Thermal Expansion for Solid Questions in Hindi

(B) रेखीय प्रसार का सूत्र $\Delta L = L_0 \alpha \Delta \theta$ है।
छड़ $A$ के लिए: $0.075 = 20 \times \alpha_A \times 100 \implies \alpha_A = \frac{0.075}{2000} = 3.75 \times 10^{-5} \, ^\circ C^{-1}$.
छड़ $B$ के लिए: $0.045 = 20 \times \alpha_B \times 100 \implies \alpha_B = \frac{0.045}{2000} = 2.25 \times 10^{-5} \, ^\circ C^{-1}$.
मान लीजिए कि धातु $A$ की लंबाई $x$ है और धातु $B$ की लंबाई $(20 - x)$ है।
संयुक्त छड़ का कुल प्रसार उसके भागों के प्रसार के योग के बराबर होता है:
$0.060 = (x \alpha_A \Delta \theta) + ((20 - x) \alpha_B \Delta \theta)$
$0.060 = [x(3.75 \times 10^{-5}) + (20 - x)(2.25 \times 10^{-5})] \times 100$
$0.060 = [3.75x + 45 - 2.25x] \times 10^{-3}$
$60 = 1.5x + 45$
$1.5x = 15$
$x = 10 \, cm$.

(B) माना प्रत्येक छड़ की लंबाई $\ell$ है। समबाहु त्रिभुज $PQR$ में,ऊँचाई $OR$ का मान $OR^2 = PR^2 - PO^2 = \ell^2 - (\ell/2)^2 = 3\ell^2/4$ होता है।
तापमान में $\Delta t$ परिवर्तन के बाद,नई लंबाई $\ell' = \ell(1 + \alpha \Delta t)$ हो जाती है।
माना $PR' = \ell(1 + \alpha_2 \Delta t)$ और $PQ' = \ell(1 + \alpha_1 \Delta t)$ है।
नया मध्य-बिंदु $O'$,$PQ'$ को दो भागों में विभाजित करता है,जिसकी लंबाई $PO' = \frac{\ell(1 + \alpha_1 \Delta t)}{2}$ है।
चूंकि $OR$ स्थिर रहता है,इसलिए $OR^2 = (PR')^2 - (PO')^2$ होगा।
$\frac{3\ell^2}{4} = [\ell(1 + \alpha_2 \Delta t)]^2 - [\frac{\ell}{2}(1 + \alpha_1 \Delta t)]^2$.
$\frac{3\ell^2}{4} = \ell^2(1 + 2\alpha_2 \Delta t + \alpha_2^2 \Delta t^2) - \frac{\ell^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta t + \alpha_1^2 \Delta t^2)$.
$\Delta t^2$ जैसे उच्च घात वाले पदों की उपेक्षा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3\ell^2}{4} = \ell^2 + 2\ell^2 \alpha_2 \Delta t - \frac{\ell^2}{4} - \frac{2\ell^2 \alpha_1 \Delta t}{4}$.
$\frac{3\ell^2}{4} = \frac{3\ell^2}{4} + 2\ell^2 \alpha_2 \Delta t - \frac{\ell^2 \alpha_1 \Delta t}{2}$.
$0 = 2\alpha_2 \Delta t - \frac{\alpha_1 \Delta t}{2}$.
$2\alpha_2 = \frac{\alpha_1}{2} \implies \alpha_1 = 4\alpha_2$.

(C) मान लीजिए कि क्रिस्टल के आयाम $L_0 \times L_0 \times L_0$ हैं। प्रारंभिक आयतन $V_0 = L_0^3$ है।
जब तापमान में $\Delta \theta$ की वृद्धि होती है,तो नए आयाम $L_1 = L_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta)$ और $L_2 = L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$ (दो लंबवत दिशाओं के लिए) हो जाते हैं।
नया आयतन $V = L_1 \times L_2 \times L_2 = L_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta) \times L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta) \times L_0(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
$V = L_0^3(1 + \alpha_1 \Delta \theta)(1 + \alpha_2 \Delta \theta)^2$.
छोटे $\alpha \Delta \theta$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर:
$V \approx V_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta)(1 + 2\alpha_2 \Delta \theta)$.
$V \approx V_0(1 + \alpha_1 \Delta \theta + 2\alpha_2 \Delta \theta + 2\alpha_1 \alpha_2 (\Delta \theta)^2)$.
उच्च घात वाले पद $(\Delta \theta)^2$ की उपेक्षा करने पर,हमें $V \approx V_0(1 + (\alpha_1 + 2\alpha_2) \Delta \theta)$ प्राप्त होता है।
इसे मानक आयतन प्रसार सूत्र $V = V_0(1 + \gamma \Delta \theta)$ के साथ तुलना करने पर,आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = \alpha_1 + 2\alpha_2$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि त्रिज्या में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta r}{r} = X$ है।
क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r} = 2X$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r} = 3X$ द्वारा दिया जाता है।
प्रतिशत परिवर्तनों की तुलना करने पर,$3X > 2X > X$ प्राप्त होता है। अतः,आयतन में अधिकतम प्रतिशत परिवर्तन देखा जाता है।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $l$ है। लंबाई में सापेक्ष परिवर्तन $\Delta l / l = 2\% = 0.02$ दिया गया है।
$l$ भुजा वाले वर्ग के लिए,क्षेत्रफल $A = l^2$ होता है।
क्षेत्रफल में सापेक्ष परिवर्तन का सूत्र $\Delta A / A = 2(\Delta l / l)$ है।
दिए गए मान को रखने पर: $\Delta A / A = 2 \times 2\% = 4\%$.
अतः,वर्गाकार तांबे की शीट के क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $4\%$ है।

(D) मान लीजिए कि $\Delta \theta$ तापमान पर लंबाई $L_1'$ और $L_2'$ है।
$L_1' = L_1(1 + \alpha_1 \Delta \theta)$ और $L_2' = L_2(1 + \alpha_2 \Delta \theta)$।
अंतर $D = L_2' - L_1' = (L_2 - L_1) + (L_2 \alpha_2 - L_1 \alpha_1) \Delta \theta$ है।
किसी भी तापमान पर अंतर को स्थिर रहने के लिए,$\Delta \theta$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
इसलिए,$L_2 \alpha_2 - L_1 \alpha_1 = 0$।
इसका अर्थ है कि $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$।

(A) यह दिया गया है कि लंबाई का अंतर सभी तापमानों पर स्थिर रहता है,इसलिए तापमान में किसी भी परिवर्तन $\Delta T$ के लिए दोनों छड़ों की लंबाई में परिवर्तन समान होना चाहिए।
मान लीजिए $L_{Fe}$ और $L_{Cu}$ क्रमशः लोहे और तांबे की छड़ों की लंबाई हैं।
हमें दिया गया है $L_{Fe} - L_{Cu} = 10 \ cm$ ..... $(i)$
चूंकि अंतर स्थिर है,$\Delta L_{Fe} = \Delta L_{Cu}$.
रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ का उपयोग करते हुए:
$L_{Fe} \alpha_{Fe} \Delta T = L_{Cu} \alpha_{Cu} \Delta T$
$L_{Fe} \alpha_{Fe} = L_{Cu} \alpha_{Cu}$
$\frac{L_{Fe}}{L_{Cu}} = \frac{\alpha_{Cu}}{\alpha_{Fe}} = \frac{17 \times 10^{-6}}{11 \times 10^{-6}} = \frac{17}{11}$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$L_{Fe} = L_{Cu} + 10$.
इस मान को $(ii)$ में रखने पर:
$\frac{L_{Cu} + 10}{L_{Cu}} = \frac{17}{11}$
$11(L_{Cu} + 10) = 17 L_{Cu}$
$11 L_{Cu} + 110 = 17 L_{Cu}$
$6 L_{Cu} = 110$
$L_{Cu} = \frac{110}{6} \approx 18.33 \ cm$
$L_{Fe} = 18.33 + 10 = 28.33 \ cm$.
अतः,लंबाई लगभग $28.3 \ cm$ और $18.3 \ cm$ है।

(C) $20^{\circ}C$ पर निकाय की कुल लंबाई $L = 50 \ cm + 100 \ cm = 150 \ cm$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100^{\circ}C - 20^{\circ}C = 80^{\circ}C$ है।
$100^{\circ}C$ पर लोहे की छड़ की नई लंबाई $L_{Fe}' = 50(1 + \alpha_{Fe} \Delta T) = 50(1 + 12 \times 10^{-6} \times 80) = 50.048 \ cm$ है।
$100^{\circ}C$ पर एल्युमिनियम की छड़ की नई लंबाई $L_{Al}' = 100(1 + \alpha_{Al} \Delta T) = 100(1 + 24 \times 10^{-6} \times 80) = 100.192 \ cm$ है।
$100^{\circ}C$ पर निकाय की कुल लंबाई $L' = 50.048 + 100.192 = 150.24 \ cm$ है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L' - L = 150.24 - 150 = 0.24 \ cm$ है।
निकाय का प्रभावी रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_{eff} = \frac{\Delta L}{L \Delta T} = \frac{0.24}{150 \times 80} = 20 \times 10^{-6} {^{\circ}C}^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) ऊष्मीय प्रसार के कारण छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
पीतल की छड़ के लिए:
$\Delta L_{brass} = L \alpha_{brass} \Delta T = 80 \ cm \times (18 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}) \times (100^{\circ}C - 0^{\circ}C) = 80 \times 18 \times 10^{-4} \ cm = 0.144 \ cm = 1.44 \ mm$.
सीसे की छड़ के लिए:
$\Delta L_{lead} = L \alpha_{lead} \Delta T = 80 \ cm \times (28 \times 10^{-6} \ ^{\circ}C^{-1}) \times (100^{\circ}C - 0^{\circ}C) = 80 \times 28 \times 10^{-4} \ cm = 0.224 \ cm = 2.24 \ mm$.
उनके सिरों के बीच लंबाई का अंतर $\Delta L_{lead} - \Delta L_{brass} = 2.24 \ mm - 1.44 \ mm = 0.8 \ mm$ होगा।

(B) माना गोले का आयतन $V$ है और द्रव का घनत्व $\rho_L$ है। चूंकि गोला तैर रहा है,गोले का भार = द्रव का उत्प्लावन बल।
$Mg = V_{submerged} \rho_L g$
$V_{sphere}(t) \rho_S(t) g = f V_{sphere}(t) \rho_L g$
चूंकि द्रव का घनत्व $\rho_L$ स्थिर है,$\rho_S(t) = f \rho_L$।
जैसे-जैसे गोला फैलता है,उसका घनत्व $\rho_S(t) = \frac{\rho_0}{1 + \gamma t}$ के अनुसार बदलता है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है।
अतः,$f_1 = \frac{\rho_S(t_1)}{\rho_L} = \frac{\rho_0}{\rho_L(1 + \gamma t_1)}$ और $f_2 = \frac{\rho_S(t_2)}{\rho_L} = \frac{\rho_0}{\rho_L(1 + \gamma t_2)}$।
अनुपात लेने पर: $f_1(1 + \gamma t_1) = f_2(1 + \gamma t_2)$।
$f_1 + f_1 \gamma t_1 = f_2 + f_2 \gamma t_2$
$\gamma (f_1 t_1 - f_2 t_2) = f_2 - f_1$
$\gamma = \frac{f_2 - f_1}{f_1 t_1 - f_2 t_2} = \frac{f_1 - f_2}{f_2 t_2 - f_1 t_1}$.

(A) लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलन करने पर,आवर्तकाल में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ होता है।
यहाँ $\alpha = 12 \times 10^{-6}\,^oC^{-1}$ और $\Delta \theta = (40 - 20) = 20\,^oC$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 20 = 120 \times 10^{-6} = 1.2 \times 10^{-4}$।
प्रति दिन खोया गया समय $\Delta T = \frac{\Delta T}{T} \times T_{day}$,जहाँ $T_{day} = 86400\,sec$ है।
$\Delta T = 1.2 \times 10^{-4} \times 86400 = 10.368\,sec/day \approx 10.3\,sec/day$।

(C) मान लीजिए कि तापमान $T$ पर पीतल और स्टील की छड़ों की लंबाई क्रमशः $L_1$ और $L_2$ है।
तापमान में $\Delta T$ के परिवर्तन के बाद,नई लंबाईयाँ इस प्रकार हैं:
$L_1' = l_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$
$L_2' = l_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$
यह दिया गया है कि अंतर $(L_2' - L_1')$ सभी तापमानों पर स्थिर रहता है और $(l_2 - l_1)$ के बराबर है:
$L_2' - L_1' = l_2 - l_1$
$l_2(1 + \alpha_2 \Delta T) - l_1(1 + \alpha_1 \Delta T) = l_2 - l_1$
$l_2 + l_2 \alpha_2 \Delta T - l_1 - l_1 \alpha_1 \Delta T = l_2 - l_1$
$(l_2 - l_1) + \Delta T(l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1) = l_2 - l_1$
किसी भी $\Delta T$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,$\Delta T$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1 = 0$
$\alpha_1 l_1 = \alpha_2 l_2$

(D) जब किसी तार को तापमान परिवर्तन $\Delta \theta$ के कारण फैलने से रोका जाता है,तो उसमें उत्पन्न तापीय बल $F$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = YA\alpha \Delta \theta$
जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है और $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है।
यह दिया गया है कि $Y$,$A$ और $\Delta \theta$ दोनों तारों $A$ और $B$ के लिए समान हैं,इसलिए बल $F$ रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha$ के सीधे समानुपाती है:
$F \propto \alpha$
अतः,बलों का अनुपात होगा:
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{\alpha_A}{\alpha_B}$
चूंकि $\alpha_A = \frac{3}{2} \alpha_B$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{3}{2}$
इस प्रकार,दोनों तारों में उत्पन्न बलों का अनुपात $3/2$ है।

(B) जब धातु की शीट को गर्म किया जाता है,तो उसमें ऊष्मीय प्रसार होता है। किसी ठोस में बने छेद का प्रसार स्वयं पदार्थ के प्रसार के समान ही होता है।
ऊष्मीय प्रसार के सिद्धांत के अनुसार,तापमान बढ़ने पर शीट पर स्थित किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी बढ़ जाती है।
चूंकि छेद का व्यास उसकी परिधि पर स्थित दो बिंदुओं के बीच की दूरी द्वारा परिभाषित होता है,इसलिए यह दूरी भी बढ़ जाती है।
अतः,गर्म करने पर दोनों छेदों के व्यास $d_1$ और $d_2$ बढ़ जाएंगे। यह घटना फोटोग्राफिक विस्तार के समान है,जिसमें छवि का प्रत्येक भाग बड़ा हो जाता है।

(B) मान लीजिए धातु $A$ के भाग की लंबाई $l_1$ है और धातु $B$ के भाग की लंबाई $l_2$ है।
चूंकि कुल लंबाई $20 \, cm$ है,इसलिए $l_1 + l_2 = 20 \, cm$ है।
तापमान में दिए गए परिवर्तन के लिए,लंबाई में परिवर्तन $\Delta l$ प्रारंभिक लंबाई $l$ के समानुपाती होता है। अतः,$\Delta l = \alpha \cdot l \cdot \Delta T$।
धातु $A$ के लिए,$l = 20 \, cm$ पर $\Delta l_A = 0.075 \, cm$,इसलिए विस्तार गुणांक कारक $k_A = \frac{0.075}{20} = 0.00375$ है।
धातु $B$ के लिए,$l = 20 \, cm$ पर $\Delta l_B = 0.045 \, cm$,इसलिए विस्तार गुणांक कारक $k_B = \frac{0.045}{20} = 0.00225$ है।
मिश्रित छड़ का कुल विस्तार $\Delta l_{total} = k_A l_1 + k_B l_2 = 0.06 \, cm$ है।
$l_2 = 20 - l_1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$0.00375 l_1 + 0.00225(20 - l_1) = 0.06$
$0.00375 l_1 + 0.045 - 0.00225 l_1 = 0.06$
$0.0015 l_1 = 0.015$
$l_1 = \frac{0.015}{0.0015} = 10 \, cm$।

(A) $T^\circ C$ पर मरकरी का आयतन $V_m = V_0(1 + \gamma_m T)$ है।
$T^\circ C$ पर कांच के बल्ब का आयतन $V_g = V_0(1 + 3a_g T)$ है।
केशिका में जाने वाला मरकरी का अतिरिक्त आयतन $\Delta V = V_m - V_g = V_0(\gamma_m - 3a_g)T$ है।
$T^\circ C$ पर केशिका के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = A_0(1 + 2a_g T)$ है।
मान लीजिए कि केशिका में मरकरी स्तंभ की लंबाई $h$ है। अतः,$\Delta V = A \times h$।
इसलिए,$h = \frac{\Delta V}{A} = \frac{V_0 T (\gamma_m - 3a_g)}{A_0 (1 + 2a_g T)}$।

(C) छड़ की लंबाई $L = 2 \ m = 200 \ cm$ है। रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha(x) = (3x + 2) \times 10^{-6} \ ^\circ C^{-1}$ है।
$x$ दूरी पर एक छोटे अवयव $dx$ के लिए,तापमान परिवर्तन $\Delta T = 20^\circ C$ के कारण लंबाई में परिवर्तन $dL = \alpha(x) \cdot dx \cdot \Delta T$ है।
$x = 0$ से $x = 200 \ cm$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta L = \int_{0}^{200} (3x + 2) \times 10^{-6} \cdot 20 \cdot dx$
$\Delta L = 20 \times 10^{-6} [\frac{3x^2}{2} + 2x]_{0}^{200}$
$\Delta L = 20 \times 10^{-6} [60000 + 400] = 1.208 \ cm$.
चूँकि $1.208 \ cm = 0.01208 \ m$,नई लंबाई $L' = 2 + 0.01208 = 2.01208 \ m \approx 2.01 \ m$ होगी।

(C) विषमदैशिक पदार्थ के लिए,किसी सतह का क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $\beta$ उस सतह को परिभाषित करने वाले दो अक्षों के अनुदिश रैखिक प्रसार गुणांकों का योग होता है।
दिया गया है: $\alpha_x = 1 \times 10^{-5} /^{\circ}C$,$\alpha_y = 2 \times 10^{-5} /^{\circ}C$,$\alpha_z = 3 \times 10^{-5} /^{\circ}C$.
चित्र से,सतह $CDEH$,$xy$-तल में स्थित है।
इसलिए,$\beta_{CDEH} = \alpha_x + \alpha_y = (1 + 2) \times 10^{-5} /^{\circ}C = 3 \times 10^{-5} /^{\circ}C$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) मान लीजिए कि रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ है। लंबाई में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T = 1\% = 0.01$ द्वारा दिया जाता है।
तांबे की प्लेट का क्षेत्रफल $A = 2L \times L = 2L^2$ है।
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $\beta = 2\alpha$ होता है।
क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = \beta \Delta T = 2\alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
$\alpha \Delta T = 0.01$ का मान रखने पर:
$\frac{\Delta A}{A} = 2 \times (0.01) = 0.02$.
क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने के लिए:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 0.02 \times 100 = 2\%$.

(C) संयोजन की प्रारंभिक लंबाई $L + 2L = 3L$ है।
पहली छड़ में लंबाई में परिवर्तन $\Delta L_1 = L \alpha \Delta t$ है।
दूसरी छड़ में लंबाई में परिवर्तन $\Delta L_2 = (2L)(2\alpha) \Delta t = 4L \alpha \Delta t$ है।
अतः संयुक्त छड़ में कुल लंबाई में परिवर्तन $\Delta L_{total} = \Delta L_1 + \Delta L_2 = L \alpha \Delta t + 4L \alpha \Delta t = 5L \alpha \Delta t$ है।
औसत रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_{avg}$ को संबंध $\Delta L_{total} = L_{total} \alpha_{avg} \Delta t$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $5L \alpha \Delta t = (3L) \alpha_{avg} \Delta t$ प्राप्त होता है।
$\alpha_{avg}$ के लिए हल करने पर,$\alpha_{avg} = \frac{5L \alpha \Delta t}{3L \Delta t} = \frac{5}{3}\alpha$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $V_m$ पारे का आयतन है और $V_f$ कांच के फ्लास्क का आयतन है।
चूंकि फ्लास्क के अंदर की हवा का आयतन अलग-अलग तापमानों पर समान रहता है,इसलिए पारे के आयतन में परिवर्तन फ्लास्क के आयतन में परिवर्तन के बराबर होना चाहिए।
$\Delta V_m = \Delta V_f$
$\gamma_m V_m \Delta T = \gamma_f V_f \Delta T$
$\gamma_m V_m = \gamma_f V_f$
हम जानते हैं कि फ्लास्क का आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_f = 3 \alpha_{glass}$ होता है।
दिया गया है $\gamma_m = 1.8 \times 10^{-4} (^{\circ}C)^{-1}$,$\alpha_{glass} = 9 \times 10^{-6} (^{\circ}C)^{-1}$,और $V_m = 300 \, cm^3$।
मान रखने पर:
$1.8 \times 10^{-4} \times 300 = 3 \times (9 \times 10^{-6}) \times V_f$
$5.4 \times 10^{-2} = 2.7 \times 10^{-5} \times V_f$
$V_f = \frac{5.4 \times 10^{-2}}{2.7 \times 10^{-5}} = 2 \times 10^3 = 2000 \, cm^3$.

(C) लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ द्वारा दिया जाता है। आवर्तकाल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ होता है।
एक दिन के लिए,$T = 24 \times 3600 \; s$ है।
जब घड़ी $40^{\circ}C$ पर $12\;s$ खोती है (जहाँ $\theta$ सही तापमान है): $\frac{12}{T} = \frac{1}{2} \alpha (40 - \theta) \quad ...(1)$
जब घड़ी $20^{\circ}C$ पर $4\;s$ प्राप्त करती है: $\frac{4}{T} = \frac{1}{2} \alpha (\theta - 20) \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{12}{4} = \frac{40 - \theta}{\theta - 20} \implies 3(\theta - 20) = 40 - \theta \implies 3\theta - 60 = 40 - \theta \implies 4\theta = 100 \implies \theta = 25^{\circ}C$.
समीकरण $(2)$ में $\theta = 25^{\circ}C$ रखने पर: $\frac{4}{24 \times 3600} = \frac{1}{2} \alpha (25 - 20) \implies \frac{4}{86400} = \frac{1}{2} \alpha (5) \implies \alpha = \frac{8}{86400 \times 5} = \frac{8}{432000} \approx 1.85 \times 10^{-5}/^{\circ}C$.

(C) मान लीजिए कि टेप की नाममात्र लंबाई $L_0 = 30$ $m$ है और विस्तारित लंबाई $L = 30.01$ $m$ है।
वास्तविक दूरी और मापी गई दूरी का अनुपात टेप की वास्तविक लंबाई और उसकी नाममात्र लंबाई के अनुपात के बराबर होता है।
मान लीजिए $d_{true}$ वास्तविक दूरी है और $d_{measured} = 15.52$ $m$ मापी गई दूरी है।
समानुपात के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $\frac{d_{true}}{d_{measured}} = \frac{L}{L_0}$.
$d_{true} = d_{measured} \times \frac{L}{L_0} = 15.52 \times \frac{30.01}{30}$.
$d_{true} = 15.52 \times (1 + \frac{0.01}{30}) = 15.52 + 15.52 \times 0.000333...$
$d_{true} = 15.52 + 0.00517... \approx 15.525$ $m$.

(A) मान लीजिए कि $0^o C$ पर स्टील और तांबे की छड़ों की लंबाई $L_S$ और $L_C$ है।
किसी भी तापमान $T$ पर,लंबाई $L_S(1 + \alpha_S T)$ और $L_C(1 + \alpha_C T)$ होगी।
किसी भी तापमान $T$ पर लंबाई का अंतर $10\,cm$ दिया गया है,इसलिए:
$L_S(1 + \alpha_S T) - L_C(1 + \alpha_C T) = 10$
$(L_S - L_C) + (L_S \alpha_S - L_C \alpha_C)T = 10$
यह अंतर $T$ से स्वतंत्र रहे,इसके लिए $T$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$L_S \alpha_S - L_C \alpha_C = 0 \Rightarrow L_S \alpha_S = L_C \alpha_C$
$L_S (1.2 \times 10^{-5}) = L_C (1.8 \times 10^{-5})$
$L_S / L_C = 1.8 / 1.2 = 3 / 2$
साथ ही,पहले समीकरण से,$L_S - L_C = 10$ है।
$L_S = 1.5 L_C$ को $L_S - L_C = 10$ में रखने पर:
$1.5 L_C - L_C = 10 \Rightarrow 0.5 L_C = 10 \Rightarrow L_C = 20\,cm$.
अतः $L_S = 1.5 \times 20 = 30\,cm$।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ की लंबाई $L$ और द्रव्यमान $M$ है। छड़ें $B$ पर जुड़ी हुई हैं। छड़ $AB$ का द्रव्यमान केंद्र $B$ से $L/2$ की दूरी पर है और छड़ $BC$ का द्रव्यमान केंद्र $B$ से $L/2$ की दूरी पर है।
जब छड़ को गर्म किया जाता है,तो प्रत्येक छड़ की लंबाई $\Delta L = L \alpha \Delta T$ सूत्र के अनुसार बढ़ती है।
चूंकि $\alpha_{AB} > \alpha_{BC}$,छड़ $AB$,$BC$ की तुलना में अधिक फैलती है।
नई लंबाई $L_{AB}' = L(1 + \alpha_{AB} \Delta T)$ और $L_{BC}' = L(1 + \alpha_{BC} \Delta T)$ होगी।
छड़ $AB$ का नया द्रव्यमान केंद्र $B$ से $L_{AB}'/2$ पर और छड़ $BC$ का नया द्रव्यमान केंद्र $B$ से $L_{BC}'/2$ पर होगा।
चूंकि $L_{AB}' > L_{BC}'$,$AB$ का द्रव्यमान केंद्र $BC$ के द्रव्यमान केंद्र की तुलना में $B$ से अधिक दूर खिसक जाता है।
चूंकि छड़ $B$ पर लटकी हुई है,$AB$ के भार के कारण टॉर्क $\tau_{AB} = M g (L_{AB}'/2)$ और $BC$ के भार के कारण टॉर्क $\tau_{BC} = M g (L_{BC}'/2)$ होगा।
चूंकि $L_{AB}' > L_{BC}'$,$AB$ की ओर का टॉर्क $BC$ की ओर के टॉर्क से अधिक होगा।
इसलिए,छड़ $AB$ की ओर झुक जाती है।

(C) एक छोटे अवयव $dx$ की लंबाई में परिवर्तन $d(\Delta L) = \alpha \cdot dx \cdot \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\Delta T = 10 \, ^oC - 0 \, ^oC = 10 \, ^oC$ है।
कुल लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$,$x = 0$ से $x = 10 \, m$ तक $d(\Delta L)$ का समाकलन है:
$\Delta L = \int_{0}^{10} (2x^2 + 1) \times 10^{-6} \times 10 \, dx$
$\Delta L = 10^{-5} \int_{0}^{10} (2x^2 + 1) \, dx$
$\Delta L = 10^{-5} \left[ \frac{2x^3}{3} + x \right]_{0}^{10}$
$\Delta L = 10^{-5} \left( \frac{2(1000)}{3} + 10 \right) = 10^{-5} \left( \frac{2000}{3} + 10 \right) = 10^{-5} \left( 666.67 + 10 \right) = 10^{-5} \times 676.67 = 0.0067667 \, m$.
अंतिम लंबाई $L' = L + \Delta L = 10 + 0.0067667 = 10.0067667 \, m \approx 10.0068 \, m$ होगी।

(D) रेखीय प्रसार गुणांक,जिसे $\alpha$ द्वारा दर्शाया जाता है,$\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ संबंध द्वारा परिभाषित होता है,जहाँ $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है,$L_0$ मूल लंबाई है,और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\alpha = \frac{\Delta L}{L_0 \Delta T}$ प्राप्त होता है।
यद्यपि सूत्र में $L_0$ और $\Delta T$ शामिल हैं,गुणांक $\alpha$ स्वयं पदार्थ का एक अभिलक्षणिक गुण है।
यह दर्शाता है कि तापमान में प्रति इकाई डिग्री वृद्धि के लिए किसी विशिष्ट पदार्थ की इकाई लंबाई कितनी फैलती है।
इसलिए,$\alpha$ केवल धातु की प्रकृति (पदार्थ के प्रकार) पर निर्भर करता है और छड़ के आयामों या तापमान परिवर्तन के परिमाण से स्वतंत्र होता है।

(A) जब किसी पदार्थ को गर्म किया जाता है,तो उसकी लंबाई में विस्तार $\alpha \Delta T$ के समानुपाती होता है,जहाँ $\alpha$ रेखीय ऊष्मीय प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
जिस धातु का रेखीय ऊष्मीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ अधिक होता है,वह तापमान में समान परिवर्तन के लिए कम गुणांक वाली धातु की तुलना में अधिक फैलती है।
चूंकि दोनों धातुएं एक साथ जुड़ी होती हैं,इसलिए जो धातु अधिक फैलती है वह वक्र का बाहरी हिस्सा बनाती है,जबकि जो कम फैलती है वह आंतरिक हिस्सा बनाती है।
इसलिए,द्विधात्विक पट्टी कम ऊष्मीय प्रसार गुणांक वाली धातु की ओर मुड़ जाएगी।

(C) रेखीय प्रसार का सूत्र $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ है।
यहाँ,$L_0 = 50 \, cm$ अंशांकन तापमान पर प्रारंभिक लंबाई है।
$\alpha = 1.0 \times 10^{-5} / ^{\circ}C$ स्टील का रेखीय प्रसार गुणांक है।
$\Delta T = T_f - T_i = 30^{\circ}C - 20^{\circ}C = 10^{\circ}C$ तापमान में परिवर्तन है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta L = (50 \, cm) \times (1.0 \times 10^{-5} / ^{\circ}C) \times (10^{\circ}C)$
$\Delta L = 500 \times 10^{-5} \, cm$
$\Delta L = 5 \times 10^{-3} \, cm$.
अतः,पाठ्यांक में त्रुटि $5 \times 10^{-3} \, cm$ है।

(B) आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ को संबंध $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
यहाँ $\frac{\Delta V}{V} = 0.12\% = 0.0012$ और $\Delta T = 20^{\circ}C$ दिया गया है।
मान रखने पर,$\gamma = \frac{\Delta V}{V \Delta T} = \frac{0.0012}{20} = 6 \times 10^{-5} /^{\circ}C$ प्राप्त होता है।
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ और आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ के बीच संबंध $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ होता है।
अतः,$\alpha = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} /^{\circ}C$ होगा।

(C) प्रारंभिक लंबाई $L_0$ वाली छड़ के लिए तापमान परिवर्तन $\Delta T$ के कारण लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों छड़ों की लंबाई में वृद्धि समान है,इसलिए:
$\Delta L_1 = \Delta L_2$
$l_1 \alpha_1 t = l_2 \alpha_2 t$
दोनों पक्षों को $t$ से विभाजित करने पर:
$l_1 \alpha_1 = l_2 \alpha_2$
इससे,हम $l_2$ को $l_1$ के पदों में लिख सकते हैं:
$l_2 = l_1 \frac{\alpha_1}{\alpha_2}$
हमें अनुपात $\frac{l_1}{l_1 + l_2}$ ज्ञात करना है। $l_2$ का मान रखने पर:
$\frac{l_1}{l_1 + l_1 \frac{\alpha_1}{\alpha_2}} = \frac{l_1}{l_1 (1 + \frac{\alpha_1}{\alpha_2})} = \frac{1}{\frac{\alpha_2 + \alpha_1}{\alpha_2}} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1 + \alpha_2}$

(B) आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ को $\gamma = \frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यहाँ,आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.12\% = \frac{0.12}{100} = 1.2 \times 10^{-3}$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 20\,^{\circ}C$ है।
इन मानों को रखने पर,$\gamma = \frac{1.2 \times 10^{-3}}{20} = 0.06 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-5}\,^{\circ}C^{-1}$ प्राप्त होता है।
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ और आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ होता है।
अतः,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5}\,^{\circ}C^{-1}$ होगा।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
अवकलन करने पर,आवर्तकाल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L}$ होता है।
चूंकि $\Delta L = L \alpha \Delta t$,इसलिए $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta t$ होता है।
अतः,समय में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha t$ है।
यह प्रति इकाई समय में खोया हुआ समय दर्शाता है।
प्रति दिन खोया हुआ समय ज्ञात करने के लिए,हम इसे एक दिन में कुल सेकंडों की संख्या से गुणा करते हैं,जो $24 \times 60 \times 60 = 86400 \, s$ है।
इस प्रकार,प्रति दिन खोया हुआ समय $\Delta T_{day} = \frac{1}{2} \alpha t \times 86400$ सेकंड है।

(A) जब एक द्वि-धात्विक पट्टी को गर्म किया जाता है, तो वह इस प्रकार मुड़ती है कि जिस धातु का रेखीय प्रसार गुणांक $(\alpha)$ अधिक होता है, वह वक्र के बाहरी (उत्तल) हिस्से की ओर होती है।
दी गई आकृति में, पीतल की पट्टी $(B)$ वक्र के बाहरी हिस्से में है, जबकि स्टील की पट्टी $(S)$ अंदरूनी (अवतल) हिस्से में है।
इसलिए, पीतल की पट्टी का रेखीय प्रसार गुणांक स्टील की पट्टी से अधिक है।

(D) जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो छड़ें फैलने की कोशिश करती हैं। चूंकि वे कठोर आधारों के बीच स्थिर हैं,इसलिए उन पर एक संपीड़न बल $F$ कार्य करता है। कुल लंबाई स्थिर रहने के लिए,प्रत्येक छड़ में उत्पन्न बल $F$ समान होना चाहिए।
ऊष्मीय प्रसार $\Delta L_{thermal} = L \alpha \Delta T$ है।
बल $F$ के कारण संपीड़न $\Delta L_{comp} = \frac{F L}{A Y}$ है।
कुल लंबाई स्थिर रहने के लिए,शुद्ध परिवर्तन शून्य होना चाहिए: $\Delta L_{thermal} - \Delta L_{comp} = 0$,जिसका अर्थ है $F = A Y \alpha \Delta T$।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों छड़ों में बल $F$ समान होगा:
$F_1 = F_2$
$A_1 Y_1 \alpha_1 \Delta T = A_2 Y_2 \alpha_2 \Delta T$
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\alpha_2 Y_2}{\alpha_1 Y_1}$

(B) तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 40\,^{\circ}C - 27\,^{\circ}C = 13\,^{\circ}C$ है।
पटरी का ऊष्मीय प्रसार $\Delta l = l \alpha \Delta T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$x$ चौड़ाई के अंतराल को भरने के लिए, पटरी का प्रसार अंतराल की चौड़ाई के बराबर होना चाहिए, इसलिए $\Delta l = x$।
मान रखने पर, हमें $x = l \alpha (13)$ प्राप्त होता है।
$l$ के लिए हल करने पर, हमें $l = \frac{x}{13\alpha}$ प्राप्त होता है।

(D) समबाहु त्रिभुज $PQR$ में,$\triangle OPR$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार ऊँचाई $OR$ इस प्रकार है:
$(OR)^2 = (PR)^2 - (OP)^2$
चूंकि $OP = l/2,$ इसलिए $(OR)^2 = l^2 - (l/2)^2 = 3l^2/4.$
जब तापमान में $\Delta t$ का परिवर्तन होता है,तो लंबाई $l' = l(1 + \alpha \Delta t)$ के अनुसार बदलती है।
मान लीजिए $PQ$ की नई लंबाई $l_1 = l(1 + \alpha_1 \Delta t)$ है,इसलिए $OP' = \frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta t).$
मान लीजिए $PR$ की नई लंबाई $l_2 = l(1 + \alpha_2 \Delta t)$ है,इसलिए $PR' = l(1 + \alpha_2 \Delta t).$
चूंकि $OR$ स्थिर रहता है,$(OR)^2 = (PR')^2 - (OP')^2.$
$(OR)^2$ के प्रारंभिक और अंतिम मानों की तुलना करने पर:
$l^2 - (l/2)^2 = [l(1 + \alpha_2 \Delta t)]^2 - [\frac{l}{2}(1 + \alpha_1 \Delta t)]^2$
$l^2 - \frac{l^2}{4} = l^2(1 + 2\alpha_2 \Delta t + \alpha_2^2 \Delta t^2) - \frac{l^2}{4}(1 + 2\alpha_1 \Delta t + \alpha_1^2 \Delta t^2)$
उच्च घात वाले पदों $\alpha^2 \Delta t^2$ की उपेक्षा करने पर:
$l^2 - \frac{l^2}{4} = l^2 + 2l^2 \alpha_2 \Delta t - \frac{l^2}{4} - \frac{l^2}{2} \alpha_1 \Delta t$
$0 = 2l^2 \alpha_2 \Delta t - \frac{l^2}{2} \alpha_1 \Delta t$
$2 \alpha_2 = \frac{1}{2} \alpha_1 \implies \alpha_1 = 4 \alpha_2.$

(B) जब एक धातु की शीट को गर्म किया जाता है,तो उसमें ऊष्मीय प्रसार होता है।
एक समदैशिक (isotropic) ठोस के लिए,यह प्रसार एक फोटोग्राफिक विस्तार के समान होता है,जिसका अर्थ है कि वस्तु का प्रत्येक भाग,जिसमें छेद भी शामिल हैं,समान अनुपात में फैलता है।
इसलिए,शीट पर किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी बढ़ जाती है,जिसका अर्थ है कि छेदों के व्यास ($d_1$ और $d_2$) भी बढ़ जाएंगे।

(D) किसी ठोस वस्तु का ऊष्मीय प्रसार फोटोग्राफिक विस्तार के समान होता है। जब किसी ठोस वस्तु को गर्म किया जाता है,तो उसके सभी रैखिक आयाम (लंबाई,व्यास,त्रिज्या) समान प्रतिशत से बढ़ते हैं।
दिया गया है कि बाहरी व्यास $d_1$ में $0.3\%$ की वृद्धि होती है,लंबाई में परिवर्तन $\Delta d_1 = \alpha d_1 \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है।
चूंकि आंतरिक व्यास $d_2$ भी उसी पदार्थ का एक रैखिक आयाम है,इसलिए यह भी उसी रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha$ के अनुसार विस्तारित होगा।
इसलिए,$d_2$ में प्रतिशत परिवर्तन $d_1$ में प्रतिशत परिवर्तन के समान होगा।
अतः,$d_2$ में भी $0.3\%$ की वृद्धि होगी।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln T = \ln(2\pi) + \frac{1}{2} \ln L - \frac{1}{2} \ln g$.
तापमान $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{T} \frac{dT}{d\theta} = \frac{1}{2L} \frac{dL}{d\theta}$.
चूंकि $\frac{dL}{d\theta} = L\alpha$,इसलिए $\frac{1}{T} \frac{dT}{d\theta} = \frac{1}{2L} (L\alpha) = \frac{\alpha}{2}$.
अतः,ढाल $S = \frac{dT}{d\theta} = \frac{T\alpha}{2}$.
दिया गया है कि $T = 2 \ s$,इसलिए $S = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि दोनों छड़ों की प्रारंभिक लंबाई $L_0$ है और प्रारंभिक तापमान $T_i = 30\,^{\circ}C$ है।
छड़ की अंतिम लंबाई का सूत्र $L = L_0(1 + \alpha \Delta T)$ है,जहाँ $\alpha$ रेखीय प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
चूंकि अंतिम लंबाई समान है,इसलिए:
$L_0(1 + \alpha_A \Delta T_A) = L_0(1 + \alpha_B \Delta T_B)$
यह सरल होकर मिलता है:
$\alpha_A \Delta T_A = \alpha_B \Delta T_B$
यहाँ $\frac{\alpha_A}{\alpha_B} = \frac{4}{3}$,$\Delta T_A = 180 - 30 = 150\,^{\circ}C$,और $\Delta T_B = T - 30$ है।
मान रखने पर:
$\frac{4}{3} = \frac{T - 30}{150}$
$T - 30 = \frac{4}{3} \times 150$
$T - 30 = 4 \times 50 = 200$
$T = 200 + 30 = 230\,^{\circ}C$.

(A) रैखिक प्रसार का सूत्र $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$ है।
यहाँ $\Delta L = 0.08 \ mm = 0.008 \ cm$,$L_0 = 10 \ cm$,और $\Delta T = 100 \ ^\circ C - 0 \ ^\circ C = 100 \ ^\circ C$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $0.008 = 10 \times \alpha \times 100$.
अतः,$\alpha = \frac{0.008}{1000} = 8 \times 10^{-6} / ^\circ C$.
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ का रैखिक प्रसार गुणांक $\alpha$ के साथ संबंध $\gamma = 3\alpha$ होता है।
इसलिए,$\gamma = 3 \times 8 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} / ^\circ C$.
$T$ तापमान पर आयतन $V_T = V_0(1 + \gamma \Delta T)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$V_{100} = 1000(1 + 24 \times 10^{-6} \times 100) = 1000(1 + 24 \times 10^{-4}) = 1000(1 + 0.0024) = 1000(1.0024) = 1002.4 \ cc$.

(B) मान लीजिए तापमान $T$ पर छड़ों की लंबाई $L_1$ और $L_2$ है।
तापमान $T + \Delta T$ पर,नई लंबाई $L_1' = L_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ और $L_2' = L_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$ होगी।
लंबाई के बीच का अंतर तापमान से स्वतंत्र है,इसलिए $L_1' - L_2' = L_1 - L_2$।
व्यंजक रखने पर: $L_1(1 + \alpha_1 \Delta T) - L_2(1 + \alpha_2 \Delta T) = L_1 - L_2$।
इसका विस्तार करने पर,हमें मिलता है $L_1 + L_1 \alpha_1 \Delta T - L_2 - L_2 \alpha_2 \Delta T = L_1 - L_2$।
दोनों पक्षों से $(L_1 - L_2)$ घटाने पर,$L_1 \alpha_1 \Delta T = L_2 \alpha_2 \Delta T$।
चूंकि $\Delta T \neq 0$,इसलिए $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$।
अतः,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$।

(D) मान लीजिए $T_1 = 10 \ ^oC$ पर प्रारंभिक लंबाई $L_0 = 90 \ cm$ है। तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 30 - 10 = 20 \ ^oC$ है।
$30 \ ^oC$ पर तांबे की छड़ की वास्तविक लंबाई $L_{cu} = L_0(1 + \alpha_{cu} \Delta T) = 90(1 + 1.7 \times 10^{-5} \times 20) = 90(1 + 3.4 \times 10^{-4}) = 90.0306 \ cm$ है।
स्टील टेप भी फैलता है। $30 \ ^oC$ पर टेप पर प्रत्येक $1 \ cm$ विभाजन की लंबाई $L'_{st} = 1(1 + \alpha_{st} \Delta T) = 1(1 + 1.2 \times 10^{-5} \times 20) = 1(1 + 2.4 \times 10^{-4}) = 1.00024 \ cm$ हो जाती है।
टेप पर रीडिंग छड़ की वास्तविक लंबाई और टेप पर एक विभाजन की लंबाई का अनुपात है: $\text{Reading} = \frac{L_{cu}}{L'_{st}} = \frac{90(1 + 3.4 \times 10^{-4})}{1 + 2.4 \times 10^{-4}} \approx 90(1 + 3.4 \times 10^{-4})(1 - 2.4 \times 10^{-4}) \approx 90(1 + 1.0 \times 10^{-4}) = 90.009 \ cm \approx 90.01 \ cm$.

(A) मान लीजिए कि $0^{\circ}C$ पर तांबे की छड़ की लंबाई $L_{c0}$ और लोहे की छड़ की लंबाई $L_{i0}$ है।
तापमान $T$ पर लंबाई $l_1 = L_{c0}(1 + \alpha_c T)$ और $l_2 = L_{i0}(1 + \alpha_i T)$ द्वारा दी जाती है।
अंतर $l_2 - l_1 = L_{i0} - L_{c0} + (L_{i0}\alpha_i - L_{c0}\alpha_c)T$ है।
अंतर को $T$ से स्वतंत्र होने के लिए,$T$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$L_{i0}\alpha_i - L_{c0}\alpha_c = 0 \implies L_{i0}\alpha_i = L_{c0}\alpha_c$.
दिया गया है कि $\alpha_c = 2.0 \times 10^{-6}\,^{\circ}C^{-1}$ और $\alpha_i = 1.0 \times 10^{-6}\,^{\circ}C^{-1}$,इसलिए $L_{i0}(1.0 \times 10^{-6}) = L_{c0}(2.0 \times 10^{-6})$,जिसका अर्थ है $L_{i0} = 2L_{c0}$।
हमें दिया गया है कि $l_2 - l_1 = 15\,cm$,जिसका अर्थ है $L_{i0} - L_{c0} = 15\,cm$।
$L_{i0} = 2L_{c0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2L_{c0} - L_{c0} = 15\,cm$ प्राप्त होता है,इसलिए $L_{c0} = 15\,cm$ और $L_{i0} = 30\,cm$।
चूंकि अंतर स्थिर है,इसलिए $l_1 = L_{c0} = 15\,cm$ और $l_2 = L_{i0} = 30\,cm$ है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब तापमान कम होता है,तो थर्मल संकुचन के कारण लोलक की छड़ की लंबाई $L$ कम हो जाती है।
चूंकि $T \propto \sqrt{L}$,आवर्तकाल $T$ कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि घड़ी तेज चलती है और समय प्राप्त करती है।
आवर्तकाल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है।
प्रति दिन प्राप्त समय $\Delta t = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta \times t$ है,जहाँ $t$ एक दिन में कुल सेकंड की संख्या है।
दिया गया है: $\alpha = 18 \times 10^{-6}/^{\circ}C$,$\Delta \theta = 20^{\circ}C - 0^{\circ}C = 20^{\circ}C$,और $t = 24 \times 3600 \, s = 86400 \, s$।
मान रखने पर: $\Delta t = \frac{1}{2} \times (18 \times 10^{-6}) \times 20 \times 86400$।
$\Delta t = 180 \times 10^{-6} \times 86400 = 0.18 \times 86.4 = 15.552 \, s$।
इस प्रकार,घड़ी प्रति दिन लगभग $15.55 \, s$ आगे हो जाती है।

(B) आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और आयतन में परिवर्तन के बीच संबंध: $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ है।
यहाँ आयतन में $0.15\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{\Delta V}{V} = \frac{0.15}{100} = 0.0015$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 24\,^{\circ}C$ है।
इन मानों को रखने पर,$\gamma = \frac{\Delta V}{V \Delta T} = \frac{0.15}{100 \times 24} = 6.25 \times 10^{-5} /^{\circ}C$ प्राप्त होता है।
ठोस के लिए,आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ और रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ के बीच संबंध $\gamma = 3\alpha$ होता है।
अतः,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6.25 \times 10^{-5}}{3} \approx 2.08 \times 10^{-5} /^{\circ}C$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $2.0 \times 10^{-5} /^{\circ}C$ है।

(A) जब किसी छेद वाली ठोस वस्तु को गर्म किया जाता है,तो पदार्थ सभी दिशाओं में फैलता है। पदार्थ का विस्तार उन्हीं नियमों का पालन करता है जैसे कि छेद उसी पदार्थ से भरा हुआ हो। चूंकि ऊष्मीय प्रसार के कारण परमाणु एक-दूसरे से दूर हो जाते हैं,इसलिए वस्तु के रैखिक आयाम,जिसमें छेद का व्यास भी शामिल है,बढ़ जाते हैं। इसलिए,छेद का व्यास हमेशा बढ़ेगा।

(A) जब छेदों वाली धातु की शीट को गर्म किया जाता है,तो पदार्थ ऐसे फैलता है जैसे कि पूरी शीट ठोस हो। पदार्थ का विस्तार ठोस पिंड के विस्तार के समान नियमों का पालन करता है। इसलिए,गर्म करने पर शीट पर किन्हीं भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी बढ़ जाती है। चूंकि $A$,$B$,और $C$ धातु की शीट पर स्थित बिंदु हैं,इसलिए ऊष्मीय विस्तार के कारण दूरियां $AB$ (छेद का व्यास) और $BC$ (दो छेदों के बीच की दूरी) दोनों बढ़ जाएंगी।