Linear inequalities for Multiple Lines Questions in Gujarati

(N/A) સુરેખ સમીકરણ $x+y=5$ નો આલેખ દોરવામાં આવે છે.
અસમતા $(1)$ એ રેખા $x+y=5$ ની ઉપરનો છાયાંકિત પ્રદેશ દર્શાવે છે,જેમાં રેખા પરના બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.
તે જ અક્ષો પર,આપણે સમીકરણ $x-y=3$ નો આલેખ દોરીએ છીએ. ત્યારબાદ આપણે જોઈએ છીએ કે અસમતા $(2)$ એ રેખા $x-y=3$ ની ઉપરનો છાયાંકિત પ્રદેશ દર્શાવે છે,જેમાં રેખા પરના બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.
સ્પષ્ટપણે,ઉપરના બંને છાયાંકિત પ્રદેશોમાં સામાન્ય એવો દ્વિ-છાયાંકિત પ્રદેશ એ આપેલી અસમતાઓ માટેનો જરૂરી ઉકેલ પ્રદેશ છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,આપણે રેખાઓ $5x + 4y = 40$,$x = 2$ અને $y = 3$ ના આલેખ દોરીએ છીએ.
$5x + 4y = 40$ માટે,અંતઃખંડો $(8, 0)$ અને $(0, 10)$ છે. અસમતા $5x + 4y \leq 40$ આ રેખાની નીચેનો અથવા રેખા પરનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
અસમતા $x \geq 2$ એ શિરોલંબ રેખા $x = 2$ ની જમણી બાજુનો અથવા રેખા પરનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
અસમતા $y \geq 3$ એ સમક્ષિતિજ રેખા $y = 3$ ની ઉપરનો અથવા રેખા પરનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
આ સંહતિનો ઉકેલ એ ત્રણેય રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ છે,જે $(2, 3)$,$(5.6, 3)$ અને $(2, 7.5)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ બનાવે છે.

(N/A) અસમતાઓની સંહતિને આલેખની મદદથી ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ રેખાઓ $x + 2y = 8$ અને $2x + y = 8$ દોરીએ છીએ.
રેખા $x + 2y = 8$ માટે:
જો $x = 0$,તો $y = 4$. જો $y = 0$,તો $x = 8$. આ રેખા $(0, 4)$ અને $(8, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા $2x + y = 8$ માટે:
જો $x = 0$,તો $y = 8$. જો $y = 0$,તો $x = 4$. આ રેખા $(0, 8)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
અસમતાઓ $x + 2y \leqslant 8$ અને $2x + y \leqslant 8$ અનુક્રમે આ રેખાઓની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$x \geqslant 0$ અને $y \geqslant 0$ હોવાથી,ઉકેલનો પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત છે.
બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $x + 2y = 8$ અને $2x + y = 8$ ને ઉકેલીને મળે છે. પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા $2x + 4y = 16$ મળે છે. બીજા સમીકરણને બાદ કરતા $3y = 8$ મળે છે,તેથી $y = 8/3$. ત્યારબાદ $x = 8 - 2(8/3) = 8/3$. છેદબિંદુ $(8/3, 8/3)$ છે.
આલેખમાં છાયાંકિત પ્રદેશ એ આપેલી અસમતાઓની સંહતિનો સામાન્ય ઉકેલ ગણ દર્શાવે છે.

(N/A) આપેલ અસમતાઓની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x \geq 3$ ..... $(1)$
$y \geq 2$ ..... $(2)$
રેખાઓ $x=3$ અને $y=2$ ના આલેખ કાર્તેઝિયન સમતલમાં દોરવામાં આવ્યા છે.
અસમતા $(1)$ એ રેખા $x=3$ ની જમણી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $x=3$ સહિત).
અસમતા $(2)$ એ રેખા $y=2$ ની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $y=2$ સહિત).
આમ,આપેલ સુરેખ અસમતાઓની સંહતિનો ઉકેલ એ બંને પ્રદેશોનો સામાન્ય છાયાંકિત ભાગ છે,જેમાં સંબંધિત રેખાઓ પરના બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.

(N/A) $3x + 2y \leq 12$ ...... $(1)$
$x \geq 1$ ...... $(2)$
$y \geq 2$ ...... $(3)$
રેખાઓ $3x + 2y = 12$,$x = 1$ અને $y = 2$ ના આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
અસમતા $(1)$ એ રેખા $3x + 2y = 12$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $3x + 2y = 12$ નો સમાવેશ કરીને).
અસમતા $(2)$ એ રેખા $x = 1$ ની જમણી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $x = 1$ નો સમાવેશ કરીને).
અસમતા $(3)$ એ રેખા $y = 2$ ની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $y = 2$ નો સમાવેશ કરીને).
આમ,આપેલી સુરેખ અસમતાઓનો ઉકેલ એ સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેમાં સંબંધિત રેખાઓ પરના બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.

(N/A) $2x + y \geq 6$ ..... $(1)$
$3x + 4y \leq 12$ ..... $(2)$
રેખાઓ $2x + y = 6$ અને $3x + 4y = 12$ ના આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. અસમતા $(1)$ એ $2x + y = 6$ રેખાની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $2x + y = 6$ સહિત),અને અસમતા $(2)$ એ $3x + 4y = 12$ રેખાની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $3x + 4y = 12$ સહિત).
આમ,આપેલ સુરેખ અસમતાઓનો ઉકેલ એ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સંબંધિત રેખાઓ પરના બિંદુઓ સહિતનો સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ છે.

(N/A) $x+y \geq 4$ ..... $(1)$
$2x-y > 0$ ..... $(2)$
રેખાઓ $x+y=4$ અને $2x-y=0$ ના આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
અસમતા $(1)$ એ રેખા $x+y=4$ ની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $x+y=4$ નો સમાવેશ કરીને).
અવલોકન કરતા જણાય છે કે $(1,0)$ એ અસમતા $2x-y > 0$ નું સમાધાન કરે છે કારણ કે $2(1)-0 = 2 > 0$. તેથી,અસમતા $(2)$ એ રેખા $2x-y=0$ ને અનુરૂપ અર્ધતલ દર્શાવે છે જેમાં બિંદુ $(1,0)$ નો સમાવેશ થાય છે.
આમ,આપેલ સુરેખ અસમતાઓનો ઉકેલ એ સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેમાં રેખા $x+y=4$ પરના બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે અને રેખા $2x-y=0$ પરના બિંદુઓનો સમાવેશ થતો નથી.

(N/A) $2x - y > 1$ ..... $(1)$
$x - 2y < -1$ ..... $(2)$
રેખાઓ $2x - y = 1$ અને $x - 2y = -1$ નો આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
અસમતા $(1)$ એ રેખા $2x - y = 1$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $2x - y = 1$ ને બાદ કરતાં),અને અસમતા $(2)$ એ રેખા $x - 2y = -1$ ની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $x - 2y = -1$ ને બાદ કરતાં).
આમ,આપેલી સુરેખ અસમતાઓનો ઉકેલ એ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બંને રેખાઓ પરના બિંદુઓને બાદ કરતાં સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(N/A) $x+y \leq 6$ ..... $(1)$
$x+y \geq 4$ ..... $(2)$
રેખાઓ $x+y=6$ અને $x+y=4$ ના આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
અસમતા $(1)$ એ રેખા $x+y=6$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $x+y=6$ સહિત),અને અસમતા $(2)$ એ રેખા $x+y=4$ ની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $x+y=4$ સહિત).
તેથી,આપેલ સુરેખ અસમતાઓનો ઉકેલ એ સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેમાં સંબંધિત રેખાઓ પરના બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) અસમતાઓ $2x + y \geq 8$ અને $x + 2y \geq 10$ ને આલેખની મદદથી ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંબંધિત સમીકરણો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
$2x + y = 8$ ... $(1)$
$x + 2y = 10$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માટે,જો $x = 0$,તો $y = 8$. જો $y = 0$,તો $x = 4$. આ રેખા $(0, 8)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણ $(2)$ માટે,જો $x = 0$,તો $y = 5$. જો $y = 0$,તો $x = 10$. આ રેખા $(0, 5)$ અને $(10, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
બંને અસમતાઓ $\geq$ પ્રકારની હોવાથી,દરેક અસમતા માટેનો ઉકેલ પ્રદેશ સંબંધિત રેખાઓની ઉપરનો ભાગ છે.
બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ સમીકરણો ઉકેલીને મેળવી શકાય છે:
$2(2x + y = 8) \Rightarrow 4x + 2y = 16$
આમાંથી $(2)$ બાદ કરતા: $(4x + 2y) - (x + 2y) = 16 - 10$ $\Rightarrow 3x = 6$ $\Rightarrow x = 2$.
$x = 2$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $2(2) + y = 8$ $\Rightarrow 4 + y = 8$ $\Rightarrow y = 4$.
છેદબિંદુ $(2, 4)$ છે.
આ સંહતિનો ઉકેલ એ સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ છે જે રેખાઓ $2x + y = 8$ અને $x + 2y = 10$ દ્વારા સીમિત છે,જેમાં રેખાઓ પરના બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.

(N/A) $x+y \leq 9$ .... $(1)$
$y>x$ .... $(2)$
$x \geq 0$ .... $(3)$
રેખાઓ $x+y=9$ અને $y=x$ નો આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દોરવામાં આવ્યો છે.
અસમતા $(1)$ એ રેખા $x+y=9$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $x+y=9$ નો સમાવેશ કરીને). તે અવલોકન કરવામાં આવે છે કે $(0,1)$ એ અસમતા $y>x$ $[1>0]$ નું સમાધાન કરે છે. તેથી,અસમતા $(2)$ એ રેખા $y=x$ ને અનુરૂપ અર્ધતલ દર્શાવે છે,જેમાં બિંદુ $(0,1)$ નો સમાવેશ થાય છે (રેખા $y=x$ ને બાકાત રાખીને). અસમતા $(3)$ એ રેખા $x=0$ અથવા $y$-અક્ષની જમણી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે ($y$-અક્ષનો સમાવેશ કરીને).
આમ,આપેલ સુરેખ અસમતાઓનો ઉકેલ એ સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેમાં રેખાઓ $x+y=9$ અને $x=0$ પરના બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે,અને રેખા $y=x$ પરના બિંદુઓને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બાકાત રાખવામાં આવ્યા છે.

(N/A) આપેલ અસમતાઓની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$5x + 4y \leq 20$ .....$(1)$
$x \geq 1$ .....$(2)$
$y \geq 2$ .....$(3)$
સૌ પ્રથમ,આપણે અનુરૂપ સમીકરણો $5x + 4y = 20$,$x = 1$ અને $y = 2$ ના આલેખ દોરીએ છીએ.
$1$. $5x + 4y = 20$ માટે,જો $x = 0$ હોય તો $y = 5$; જો $y = 0$ હોય તો $x = 4$. આ રેખા $(0, 5)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. અસમતા $\leq$ હોવાથી,પ્રદેશ રેખાની નીચેનો ભાગ છે.
$2$. $x = 1$ માટે,પ્રદેશ શિરોલંબ રેખા $x = 1$ ની જમણી બાજુએ છે.
$3$. $y = 2$ માટે,પ્રદેશ આડી રેખા $y = 2$ ની ઉપરનો ભાગ છે.
સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ એ આપેલ અસમતાઓની સંહતિનો ઉકેલ દર્શાવે છે,જે $(1, 2)$,$(2.4, 2)$ અને $(1, 3.75)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.

(N/A) $3x + 4y \leq 60$ ...... $(1)$
$x + 3y \leq 30$ ...... $(2)$
રેખાઓ $3x + 4y = 60$ અને $x + 3y = 30$ નો આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
અસમતા $(1)$ એ રેખા $3x + 4y = 60$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $3x + 4y = 60$ સહિત),અને અસમતા $(2)$ એ રેખા $x + 3y = 30$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા $x + 3y = 30$ સહિત).
$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ હોવાથી,પ્રથમ ચરણમાં સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશનો દરેક બિંદુ,જેમાં સંબંધિત રેખાઓ અને અક્ષો પરના બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે,તે આપેલ સુરેખ અસમતાઓનો ઉકેલ દર્શાવે છે.

(N/A) $2x + y \geq 4$ ...... $(1)$
$x + y \leq 3$ ...... $(2)$
$2x - 3y \leq 6$ ...... $(3)$
રેખાઓ $2x + y = 4$,$x + y = 3$ અને $2x - 3y = 6$ ના આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
અસમતા $(1)$ એ રેખા $2x + y = 4$ ની ઉપરનો વિસ્તાર દર્શાવે છે (રેખા સહિત).
અસમતા $(2)$ એ રેખા $x + y = 3$ ની નીચેનો વિસ્તાર દર્શાવે છે (રેખા સહિત).
અસમતા $(3)$ એ રેખા $2x - 3y = 6$ ની ઉપરનો વિસ્તાર દર્શાવે છે (રેખા સહિત).
આમ,આપેલી સુરેખ અસમતાઓનો ઉકેલ એ આલેખમાં સામાન્ય છાયાંકિત ત્રિકોણાકાર પ્રદેશ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેમાં સંબંધિત સીમા રેખાઓ પરના બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.

(N/A) આપેલ અસમતાઓની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x-2y \leq 3$ .....$(1)$
$3x+4y \geq 12$ .....$(2)$
$y \geq 1$ .....$(3)$
$x \geq 0$ .....$(4)$
સૌ પ્રથમ,આપણે રેખાઓ $x-2y=3$,$3x+4y=12$,$y=1$ અને $x=0$ ($y$-અક્ષ) ના આલેખ દોરીશું.
અસમતા $(1)$ માટે,બિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા: $0-0 \leq 3$ સત્ય છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફનો છે. રેખા $x-2y=3$ એ $(3,0)$ અને $(0,-1.5)$ માંથી પસાર થાય છે.
અસમતા $(2)$ માટે,બિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા: $0+0 \geq 12$ અસત્ય છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂરનો છે. રેખા $3x+4y=12$ એ $(4,0)$ અને $(0,3)$ માંથી પસાર થાય છે.
અસમતા $(3)$ માટે,પ્રદેશ રેખા $y=1$ ની ઉપરનો છે.
અસમતા $(4)$ માટે,પ્રદેશ $y$-અક્ષની જમણી બાજુનો છે.
આ તમામ અસમતાઓનું સમાધાન કરતો સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ એ આલેખમાં દર્શાવેલ શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ છે.

(N/A) આપેલ અસમતાઓની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$4x + 3y \leq 60$ .....$(1)$
$y \geq 2x$ .....$(2)$
$x \geq 3$ .....$(3)$
આને આલેખની મદદથી ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંબંધિત રેખાઓ દોરીશું:
$1$. $4x + 3y = 60$ માટે: જો $x=0, y=20$; જો $y=0, x=15$. આ રેખા $(0, 20)$ અને $(15, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. $y = 2x$ માટે: આ રેખા $(0, 0)$ અને $(3, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
$3$. $x = 3$ માટે: આ એક શિરોલંબ રેખા છે જે $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
પ્રદેશોનું વિશ્લેષણ:
- અસમતા $(1)$ એ રેખા $4x + 3y = 60$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
- અસમતા $(2)$ એ રેખા $y = 2x$ ની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
- અસમતા $(3)$ એ રેખા $x = 3$ ની જમણી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
આલેખમાં સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ એ આપેલ સુરેખ અસમતાઓની સંહતિનો ઉકેલ દર્શાવે છે.

(N/A) $3x + 2y \leq 150$ .... $(1)$
$x + 4y \leq 80$ .... $(2)$
$x \leq 15$ .... $(3)$
રેખાઓ $3x + 2y = 150$,$x + 4y = 80$ અને $x = 15$ ના આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
અસમતા $(1)$ એ રેખા $3x + 2y = 150$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા સહિત).
અસમતા $(2)$ એ રેખા $x + 4y = 80$ ની નીચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા સહિત).
અસમતા $(3)$ એ રેખા $x = 15$ ની ડાબી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે (રેખા સહિત).
$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ હોવાથી,ઉકેલ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ છે,જેમાં સંબંધિત રેખાઓ અને અક્ષો પરના બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.

(N/A) આપેલ અસમતાઓ નીચે મુજબ છે:
$x+2y \leq 10$ .....$(1)$
$x+y \geq 1$ .....$(2)$
$x-y \leq 0$ .....$(3)$
$x \geq 0, y \geq 0$ .....$(4)$
આને આલેખની મદદથી ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ રેખાઓ $x+2y=10$,$x+y=1$,અને $x-y=0$ દોરીશું.
$1$. $x+2y=10$ માટે: જો $x=0, y=5$; જો $y=0, x=10$. આ રેખા $(0, 5)$ અને $(10, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $(0,0)$ એ $x+2y \leq 10$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફનો છે.
$2$. $x+y=1$ માટે: જો $x=0, y=1$; જો $y=0, x=1$. આ રેખા $(0, 1)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $(0,0)$ એ $x+y \geq 1$ નું સમાધાન કરતું નથી,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂરનો છે.
$3$. $x-y=0$ માટે: આ રેખા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ અને $(2,2)$ માંથી પસાર થાય છે. $(0,1)$ જેવા બિંદુને ચકાસતા,$0-1 \leq 0$ સાચું છે,તેથી પ્રદેશ રેખા $x-y=0$ ની ઉપરનો છે.
પ્રથમ ચરણમાં આ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ એ આપેલ સુરેખ અસમતાઓની સંહતિનો ઉકેલ દર્શાવે છે.

(B) પગલું $1$: સીમા રેખાઓ $x - y + 2 = 0$ અને $2x + y - 5 = 0$ ધ્યાનમાં લો.
પગલું $2$: $x - y + 2 = 0$ માટે,જો $x = 0$,તો $y = 2$; જો $y = 0$,તો $x = -2$. રેખા $(0, 2)$ અને $(-2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $(0, 0)$ બિંદુ ચકાસતા,$0 - 0 + 2 \geq 0$ સત્ય છે,તેથી પ્રદેશમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થાય છે.
પગલું $3$: $2x + y - 5 = 0$ માટે,જો $x = 0$,તો $y = 5$; જો $y = 0$,તો $x = 2.5$. રેખા $(0, 5)$ અને $(2.5, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $(0, 0)$ બિંદુ ચકાસતા,$2(0) + 0 - 5 \leq 0$ સત્ય છે,તેથી પ્રદેશમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થાય છે.
પગલું $4$: ઉકેલ એ બંને અસમતાઓનું એકસાથે પાલન કરતો સામાન્ય છાયાંકિત પ્રદેશ છે.

(A) સિસ્ટમ $x+y < 2, x > 0, y > 1$ ને આલેખની રીતે ઉકેલવા માટે,આપણે સંબંધિત સમીકરણો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
$1$. $x+y = 2$
$2$. $x = 0$
$3$. $y = 1$
પગલું $1$: રેખા $x+y = 2$ દોરો. તે $(2, 0)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. અસમતા $x+y < 2$ હોવાથી,પ્રદેશ રેખાની નીચે છે.
પગલું $2$: રેખા $x = 0$ એ $y$-અક્ષ છે. અસમતા $x > 0$ એ $y$-અક્ષની જમણી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
પગલું $3$: રેખા $y = 1$ એ આડી રેખા છે. અસમતા $y > 1$ એ આ રેખાની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
આ બધાને જોડતા:
આપણને $x > 0, y > 1$ અને $x+y < 2$ ની જરૂર છે.
જો $y > 1$ અને $x > 0$ હોય,તો $x+y > 1$ થાય.
$y > 1$ અને $x > 0$ હોય ત્યારે $x+y < 2$ સાચું રહે તે માટે,પ્રદેશ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ હોવો જોઈએ.
$x=0$ અને $y=1$ નું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
$x+y=2$ અને $y=1$ નું છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
$x+y=2$ અને $x=0$ નું છેદબિંદુ $(0, 2)$ છે.
અસમતાઓ કડક ($ < $ અને $>$) હોવાથી,પ્રદેશ એ $(0, 1), (1, 1), (0, 2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે,જેમાં સીમાઓનો સમાવેશ થતો નથી.

(N/A) અસમતાઓની સિસ્ટમને આલેખની મદદથી ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંબંધિત સમીકરણો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
$1$. $5x + 3y = 15$
$x = 0$ માટે,$y = 5$. $y = 0$ માટે,$x = 3$. આ રેખા $(0, 5)$ અને $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. $4x + 5y = 20$
$x = 0$ માટે,$y = 4$. $y = 0$ માટે,$x = 5$. આ રેખા $(0, 4)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$3$. $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ સૂચવે છે કે ઉકેલ પ્રથમ ચરણમાં છે.
બંને અસમતાઓ માટે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ ચકાસતા:
$5(0) + 3(0) = 0 \leq 15$ (સત્ય)
$4(0) + 5(0) = 0 \leq 20$ (સત્ય)
બંને સત્ય હોવાથી,છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ $(0, 0), (3, 0), (15/13, 40/13),$ અને $(0, 4)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા ઘેરાયેલ ચતુષ્કોણ છે.

(A) $1$. અસમતા $2x + y \leq 12$ ધ્યાનમાં લો. સીમા રેખા $2x + y = 12$ છે. $x=0$ માટે $y=12$; $y=0$ માટે $x=6$. આ પ્રદેશમાં ઉગમબિંદુ $(0,0)$ નો સમાવેશ થાય છે કારણ કે $0 \leq 12$.
$2$. અસમતા $x + 2y \leq 7$ ધ્યાનમાં લો. સીમા રેખા $x + 2y = 7$ છે. $x=0$ માટે $y=3.5$; $y=0$ માટે $x=7$. આ પ્રદેશમાં ઉગમબિંદુ $(0,0)$ નો સમાવેશ થાય છે કારણ કે $0 \leq 7$.
$3$. શરતો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ ઉકેલને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
$4$. $2x + y = 12$ અને $x + 2y = 7$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે,બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણો: $2x + 4y = 14$. તેમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતાં $3y = 2$ મળે,તેથી $y = 2/3$. ત્યારબાદ $x = 7 - 2(2/3) = 17/3$.
$5$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0,0), (6,0), (17/3, 2/3), (0, 3.5)$ છે.

આપેલ અસમતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1. x > 0$ ($y$-અક્ષની જમણી બાજુનો વિસ્તાર)
$2. y > 0$ ($x$-અક્ષની ઉપરનો વિસ્તાર)
$3. x \leq 3$ ($x = 3$ રેખાની ડાબી બાજુનો વિસ્તાર)
$4. y \leq 2$ ($y = 2$ રેખાની નીચેનો વિસ્તાર)
આને આલેખ દ્વારા ઉકેલવા માટે,આપણે $x = 0$ ($y$-અક્ષ),$y = 0$ ($x$-અક્ષ),$x = 3$ અને $y = 2$ રેખાઓ દોરીએ છીએ.
ઉકેલ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલ લંબચોરસ વિસ્તાર છે જે શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (3, 0), (3, 2)$ અને $(0, 2)$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.

(N/A) અસમતાઓની સિસ્ટમને આલેખની મદદથી ઉકેલવા માટે,આપણે અનુરૂપ સમીકરણો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
$1$. $x = 1$ (રેખા $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,ડાબી બાજુ છાયાંકિત કરો).
$2$. $y = 0$ ($x$-અક્ષ,રેખાની નીચે છાયાંકિત કરો).
$3$. $x = -3$ (રેખા $(-3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,જમણી બાજુ છાયાંકિત કરો).
$4$. $x + y = 0$ અથવા $y = -x$ (રેખા $(0, 0)$ અને $(1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,રેખાની ઉપર છાયાંકિત કરો).
ઉકેલ પ્રદેશ એ આ ચાર અર્ધ-તલોનો છેદ છે. પરિણામી પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(-3, 3)$,$(-3, 0)$ અને $(1, -1)$ છે.

(A) અસમતાઓ $3x + y > 0$ અને $3x + y < 3$ ને આલેખની મદદથી ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સીમા રેખાઓને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
$1$. $3x + y = 0$ માટે,આપણે $(0, 0)$ અને $(1, -3)$ માંથી પસાર થતી રેખા દોરીએ છીએ. અસમતા $3x + y > 0$ હોવાથી,ઉકેલ પ્રદેશ આ રેખાની ઉપરનો અર્ધ-તલ છે.
$2$. $3x + y = 3$ માટે,આપણે $(1, 0)$ અને $(0, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા દોરીએ છીએ. અસમતા $3x + y < 3$ હોવાથી,ઉકેલ પ્રદેશ આ રેખાની નીચેનો અર્ધ-તલ છે.
$3$. આ બંને પ્રદેશોનો છેદગણ એ $3x + y = 0$ અને $3x + y = 3$ સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનો પટ્ટો છે.

(N/A) અસમતાઓની સિસ્ટમને આલેખની મદદથી ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સીમા રેખાઓ શોધવા માટે સંબંધિત સમીકરણો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
$1$. $x = 0$ ($y$-અક્ષ)
$2$. $y = 0$ ($x$-અક્ષ)
$3$. $x + y = 6$: જો $x=0, y=6$; જો $y=0, x=6$. રેખા $(0, 6)$ અને $(6, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$4$. $3x + 4y = 12$: જો $x=0, y=3$; જો $y=0, x=4$. રેખા $(0, 3)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્યારબાદ,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ:
- $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ ઉકેલને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
- $x + y \leq 6$ માટે,પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે કારણ કે $(0,0)$ એ $0+0 \leq 6$ નું સમાધાન કરે છે.
- $3x + 4y \leq 12$ માટે,પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે કારણ કે $(0,0)$ એ $0+0 \leq 12$ નું સમાધાન કરે છે.
આ પ્રદેશોનો છેદબિંદુ એ $(0, 0), (4, 0), (0, 3)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતો બહુકોણ છે.

(C) પ્રથમ અસમતા માટે:
$x+5 > 2x+2$
$5-2 > 2x-x$
$3 > x$ અથવા $x < 3$
બીજી અસમતા માટે:
$2-x < 3x+6$
$2-6 < 3x+x$
$-4 < 4x$
$-1 < x$ અથવા $x > -1$
બંને અસમતાઓને જોડતા,આપણને $-1 < x < 3$ મળે છે.

(C) આપેલ અસમતાઓ છે:
$2(x-6) < 3x-7$
$2x - 12 < 3x - 7$
$-12 + 7 < 3x - 2x$
$-5 < x$ અથવા $x > -5$
અને $11-2x < 6-x$
$11 - 6 < 2x - x$
$5 < x$ અથવા $x > 5$
બંને અસમતાઓનું સમાધાન કરવા માટે,આપણે $x > -5$ અને $x > 5$ નો છેદગણ લેવો પડે.
છેદગણ $x > 5$ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(5, \infty)$ છે.

(A) આપેલ અસમતાઓ:
$|x-1| \leq 5$ $(i)$
$|x| \geq 2$ $(ii)$
$(i)$ નો ઉકેલ:
$|x-1| \leq 5$
$-5 \leq x-1 \leq 5$
$-5+1 \leq x \leq 5+1$
$-4 \leq x \leq 6$
તેથી,$x \in [-4, 6]$.
$(ii)$ નો ઉકેલ:
$|x| \geq 2$
$x \leq -2$ અથવા $x \geq 2$
તેથી,$x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ના ઉકેલોને જોડતા:
આપણે $[-4, 6]$ અને $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ નો છેદગણ શોધીએ છીએ.
છેદગણ $= [-4, -2] \cup [2, 6]$.

(N/A) પ્રથમ,આપણે રેખા $3x + 2y = 48$ ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,જે $X$-અક્ષને $(16, 0)$ પર અને $Y$-અક્ષને $(0, 24)$ પર છેદે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છાયાંકિત પ્રદેશની અંદર હોવાથી,તે અસમતા $3x + 2y \leq 48$ નું સમાધાન કરે છે.
ત્યારબાદ,આપણે રેખા $x + y = 20$ ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,જે $X$-અક્ષને $(20, 0)$ પર અને $Y$-અક્ષને $(0, 20)$ પર છેદે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છાયાંકિત પ્રદેશની અંદર હોવાથી,તે અસમતા $x + y \leq 20$ નું સમાધાન કરે છે.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે છાયાંકિત પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
આમ,છાયાંકિત પ્રદેશને દર્શાવતી સુરેખ અસમતાઓ $3x + 2y \leq 48$,$x + y \leq 20$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.

(N/A) $1$. રેખા $x+y=4$ ધ્યાનમાં લો. આ રેખા $X$-અક્ષને $(4,0)$ પર અને $Y$-અક્ષને $(0,4)$ પર છેદે છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા,$0+0 \leq 4$ અસત્ય છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુએ છે,જે $x+y \geq 4$ આપે છે.
$2$. રેખા $x+y=8$ ધ્યાનમાં લો. આ રેખા $X$-અક્ષને $(8,0)$ પર અને $Y$-અક્ષને $(0,8)$ પર છેદે છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા,$0+0 \leq 8$ સત્ય છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફની બાજુએ છે,જે $x+y \leq 8$ આપે છે.
$3$. શિરોલંબ રેખા $x=5$ એ $X$-અક્ષને $(5,0)$ પર છેદે છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ડાબી બાજુએ છે,તેથી $x \leq 5$.
$4$. આડી રેખા $y=5$ એ $Y$-અક્ષને $(0,5)$ પર છેદે છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે છે,તેથી $y \leq 5$.
$5$. છાયાંકિત પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ મળે છે.
આમ,સુરેખ અસમતાઓનો સમૂહ $x+y \geq 4, x+y \leq 8, x \leq 5, y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0$ છે.

(N/A) ઉકેલ:
આપણી પાસે સુરેખ અસમતાઓની સંહતિ છે: $2x + y \geq 8$,$x + 2y \geq 10$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
$1$. રેખા $2x + y = 8$ એ બિંદુઓ $(0, 8)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. રેખા $x + 2y = 10$ એ બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(10, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$3$. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માટે,આપણે અસમતાઓની ચકાસણી કરીએ છીએ:
- $2x + y \geq 8$ માટે: $2(0) + 0 = 0 < 8$. આમ,ઉગમબિંદુ અસમતાનું સમાધાન કરતું નથી,અને પ્રદેશ રેખાની ઉગમબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલો છે.
- $x + 2y \geq 10$ માટે: $0 + 2(0) = 0 < 10$. આમ,ઉગમબિંદુ અસમતાનું સમાધાન કરતું નથી,અને પ્રદેશ રેખાની ઉગમબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલો છે.
$4$. શરતો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ ઉકેલને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
$5$. આ રેખાઓ દોરીને અને બધી અસમતાઓનું સમાધાન કરતા સામાન્ય પ્રદેશને ઓળખીને,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી અનંત સુધી વિસ્તરેલો છે.
$6$. તેથી,ઉકેલ ગણ એક અનિયંત્રિત પ્રદેશ છે.

(NONE) આપણી પાસે અસમતાઓની સંહતિ છે:
$1) \ 3x + 2y \geq 24$
$2) \ 3x + y \leq 15$
$3) \ x \geq 4$
સૌ પ્રથમ,આપણે યામ સમતલ પર અનુરૂપ રેખાઓ દોરીએ:
- $3x + 2y = 24$ માટે,અંતઃખંડો $(8, 0)$ અને $(0, 12)$ છે. $3x + 2y \geq 24$ વાળો પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂરનો અર્ધતલ છે.
- $3x + y = 15$ માટે,અંતઃખંડો $(5, 0)$ અને $(0, 15)$ છે. $3x + y \leq 15$ વાળો પ્રદેશ ઉગમબિંદુ ધરાવતો અર્ધતલ છે.
- $x = 4$ માટે,આ $(4, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે. $x \geq 4$ વાળો પ્રદેશ આ રેખાની જમણી બાજુનો અર્ધતલ છે.
આલેખનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x \geq 4$ હોય તેવા પ્રદેશમાં $3x + 2y \geq 24$ અને $3x + y \leq 15$ ને સંતોષતો કોઈ સામાન્ય પ્રદેશ નથી. આમ,આપેલ અસમતાઓની સંહતિનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(N/A) આપણને સુરેખ અસમતાઓ આપેલી છે: $x + 2y \leq 3$,$3x + 4y \geq 12$,$x \geq 0$ અને $y \geq 1$.
સૌ પ્રથમ,આપણે યામ સમતલમાં અનુરૂપ રેખાઓ $x + 2y = 3$,$3x + 4y = 12$,$x = 0$ અને $y = 1$ દોરીએ છીએ.
$1$. રેખા $x + 2y = 3$ એ બિંદુઓ $(0, 1.5)$ અને $(3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. બિંદુ $(0, 0)$ ચકાસતા,આપણને $0 + 2(0) = 0 \leq 3$ મળે છે,જે સત્ય છે. તેથી,$x + 2y \leq 3$ નું સમાધાન કરતો પ્રદેશ ઉગમબિંદુને સમાવે છે.
$2$. રેખા $3x + 4y = 12$ એ બિંદુઓ $(0, 3)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. બિંદુ $(0, 0)$ ચકાસતા,આપણને $3(0) + 4(0) = 0 \geq 12$ મળે છે,જે અસત્ય છે. તેથી,$3x + 4y \geq 12$ નું સમાધાન કરતો પ્રદેશ ઉગમબિંદુને સમાવતો નથી.
$3$. પ્રદેશ $x \geq 0$ એ જમણી બાજુનું અર્ધતલ દર્શાવે છે.
$4$. પ્રદેશ $y \geq 1$ એ રેખા $y = 1$ ની ઉપરનું અર્ધતલ દર્શાવે છે.
આ પ્રદેશોને આલેખતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x + 2y \leq 3$ માટેનો છાયાંકિત ભાગ રેખા $x + 2y = 3$ ની નીચે છે,જ્યારે $3x + 4y \geq 12$ માટેનો પ્રદેશ રેખા $3x + 4y = 12$ ની ઉપર છે. વધુમાં,$x \geq 0$ અને $y \geq 1$ ની શરતો ઉકેલને $y = 1$ ની ઉપરના પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,કોઈ સામાન્ય પ્રદેશ નથી જે આ તમામ અસમતાઓનું એકસાથે સમાધાન કરે. તેથી,આ પ્રણાલીનો કોઈ ઉકેલ નથી (ઉકેલ ગણ ખાલી ગણ છે).

(C) $1$. શિરોલંબ રેખા $x = 1$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની જમણી બાજુએ છે અને રેખા ઘાટી (solid) હોવાથી,અસમતા $x \geq 1$ છે.
$2$. આડી રેખા $y = 2$ છે. રેખા તૂટક (dashed) હોવાથી,તે પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ નથી. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે છે,તેથી અસમતા $y < 2$ છે.
$3$. બંનેને જોડતા,પ્રદેશ $x \geq 1$ અને $y < 2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે અસમતાઓ $x+y \leq 1$ અને $x-y \leq 1$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. રેખા $x+y = 1$ એ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ $x+y \leq 1$ માં ઉગમબિંદુ $(0,0)$ નો સમાવેશ થાય છે અને તે ચારેય ચરણમાં વિસ્તરેલો છે.
$2$. રેખા $x-y = 1$ એ $(1, 0)$ અને $(0, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. પ્રદેશ $x-y \leq 1$ માં પણ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ નો સમાવેશ થાય છે અને તે ચારેય ચરણમાં વિસ્તરેલો છે.
$3$. બંને અસમતાઓ એવા અર્ધ-તલ દર્શાવે છે જે અનંત સુધી વિસ્તરેલા છે અને ઉગમબિંદુને સમાવે છે,તેથી તેમનો છેદગણ (શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ) એ એક અનિયંત્રિત પ્રદેશ છે જે કાર્તેઝિયન સમતલના ચારેય ચરણમાં ફેલાયેલો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ઉકેલ ગણ શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $2x + 3y \leq 6$
$2$. $5x + 3y \leq 15$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
આપણે દરેક બિંદુને અસમતાઓ સાથે ચકાસીએ છીએ:
બિંદુ $(0, 2)$ માટે: $2(0) + 3(2) = 6 \leq 6$ (સાચું) અને $5(0) + 3(2) = 6 \leq 15$ (સાચું).
બિંદુ $(0, 0)$ માટે: $2(0) + 3(0) = 0 \leq 6$ (સાચું) અને $5(0) + 3(0) = 0 \leq 15$ (સાચું).
બિંદુ $(3, 0)$ માટે: $2(3) + 3(0) = 6 \leq 6$ (સાચું) અને $5(3) + 3(0) = 15 \leq 15$ (સાચું).
બિંદુ $(0, 5)$ માટે: $2(0) + 3(5) = 15 \not\leq 6$ (ખોટું) અને $5(0) + 3(5) = 15 \leq 15$ (સાચું).
બિંદુ $(0, 5)$ પ્રથમ અસમતાનું પાલન કરતું નથી,તેથી તે ઉકેલ ગણમાં નથી.

(A) $1$. શિરોલંબ રેખા $x = 3$ નું અવલોકન કરો. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ડાબી બાજુએ છે,જે $x \leq 3$ દર્શાવે છે. રેખા ઘાટી (solid) હોવાથી,અસમતામાં સીમાનો સમાવેશ થાય છે.
$2$. આડી રેખા $y = 1$ નું અવલોકન કરો. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે છે,જે $y < 1$ દર્શાવે છે. રેખા તૂટક (dashed) હોવાથી,અસમતા સખત (strict) છે.
$3$. આ બંનેને જોડતા,છાયાંકિત પ્રદેશ $x \leq 3$ અને $y < 1$ અસમતાઓનું તંત્ર દર્શાવે છે.

(B) આકૃતિમાં છાયાંકિત પ્રદેશ માટે યોગ્ય અસમતાઓ નક્કી કરવા માટે,આપણે આકૃતિમાં દર્શાવેલ સીમા રેખાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $(0, 3)$ અને $(6, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y = 6$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી,અસમતા $x + 2y \geq 6$ છે.
$2$. $(0, 5)$ અને $(3, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 3y = 15$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપર હોવાથી,અસમતા $5x + 3y \geq 15$ છે.
$3$. શિરોલંબ રેખા $x = 7$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ડાબી બાજુ હોવાથી,અસમતા $x \leq 7$ છે.
$4$. આડી રેખા $y = 6$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચે હોવાથી,અસમતા $y \leq 6$ છે.
$5$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
આ બધાને જોડતા,સિસ્ટમ $x + 2y \geq 6, 5x + 3y \geq 15, x \leq 7, y \leq 6, x, y \geq 0$ મળે છે. જે વિકલ્પ $(B)$ ને અનુરૂપ છે.

(A) છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાઓ $x-y=0$ અને $x+y=0$ દ્વારા સીમિત છે.
રેખા $x-y=0$ માટે,છાયાંકિત પ્રદેશમાં એક બિંદુ,જેમ કે $(1, 0)$ લેતા,$1-0=1 > 0$ મળે છે. જોકે,પ્રદેશમાં રેખાનો પણ સમાવેશ થાય છે,તેથી આપણે $y=x$ રેખાની નીચેના પ્રદેશ માટે $x-y \leq 0$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
આલેખ જોતા,છાયાંકિત પ્રદેશ $y=x$ રેખાની નીચે (એટલે કે $y \geq x$ અથવા $x-y \leq 0$) અને $y=-x$ રેખાની ઉપર (એટલે કે $y \geq -x$ અથવા $x+y \geq 0$) આવેલો છે.
આમ,છાયાંકિત પ્રદેશ દર્શાવતી અસમતાઓ $x-y \leq 0$ અને $x+y \geq 0$ છે.

(A) શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $2x + 3y \leq 6$: સીમા રેખા $2x + 3y = 6$ છે. $(0,0)$ માટે,$0 \leq 6$ સત્ય છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ છે.
$2$. $x + 4y \geq 4$: સીમા રેખા $x + 4y = 4$ છે. $(0,0)$ માટે,$0 \geq 4$ અસત્ય છે,તેથી પ્રદેશ ઉગમબિંદુથી દૂર છે.
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$: આ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
આ શરતોને જોડતા,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ એ પ્રથમ ચરણમાં રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો વિસ્તાર છે જે બંને શરતોને એકસાથે સંતોષે છે. આપેલી આકૃતિઓ જોતા,આકૃતિ $1$ આ શરતો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશને દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો જવાબ છે.

(C) છાયાંકિત પ્રદેશ માટે સાચી સુરેખ અસમતાઓ નક્કી કરવા માટે,આપણે સીમા રેખાઓ અને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ની સાપેક્ષમાં છાયાંકિત વિસ્તારની દિશાનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
$2$. રેખા $3x + 4y = 18$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $3(0) + 4(0) = 0 < 18$ નું પાલન કરે છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉગમબિંદુ તરફની બાજુએ છે,તેથી અસમતા $3x + 4y \leq 18$ છે.
$3$. રેખા $x - 6y = 3$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $0 - 0 = 0 < 3$ નું પાલન કરે છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુની બાજુએ છે,તેથી અસમતા $x - 6y \leq 3$ છે.
$4$. રેખા $2x + 3y = 3$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $2(0) + 3(0) = 0 < 3$ નું પાલન કરે છે. જોકે,છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુએ છે,તેથી અસમતા $2x + 3y \geq 3$ છે.
$5$. રેખા $-7x + 14y = 14$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ એ $-7(0) + 14(0) = 0 < 14$ નું પાલન કરે છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુની બાજુએ છે,તેથી અસમતા $-7x + 14y \leq 14$ છે.
આ શરતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ તમામ શરતોને સંતોષે છે.

(B) સામાન્ય પ્રદેશ નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $x+2y \geq 4$: સીમા રેખા $x+2y=4$ છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા,આપણને $0+0 \geq 4$ મળે છે,જે ખોટું છે. તેથી,પ્રદેશ રેખાની ઉગમબિંદુથી વિરુદ્ધ તરફ છે.
$2$. $2x-y \leq 6$: સીમા રેખા $2x-y=6$ છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ચકાસતા,આપણને $0-0 \leq 6$ મળે છે,જે સાચું છે. તેથી,પ્રદેશ રેખાની ઉગમબિંદુ તરફ છે.
$3$. $x, y > 0$: આ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણમાં મર્યાદિત કરે છે.
આ પ્રદેશોના છેદને જોતા,શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ કોઈ સીમિત સીમા દ્વારા બંધાયેલો નથી,એટલે કે તે અસીમિત છે. કારણ કે આ પ્રદેશમાં ઉગમબિંદુનો સમાવેશ થતો નથી અને તે પ્રથમ ચરણમાં આ અર્ધ-તલોના છેદ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તે ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ તરફનો અસીમિત પ્રદેશ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પ્રદેશના સ્વરૂપને નક્કી કરવા માટે,આપણે આપેલી અસમતાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x \geq 6$: આ શિરોલંબ રેખા $x = 6$ ની જમણી બાજુનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$2$. $y \geq 3$: આ આડી રેખા $y = 3$ ની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$3$. $2x + y \geq 10$: આ રેખા $2x + y = 10$ પર અથવા તેની ઉપરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$4$. $x \geq 0, y \geq 0$: આ પ્રથમ ચરણ દર્શાવે છે.
આ રેખાઓને આલેખપત્ર પર દોરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પ્રદેશોનો છેદબિંદુ $(6, 3)$ બિંદુથી શરૂ થાય છે અને ધન $x$ અને $y$ દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરે છે.
કારણ કે આ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ મર્યાદિત નથી અને તે અનંત સુધી વિસ્તરે છે,તેથી તે એક અસીમિત (unbounded) પ્રદેશ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ અસમતા પ્રણાલી $x \geq 0$,$y \geq 0$,$y \leq 6$,અને $x+y \leq 3$ છે.
$1$. શરતો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
$2$. રેખા $x+y = 3$ એ $(3, 0)$ અને $(0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. અસમતા $x+y \leq 3$ આ રેખા પર અથવા તેની નીચેના પ્રદેશને દર્શાવે છે.
$3$. શરત $y \leq 6$ એ પ્રથમ ચરણમાં $x+y \leq 3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશ દ્વારા સંતોષાય છે,કારણ કે આ પ્રદેશમાં $y$ ની મહત્તમ કિંમત $3$ છે.
$4$. કારણ કે આ પ્રદેશ અક્ષો અને રેખા $x+y=3$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે,તેથી તે પ્રથમ ચરણમાં એક નિયંત્રિત (bounded) પ્રદેશ છે.

(D) $1$. $A(7, 0)$ અને $(0, 7)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x + y = 7$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ ઉગમબિંદુ તરફ હોવાથી,અસમતા $x + y \leq 7$ મળે.
$2$. $C(0, 2)$ અને $B(3, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y + 6 = 0$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશમાં આવતા બિંદુ $(3, 0)$ માટે ચકાસતા,$2(3) - 3(0) + 6 = 12 \geq 0$ મળે છે. તેથી,અસમતા $2x - 3y + 6 \geq 0$ છે.
$3$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
$4$. આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) $1$. રેખા બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. આ રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 4y = 20$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ રેખાની ઉપરની તરફ હોવાથી,અસમતા $5x + 4y \geq 20$ મળે છે.
$2$. પ્રદેશ જમણી બાજુએ શિરોલંબ રેખા $x = 6$ દ્વારા મર્યાદિત છે,અને છાયાંકિત ભાગ આ રેખાની ડાબી બાજુએ હોવાથી,$x \leq 6$ મળે છે.
$3$. પ્રદેશ ઉપરની બાજુએ સમક્ષિતિજ રેખા $y = 3$ દ્વારા મર્યાદિત છે,અને છાયાંકિત ભાગ આ રેખાની નીચેની તરફ હોવાથી,$y \leq 3$ મળે છે.
$4$. પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
$5$. આ બધી શરતોને જોડતા,અસમતાઓનો સમૂહ $5x + 4y \geq 20, x \leq 6, y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$ મળે છે.

(A) છાયાંકિત ત્રિકોણાકાર પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(0, 14)$,$B(5, 0)$ અને $C(19, 14)$ છે.
$1$. $A(0, 14)$ અને $B(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{14} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $14x + 5y = 70$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ઉપરની તરફ હોવાથી,અસમતા $14x + 5y \geq 70$ મળે છે.
$2$. $A(0, 14)$ અને $C(19, 14)$ માંથી પસાર થતી રેખા $y = 14$ છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની નીચેની તરફ હોવાથી,અસમતા $y \leq 14$ મળે છે.
$3$. $B(5, 0)$ અને $C(19, 14)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{14 - 0}{19 - 5} = 1$ છે. બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$y - 0 = 1(x - 5)$ એટલે કે $x - y = 5$ મળે છે. છાયાંકિત પ્રદેશ આ રેખાની ડાબી બાજુ હોવાથી,અસમતા $x - y \leq 5$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $14x + 5y \geq 70$,$y \leq 14$ અને $x - y \leq 5$ છે.

(C) $1$. બિંદુઓ $(0, 5)$ અને $(4, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $l_1$ નું વિશ્લેષણ કરો. આ રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 4y = 20$ થાય છે. છાયાંકિત પ્રદેશમાં ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી અસમતા $5x + 4y \geq 20$ છે.
$2$. આડી રેખા $l_2$ નું વિશ્લેષણ કરો. છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $y = 3$ ની નીચે આવેલો છે,તેથી અસમતા $y \leq 3$ છે.
$3$. ઉભી રેખા $l_3$ નું વિશ્લેષણ કરો. છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $x = 6$ ની ડાબી બાજુએ આવેલો છે,તેથી અસમતા $x \leq 6$ છે.
$4$. આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x \geq 0$ અને $y \geq 0$.
$5$. આ બધાને જોડતા,અસમતાઓનો સમૂહ $5x + 4y \geq 20, x \leq 6, y \leq 3, x \geq 0, y \geq 0$ મળે છે. જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(C) $1$. રેખાઓના અંતઃખંડો પરથી તેમના સમીકરણો મેળવો:
- $(0, 4)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1 \Rightarrow 4x + 5y = 20$.
- $(0, 3)$ અને $(10, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા: $\frac{x}{10} + \frac{y}{3} = 1 \Rightarrow 3x + 10y = 30$.
- $(6, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા: $x = 6$.
$2$. છાયાંકિત પ્રદેશના આધારે અસમતાઓ નક્કી કરો:
- છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $4x + 5y = 20$ ની ઉપર છે,તેથી અસમતા $4x + 5y \geq 20$ છે.
- છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $3x + 10y = 30$ ની નીચે છે,તેથી અસમતા $3x + 10y \leq 30$ છે.
- છાયાંકિત પ્રદેશ રેખા $x = 6$ ની ડાબી બાજુ છે,તેથી અસમતા $x \leq 6$ છે.
- પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$x, y \geq 0$.
આમ,સાચો અસમતાઓનો ગણ $4x + 5y \geq 20, 3x + 10y \leq 30, x \leq 6, x, y \geq 0$ છે.