Uncertainty principle and Schrodinger wave equation Questions in Hindi

(C) परमाणु के बोहर मॉडल का खंडन हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा होता है।
बोहर के मॉडल के अनुसार,परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन नाभिक से एक निश्चित दूरी पर स्थित होता है और एक निश्चित वेग के साथ वृत्ताकार कक्षा में घूमता है।
हालाँकि,हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण की स्थिति और संवेग (या वेग) को एक साथ सटीक रूप से निर्धारित करना असंभव है।

(D) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत बताता है कि किसी सूक्ष्म कण की सटीक स्थिति और सटीक संवेग को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
यह सिद्धांत केवल इलेक्ट्रॉन,प्रोटॉन आदि जैसे सूक्ष्म कणों के लिए महत्वपूर्ण है।
यह $ \text{मोटर कार} $ जैसी स्थूल वस्तुओं पर लागू नहीं होता है क्योंकि उनका द्रव्यमान बड़ा होता है,जिससे स्थिति और वेग में अनिश्चितता नगण्य हो जाती है।
यह $ \text{स्थिर कणों} $ के लिए भी मान्य नहीं है क्योंकि उनका वेग शून्य होता है और उनकी स्थिति को सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
इसलिए,यह सिद्धांत $ (b) $ और $ (c) $ दोनों के लिए मान्य नहीं है।

(C) श्रोडिंगर तरंग समीकरण इस प्रकार है: $\frac{d^2 \Psi}{dx^2} + \frac{d^2 \Psi}{dy^2} + \frac{d^2 \Psi}{dz^2} + \frac{8 \pi^2 m}{h^2} (E - V) \Psi = 0$.
इस समीकरण के समाधान से तीन क्वांटम नंबर प्राप्त होते हैं: मुख्य क्वांटम नंबर $(n)$,दिगंशीय क्वांटम नंबर $(l)$,और चुंबकीय क्वांटम नंबर $(m_l)$।
ये कक्षक की ऊर्जा,आकार और अभिविन्यास का वर्णन करते हैं।
स्पिन क्वांटम नंबर $(s)$ श्रोडिंगर तरंग समीकरण से प्राप्त नहीं होता है; इसे बाद में इलेक्ट्रॉन के आंतरिक चक्रण (spin) को समझाने के लिए पेश किया गया था।

(D) परमाणु का तरंग यांत्रिक मॉडल,जिसे क्वांटम यांत्रिक मॉडल के रूप में भी जाना जाता है,आधुनिक भौतिकी के कई प्रमुख सिद्धांतों को शामिल करके विकसित किया गया था।
$1$. यह द्रव्य की द्वैत प्रकृति की $de \ Broglie$ अवधारणा को शामिल करता है,जो बताता है कि इलेक्ट्रॉन जैसे कण तरंग-समान गुण प्रदर्शित करते हैं।
$2$. यह $Heisenberg$ के अनिश्चितता के सिद्धांत को ध्यान में रखता है,जो बताता है कि किसी उप-परमाणु कण की सटीक स्थिति और संवेग को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
$3$. इसे गणितीय रूप से $Schrodinger$ के तरंग समीकरण का उपयोग करके तैयार किया गया है,जो परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार को तरंग फलनों के रूप में वर्णित करता है।
इसलिए,यह मॉडल इन तीनों मूलभूत अवधारणाओं पर आधारित है।

(C) $Heisenberg$ का अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि सूक्ष्म कण की स्थिति और संवेग को एक साथ सटीक रूप से निर्धारित करना असंभव है।
स्थूल वस्तुओं के लिए अनिश्चितता नगण्य होती है,इसलिए उन्हें मापा जा सकता है।
स्पेक्ट्रल रेखाएं अद्वितीय होती हैं,इसलिए विकल्प $C$ गलत कथन है।

(B) क्वांटम यांत्रिकी में,$\psi$ तरंग फलन (wave function) है,जिसका कोई सीधा भौतिक अर्थ नहीं होता है।
$\psi^2$ (या अधिक सटीक रूप से,$|\psi|^2$) प्रायिकता घनत्व को दर्शाता है,जो अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु पर प्रति इकाई आयतन में इलेक्ट्रॉन पाए जाने की प्रायिकता है।
परमाणु में इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा आमतौर पर ऋणात्मक होती है क्योंकि इलेक्ट्रॉन स्थिर वैद्युत आकर्षण द्वारा नाभिक से बंधा होता है।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$।
यदि एक इलेक्ट्रॉन नाभिक के अंदर होता (त्रिज्या $\approx 10^{-15} \ m$),तो स्थिति में अनिश्चितता $\Delta x$ लगभग $10^{-15} \ m$ होती।
$\Delta v = \frac{h}{4\pi m \Delta x}$ की गणना करने पर,हमें $\Delta v \approx 5.8 \times 10^{10} \ m/s$ प्राप्त होता है,जो प्रकाश की गति $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$ से अधिक है।
यह दर्शाता है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के भीतर सीमित नहीं रह सकता है।
विकल्प $A$ सही है।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ का गुणनफल है:
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$
चूंकि स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ दोनों के लिए समान है,इसलिए संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ भी दोनों कणों के लिए समान होगी।
अतः,हीलियम परमाणु के लिए भी संवेग में अनिश्चितता $32 \times 10^5$ होगी।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$ या $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$.
दिया गया है: $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,$v = 300 \, ms^{-1}$,वेग में अनिश्चितता $\Delta v = 0.001\% \text{ of } 300 = \frac{0.001}{100} \times 300 = 3 \times 10^{-3} \, ms^{-1}$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-3}}$.
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{342.588 \times 10^{-34}} \approx 0.0193 \, m = 1.93 \times 10^{-2} \, m$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$.
दिया गया है: $\Delta x = 0.1 \ \mathring{A} = 0.1 \times 10^{-10} \ m$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,$h = 6.62 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
मान रखने पर:
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi m \Delta x} = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 0.1 \times 10^{-10}}$.
$\Delta v = \frac{6.62 \times 10^{-34}}{114.354 \times 10^{-41}} \approx 5.79 \times 10^6 \ m \cdot s^{-1}$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$.
द्रव्यमान $(m)$ के लिए सूत्र: $m = \frac{h}{4 \pi \Delta x \Delta v}$.
दिया गया है: $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$,$\Delta x = 10^{-8} \ m$,$\Delta v = 5.26 \times 10^{-25} \ m \ s^{-1}$.
मान रखने पर: $m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-8} \times 5.26 \times 10^{-25}}$.
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.608 \times 10^{-32}} \approx 0.01 \ kg$.

(B) परमाणु में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता तरंग फलन के वर्ग,$\psi^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए ग्राफ में,$a$ और $c$ क्षेत्र $\psi^2$ वक्र के शिखर को दर्शाते हैं,जहाँ प्रायिकता घनत्व अधिकतम है।
इसलिए,इलेक्ट्रॉनों के $a$ और $c$ क्षेत्रों में पाए जाने की संभावना सबसे अधिक है।

(D) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि किसी सूक्ष्म कण की स्थिति और संवेग को एक साथ सटीक रूप से निर्धारित करना असंभव है।
गणितीय रूप से,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$।
यह सिद्धांत केवल इलेक्ट्रॉन,प्रोटॉन जैसे सूक्ष्म कणों के लिए ही महत्वपूर्ण है।
मोटर कार जैसी स्थूल वस्तुओं के लिए,उनके बड़े द्रव्यमान के कारण अनिश्चितता नगण्य होती है।
स्थिर कणों के लिए,वेग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि संवेग सटीक रूप से ज्ञात है $(\Delta p = 0)$,जो स्थिति में अनंत अनिश्चितता $(\Delta x = \infty)$ की ओर ले जाता है,जिससे यह सिद्धांत लागू नहीं होता है।
इसलिए,यह सिद्धांत स्थूल वस्तुओं और स्थिर कणों के लिए मान्य नहीं है।

(B) दिया गया है कि स्थिति में अनिश्चितता $\Delta x$,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर है:
$\Delta x = \lambda = \frac{h}{mv}$
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:
$\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$
$\Delta x = \frac{h}{mv}$ को अनिश्चितता समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{h}{mv}) \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{\Delta v}{v} \geq \frac{1}{4\pi}$
वेग में प्रतिशत त्रुटि:
$\frac{\Delta v}{v} \times 100 \geq \frac{100}{4\pi} \approx \frac{100}{12.56} \approx 7.96 \% \approx 8 \%$

(C) श्रोडिंगर तरंग समीकरण तीन क्वांटम संख्याएँ प्रदान करता है: मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$,और चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m)$।
इन्हें हाइड्रोजन परमाणु के लिए तरंग फलन $\psi$ के गणितीय समाधान से सीधे प्राप्त किया जाता है।
चक्रण क्वांटम संख्या $(m_s)$ को बाद में इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय गुणों को समझाने के लिए पेश किया गया था और यह श्रोडिंगर तरंग समीकरण का सीधा परिणाम नहीं है।

(C) संवेग में अनिश्चितता $\Delta p = m \times \Delta v$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\Delta p = 2 \times 10^{-17} \ g \ cm \ s^{-1}$ और इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-28} \ g$ है।
हम जानते हैं कि $\Delta v = \frac{\Delta p}{m}$।
मान रखने पर: $\Delta v = \frac{2 \times 10^{-17} \ g \ cm \ s^{-1}}{9.1 \times 10^{-28} \ g} \approx 0.2197 \times 10^{11} \ cm \ s^{-1}$।
यह $\Delta v \approx 2.197 \times 10^{10} \ cm \ s^{-1}$ के बराबर है,जो लगभग $2.1 \times 10^{10} \ cm \ s^{-1}$ है।

(D) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
यहाँ दिया गया है कि संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$,स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ की दोगुनी है,इसलिए $\Delta p = 2\Delta x$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\Delta x \cdot (2\Delta x) = \frac{h}{4\pi}$.
$2(\Delta x)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
$(\Delta x)^2 = \frac{h}{8\pi}$.
$\Delta x = \sqrt{\frac{h}{8\pi}} = \sqrt{\frac{h}{4 \times 2\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{2\pi}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ होता है।
दिया गया है कि स्थान में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ समान हैं,अर्थात $\Delta x = \Delta p$।
समीकरण में $\Delta x$ को $\Delta p$ से प्रतिस्थापित करने पर: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\Delta p = \sqrt{\frac{h}{4\pi}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{\pi}}$।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ होता है।
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,समीकरण $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$ हो जाता है।
दिया गया है: $m = 1050 \, kg$,$v = 90 \, km/h = 25 \, m/s$।
वेग में अनिश्चितता $\Delta v = 25 \, m/s$ का $1 \, \% = 0.25 \, m/s$ है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ का उपयोग करने पर:
$\Delta x \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 1050 \times 0.25}$।
$\Delta x \geq 2.008 \times 10^{-37} \, m$।
अतः,$\Delta x \geq 2 \times 10^{-37} \, m$।

(D) क्वांटम यांत्रिकी में तरंग फलन $\psi$ की सामान्यीकरण (normalization) स्थिति के अनुसार,संपूर्ण स्थान में इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता $\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi|^2 d\tau = 1$ द्वारा दी जाती है।
यह इस निश्चितता को दर्शाता है कि इलेक्ट्रॉन ब्रह्मांड में कहीं न कहीं मौजूद है।

(D) तरंग फलन $\Psi$ इलेक्ट्रॉन तरंग के आयाम को दर्शाता है और तरंग के चरण (phase) के आधार पर इसके मान धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं।
$\Psi^2$ अंतरिक्ष में किसी विशेष बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व को दर्शाता है।
चूंकि प्रायिकता कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $\Psi^2$ हमेशा धनात्मक होता है।

(D) श्रोडिंगर समीकरण के लिए उपयोग की जाने वाली गोलीय ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में,इलेक्ट्रॉन की स्थिति $(r, \theta, \phi)$ द्वारा परिभाषित की जाती है।
यहाँ,$r$ त्रिज्या सदिश है।
$\theta$ त्रिज्या सदिश और $Z$-अक्ष के बीच का कोण है,जिसे जेनिथ कोण (Zenith angle) के रूप में जाना जाता है।
$\phi$ $XY$-तल में एज़िमथल कोण है।
इसलिए,त्रिज्या सदिश और $Z$-अक्ष के बीच के कोण के लिए सही शब्द जेनिथ कोण है।

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \times \Delta v$,सूत्र $\Delta x = \frac{h}{4 \pi \times m \times \Delta v}$ हो जाता है।
दिया गया है: $v = 600 \ m/sec$,वेग में अनिश्चितता $\Delta v = 600 \times \frac{0.005}{100} = 0.03 \ m/sec$.
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.10 \times 10^{-31} \ kg$,प्लांक स्थिरांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.10 \times 10^{-31} \times 0.03}$.
$\Delta x \approx 1.93 \times 10^{-3} \ m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $1.92 \times 10^{-3} \ m$ है।

(B) क्वांटम यांत्रिकी में,तरंग फलन $\psi$ का स्वयं कोई सीधा भौतिक अर्थ नहीं होता है। हालाँकि,तरंग फलन का वर्ग,$|\psi|^2$,अंतरिक्ष में किसी विशिष्ट बिंदु पर इलेक्ट्रॉन को खोजने की प्रायिकता घनत्व (probability density) को दर्शाता है। यह $Schrodinger$ तरंग समीकरण से प्राप्त एक मूलभूत अवधारणा है।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,संबंध $\Delta x \cdot \Delta v \cdot m = \frac{h}{4 \pi}$ है।
अतः,$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \cdot \Delta v}$.
कण $A$ के लिए: $\Delta x_A = \frac{h}{4 \pi m_A \cdot 0.05}$.
कण $B$ के लिए: $\Delta x_B = \frac{h}{4 \pi (5m_A) \cdot 0.02}$.
अनुपात लेने पर $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{h}{4 \pi m_A \cdot 0.05} \times \frac{4 \pi (5m_A) \cdot 0.02}{h}$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{5 \times 0.02}{0.05} = \frac{0.10}{0.05} = 2$.

(C) कथन हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत पर आधारित है,जो बताता है कि इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण की सटीक स्थिति और सटीक संवेग को एक साथ निर्धारित करना असंभव है। यह क्वांटम यांत्रिकी का एक मूलभूत नियम है।
कारण बताता है कि परमाणु में इलेक्ट्रॉन का पथ स्पष्ट रूप से परिभाषित है। यह गलत है क्योंकि क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार,इलेक्ट्रॉन अच्छी तरह से परिभाषित गोलाकार कक्षाओं में नहीं चलते हैं (जैसा कि बोहर मॉडल में प्रस्तावित था)। इसके बजाय,वे कक्षकों (orbitals) में मौजूद होते हैं,जो अंतरिक्ष के ऐसे क्षेत्र हैं जहाँ इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की संभावना अधिक होती है। इसलिए,इलेक्ट्रॉन का पथ परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

(N/A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \Delta p = \frac{h}{4 \pi}$ या $\Delta x \, m \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$.
वेग की अनिश्चितता के लिए सूत्र: $\Delta v = \frac{h}{4 \pi \Delta x m}$.
दिए गए मान: $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \, s$,$\Delta x = 0.1 \, \mathring{A} = 0.1 \times 10^{-10} \, m$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \, kg$.
मान रखने पर: $\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 0.1 \times 10^{-10} \times 9.11 \times 10^{-31}}$.
गणना: $\Delta v = 0.579 \times 10^{7} \, m \, s^{-1} = 5.79 \times 10^{6} \, m \, s^{-1}$.

गति में अनिश्चितता $(\Delta v)$,$45 \, m/s$ का $2 \%$ है:
$\Delta v = 45 \times \frac{2}{100} = 0.9 \, m/s$
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\Delta x \times \Delta v = \frac{h}{4 \pi m}$
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$
मानों को प्रतिस्थापित करने पर ($h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$m = 40 \times 10^{-3} \, kg$,$\Delta v = 0.9 \, m/s$):
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times (40 \times 10^{-3}) \times 0.9}$
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.45239} \approx 1.46 \times 10^{-33} \, m$
यह मान अत्यंत छोटा है,जो दर्शाता है कि गोल्फ बॉल जैसी मैक्रोस्कोपिक वस्तुओं के लिए अनिश्चितता सिद्धांत नगण्य है।

हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
दिया गया है,$\Delta x = 0.002 \,nm = 2 \times 10^{-12} \,m$.
$\Delta p = \frac{h}{4 \pi \Delta x} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \,Js}{4 \times 3.1416 \times 2 \times 10^{-12} \,m} = 2.637 \times 10^{-23} \,kg \,ms^{-1}$.
दिया गया संवेग $p = \frac{h}{4 \pi \times 0.05 \,nm} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \,Js}{4 \times 3.1416 \times 5 \times 10^{-11} \,m} = 1.055 \times 10^{-24} \,kg \,ms^{-1}$.
चूंकि वास्तविक संवेग $(1.055 \times 10^{-24} \,kg \,ms^{-1})$ संवेग में अनिश्चितता $(2.637 \times 10^{-23} \,kg \,ms^{-1})$ से कम है,इसलिए इस मान को परिभाषित नहीं किया जा सकता है क्योंकि यह अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन करता है।

(A) वे दो प्रमुख विकास जिनके कारण बोहर का मॉडल विफल हुआ और जिन्होंने परमाणु संरचना का अधिक सटीक विवरण प्रदान किया,वे हैं:
$(i)$ पदार्थ की द्वैत प्रकृति,जिसे डी-ब्रोग्ली द्वारा प्रस्तावित किया गया था,जो बताता है कि सभी पदार्थ तरंग और कण दोनों के गुण प्रदर्शित करते हैं।
$(ii)$ हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत,जो बताता है कि किसी इलेक्ट्रॉन की सटीक स्थिति और सटीक संवेग दोनों को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।

(N/A) वर्नर हाइजेनबर्ग,एक जर्मन भौतिक विज्ञानी ने $1927$ में अनिश्चितता का सिद्धांत प्रतिपादित किया था।
सिद्धांत: यह सिद्धांत बताता है कि किसी इलेक्ट्रॉन की स्थिति और संवेग (या वेग) का एक साथ सटीक निर्धारण करना असंभव है।
गणितीय रूप से,इसे इस समीकरण द्वारा दिया जा सकता है:
$(\Delta x) \times (\Delta p) \geq \frac{h}{4 \pi}$ (समी. $2.31$) या $(\Delta x) \times (m \Delta v_x) \geq \frac{h}{4 \pi}$ (समी. $2.32$)
जहाँ,
$\Delta x = \text{कण की स्थिति में अनिश्चितता}$
$\Delta p = \text{कण के संवेग में अनिश्चितता}$
$\Delta v_x = \text{कण के वेग में अनिश्चितता}$
व्याख्या: यदि इलेक्ट्रॉन की स्थिति ज्ञात है ($\Delta x$ छोटा है),तो इलेक्ट्रॉन का वेग अनिश्चित (बड़ा) होगा। यदि इलेक्ट्रॉन का वेग सटीक रूप से ज्ञात है,तो इलेक्ट्रॉन की स्थिति अनिश्चित होगी। इस प्रकार,इलेक्ट्रॉन की स्थिति या वेग का कोई भी भौतिक मापन हमेशा एक धुंधला परिणाम देता है।
महत्व: हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण निहितार्थ यह है कि यह इलेक्ट्रॉन और अन्य समान उप-परमाणु कणों के निश्चित पथ या प्रक्षेपवक्र (trajectory) के अस्तित्व को खारिज करता है। चूंकि किसी भी क्षण स्थिति और वेग को एक साथ सटीक रूप से निर्धारित करना संभव नहीं है,इसलिए इलेक्ट्रॉन के प्रक्षेपवक्र के बारे में बात करना संभव नहीं है।

(N/A) स्थिति में अनिश्चितता हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा दी जाती है: $\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{h}{4 \pi \, m}$.
वेग में अनिश्चितता के लिए सूत्र: $\Delta v = \frac{h}{4 \pi \, m \, \Delta x}$.
दिया गया है: $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \, s$,$m = 10 \, g = 10^{-2} \, kg$,और $\Delta x = 10^{-5} \, m$.
मान रखने पर: $\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 10^{-2} \times 10^{-5}}$.
$\Delta v = 5.27 \times 10^{-28} \, m \, s^{-1}$.

(0.1 KG) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$.
द्रव्यमान $(m)$ के लिए सूत्र:
$m = \frac{h}{4 \pi \Delta x \cdot \Delta v}$
दिया गया है:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$
$\Delta x = 10^{-10} \ m$
$\Delta v = 5.27 \times 10^{-24} \ m \ s^{-1}$
मान रखने पर:
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-10} \times 5.27 \times 10^{-24}}$
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{6.626 \times 10^{-33}}$
$m = 0.1 \ kg$

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi m}$ है।
दिया गया है: $\Delta v = 5.7 \times 10^5 \ m \ s^{-1}$,$h = 6.626 \times 10^{-34} \ kg \ m^2 \ s^{-1}$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$।
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 5.7 \times 10^5}$।
$\Delta x \approx 1.01 \times 10^{-10} \ m$।

(N/A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:
$\Delta x \cdot \Delta p \geqslant \frac{h}{4 \pi}$
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,हमारे पास है:
$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \geqslant \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi \cdot m \cdot \Delta x}$
दिया गया है:
$\Delta x = 1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, m$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$
मान रखने पर:
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 10^{-10}}$
$\Delta v \approx 5.797 \times 10^5 \, m/s$

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \text{constant}$.
अतः,$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{m_B \cdot \Delta v_B}{m_A \cdot \Delta v_A}$.
यहाँ $m_B = 5m_A$,$\Delta v_A = 0.05 \ ms^{-1}$ और $\Delta v_B = 0.02 \ ms^{-1}$ लेने पर,
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{5m_A \cdot 0.02}{m_A \cdot 0.05} = \frac{0.1}{0.05} = 2:1$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi m}$.
दिया गया है: $\Delta x = 10 \ \mathring{A} = 10 \times 10^{-10} \ \text{m} = 10^{-9} \ \text{m}$.
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.11 \times 10^{-31} \ \text{kg}$.
प्लांक नियतांक $h = 6.626 \times 10^{-34} \ \text{J s}$.
मान रखने पर:
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi m \Delta x} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-9}}$.
$\Delta v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{114.53 \times 10^{-40}} \approx 0.5785 \times 10^{6} \ \text{m s}^{-1} = 5.79 \times 10^{4} \ \text{m s}^{-1}$.

स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ की गणना हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का उपयोग करके की जाती है: $\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$.
दिया गया है:
गति $(v) = 300 \ ms^{-1}$
गति में अनिश्चितता $(\Delta v) = 300 \ ms^{-1}$ का $0.01\% = \frac{0.01}{100} \times 300 = 3 \times 10^{-2} \ ms^{-1}$.
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m) = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
प्लांक स्थिरांक $(h) = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-2}}$
$\Delta x \approx 1.93 \times 10^{-3} \ m$.

(N/A) क्वांटम यांत्रिकी विज्ञान की एक शाखा है जो पदार्थ के द्वैत व्यवहार (तरंग-कण द्वैतता) को ध्यान में रखती है और यह तरंग गति के सिद्धांतों पर आधारित है।
क्वांटम यांत्रिकी का विकास $1926$ में वर्नर हाइजेनबर्ग और इरविन श्रोडिंगर द्वारा स्वतंत्र रूप से किया गया था। क्वांटम यांत्रिकी का मूलभूत समीकरण श्रोडिंगर द्वारा विकसित किया गया था,जिसके लिए उन्हें $1933$ में भौतिकी में नोबेल पुरस्कार मिला था।
यह समीकरण गणितीय रूप से जटिल है और इसे हल करने के लिए उच्च गणित के ज्ञान की आवश्यकता होती है।
यह स्वीकार करता है कि 'परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा क्वांटीकृत (quantized) होती है।' इस सिद्धांत के अनुसार,परमाणु में इलेक्ट्रॉन का सटीक पथ कभी भी निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
एक ऐसी प्रणाली (जैसे परमाणु या अणु जिसकी ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती) के लिए श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है:
$\hat{H}\Psi = E\Psi$
जहाँ,
$\hat{H}$ = हैमिल्टोनियन ऑपरेटर (गणितीय ऑपरेटर)।
$E$ = प्रणाली की कुल ऊर्जा।
$\Psi$ = तरंग फलन (Wave function)।
इस समीकरण का समाधान $E$ और $\Psi$ के मान देता है।
कुल ऊर्जा $(E)$: इसमें सभी उप-परमाणु कणों (इलेक्ट्रॉन,नाभिक) की गतिज ऊर्जा और उनके बीच के आकर्षण बल को ध्यान में रखा जाता है।
तरंग फलन $(\Psi)$: यह परमाणु का तरंग फलन है। $\Psi$ का अपना कोई सीधा भौतिक अर्थ नहीं है,लेकिन $|\Psi|^2$ इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व (probability density) को दर्शाता है।

(N/A) हाइड्रोजन परमाणु जैसी प्रणाली के लिए श्रोडिंगर तरंग समीकरण को ऑपरेटर समीकरण $\hat{H}\Psi = E\Psi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{H}$ हैमिल्टनियन ऑपरेटर है,$\Psi$ तरंग फलन है,और $E$ प्रणाली की कुल ऊर्जा है।
जब इस समीकरण को हाइड्रोजन परमाणु के लिए हल किया जाता है:
$(i)$ यह समाधान उन संभावित ऊर्जा स्तरों को प्रदान करता है जिन्हें इलेक्ट्रॉन ग्रहण कर सकता है और प्रत्येक ऊर्जा स्तर से जुड़े तरंग फलन $(\Psi)$ को दर्शाता है।
$(ii)$ ये क्वांटाइज्ड ऊर्जा अवस्थाएं और तरंग फलन तीन क्वांटम संख्याओं के एक सेट द्वारा पहचाने जाते हैं: मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$,दिगंशीय क्वांटम संख्या $(l)$,और चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_{l})$।
$(iii)$ तरंग फलन $(\Psi)$ में किसी दी गई ऊर्जा अवस्था में इलेक्ट्रॉन के बारे में सभी जानकारी होती है।
$\Psi$ की परिभाषा: तरंग फलन एक गणितीय फलन है जिसका मान परमाणु में इलेक्ट्रॉन के निर्देशांकों पर निर्भर करता है। इसका कोई सीधा भौतिक अर्थ नहीं है,लेकिन इसका वर्ग,$|\Psi|^{2}$,किसी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व को दर्शाता है।
एक-इलेक्ट्रॉन प्रणाली: हाइड्रोजन या हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों $(He^{+}, Li^{2+}, \dots)$ के लिए तरंग फलनों को परमाणु कक्षक कहा जाता है।
क्वांटम यांत्रिक मॉडल हाइड्रोजन परमाणु स्पेक्ट्रम के सभी पहलुओं की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करता है,जिसमें वे घटनाएं भी शामिल हैं जिन्हें बोहर मॉडल द्वारा नहीं समझाया जा सका था।

(N/A) श्रोडिंगर तरंग समीकरण परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के तरंग व्यवहार का वर्णन करता है। हाइड्रोजन परमाणु के लिए हल करने पर:
$(i)$ यह समाधान उन संभावित ऊर्जा स्तरों को प्रदान करता है जिन्हें इलेक्ट्रॉन ग्रहण कर सकते हैं और प्रत्येक ऊर्जा स्तर से जुड़े तरंग फलन $(\psi)$ को दर्शाता है।
$(ii)$ इन क्वांटाइज्ड ऊर्जा अवस्थाओं और तरंग फलनों को तीन क्वांटम संख्याओं द्वारा पहचाना जाता है: मुख्य $(n)$,दिगंशीय $(l)$,और चुंबकीय $(m_{l})$।
$(iii)$ तरंग फलन में किसी दी गई ऊर्जा अवस्था में इलेक्ट्रॉन के बारे में सभी जानकारी होती है।
$\psi$ की परिभाषा: तरंग फलन एक गणितीय फलन है जिसका मान परमाणु में इलेक्ट्रॉन के निर्देशांक $(x, y, z)$ पर निर्भर करता है। इसका कोई सीधा भौतिक महत्व नहीं है।
एक-इलेक्ट्रॉन प्रणाली: हाइड्रोजन या हाइड्रोजन जैसी प्रजातियों (जैसे $He^{+}$,$Li^{2+}$) जिनमें केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है,के तरंग फलनों को परमाणु कक्षक कहा जाता है।
$|\psi|^{2}$ का अर्थ: $|\psi|^{2}$ का मान परमाणु के भीतर किसी विशिष्ट बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व को दर्शाता है। यह हमेशा एक धनात्मक राशि होती है।
एक-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों के लिए,कक्षकों की ऊर्जा केवल मुख्य क्वांटम संख्या '$n$' पर निर्भर करती है।

(N/A)

$\psi$	$|\psi|^2$
यह एक तरंग फलन (wave function) है।	यह परमाणु के भीतर किसी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व (probability density) को दर्शाता है।
इसका कोई सीधा भौतिक अर्थ नहीं होता है।	इसका सीधा भौतिक अर्थ होता है।
यह इलेक्ट्रॉन के निर्देशांकों का एक गणितीय फलन है।	$|\psi|^2$ इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता के समानुपाती होता है,जो इलेक्ट्रॉन घनत्व को दर्शाता है।
यह धनात्मक या ऋणात्मक मान रख सकता है।	यह हमेशा धनात्मक होता है।
इसका उपयोग इलेक्ट्रॉन के ऊर्जा स्तरों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है,जो क्वांटीकृत होते हैं।	इसका उपयोग इलेक्ट्रॉन के वितरण,स्थिति और कक्षकों के आकार को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

(N/A) परमाणु का क्वांटम यांत्रिक मॉडल: परमाणु का यह मॉडल परमाणु की संरचना का चित्र है,जो परमाणुओं के लिए श्रोडिंगर समीकरण के अनुप्रयोग से उभरता है।
परमाणु के क्वांटम यांत्रिक मॉडल की महत्वपूर्ण विशेषताएं:
$(i)$. परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा क्वांटाइज्ड होती है (अर्थात,केवल कुछ विशिष्ट मान ही हो सकते हैं),उदाहरण के लिए जब इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में नाभिक से बंधे होते हैं।
$(ii)$. क्वांटाइज्ड इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्तरों का अस्तित्व इलेक्ट्रॉनों के तरंग जैसे गुणों का सीधा परिणाम है और ये श्रोडिंगर तरंग समीकरण के मान्य समाधान हैं।
$(iii)$. परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की सटीक स्थिति और सटीक वेग दोनों को एक साथ निर्धारित नहीं किया जा सकता है (हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत)। इसलिए,परमाणु में इलेक्ट्रॉन का पथ कभी भी सटीक रूप से निर्धारित या ज्ञात नहीं किया जा सकता है।
$(iv)$. एक परमाणु कक्षक परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन के लिए तरंग फलन $\psi$ है।
- जब भी किसी इलेक्ट्रॉन को तरंग फलन द्वारा वर्णित किया जाता है,तो हम कहते हैं कि इलेक्ट्रॉन उस कक्षक में है। चूंकि एक इलेक्ट्रॉन के लिए ऐसे कई तरंग फलन संभव हैं,इसलिए एक परमाणु में कई परमाणु कक्षक होते हैं।
- ये "एक-इलेक्ट्रॉन कक्षक तरंग फलन" या कक्षक परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना का आधार बनाते हैं।
- प्रत्येक कक्षक में,इलेक्ट्रॉन की एक निश्चित ऊर्जा होती है। एक कक्षक में दो से अधिक इलेक्ट्रॉन नहीं हो सकते।
- बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में,इलेक्ट्रॉन बढ़ती ऊर्जा के क्रम में विभिन्न कक्षकों में भरे जाते हैं।
- परमाणु में इलेक्ट्रॉन के बारे में सारी जानकारी उसके कक्षक तरंग फलन $\Psi$ में संग्रहीत होती है और क्वांटम यांत्रिकी इस जानकारी को $\Psi$ से निकालना संभव बनाती है।
$(v)$. इलेक्ट्रॉन प्रायिकता $|\Psi|^{2}$ ज्ञात करना:
- परमाणु के भीतर किसी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन मिलने की प्रायिकता कक्षक तरंग फलन के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात उस बिंदु पर $|\Psi|^{2}$। $|\Psi|^{2}$ को प्रायिकता घनत्व के रूप में जाना जाता है और यह हमेशा धनात्मक होता है।
- परमाणु के भीतर विभिन्न बिंदुओं पर $|\Psi|^{2}$ के मान से,नाभिक के चारों ओर उस क्षेत्र की भविष्यवाणी करना संभव है जहां इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की सबसे अधिक संभावना है।

(N/A) $\psi(r)$ बनाम $r$ ग्राफ:
- यह ग्राफ नाभिक से दूरी के साथ तरंग फलन (wave function) में परिवर्तन को दर्शाता है। वक्र प्रत्येक कक्षक के लिए विशिष्ट होता है।
- जिन बिंदुओं पर वक्र $r$-अक्ष को काटता है (जहाँ $\psi(r) = 0$),वे त्रिज्यीय नोड्स (radial nodes) को दर्शाते हैं।
- $1s$ कक्षक के लिए,$\psi(r)$,$r = 0$ पर अधिकतम होता है और तेजी से घटता है। $2s$ के लिए,यह एक निश्चित दूरी पर शून्य से गुजरता है,जो एक नोड को इंगित करता है।
$\psi^2(r)$ बनाम $r$ ग्राफ:
- यह ग्राफ नाभिक से $r$ दूरी पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व (probability density) को दर्शाता है।
- चूंकि $\psi^2(r)$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए वक्र $r$-अक्ष के ऊपर रहता है।
- जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$\psi^2(r)$ का मान घटता जाता है। जिन बिंदुओं पर $\psi^2(r) = 0$ होता है,वे त्रिज्यीय नोड्स के अनुरूप होते हैं,जहाँ इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता शून्य होती है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \ g = 0.01 \ kg$,गति $v = 90 \ m/s$।
गति में सटीकता $4\%$ है,इसलिए गति में अनिश्चितता $\Delta v = \frac{4}{100} \times 90 = 3.6 \ m/s$।
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$।
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,इसलिए $\Delta x \ge \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$।
मान रखने पर: $\Delta x \ge \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{4 \times 3.14 \times 0.01 \ kg \times 3.6 \ m/s}$।
$\Delta x \ge \frac{6.626 \times 10^{-34}}{0.45216} \approx 1.46 \times 10^{-33} \ m$।

(N/A) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत $\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi m}$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण $(m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ के लिए,अनिश्चितता महत्वपूर्ण है।
$1 \ mg$ $(10^{-6} \ kg)$ द्रव्यमान वाली स्थूल वस्तु के लिए:
$\Delta x \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi m} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \ s}{4 \times 3.1416 \times 10^{-6} \ kg} \approx 0.527 \times 10^{-28} \ m^2 \ s^{-1}$.
यह मान अत्यंत छोटा और भौतिक रूप से अर्थहीन है,इसीलिए स्थूल वस्तुओं के लिए अनिश्चितता का सिद्धांत नगण्य है।

(N/A) बोहर मॉडल विफल रहा क्योंकि यह इलेक्ट्रॉन को एक निश्चित वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले कण के रूप में मानता था,जिसके लिए इलेक्ट्रॉन की सटीक स्थिति और वेग दोनों को एक साथ जानना आवश्यक है।
यह $Heisenberg$ के अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन करता है,जो बताता है कि किसी उप-परमाणु कण की स्थिति और संवेग दोनों को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
इसके अतिरिक्त,बोहर मॉडल पदार्थ की तरंग-कण द्वैतता को ध्यान में नहीं रखता था।
कक्षा की अवधारणा को कक्षक (प्रायिकता का क्षेत्र) की अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया गया,जो दो प्रमुख विकासों के कारण हुआ:
$1$. पदार्थ की द्वैत प्रकृति की डी-ब्रोग्ली अवधारणा।
$2$. $Heisenberg$ का अनिश्चितता सिद्धांत।
नए मॉडल को परमाणु का $Quantum$ $Mechanical$ मॉडल कहा जाता है।

(A) हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत बताता है कि इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण की सटीक स्थिति और सटीक संवेग (या वेग) को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$,जहाँ $\Delta x$ स्थिति में अनिश्चितता है और $\Delta p$ संवेग में अनिश्चितता है।