Angular Variables and Basic of Uniform Circular Motion Questions in Hindi

(B) दिया गया स्थिति सदिश: $\vec{r} = (a \cos \omega t)\hat{i} + (a \sin \omega t)\hat{j}$.
वेग सदिश $\vec{v}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\vec{r}$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}[(a \cos \omega t)\hat{i} + (a \sin \omega t)\hat{j}] = -a \omega \sin \omega t \hat{i} + a \omega \cos \omega t \hat{j}$.
अब,उनके अभिविन्यास की जाँच करने के लिए हम $\vec{r}$ और $\vec{v}$ का अदिश गुणनफल (dot product) निकालते हैं:
$\vec{r} \cdot \vec{v} = [(a \cos \omega t)\hat{i} + (a \sin \omega t)\hat{j}] \cdot [(-a \omega \sin \omega t)\hat{i} + (a \omega \cos \omega t)\hat{j}]$
$\vec{r} \cdot \vec{v} = (a \cos \omega t)(-a \omega \sin \omega t) + (a \sin \omega t)(a \omega \cos \omega t)$
$\vec{r} \cdot \vec{v} = -a^2 \omega \sin \omega t \cos \omega t + a^2 \omega \sin \omega t \cos \omega t = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए वेग सदिश स्थिति सदिश के लंबवत है।

(C) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु की कोणीय गति $\omega$ को कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ एक पूर्ण चक्कर का समय अंतराल है।
चूंकि दोनों कारें समान समय $T$ में अपना चक्कर पूरा करती हैं,इसलिए उनके आवर्तकाल समान हैं।
अतः,उनकी कोणीय गति का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2\pi / T}{2\pi / T} = 1:1$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(C) जब कोई कण समान समय में समान कोण बनाते हुए एक वृत्त में गति करता है,तो वह $Uniform$ $Circular$ $Motion$ $(UCM)$ यानी एकसमान वृत्तीय गति कर रहा होता है।
$UCM$ में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वेग सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है।
वेग सदिश हमेशा वृत्तीय पथ के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा की दिशा में निर्देशित होता है।
जैसे-जैसे कण वृत्त पर आगे बढ़ता है,स्पर्शरेखा की दिशा बदलती रहती है,इसलिए वेग सदिश का परिमाण स्थिर रहने के बावजूद उसकी दिशा बदल जाती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) जब कोई पिंड एक समान चाल $v$ से वृत्ताकार पथ पर गति करता है,तो वह एकसमान वृत्तीय गति करता है।
एकसमान वृत्तीय गति में,वेग सदिश लगातार बदलता रहता है क्योंकि इसकी दिशा हर बिंदु पर बदलती है,भले ही इसका परिमाण स्थिर रहता है।
चूंकि त्वरण वेग के परिवर्तन की दर है,इसलिए पिंड वृत्त के केंद्र की ओर एक अभिकेंद्र त्वरण का अनुभव करता है।
इस अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ एक समान चाल है और $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
चूंकि $v$ और $r$ दोनों स्थिर हैं,इसलिए त्वरण का परिमाण स्थिर रहता है,लेकिन जैसे-जैसे पिंड पथ पर आगे बढ़ता है,इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है।
इसलिए,पिंड के पास नियत परिमाण का त्वरण होता है।

(C) समान वृत्तीय गति में,वस्तु की चाल स्थिर रहती है,लेकिन गति की दिशा पथ के प्रत्येक बिंदु पर बदलती रहती है।
चूंकि रैखिक वेग एक सदिश राशि है (जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं),इसलिए दिशा बदलने के कारण यह लगातार बदलता रहता है।
त्वरण (अभिकेंद्र त्वरण) वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,और जैसे-जैसे वस्तु गति करती है,इसकी दिशा बदलती रहती है।
बल (अभिकेंद्र बल) भी केंद्र की ओर निर्देशित होता है और इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है।
हालाँकि,कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r}$ स्थिर रहता है क्योंकि चाल $v$ और त्रिज्या $r$ दोनों स्थिर हैं।
इसलिए,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) $v$ वेग से गति कर रहे कण का किसी बिंदु से $r_{\perp}$ दूरी पर कोणीय वेग $\omega = \frac{v_{\perp}}{r_{\perp}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_{\perp}$ स्थिति सदिश के लंबवत वेग का घटक है।
बिंदु $B$ पर,वेग $v$ व्यास $AB$ के लंबवत है।
बिंदु $A$ के लिए,दूरी $AB = 2a$ है। अतः,$A$ के परितः कोणीय वेग $\omega_A = \frac{v}{2a}$ है।
बिंदु $C$ के लिए,दूरी $CB = a$ है। अतः,$C$ के परितः कोणीय वेग $\omega_C = \frac{v}{a}$ है।
कोणीय वेग का अनुपात $\frac{\omega_A}{\omega_C} = \frac{v/2a}{v/a} = \frac{1}{2}$ है।

(D) एकसमान वृत्तीय गति में,पिंड की चाल नियत रहती है क्योंकि वेग सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = |\vec{\omega}| r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|\vec{\omega}|$ नियत कोणीय वेग है और $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
चूँकि चाल $|\vec{v}|$ नियत है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m |\vec{v}|^2$ नियत रहती है।
हालाँकि,वेग सदिश $\vec{v}$ लगातार दिशा बदलता रहता है,इसलिए वेग नियत नहीं है।
संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ भी लगातार दिशा बदलता है,इसलिए संवेग नियत नहीं है।
अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}_c = \vec{\omega} \times \vec{v}$ भी पिंड की गति के साथ दिशा बदलता है,इसलिए त्वरण नियत नहीं है।
अतः,पूरी गति के दौरान केवल गतिज ऊर्जा ही नियत रहती है।

(C) समान वृत्तीय गति में,कण की चाल $v$ स्थिर रहती है।
गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ और चाल $v$ स्थिर हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
वेग,त्वरण और विस्थापन सदिश राशियाँ हैं जो कण के वृत्तीय पथ पर चलने के साथ-साथ अपनी दिशा लगातार बदलती रहती हैं।

(D) कोणीय चाल $\omega$ का सूत्र $\omega = 2\pi n$ है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड चक्करों की संख्या (आवृत्ति) है।
यहाँ,$n = 120 \, \text{rev/min} = \frac{120}{60} \, \text{rev/s} = 2 \, \text{rev/s}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\omega = 2\pi \times 2 = 4\pi \, \text{rad/s}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है। वेग में यह परिवर्तन अभिकेंद्र त्वरण उत्पन्न करता है। यह त्वरण हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,जो कि त्रिज्या के अनुदिश होता है।

(D) सेकंड की सुई की लंबाई $r = 1 \, cm$ है। सेकंड की सुई का आवर्तकाल $T = 60 \, s$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30} \, rad/s$ है।
सिरे का रैखिक वेग $v = r\omega = 1 \times \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{30} \, cm/s$ है।
$15 \, \text{सेकंड}$ में, सेकंड की सुई $\theta = 90^\circ$ का कोण घूमती है (क्योंकि $60 \, s$ का मतलब $360^\circ$ होता है)।
वेग में परिवर्तन $\Delta v = |\vec{v_2} - \vec{v_1}| = 2v \sin(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta v = 2 \times \left(\frac{\pi}{30}\right) \times \sin(90^\circ/2) = 2 \times \frac{\pi}{30} \times \sin(45^\circ) = 2 \times \frac{\pi}{30} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{30} \, cm/s$.

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है।
चूंकि वेग सदिश हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा (tangent) होता है,इसलिए कण के पास स्पर्शरेखीय वेग होता है।
वेग सदिश की दिशा बदलने के कारण,एक त्वरण का होना आवश्यक है।
एकसमान वृत्तीय गति में,यह त्वरण वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,जिसे त्रिज्यीय त्वरण (या अभिकेंद्र त्वरण) कहा जाता है।
चूंकि चाल स्थिर है,इसलिए कोई स्पर्शरेखीय त्वरण नहीं होता है।
अतः,कण के पास स्पर्शरेखीय वेग और त्रिज्यीय त्वरण होता है।

(B) रैखिक वेग $(v)$,त्रिज्या $(r)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = r \times \omega$.
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 20 \,cm = 0.2 \,m$.
कोणीय वेग $\omega = 10 \,rad/s$.
सूत्र में मान रखने पर:
$v = 0.2 \,m \times 10 \,rad/s = 2 \,m/s$.
अतः,रैखिक वेग $2 \,m/s$ है।

(A) कोणीय चाल $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
घड़ी की सेकंड वाली सुई के लिए,एक पूर्ण चक्कर लगाने में लगा समय $T = 60 \, s$ होता है।
सूत्र में $T$ का मान रखने पर:
$\omega = \frac{2\pi}{60} \, rad/s = \frac{\pi}{30} \, rad/s$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) कोणीय वेग $\omega$ को सूत्र $\omega = 2\pi n$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड घूर्णन की आवृत्ति है।
दिया गया है कि कण प्रति मिनट $100$ बार घूमता है,इसलिए आवृत्ति $n = \frac{100}{60} \, rev/s$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\omega = 2 \times \pi \times \frac{100}{60} \, rad/s$
$\omega = \frac{200\pi}{60} \, rad/s = \frac{10\pi}{3} \, rad/s$
$\omega \approx \frac{10 \times 3.14159}{3} \, rad/s \approx 10.47 \, rad/s$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) पहिये की त्रिज्या $r = 0.4\ m$ है।
एक चक्कर पूरा करने का समय $T = 1\ s$ है।
घूर्णन की आवृत्ति $n = 1/T = 1\ Hz$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2\pi(1) = 2\pi\ rad/s$ है।
पहिये के रिम पर स्थित किसी बिंदु का अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \omega^2 r$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $a_c = (2\pi)^2 \times 0.4 = 4\pi^2 \times 0.4 = 1.6\pi^2\ m/s^2$।

(D) कण की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = 1/2 mv^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण अचर चाल $v$ से गति करता है,इसलिए इसके वेग का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
अतः,प्रारंभिक बिंदु और अंतिम बिंदु पर गतिज ऊर्जा समान रहती है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K.E. = K.E._{final} - K.E._{initial} = 1/2 mv^2 - 1/2 mv^2 = 0$ है।
इस प्रकार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है।

(A) वृत्तीय गति में रैखिक चाल $v$,कोणीय चाल $\omega$ और त्रिज्या $r$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = r\omega$.
कोणीय चाल के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\omega = \frac{v}{r}$.
दिए गए मान $v = 100\, m/s$ और $r = 100\, m$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\omega = \frac{100\, m/s}{100\, m} = 1\, rad/s$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 4 \, m$,आवर्तकाल $T = 2 \, s$.
आवृत्ति $n = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} \, Hz$.
चूंकि पहिया घूम रहा है,रिम पर स्थित बिंदु का त्वरण अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ है।
अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = \omega^2 r$ है,जहाँ $\omega = 2\pi n$.
मान रखने पर: $\omega = 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi \, rad/s$.
अतः,$a_c = (\pi)^2 \times 4 = 4\pi^2 \, m/s^2$.

(A) समान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है।
वेग सदिश हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा (tangent) की दिशा में होता है।
समान वृत्तीय गति में त्वरण अभिकेंद्री त्वरण होता है,जो हमेशा त्रिज्या के अनुदिश वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि वृत्त की स्पर्शरेखा हमेशा संपर्क बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है,इसलिए वेग सदिश और अभिकेंद्री त्वरण सदिश हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।

(D) चूंकि कार समान समय अंतराल में समान कोण तय करती है,इसलिए इसका कोणीय वेग $\omega$ स्थिर है।
रैखिक वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ के बीच का संबंध $v = r\omega$ है,जहाँ $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
चूंकि $r$ और $\omega$ दोनों स्थिर हैं,इसलिए रैखिक वेग $v$ का परिमाण स्थिर रहता है।
हालाँकि,वृत्ताकार गति में,वेग सदिश की दिशा हमेशा पथ के स्पर्शरेखा (tangent) की दिशा में होती है,जो लगातार बदलती रहती है।
इसलिए,वेग का परिमाण स्थिर है,लेकिन इसकी दिशा बदलती है।

(B) रैखिक चाल $v$,कोणीय चाल $\omega$ और त्रिज्या $r$ के बीच का संबंध $v = r\omega$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
कोणीय चाल के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\omega = \frac{v}{r}$ प्राप्त होता है।
दी गई मान $v = 10 \,m/s$ और $r = 100 \,m$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\omega = \frac{10}{100} = 0.1 \,rad/s$.
अतः,स्कूटर की कोणीय चाल $0.1 \,rad/s$ है।

(A) $v$ की स्थिर चाल से वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे कण के लिए,त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है,जो $a = v^2/r$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण $T$ समय में $2\pi r$ की परिधि पूरी करता है,इसलिए चाल $v = (2\pi r)/T$ है।
इससे,हम $r = (vT)/(2\pi)$ लिख सकते हैं।
$r$ का मान त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a = v^2 / ((vT)/(2\pi)) = v^2 \cdot (2\pi) / (vT) = (2\pi v)/T$.
अतः,कण का त्वरण $(2\pi v)/T$ है।

(C) समान वृत्तीय गति $(U.C.M.)$ में,कण की चाल स्थिर होती है और पथ की त्रिज्या स्थिर रहती है।
चूंकि कोणीय वेग $\omega = v/r$ है,इसलिए यह परिमाण और दिशा (गति के तल के लंबवत) दोनों में स्थिर रहता है।
कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
वृत्त के केंद्र के परितः $U.C.M.$ में गति कर रहे कण के लिए,$I = mr^2$ स्थिर है और $\omega$ भी स्थिर है।
अतः,कोणीय वेग और कोणीय संवेग दोनों स्थिर रहते हैं।

(B) एक समान कोणीय गति (एकसमान वृत्तीय गति) के साथ वृत्त में गति कर रहे कण के लिए,वेग सदिश हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
चूंकि गति एकसमान है,इसलिए स्पर्शरेखीय त्वरण शून्य होता है और कुल त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्र होता है।
अभिकेंद्र त्वरण सदिश हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर इंगित करता है।
चूंकि वेग सदिश स्पर्शरेखीय (परिधि के अनुदिश) होता है और त्वरण सदिश त्रिज्यीय (केंद्र की ओर) होता है,इसलिए वे हमेशा एक दूसरे के लंबवत होते हैं।
अतः,यह कथन कि त्वरण सदिश वृत्त के स्पर्शरेखीय है,गलत है।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है।
स्पर्शरेखीय त्वरण ${a_t}$ वेग के परिमाण (चाल) में परिवर्तन के लिए जिम्मेदार होता है। चूंकि एकसमान वृत्तीय गति में चाल स्थिर रहती है,इसलिए ${a_t} = 0$ होता है।
त्रिज्यीय (या अभिकेंद्र) त्वरण ${a_r}$ वेग की दिशा में परिवर्तन के लिए जिम्मेदार होता है। चूंकि कण एक वृत्त में गति कर रहा है,इसलिए इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है,अतः ${a_r} \neq 0$ होता है।
इसलिए,एकसमान वृत्तीय गति के लिए शर्त ${a_r} \neq 0$ और ${a_t} = 0$ है।

(B) अभिकेंद्र बल $F$ का सूत्र $F = m\omega^2 R$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय वेग है और $R$ कक्षा की त्रिज्या है।
चूँकि कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है,हम बल को $F = m(\frac{2\pi}{T})^2 R = m \frac{4\pi^2}{T^2} R$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह दिया गया है कि दोनों पिंडों के लिए द्रव्यमान $m$ और आवर्तकाल $T$ समान हैं,इसलिए पद $\frac{m 4\pi^2}{T^2}$ स्थिर है।
अतः,अभिकेंद्र बल त्रिज्या के सीधे आनुपातिक है,यानी $F \propto R$।
इसलिए,अभिकेंद्र बलों का अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = \frac{R_1}{R_2}$ होगा।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,वेग का परिमाण (चाल) स्थिर रहता है,लेकिन वृत्तीय पथ पर प्रत्येक बिंदु पर वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है।
चूंकि संवेग को $\vec{p} = m\vec{v}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,और वेग सदिश $\vec{v}$ की दिशा बदलती है,इसलिए संवेग सदिश $\vec{p}$ भी लगातार बदलता रहता है।
इसलिए,संवेग एक स्थिर राशि नहीं है।
चाल,गतिज ऊर्जा $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ और द्रव्यमान अदिश राशियाँ हैं जो एकसमान वृत्तीय गति में स्थिर रहती हैं।

(C) डोरी की लंबाई वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है,$r = 1\,m$.
घूर्णन की आवृत्ति $n = \frac{\text{चक्करों की संख्या}}{\text{समय}} = \frac{22}{44} = 0.5\,Hz$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2\pi(0.5) = \pi\,rad/s$.
अभिकेंद्र त्वरण $a = \omega^2 r$.
मान रखने पर,$a = (\pi)^2 \times 1 = \pi^2\,m/s^2$.
एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण अभिकेंद्र होता है,जिसका अर्थ है कि इसकी दिशा हमेशा त्रिज्या के अनुदिश और केंद्र की ओर होती है।

(A) कोणीय वेग $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,जहाँ $T$ पृथ्वी के घूर्णन का आवर्तकाल है।
पृथ्वी के लिए,एक पूर्ण घूर्णन का समय $24 \text{ घंटे}$ है।
इस समय को सेकंड में बदलने पर: $T = 24 \times 60 \times 60 \text{ s} = 86400 \text{ s}$।
अतः,कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{86400} \text{ rad/s}$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(B) कोणीय वेग $\omega$ का सूत्र $\omega = 2\pi n$ है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड चक्करों की संख्या (आवृत्ति) है।
प्रारंभिक आवृत्ति $n_1 = 600 \text{ rpm} = \frac{600}{60} \text{ rev/s} = 10 \text{ rev/s}$.
अंतिम आवृत्ति $n_2 = 1200 \text{ rpm} = \frac{1200}{60} \text{ rev/s} = 20 \text{ rev/s}$.
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 2\pi n_1 = 2\pi(10) = 20\pi \text{ rad/s}$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega_2 = 2\pi n_2 = 2\pi(20) = 40\pi \text{ rad/s}$.
कोणीय वेग में वृद्धि $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = 40\pi - 20\pi = 20\pi \text{ rad/s}$ है।

(A) बिंदु $A$ पर वेग स्पर्शरेखा की दिशा में है,जो $\vec{v}_A = v\hat{j}$ है।
बिंदु $B$ पर वेग स्पर्शरेखा की दिशा में है,जो $\vec{v}_B = -v\hat{i}$ है।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = -v\hat{i} - v\hat{j}$ है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-v)^2 + (-v)^2} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$ है।
वैकल्पिक रूप से,दो वेग सदिशों के बीच कोण $\theta$ के लिए वेग में परिवर्तन का सूत्र: $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(\theta/2)$ है।
यहाँ,$A$ और $B$ की त्रिज्याओं के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
$|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(90^\circ/2) = 2v \sin(45^\circ) = 2v \times (1/\sqrt{2}) = v\sqrt{2}$।

(B) जब कोई कण एकसमान चाल से वृत्त में गति करता है,तो वह परिधि पर समान समय अंतराल में समान दूरी तय करता है।
चूंकि यह एक निश्चित समय अंतराल (आवर्तकाल) के बाद उसी स्थिति में वापस आ जाता है,इसलिए गति आवर्ती है।
हालाँकि,सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए माध्य स्थिति से विस्थापन के समानुपाती एक प्रत्यानयन बल $(F = -kx)$ की आवश्यकता होती है,जो एकसमान वृत्तीय गति के मामले में नहीं होता है।
इसलिए,गति आवर्ती है लेकिन सरल आवर्त नहीं है।

(C) कोणीय गति $\omega$ को सूत्र $\omega = 2 \pi n$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड चक्करों की आवृत्ति है।
दिया गया है,$n = 120 \, \text{revolutions/minute} = \frac{120}{60} \, \text{revolutions/second} = 2 \, \text{rev/sec}$।
अतः,$\omega = 2 \pi \times 2 \, \text{rad/sec} = 4 \pi \, \text{rad/sec}$।

(B) मान लीजिए कि कण $P$ किसी क्षण पर $B$ स्थिति पर है। कण की चाल $u$ है।
केंद्र $C$ के परितः $P$ का कोणीय वेग $\omega_C = \frac{u}{r} = \frac{u}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$ के परितः $P$ का कोणीय वेग $\omega_A = \frac{v_{\perp}}{r_{AP}}$ है,जहाँ $v_{\perp}$ रेखा $AP$ के लंबवत वेग का घटक है। बिंदु $B$ पर,वेग $u$ व्यास $AB$ के लंबवत है। दूरी $AP = 2a$ है।
अतः,$\omega_A = \frac{u}{2a}$।
कोणीय वेग का अनुपात लेने पर:
$\frac{\omega_A}{\omega_C} = \frac{u/2a}{u/a} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,अनुपात $1 : 2$ है।

(C) वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे कण का आवर्तकाल $T$ और उसके कोणीय वेग $\omega$ के बीच संबंध $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,दोनों कणों के आवर्तकाल समान हैं,इसलिए $T_1 = T_2 = T$ मान लीजिए।
अतः,$\frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{2\pi}{\omega_2}$।
इसका अर्थ है कि $\omega_1 = \omega_2$।
इस प्रकार,उनके कोणीय वेगों का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = 1$ होगा।

(B) कोणीय वेग $\omega$ को समय $t$ के सापेक्ष कोणीय विस्थापन $\theta$ के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\omega = \frac{\theta}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
घड़ी की सेकंड वाली सुई के लिए,यह एक पूर्ण चक्कर लगाती है,जो $\theta = 2\pi \ rad$ के कोणीय विस्थापन के बराबर है,और इसमें लगा समय $t = 60 \ s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\omega = \frac{2\pi}{60} \ rad/s = \frac{\pi}{30} \ rad/s$.

(C) घूमते हुए पहिये की रिम पर किसी बिंदु का रैखिक विस्थापन $S$,$S = r \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\theta$ कोणीय विस्थापन है।
चूंकि दोनों पहिये समाक्षीय रूप से जुड़े हुए हैं,वे एक साथ घूमते हैं,जिसका अर्थ है कि समान समयांतराल में उनका कोणीय विस्थापन $\theta$ समान है।
मान लीजिए $r$ छोटे पहिये की त्रिज्या है ($A$ को सहारा देता है) और $2r$ बड़े पहिये की त्रिज्या है ($B$ को सहारा देता है)।
$A$ द्वारा तय की गई दूरी $x = r \theta$ है।
$B$ द्वारा तय की गई दूरी $y = (2r) \theta$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{y} = \frac{r \theta}{2r \theta} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = 2x$.

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,कण पर कार्य करने वाला नेट बल अभिकेंद्री बल होता है,जो हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
किसी बिंदु के परितः बल आघूर्ण (टॉर्क) $\vec{\tau}$ को $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अभिकेंद्री बल $\vec{F}$ हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ संरेखीय (collinear) होते हैं।
अतः,केंद्र के परितः टॉर्क $\vec{\tau} = 0$ होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी बिंदु के परितः नेट बाह्य टॉर्क शून्य है,तो उस बिंदु के परितः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
इस प्रकार,कण का कोणीय संवेग वृत्त के केंद्र के परितः संरक्षित रहता है।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है।
वेग सदिश हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
एकसमान वृत्तीय गति में त्वरण अभिकेंद्री होता है,जिसका अर्थ है कि यह वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि वेग स्पर्शरेखीय है और त्वरण त्रिज्यीय (केंद्र की ओर) है,इसलिए वे हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
अतः,यह कथन कि त्वरण सदिश वृत्त के स्पर्शरेखीय है,गलत है।

(C) कोणीय चाल $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
घंटे वाली सुई के लिए,आवर्तकाल $T_h = 12 \text{ घंटे}$ है।
मिनट वाली सुई के लिए,आवर्तकाल $T_m = 1 \text{ घंटा}$ है।
कोणीय चालों का अनुपात $\frac{\omega_h}{\omega_m} = \frac{2\pi / T_h}{2\pi / T_m} = \frac{T_m}{T_h}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{\omega_h}{\omega_m} = \frac{1 \text{ घंटा}}{12 \text{ घंटे}} = 1 : 12$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $R = 30 \ cm = 0.3 \ m$.
कोणीय विस्थापन $\theta = 30^\circ = 30 \times \frac{\pi}{180} \ rad = \frac{\pi}{6} \ rad$.
पहिये की परिधि पर किसी बिंदु द्वारा तय की गई रैखिक दूरी $d$,चाप की लंबाई के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = R \theta$
मान रखने पर:
$d = 0.3 \times \frac{\pi}{6} \ m$
$d = \frac{3}{10} \times \frac{\pi}{6} \ m = \frac{\pi}{20} \ m$.

(C) दिया गया कोणीय वेग $\omega = 3000 \ rpm$ (चक्कर प्रति मिनट) है।
$rpm$ को चक्कर प्रति सेकंड $(rps)$ में बदलने के लिए $60$ से विभाजित करें: $\omega = \frac{3000}{60} \ rps = 50 \ rps$.
चूंकि एक पूर्ण चक्कर $2\pi$ रेडियन के बराबर होता है, इसलिए रेडियन प्रति सेकंड में कोणीय वेग $\omega = 50 \times 2\pi \ rad/s = 100\pi \ rad/s$ है।
$t = 1 \ s$ में तय किया गया कोण $\theta = \omega \times t = 100\pi \times 1 = 100\pi \ \text{रेडियन}$ होगा।

(B) $v$ वेग से गति कर रहे कण का किसी बिंदु से $r$ दूरी पर कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ वेग सदिश स्थिति सदिश के लंबवत होता है।
जब कण बिंदु $B$ पर होता है,तो उसका वेग $v$ व्यास $AB$ के लंबवत होता है।
बिंदु $C$ (केंद्र) के लिए,दूरी $r_C = a$ है। अतः,$\omega_C = \frac{v}{a}$।
बिंदु $A$ के लिए,दूरी $r_A = AB = 2a$ है। अतः,$\omega_A = \frac{v}{2a}$।
$A$ और $C$ के सापेक्ष कोणीय वेग का अनुपात $\frac{\omega_A}{\omega_C} = \frac{v/2a}{v/a} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1 : 2$ है।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 4 \, m$,आवर्तकाल $T = 2 \, s$।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, rad/s$ द्वारा प्राप्त होता है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ का सूत्र $a_c = \omega^2 r$ है।
मान रखने पर,$a_c = (\pi)^2 \times 4 = 4\pi^2 \, m/s^2$।

(B) बिंदु $P_1$ पर,वेग सदिश $\vec{v}_1$ धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\vec{v}_1 = v\hat{j}$ है।
बिंदु $P_2$ पर,वेग सदिश $\vec{v}_2$ ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\vec{v}_2 = -v\hat{i}$ है।
वेग में परिवर्तन $\Delta\vec{v}$ को $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = -v\hat{i} - v\hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{(-v)^2 + (-v)^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = \sqrt{2}v$ है।

(B) गति के दिए गए समीकरण:
$x = a \sin \omega t \implies \frac{x}{a} = \sin \omega t$ $(i)$
$y = a \cos \omega t \implies \frac{y}{a} = \cos \omega t$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{a}\right)^2 = \sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$
$x^2 + y^2 = a^2$
यह मूल बिंदु पर केंद्रित $a$ त्रिज्या वाले वृत्त का मानक समीकरण है। अतः,कण एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।

(B) दिया गया स्थिति सदिश: $\vec{r} = \cos(\omega t) \hat{i} + \sin(\omega t) \hat{j}$.
$1$. वेग $\vec{v}$ समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलन है:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = -\omega \sin(\omega t) \hat{i} + \omega \cos(\omega t) \hat{j}$.
$2$. त्वरण $\vec{a}$ समय के सापेक्ष वेग का अवकलन है:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -\omega^2 \cos(\omega t) \hat{i} - \omega^2 \sin(\omega t) \hat{j} = -\omega^2 \vec{r}$.
$3$. चूँकि $\vec{a} = -\omega^2 \vec{r}$,त्वरण मूल बिंदु की ओर निर्देशित है (अभिकेंद्र त्वरण)।
$4$. $\vec{r}$ और $\vec{v}$ के बीच संबंध की जाँच करने के लिए,उनका अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें:
$\vec{r} \cdot \vec{v} = (\cos(\omega t))(-\omega \sin(\omega t)) + (\sin(\omega t))(\omega \cos(\omega t)) = -\omega \sin(\omega t) \cos(\omega t) + \omega \sin(\omega t) \cos(\omega t) = 0$.
चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए वेग स्थिति सदिश $\vec{r}$ के लंबवत है।