hat{j} = -\omega^2 (\cos \omega t \hat{i} + \sin \omega t \hat{j}) = -\omega^2 \overrightarrow{r}$।
अब,$\overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{r}$ का अदिश गुणनफल (dot product) जाँचते हैं:
$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{r} = (-\omega \sin \omega t)(\cos \omega t) + (\omega \cos \omega t)(\sin \omega t) = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\overrightarrow{v}$,$\overrightarrow{r}$ के लंबवत है।
चूंकि $\overrightarrow{a} = -\omega^2 \overrightarrow{r}$,त्वरण सदिश स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$ की विपरीत दिशा में है,जिसका अर्थ है कि यह मूल बिंदु की ओर निर्देशित है।

(A) हाँ,यदि कोई वस्तु वक्र पथ पर गति कर रही है,तो उसकी चाल नियत होने पर भी वेग बदल सकता है।
वेग एक सदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि यह परिमाण (चाल) और दिशा दोनों पर निर्भर करता है।
यदि गति की दिशा बदलती है,तो चाल स्थिर रहने पर भी वेग बदल जाता है।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,वस्तु की चाल स्थिर रहती है,इसीलिए इसे 'एकसमान' गति कहा जाता है। हालाँकि,वृत्तीय पथ पर प्रत्येक बिंदु पर वस्तु की दिशा बदलती रहती है। चूँकि त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है (जो एक सदिश राशि है),इसलिए दिशा में परिवर्तन के कारण अभिकेंद्र त्वरण उत्पन्न होता है। अतः,एकसमान वृत्तीय गति में वस्तु स्थिर चाल होने के बावजूद त्वरित होती है।

(C) किसी वक्र या कोणीय पथ पर गतिमान कण का तात्क्षणिक वेग उस औसत वेग की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है जब समय अंतराल शून्य की ओर अग्रसर होता है।
गणितीय रूप से,$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$।
ज्यामितीय रूप से,जैसे-जैसे $\Delta t$ अत्यंत छोटा होता जाता है,विस्थापन सदिश $\Delta \vec{r}$ पथ की स्पर्शरेखा बन जाता है।
इसलिए,तात्क्षणिक वेग सदिश की दिशा हमेशा उस विशिष्ट बिंदु पर कण के पथ की स्पर्शरेखा के अनुदिश होती है।

(N/A) जब कोई वस्तु एकसमान चाल से वृत्ताकार पथ पर चलती है,तो उसकी गति को एकसमान वृत्तीय गति कहते हैं।
मान लीजिए कि एक वस्तु $r$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ की एकसमान चाल से गति कर रही है। चूंकि वेग की दिशा लगातार बदल रही है,इसलिए वस्तु त्वरित होती है।
मान लीजिए कि बिंदु $P$ और $P'$ पर वस्तु के स्थिति सदिश $\vec{r}$ और $\vec{r}'$ हैं और वेग सदिश $\vec{v}$ और $\vec{v}'$ हैं।
किसी भी बिंदु पर वेग सदिश उस बिंदु पर पथ के स्पर्शरेखा होता है।
सदिश योग के त्रिभुज नियम से,वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}' - \vec{v}$ को चित्र $(a_2)$ में दिखाया गया है।
चूंकि पथ वृत्ताकार है,$\vec{v}$,$\vec{r}$ के लंबवत है और $\vec{v}'$,$\vec{r}'$ के लंबवत है। इसलिए,$\Delta \vec{v}$,$\Delta \vec{r}$ के लंबवत है।
चूंकि औसत त्वरण $\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ है,इसलिए $\vec{a}$ की दिशा $\Delta \vec{v}$ की दिशा में होती है।
जैसे-जैसे $\Delta t \rightarrow 0$,$\Delta \vec{v}$ द्वारा बना त्रिभुज $\Delta \vec{r}$ द्वारा बने त्रिभुज के समरूप हो जाता है।
त्रिभुजों की समरूपता से,$\frac{|\Delta \vec{v}|}{v} = \frac{|\Delta \vec{r}|}{r}$ प्राप्त होता है।
$\Delta t$ से विभाजित करने पर,$\frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} = \frac{v}{r} \frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t}$ मिलता है।
जैसे-जैसे $\Delta t \rightarrow 0$,$|\Delta \vec{r}| \approx v \Delta t$,इसलिए $a_c = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} = \frac{v}{r} (v) = \frac{v^2}{r}$।
इस प्रकार,त्वरण हमेशा केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

(N/A) एकसमान वृत्तीय गति में,एक वस्तु $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर स्थिर चाल $v$ से गति करती है।
जब वस्तु $\Delta t$ समयांतराल में बिंदु $P$ से $P'$ तक जाती है,तो स्थिति सदिश $\Delta \theta$ कोण से घूम जाता है।
कोणीय वेग $\omega$ को कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$।
चूंकि चाप की लंबाई $\Delta S = R \Delta \theta$ है,इसलिए रैखिक चाल $v = \frac{\Delta S}{\Delta t} = R \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = R \omega$ होती है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ का सूत्र $a_c = \frac{v^2}{R}$ है।
$v = R \omega$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a_c = \frac{(R \omega)^2}{R} = R \omega^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोणीय वेग $\omega = 2 \pi \nu$ है,जहाँ $\nu$ आवृत्ति है,हम अभिकेंद्र त्वरण को इस प्रकार भी व्यक्त कर सकते हैं:
$a_c = R (2 \pi \nu)^2 = 4 \pi^2 \nu^2 R$.

(N/A) एकसमान वृत्तीय गति वह गति है जिसमें कोई वस्तु एक वृत्ताकार पथ पर नियत चाल से चलती है।
इस गति में वेग का परिमाण नियत रहता है,लेकिन वेग की दिशा प्रत्येक बिंदु पर निरंतर बदलती रहती है।
चूंकि त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है,और यहाँ वेग की दिशा बदल रही है,इसलिए वस्तु वृत्त के केंद्र की ओर एक त्वरण का अनुभव करती है।
इस त्वरण को अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$ कहा जाता है।
अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र है: $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$,जहाँ $v$ रैखिक चाल है,$r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है और $\omega$ कोणीय वेग है।

(N/A) हमें अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = \frac{v^2}{R}$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि रैखिक वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ के बीच संबंध $v = R\omega$ होता है,जहाँ $R$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
अब,$v = R\omega$ का मान अभिकेंद्र त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a_c = \frac{(R\omega)^2}{R}$
$a_c = \frac{R^2\omega^2}{R}$
इस व्यंजक को सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$a_c = R\omega^2$.

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = \omega^2 r$ होता है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है और $r$ वृत्तीय पथ की त्रिज्या है।
हम जानते हैं कि कोणीय वेग $\omega$ और आवृत्ति $f$ के बीच संबंध $\omega = 2\pi f$ होता है।
इस मान को अभिकेंद्र त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a_c = (2\pi f)^2 r$
$a_c = 4\pi^2 f^2 r$
अतः,आवृत्ति के पदों में अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = 4\pi^2 f^2 r$ है।

(A) कोणीय चाल $\omega$ को कोणीय विस्थापन $\Delta \theta$ और समय अंतराल $\Delta t$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
घड़ी की घंटे वाली सुई $12$ घंटों में एक पूरा चक्कर ($2\pi$ रेडियन) पूरा करती है।
इसलिए,$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{2\pi \text{ rad}}{12 \text{ h}} = \frac{\pi}{6} \text{ rad h}^{-1}$।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है।
एकसमान वृत्तीय गति में उत्पन्न त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है,जो वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
वेग सदिश हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा (tangent) की दिशा में होता है।
चूंकि त्रिज्या (स्थिति सदिश) वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है,इसलिए अभिकेंद्र त्वरण (त्रिज्या की दिशा में) हमेशा वेग सदिश के लंबवत होता है।
अतः,वेग सदिश $\vec{v}$ और त्वरण सदिश $\vec{a}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(B) अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_{c} = \frac{v^{2}}{r}$ है।
यहाँ नई चाल $v' = 2v$ और नई त्रिज्या $r' = 2r$ है।
अतः नया अभिकेंद्र त्वरण $a_{c}'$ इस प्रकार होगा:
$a_{c}' = \frac{(v')^{2}}{r'} = \frac{(2v)^{2}}{2r} = \frac{4v^{2}}{2r}$।
इसे सरल करने पर,$a_{c}' = 2 \left( \frac{v^{2}}{r} \right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$a_{c}' = 2a_{c}$।

(N/A) साइकिल चालक एक वृत्ताकार पथ पर स्थिर गति से चल रहा है। इसलिए,यह एकसमान वृत्तीय गति है।
एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्री होता है,जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
अभिकेंद्री त्वरण का परिमाण $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: गति $v = 10\, m/s$ और त्रिज्या $r = 1\, km = 1000\, m$।
मान रखने पर:
$a = \frac{(10\, m/s)^2}{1000\, m} = \frac{100}{1000}\, m/s^2 = 0.1\, m/s^2$।
इस त्वरण की दिशा हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर होती है,जो बिंदु $O$ है। अतः,त्वरण $0.1\, m/s^2$ है जो $RO$ की दिशा में है।

(N/A) जब $m$ द्रव्यमान का कोई पिंड $R$ त्रिज्या के वृत्तीय पथ पर $v$ की स्थिर चाल से गति करता है,तो वह $a = \frac{v^2}{R}$ के बराबर अभिकेंद्री या त्रिज्यीय त्वरण का अनुभव करता है। इस त्वरण की दिशा हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर होती है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,इस त्वरण को प्रदान करने के लिए आवश्यक बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ है। इस बल की दिशा भी वृत्त के केंद्र की ओर होती है,इसलिए इसे अभिकेंद्री बल कहा जाता है।
विभिन्न स्थितियों में अभिकेंद्री बल निम्नलिखित रूप से प्राप्त होता है:
$(1)$ सूर्य के चारों ओर घूमने वाले ग्रह के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$(2)$ परमाणु में नाभिक के चारों ओर घूमने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल कूलम्ब बल (विद्युत बल) द्वारा प्रदान किया जाता है।
$(3)$ समतल वृत्तीय पथ पर चलने वाले वाहनों के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल टायर और सड़क के बीच घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।

(N/A) $m$ द्रव्यमान की कोई वस्तु जो $r$ त्रिज्या के वृत्तीय पथ पर $v$ की स्थिर चाल (या कोणीय वेग $\omega$) से गति कर रही है,उसके लिए समीकरण निम्नलिखित हैं:
$1$. अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$: वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित त्वरण को इस प्रकार दिया जाता है:
$a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2$
$2$. अभिकेंद्र बल $(F_c)$: न्यूटन के गति के दूसरे नियम $(F = ma)$ के अनुसार,समान वृत्तीय गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक बल है:
$F_c = m a_c = \frac{mv^2}{r} = mr\omega^2$
यहाँ,$v$ रैखिक चाल है,$r$ वृत्तीय पथ की त्रिज्या है,$m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $\omega$ कोणीय वेग है।

(B) अभिकेंद्र बल हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
एकसमान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ चाल है,और $r$ त्रिज्या है।
अभिकेंद्र बल की दिशा केवल केंद्र के सापेक्ष वस्तु की स्थिति पर निर्भर करती है,न कि उसके वेग (स्पर्शरेखीय गति) की दिशा पर।
इसलिए,गति की दिशा को उलटने से अभिकेंद्र बल की दिशा नहीं बदलती है; यह केंद्र की ओर ही बनी रहती है।

(A) अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ का सूत्र $a_c = r \omega^2$ होता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\omega$ कोणीय चाल है।
दिया गया है: $r = 20 \, cm$ और $a_c = 980 \, cm \, s^{-2}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$980 = 20 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{980}{20} = 49$
$\omega = \sqrt{49} = 7 \, rad \, s^{-1}$।

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्र बल $\vec{F}$ वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है,जबकि विस्थापन $\vec{d}$ (या वेग सदिश $\vec{v}$) हमेशा वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
चूंकि बल हमेशा विस्थापन के लंबवत होता है,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = F d \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 90^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W = F d \cos 90^{\circ} = F d (0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिकेंद्र बल द्वारा किया गया कार्य $0$ है।

(N/A) कोणीय चाल को समय के सापेक्ष कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह एक अदिश राशि है। यदि कोई वस्तु $\Delta t$ समय में $\Delta \theta$ कोण घूमती है,तो औसत कोणीय चाल $\omega_{avg} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ होती है। तात्क्षणिक कोणीय चाल $\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt}$ है।
कोणीय वेग को समय के सापेक्ष कोणीय विस्थापन सदिश के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह एक सदिश राशि है,जिसे $\vec{\omega}$ द्वारा दर्शाया जाता है। इसकी दिशा दाएं हाथ के नियम द्वारा दी जाती है,जो घूर्णन के तल के लंबवत होती है। तात्क्षणिक कोणीय वेग $\vec{\omega} = \frac{d\vec{\theta}}{dt}$ है।

(N/A) $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे कण की रेखीय चाल $v$ और उसकी कोणीय चाल $\omega$ के बीच का संबंध निम्नलिखित है:
$v = r\omega$
जहाँ:
$v$ रेखीय चाल है ($m/s$ में),
$r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है ($m$ में),
$\omega$ कोणीय चाल है ($rad/s$ में)।

(N/A) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे कण के लिए रेखीय वेग $\vec{v}$ और कोणीय वेग $\vec{\omega}$ के बीच का संबंध सदिश गुणनफल द्वारा इस प्रकार दिया जाता है: $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$।
परिमाण के रूप में,$r$ त्रिज्या के वृत्त में गति कर रहे कण के लिए यह संबंध $v = r\omega$ है,जहाँ $v$ रेखीय चाल है,$\omega$ कोणीय चाल है और $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,एक कण $A$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर स्थिर कोणीय वेग $\omega$ के साथ गति करता है।
रैखिक वेग $v$,कोणीय वेग $\omega$ और वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $A$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = r\omega$
दी गई त्रिज्या $r = A$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v = A\omega$
अतः,कण का रैखिक वेग $A\omega$ है।