Angular Variables and Basic of Uniform Circular Motion Questions in Hindi

(A) वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे कण का कोणीय वेग $\omega$ उसके आवर्तकाल $T$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\omega = \frac{2\pi}{T}$।
चूंकि दोनों कणों के लिए आवर्तकाल $T$ समान है $(T_1 = T_2 = T)$,इसलिए उनके कोणीय वेग:
$\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$ और $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2}$ होंगे।
अतः,$\omega_1 = \omega_2$।
इसलिए,पहले कण और दूसरे कण के कोणीय वेग का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{1}{1}$ होगा।

(D) एक कण $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $v$ समान चाल से गति कर रहा है।
कण का कोणीय वेग $\omega$ संबंध $\omega = \frac{v}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ में कण द्वारा बनाया गया कोण $\theta$ सूत्र $\theta = \omega t$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t = 1 \ s$ के लिए,बनाया गया कोण $\theta = \omega \times 1 = \frac{v}{r}$ रेडियन होगा।

(B) कोणीय वेग $\omega$ को प्रति इकाई समय में तय किए गए कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
घड़ी की मिनट की सुई के लिए,यह $60$ मिनट में एक पूर्ण चक्कर $(360^{\circ})$ पूरा करती है।
चूंकि $1$ मिनट $= 60$ सेकंड,इसलिए एक पूर्ण चक्कर के लिए लिया गया समय $60 \times 60 = 3600 \ s$ है।
अतः,कोणीय वेग $\omega = \frac{360^{\circ}}{3600 \ s} = 0.1^{\circ}/s$ है।

(B) पिंड वृत्ताकार पथ पर व्यास के एक सिरे से दूसरे सिरे तक गति करता है। यह कोणीय विस्थापन $\Delta \theta = \pi \ rad$ (वृत्त का आधा भाग) तय करने के बराबर है।
दिया गया समय,$\Delta t = 3 \ s$ है।
कोणीय चाल $\omega$ को कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{\pi \ rad}{3 \ s} = \frac{\pi}{3} \ rad/s$.

(C) कण की गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} mv^2$ है।
चूंकि कण एकसमान चाल से वृत्त में गति कर रहा है,इसलिए वेग का परिमाण $(v)$ नियत रहता है।
परिणामस्वरूप,पूरी गति के दौरान गतिज ऊर्जा $(K)$ नियत रहती है।
वेग और विस्थापन सदिश राशियाँ हैं जो वृत्तीय गति में लगातार दिशा बदलती हैं,और त्वरण (अभिकेंद्रिय) भी दिशा बदलता रहता है।

(A) दिया गया है,व्यास,$d = 80 \ m$.
अतः,त्रिज्या,$r = d/2 = 40 \ m$.
$3/4$ चक्कर पूरा करने के बाद तय की गई दूरी:
दूरी $= (3/4) \times (2 \pi r) = (3/2) \times \pi \times 40 = 60 \pi \ m$.
विस्थापन प्रारंभिक बिंदु $A$ और अंतिम बिंदु $B$ के बीच की न्यूनतम दूरी है। चूंकि एथलीट वृत्त का $3/4$ भाग तय करता है,इसलिए प्रारंभिक और अंतिम स्थिति सदिशों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
दो त्रिज्याओं द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
विस्थापन $= \sqrt{r^2 + r^2} = r \sqrt{2} = 40 \sqrt{2} \ m$.

(B) यदि कोई गति निश्चित समय अंतराल पर अपने पथ को दोहराती है,तो उसे आवर्ती गति कहा जाता है। एक समान वृत्तीय गति में,कण प्रत्येक समय अंतराल $T = \frac{2\pi r}{v}$ के बाद उसी स्थान पर वापस आ जाता है,इसलिए यह आवर्ती है।
सरल आवर्त गति $(SHM)$ दोलनी गति का एक विशिष्ट प्रकार है जहाँ प्रत्यानयन बल माध्य स्थिति से विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है $(F = -kx)$।
एक समान वृत्तीय गति में,त्वरण हमेशा केंद्र की ओर निर्देशित होता है (अभिकेंद्र त्वरण),जो एक सीधी रेखा पर $SHM$ के लिए आवश्यक शर्त को पूरा नहीं करता है।
इसलिए,एक समान वृत्तीय गति आवर्ती है लेकिन $SHM$ नहीं है।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है।
वेग की दिशा में यह परिवर्तन अभिकेंद्र त्वरण के कारण होता है,जो हमेशा वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
वेग सदिश हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा (tangent) होता है।
चूंकि वृत्त की स्पर्शरेखा हमेशा संपर्क बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है,इसलिए वेग सदिश (स्पर्शरेखा) और अभिकेंद्र त्वरण सदिश (त्रिज्या) के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(B) दी गई स्थिति को चित्र में दर्शाया गया है। जब पिंड $C / 4$ दूरी तय करता है,जहाँ $C$ परिधि है,तो वह वृत्ताकार पथ पर बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक पहुँचता है।
चूंकि तय की गई दूरी परिधि का एक-चौथाई है,इसलिए केंद्र $O$ पर बना कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,$\triangle OAB$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $OA = OB = r$ है।
विस्थापन प्रारंभिक स्थिति $A$ और अंतिम स्थिति $B$ के बीच की सीधी रेखा की दूरी है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$\text{विस्थापन} = AB = \sqrt{OA^2 + OB^2}$
$\text{विस्थापन} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r \sqrt{2}$

(D) औसत कोणीय चाल को कुल कोणीय विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक पूर्ण चक्कर के लिए कुल कोणीय विस्थापन $\theta_{\text{total}} = 2\pi \ rad$ है।
कुल समय $t_{\text{total}} = 4 \ s + 2 \ s = 6 \ s$ है।
अतः,औसत कोणीय चाल $\omega_{\text{avg}} = \frac{\theta_{\text{total}}}{t_{\text{total}}} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \ rad/s$ होगी।

(C) पिंड की चाल $v = 20 \,m/s$ है।
एकसमान वृत्तीय गति में, वेग सदिश हमेशा वृत्त के स्पर्शरेखीय होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = v \hat{j}$ (उत्तर दिशा की ओर) है।
आधे चक्कर के बाद, पिंड विपरीत दिशा में गति करता है, इसलिए अंतिम वेग $\vec{v}_2 = -v \hat{j}$ (दक्षिण दिशा की ओर) होगा।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v}$ इस प्रकार है:
$\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$
$\Delta \vec{v} = (-v \hat{j}) - (v \hat{j}) = -2v \hat{j}$
वेग में परिवर्तन का परिमाण है:
$|\Delta \vec{v}| = |-2v| = 2v$
$v = 20 \,m/s$ का मान रखने पर:
$|\Delta \vec{v}| = 2 \times 20 = 40 \,m/s$.

(A) माना बिंदु $A$ पर वेग $\vec{v}_1$ है और बिंदु $B$ पर वेग $\vec{v}_2$ है। चूंकि चाल स्थिर है,इसलिए $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$ है।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ द्वारा दिया जाता है।
एक वृत्त में $v$ की स्थिर चाल से गति करने वाले कण के लिए $\theta$ कोण के माध्यम से वेग में परिवर्तन का परिमाण सदिश घटाव सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta}$
$|\Delta \vec{v}| = \sqrt{2v^2(1 - \cos \theta)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\Delta \vec{v}| = \sqrt{2v^2 \cdot 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}$
$|\Delta \vec{v}| = \sqrt{4v^2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}$
$|\Delta \vec{v}| = 2v \sin \frac{\theta}{2}$

(A) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु की कोणीय चाल $\omega$ को कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र है: $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T$ एक चक्कर पूरा करने में लगा समय (आवर्तकाल) है।
चूंकि दोनों कारें $A$ और $B$ अपने वृत्ताकार पथों को समान समय में पूरा करती हैं,इसलिए उनके आवर्तकाल समान हैं,अर्थात $T_A = T_B$।
अतः,उनकी कोणीय चालों का अनुपात होगा: $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{2\pi / T_A}{2\pi / T_B} = \frac{T_B}{T_A}$।
$T_A = T_B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{T_A}{T_A} = 1$।
इस प्रकार,$A$ और $B$ की कोणीय चाल का अनुपात $1: 1$ है।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है और कण एक वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
$1$. वेग: वेग सदिश हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होता है। इस घटक को अनुप्रस्थ वेग $(v_t = r\omega)$ के रूप में जाना जाता है। वेग का कोई त्रिज्यीय घटक नहीं होता है $(v_r = 0)$ क्योंकि केंद्र से दूरी स्थिर रहती है।
$2$. त्वरण: चूंकि वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है,इसलिए वृत्त के केंद्र की ओर एक त्वरण होता है,जिसे अभिकेंद्र या त्रिज्यीय त्वरण $(a_r = v^2/r = r\omega^2)$ कहा जाता है। यहाँ कोई स्पर्शरेखीय (अनुप्रस्थ) त्वरण $(a_t = 0)$ नहीं होता है क्योंकि चाल स्थिर है।
अतः,कण के पास अनुप्रस्थ वेग और त्रिज्यीय त्वरण होता है।

(C) $(i)$ कथन सत्य है: एकसमान वृत्तीय गति में,पिंड नियत चाल से गति करता है। वेग का परिमाण नियत रहता है।
$(ii)$ कारण असत्य है: एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है,जो वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। जैसे-जैसे कण गति करता है,उसकी दिशा प्रत्येक बिंदु पर बदलती रहती है,इसलिए अभिकेंद्र त्वरण की दिशा भी लगातार बदलती रहती है। चूंकि त्वरण एक सदिश राशि है,दिशा में परिवर्तन का अर्थ है कि त्वरण नियत नहीं रह सकता है।

(B) कोणीय वेग $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
घड़ी की घंटे वाली सुई के लिए,आवर्तकाल $T_h = 12 \text{ घंटे}$ है।
अतः,$\omega_h = \frac{2\pi}{12} \text{ rad/घंटा}$।
पृथ्वी के घूर्णन के लिए,आवर्तकाल $T_e = 24 \text{ घंटे}$ है।
अतः,$\omega_e = \frac{2\pi}{24} \text{ rad/घंटा}$।
घंटे वाली सुई के कोणीय वेग और पृथ्वी के कोणीय वेग का अनुपात $\frac{\omega_h}{\omega_e} = \frac{2\pi/12}{2\pi/24} = \frac{24}{12} = 2:1$ है।

(B) बल द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ द्वारा दी जाती है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम $(\vec{F} = m\vec{a})$ के अनुसार,बल $\vec{F}$ त्वरण $\vec{a}$ के समानुपाती होता है,इसलिए यह शर्त कि वेग $\vec{v}$ और त्वरण $\vec{a}$ परस्पर लंबवत हैं,यह दर्शाती है कि $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ है।
अतः,कण को दी गई शक्ति शून्य $(P = 0)$ है।
चूंकि शक्ति गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर $(P = \frac{dK}{dt})$ है,इसलिए $P = 0$ का अर्थ है कि गतिज ऊर्जा $K$ नियत है।
इस प्रकार,गति के दौरान कण की गतिज ऊर्जा नियत रहती है।

(B) कुल दिया गया समय $2 \,min \,20 \,s$ है।
इसे सेकंड में बदलने पर: $2 \times 60 \,s + 20 \,s = 120 \,s + 20 \,s = 140 \,s$ प्राप्त होता है।
एथलीट $40 \,s$ में एक चक्कर पूरा करता है।
$140 \,s$ में पूरे किए गए चक्करों की संख्या $\frac{140}{40} = 3.5$ चक्कर है।
$3$ पूर्ण चक्करों के बाद, एथलीट प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाता है, इसलिए इन $3$ चक्करों के लिए विस्थापन $0$ है।
शेष $0.5$ चक्कर में, एथलीट प्रारंभिक बिंदु $A$ से व्यास के विपरीत बिंदु $B$ तक जाता है।
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की न्यूनतम दूरी है, जो वृत्ताकार ट्रैक का व्यास है।
अतः, विस्थापन $= 2R$ होगा।

(C) वृत्ताकार पथ पर $v$ स्थिर चाल से गति करने वाली वस्तु के लिए, अभिकेंद्र त्वरण $a$ का सूत्र है:
$a = \frac{v^2}{r}$
दिया गया है कि चाल $v = 10 \,ms^{-1}$, इस मान को समीकरण में रखने पर:
$a = \frac{(10)^2}{r} = \frac{100}{r}$
यह दर्शाता है कि त्वरण $a$, त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(a \propto \frac{1}{r})$।
अतः, इस संबंध को दर्शाने वाला ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है, जो विकल्प $C$ में दर्शाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) एक पूर्ण चक्कर के लिए कोणीय विस्थापन $2\pi \text{ रेडियन}$ होता है।
चूंकि मेरी-गो-राउंड $9$ चक्कर पूरे करता है,इसलिए कुल कोणीय विस्थापन $\Delta\theta = 9 \times 2\pi = 18\pi \text{ रेडियन}$ है।
लिया गया समय $\Delta t = 18 \text{ सेकंड}$ है।
कोणीय गति $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$ है।
मान रखने पर,$\omega = \frac{18\pi}{18} = \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त की त्रिज्या,$r = 5 \,cm$ है।
आवर्तकाल,$T = 5 \,s$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{5} \,rad/s$ द्वारा दिया जाता है।
रैखिक चाल $v = \omega r = (\frac{2 \pi}{5}) \times 5 = 2 \pi \,cm/s$ है।
चूंकि कण एकसमान वृत्तीय गति में है,इसलिए त्वरण अभिकेंद्र त्वरण है,जो $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$a = \frac{(2 \pi)^2}{5} = \frac{4 \pi^2}{5} = 0.8 \pi^2 \,cm/s^2$ प्राप्त होता है।

(D) समान वृत्तीय गति में,निम्नलिखित गुण सत्य हैं:
$(a)$ चूंकि अभिकेंद्र बल हमेशा विस्थापन के लंबवत होता है,इसलिए एक पूर्ण चक्र के दौरान किया गया कार्य शून्य होता है।
$(b)$ अभिकेंद्र बल एक त्रिज्यीय बल है जो वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है।
$(c)$ कोणीय वेग $\omega$ परिमाण और दिशा में स्थिर रहता है।
$(d)$ हालांकि गति (वेग का परिमाण) स्थिर है,स्पर्शरेखीय वेग एक सदिश राशि है। चूंकि वृत्तीय पथ पर प्रत्येक बिंदु पर गति की दिशा लगातार बदलती रहती है,इसलिए स्पर्शरेखीय वेग स्थिर नहीं रहता है।
अतः,यह कथन कि स्पर्शरेखीय वेग स्थिर रहता है,गलत है।

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,कण एक स्थिर चाल के साथ वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
वृत्त पर किसी भी बिंदु $P$ पर,वेग सदिश $\vec{v}$ उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा की दिशा में होता है। यह दिशा त्रिज्या के लंबवत होती है,जिसे अनुप्रस्थ (transverse) दिशा कहा जाता है।
एकसमान वृत्तीय गति में त्वरण अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}_c$ होता है,जो हमेशा वृत्त के केंद्र $O$ की ओर निर्देशित होता है। यह दिशा त्रिज्या के अनुदिश होती है,जिसे त्रिज्यीय (radial) दिशा कहा जाता है।
इसलिए,वेग अनुप्रस्थ है और त्वरण त्रिज्यीय है।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है। इसलिए,कण का त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्रित होता है,जिसका अर्थ है कि यह वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि अभिकेंद्रित त्वरण हमेशा केंद्र की ओर निर्देशित होता है,इसलिए यह हमेशा स्थिति सदिश $r$ (केंद्र से मापा गया) के समानांतर और वेग सदिश $v$ (जो पथ के स्पर्शरेखीय है) के लंबवत होता है।
$1$. चूंकि त्वरण $a$,वेग $v$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $v \cdot a = 0$.
$2$. चूंकि त्वरण $a$,केंद्र की ओर निर्देशित है,इसलिए यह स्थिति सदिश $r$ के साथ संरेख है। दो सदिश जो संरेख (समानांतर या प्रति-समानांतर) होते हैं,उनका क्रॉस गुणनफल शून्य होता है: $r \times a = 0$.
अतः,सही कथन $v \cdot a = 0$ और $r \times a = 0$ है।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $R = 5 \ m$,स्पर्शरेखीय वेग $v = 2 \ ms^{-1}$।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए,कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R} = \frac{2}{5} = 0.4 \ rad \ s^{-1}$ होता है।
एक चक्कर के लिए आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{0.4} = 5 \pi \ s$ है।
$2$ चक्कर पूरा करने में लगा समय $t = 2 \times T = 2 \times 5 \pi = 10 \pi \ s$ है।
अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{2^2}{5} = \frac{4}{5} = 0.8 \ ms^{-2}$ है।
अतः,लगा समय $10 \pi \ s$ और त्वरण $0.8 \ ms^{-2}$ है।