Uncertainty principle and Schrodinger wave equation Questions in Hindi

(N/A) इलेक्ट्रॉन की स्थिति निर्धारित करने के लिए,ऐसी मापक इकाई (स्केल) का उपयोग करना आवश्यक है जो स्वयं इलेक्ट्रॉन के आयामों से छोटी इकाइयों में अंशांकित हो।

(N/A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन के निश्चित पथ या प्रक्षेप पथ को निर्धारित करना असंभव है क्योंकि इलेक्ट्रॉन की स्थिति और संवेग (या वेग) दोनों को एक साथ पूर्ण सटीकता के साथ निर्धारित करना असंभव है।

(N/A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{h}{4 \pi m}$ है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 1 \ mg = 10^{-6} \ kg$ है।
$\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{4 \times 3.14 \times 10^{-6} \ kg} \approx 5.27 \times 10^{-29} \ m^2 \ s^{-1}$ है।
यह मान अत्यंत छोटा और नगण्य है,जो यह दर्शाता है कि $1 \ mg$ या उससे अधिक भारी वस्तुओं के लिए अनिश्चितता प्रेक्षणीय नहीं है और वहां चिरसम्मत यांत्रिकी (classical mechanics) लागू होती है।

(N/A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi m}$ होता है।
$\Delta p = m \cdot \Delta v$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{h}{4\pi m}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$ और $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ है।
$\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.11 \times 10^{-31}} \approx 5.79 \times 10^{-5} \ m^2 \ s^{-1}$।
यह मान दर्शाता है कि एक इलेक्ट्रॉन के लिए,उसकी स्थिति और वेग दोनों को एक साथ पूर्ण सटीकता के साथ निर्धारित करना असंभव है।

(A) क्वांटम यांत्रिकी भौतिकी और रसायन विज्ञान का एक मूलभूत सिद्धांत है जो परमाणुओं और उप-परमाणु कणों के स्तर पर प्रकृति के भौतिक गुणों का वर्णन करता है।
यह इलेक्ट्रॉन,प्रोटॉन और न्यूट्रॉन जैसी सूक्ष्म इकाइयों के व्यवहार को समझने के लिए एक गणितीय ढांचा प्रदान करता है,जो शास्त्रीय यांत्रिकी (classical mechanics) का पालन नहीं करते हैं।
प्रमुख सिद्धांतों में तरंग-कण द्वैतता और अनिश्चितता का सिद्धांत शामिल हैं।

(N/A) क्वांटम यांत्रिकी का विकास $1926$ में $Werner \ Heisenberg$ और $Erwin \ Schrodinger$ द्वारा स्वतंत्र रूप से किया गया था।

(N/A) क्वांटम यांत्रिकी का मूलभूत समीकरण भौतिक विज्ञानी $Erwin \ Schr\ddot{o}dinger$ द्वारा $1933$ में विकसित किया गया था।

(A) स्थिर ऊर्जा वाली प्रणाली के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर तरंग समीकरण इस प्रकार है:
$\hat{H}\Psi = E\Psi$
जहाँ:
$\hat{H} =$ हैमिल्टोनियन ऑपरेटर
$E =$ प्रणाली की कुल ऊर्जा
$\Psi =$ तरंग फलन

(N/A) $\psi$ तरंग फलन (wave function) है। यह एक गणितीय फलन है और इसका कोई सीधा भौतिक अर्थ नहीं है।
$|\psi|^2$ परमाणु में किसी भी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व (probability density) को दर्शाता है। इसका भौतिक अर्थ है। इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता $|\psi|^2$ के मान के समानुपाती होती है।

(N/A) बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के लिए $Schrodinger$ तरंग समीकरण का सटीक समाधान प्राप्त करना बहुत कठिन है,क्योंकि इसमें इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन के बीच का प्रतिकर्षण जटिल होता है। इसलिए,इन प्रणालियों के लिए ऊर्जा और तरंग फलनों को निर्धारित करने के लिए अनुमानित (approximate) विधियों का उपयोग किया जाता है।

(N/A) परमाण्वीय कक्षक और $\psi$: तरंग यांत्रिकी के अनुसार,परमाण्वीय कक्षकों को तरंग फलनों $(\psi)$ द्वारा व्यक्त किया जा सकता है,जो इलेक्ट्रॉन तरंगों के आयाम को दर्शाते हैं। इन्हें श्रोडिंजर तरंग समीकरण के हल से प्राप्त किया जाता है।
आण्विक कक्षक और $LCAO$: श्रोडिंजर तरंग समीकरण को एक से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले किसी भी निकाय के लिए सटीक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। चूंकि आण्विक कक्षक अणुओं के लिए एक-इलेक्ट्रॉन तरंग फलन होते हैं,इसलिए उन्हें सीधे श्रोडिंजर तरंग समीकरण के हल से प्राप्त करना कठिन होता है। इस समस्या को दूर करने के लिए,$LCAO$ (Linear Combination of Atomic Orbitals) नामक एक अनुमानित विधि अपनाई गई है।
$LCAO$ श्रोडिंजर तरंग समीकरण द्वारा एक से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले आण्विक कक्षकों के हल के लिए एक विधि है।

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 10 \, g = 0.01 \, kg$.
वेग $v = 90 \, ms^{-1}$.
वेग में अनिश्चितता $\Delta v = 90 \text{ का } 5 \, \% = 90 \times 0.05 = 4.5 \, ms^{-1}$.
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta v \ge \frac{h}{4 \pi m}$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 0.01 \times 4.5}$.
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.5652} \approx 1.17 \times 10^{-33} \, m$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $1 \times 10^{-33} \, m$ प्राप्त होता है।

(C) वेग में अनिश्चितता $\Delta v$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Delta v = \frac{0.02}{100} \times 5 \times 10^{6} \ m \ s^{-1} = 10^{3} \ m \ s^{-1}$
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:
$\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta x \times (9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (10^{3} \ m \ s^{-1}) = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \ s}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \ kg}$
$\Delta x = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 10^{3}} \approx 58 \times 10^{-9} \ m$
अतः,$x = 58$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
$\Delta p = m \Delta v$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $m \Delta v \Delta x = \frac{h}{4 \pi}$.
दिया गया है: $\Delta v = 2.4 \times 10^{-26} \, m \, s^{-1}$,$\Delta x = 10^{-7} \, m$,और $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \, s$.
$m \times (2.4 \times 10^{-26}) \times (10^{-7}) = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159}$.
$m \times 2.4 \times 10^{-33} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12.566}$.
$m = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12.566 \times 2.4 \times 10^{-33}} = \frac{6.626}{30.1584} \times 10^{-1} \, kg$.
$m \approx 0.2197 \times 10^{-1} \, kg = 0.02197 \, kg$.
ग्राम में बदलने पर: $m = 0.02197 \times 1000 \, g = 21.97 \, g$.
निकटतम पूर्णांक $22$ है.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:
$\Delta x \times \Delta p_{x} \geq \frac{h}{4 \pi}$
यहाँ $\Delta x = 2 a_{0} = 2 \times 52.9 \times 10^{-12} \ m = 105.8 \times 10^{-12} \ m$ दिया गया है।
न्यूनतम अनिश्चितता के लिए,$\Delta x \times m \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$।
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi \times m \times \Delta x}$
मान रखने पर:
$\Delta v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 105.8 \times 10^{-12}}$
$\Delta v \approx 548273 \ m \ s^{-1} = 548.273 \ km \ s^{-1}$।
निकटतम पूर्णांक में,मान $548 \ km \ s^{-1}$ है।

(A) कथन $I$ सही है क्योंकि बोहर की अभिधारणा के अनुसार,स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $\frac{h}{2\pi}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है,अर्थात $mvr = \frac{nh}{2\pi}$।
कथन $II$ सही है क्योंकि बोहर का मॉडल यह मानता है कि इलेक्ट्रॉन निश्चित वेग और स्थिति के साथ अच्छी तरह से परिभाषित गोलाकार कक्षाओं में घूमते हैं,जो हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का सीधा खंडन करता है,जो यह बताता है कि किसी उप-परमाणु कण की सटीक स्थिति और संवेग को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:
$m \Delta V \cdot \Delta x \geq \frac{h}{4 \pi}$
दिया गया है:
$\Delta x = 10^{-15} \ m$
$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ Js$
$\pi = 3.14$
मान रखने पर:
$\Delta V = \frac{h}{4 \pi m \Delta x}$
$\Delta V = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 10^{-15}}$
$\Delta V = 57.97 \times 10^9 \ ms^{-1}$
निकटतम पूर्णांक में,उत्तर $58 \times 10^9 \ ms^{-1}$ है।

(B) कथन $(I)$ हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत की परिभाषा है,जो सत्य है।
कथन $(II)$ के लिए,हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
दिया गया है कि $\Delta x = \Delta p$,इसलिए $(\Delta p)^2 \geq \frac{h}{4\pi}$,जिसका अर्थ है $\Delta p \geq \sqrt{\frac{h}{4\pi}}$.
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,इसलिए $m \cdot \Delta v \geq \sqrt{\frac{h}{4\pi}}$.
अतः,$\Delta v \geq \frac{1}{m} \sqrt{\frac{h}{4\pi}} = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}} = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
इसलिए,कथन $(II)$ भी सत्य है।

(D) श्रोडिंगर तरंग समीकरण को केवल हाइड्रोजन परमाणु (एक-इलेक्ट्रॉन प्रणाली) के लिए ही सटीक रूप से हल किया जा सकता है। मल्टी-इलेक्ट्रॉन प्रजातियों के लिए,जटिल इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण के कारण इसे पूरी तरह से हल नहीं किया जा सकता है,और अनुमानित विधियों का उपयोग करना पड़ता है। इसलिए,विकल्प $D$ में दिया गया कथन गलत है।

(C) दिया गया है: $m = 9.1 \times 10^{-28} \ g$,$v = 3 \times 10^4 \ cm \ sec^{-1}$,$\Delta v = 0.011 \% \text{ of } v = \frac{0.011}{100} \times 3 \times 10^4 = 3.3 \ cm \ sec^{-1}$.
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi m}$.
$h = 6.626 \times 10^{-27} \ g \ cm^2 \ sec^{-1}$ और $\pi = 3.1416$ लेने पर:
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v} = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-28} \times 3.3}$.
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{37.83} \approx 0.175 \ cm$.

(D) . "किसी इलेक्ट्रॉन की सही स्थिति और सही संवेग का एक साथ निर्धारण करना असंभव है" यह कथन $Heisenberg \ uncertainty \ principle$ (हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत) की परिभाषा है।
इस सिद्धांत के अनुसार,स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ का गुणनफल $\frac{h}{4\pi}$ से अधिक या उसके बराबर होता है,जिसे $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$.
दिया गया वेग $v = 300 \ ms^{-1}$ और सटीकता $0.001 \ \%$ है,इसलिए वेग में अनिश्चितता $\Delta v = 300 \times \frac{0.001}{100} = 3 \times 10^{-3} \ ms^{-1}$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-3}}$.
$\Delta x \approx 1.92 \times 10^{-2} \ m$.

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण की सटीक स्थिति और सटीक संवेग को एक साथ निर्धारित करना असंभव है।
गणितीय रूप से,इसे $\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\Delta x$ स्थिति में अनिश्चितता है और $\Delta p$ संवेग में अनिश्चितता है।

(D) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,स्थिति और वेग में अनिश्चितता का गुणनफल: $\Delta v \cdot \Delta x \geq \frac{h}{4 \pi m}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $m = 10^{-6} \ kg$ और $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
$\Delta v \cdot \Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-6}}$.
$\Delta v \cdot \Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12.566 \times 10^{-6}} \approx 5.27 \times 10^{-29} \ m^{2} \ s^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन जैसे सूक्ष्म कण की सटीक स्थिति और सटीक संवेग को एक साथ निर्धारित करना असंभव है। $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
यह सिद्धांत केवल सूक्ष्म कणों के लिए महत्वपूर्ण है। स्थूल (macroscopic) वस्तुओं के लिए,अनिश्चितता नगण्य है और व्यावहारिक रूप से अस्तित्वहीन है।

(C) $\text{हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार}$, $\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
$\text{दिया गया है}$, $\Delta x = 100 \ pm = 100 \times 10^{-12} \ m = 10^{-10} \ m$.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$.
$\text{मान रखने पर}$, $\Delta p \geq \frac{h}{4\pi \Delta x}$.
$\Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14159 \times 10^{-10}}$.
$\Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{12.566 \times 10^{-10}}$.
$\Delta p \geq 0.527 \times 10^{-24} \ kg \ m \ s^{-1}$.
$\text{अतः, सही विकल्प } C \text{ है.}$

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,इसलिए $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \text{स्थिरांक}$.
अतः,$\Delta x \propto \frac{1}{m \cdot \Delta v}$.
दिया गया है $m_B = 4m_A$,$\Delta v_A = 0.03 \ m \ s^{-1}$,और $\Delta v_B = 0.01 \ m \ s^{-1}$.
स्थितियों में अनिश्चितता का अनुपात $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{m_B \cdot \Delta v_B}{m_A \cdot \Delta v_A}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{4m_A \cdot 0.01}{m_A \cdot 0.03} = \frac{4 \cdot 0.01}{0.03} = \frac{4}{3}$.

(A) गति में अनिश्चितता $\Delta v$,$50 \ m \ s^{-1}$ का $2 \%$ है।
$\Delta v = 50 \times \frac{2}{100} = 1 \ m \ s^{-1}$.
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \Delta v$,इसलिए $\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$.
$\Delta v = 1 \ m \ s^{-1}$ का मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \times 1} = \frac{h}{4 \pi m}$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \times \Delta p \ge h / (4 \pi)$.
दिया गया है कि स्थिति और संवेग में अनिश्चितता समान है: $\Delta x = \Delta p$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\Delta p)^2 = h / (4 \pi)$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\Delta p = \sqrt{h / (4 \pi)} = 1 / 2 \sqrt{h / \pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \Delta v$,इसलिए $m \Delta v = 1 / 2 \sqrt{h / \pi}$.
अतः,वेग में अनिश्चितता $\Delta v = 1 / (2 m) \sqrt{h / \pi}$ होगी।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$ है।
दिया गया है,$\Delta x = 0.002 \ nm = 2 \times 10^{-3} \times 10^{-9} \ m = 2 \times 10^{-12} \ m$.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \ s$ और $\pi = 3.14$ का उपयोग करने पर:
$\Delta p = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x} = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 2 \times 10^{-12}}$.
$\Delta p = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{25.12 \times 10^{-12}} \approx 0.2637 \times 10^{-22} \ kg \ ms^{-1}$.
$\Delta p = 2.637 \times 10^{-23} \ kg \ ms^{-1}$.

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,हमारे पास $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$ है
मान रखने पर: $\Delta x \cdot (9.1 \times 10^{-31} \ kg) \cdot (0.1 \ m/s) = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{4 \times 3.14159}$
$\Delta x \cdot (9.1 \times 10^{-32} \ kg \cdot m/s) = 5.274 \times 10^{-35} \ kg \cdot m^2/s$
$\Delta x = \frac{5.274 \times 10^{-35}}{9.1 \times 10^{-32}} \approx 5.79 \times 10^{-4} \ m$

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$ होता है।
दिया गया है कि स्थिति में अनिश्चितता $\Delta x$ और वेग में अनिश्चितता $\Delta v$ बराबर हैं,इसलिए $\Delta x = \Delta v$।
चूंकि $\Delta p = m \Delta v$,हम अनिश्चितता संबंध में $\Delta v = \Delta x$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\Delta x \cdot (m \Delta x) = \frac{h}{4 \pi}$
$m (\Delta x)^2 = \frac{h}{4 \pi}$
$(\Delta x)^2 = \frac{h}{4 \pi m}$
$\Delta x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi m}}$
चूंकि $\Delta p = m \Delta v$ और $\Delta v = \Delta x$,इसलिए $\Delta p = m \Delta x$ होगा।
$\Delta x$ का मान रखने पर:
$\Delta p = m \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi m}}$
$\Delta p = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m^2 h}{\pi m}}$
$\Delta p = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m h}{\pi}}$

(D) दिया गया है: सटीकता $= \pm 1 \%$,$\Delta x = 1.05 \times 10^{-13} \ m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ kg \ m^2 \ s^{-1}$.
प्रकाश का वेग $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
कण का वेग $v = 2c = 6 \times 10^8 \ m/s$.
वेग में अनिश्चितता $\Delta v = v \text{ का } 1 \% = 0.01 \times 6 \times 10^8 = 6 \times 10^6 \ m/s$.
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v \ge \frac{h}{4 \pi}$.
$m = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x \cdot \Delta v}$.
$m = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 1.05 \times 10^{-13} \times 6 \times 10^6}$.
$m = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{79.128 \times 10^{-7}} \approx 0.0834 \times 10^{-27} \ kg = 0.834 \times 10^{-28} \ kg$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $0.8 \times 10^{-28} \ kg$ है।

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta P \geq \frac{h}{4 \pi}$.
यह दिया गया है कि संवेग में अनिश्चितता $(\Delta P)$ और स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ समान हैं,अर्थात $\Delta P = \Delta x$.
अनिश्चितता सिद्धांत के समीकरण में $\Delta x = \Delta P$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\Delta P)^2 \geq \frac{h}{4 \pi}$.
चूंकि $\Delta P = m \cdot \Delta v$,इसलिए $(m \cdot \Delta v)^2 \geq \frac{h}{4 \pi}$.
$m^2 \cdot (\Delta v)^2 \geq \frac{h}{4 \pi}$.
$(\Delta v)^2 \geq \frac{h}{4 \pi m^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\Delta v \geq \sqrt{\frac{h}{4 \pi m^2}} = \frac{1}{2 m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.

(D) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$,जहाँ $\Delta p = m \Delta v$ है।
अतः,$\Delta x \geq \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$।
दिया गया वेग $v = 2.99 \times 10^4 \ cm \ s^{-1}$ और सटीकता $0.0016 \%$ है।
वेग में अनिश्चितता $\Delta v = v \times \frac{0.0016}{100} = 2.99 \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-5} = 0.4784 \ cm \ s^{-1}$।
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-28} \times 0.4784}$।
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{5.475 \times 10^{-27}} \approx 1.21 \ cm$।
$mm$ में बदलने पर: $1.21 \ cm = 12.1 \ mm$।

(D) वेग में अनिश्चितता $\Delta v$,$3 \times 10^7 \text{ ms}^{-1}$ का $0.5 \%$ है।
$\Delta v = \frac{0.5}{100} \times 3 \times 10^7 \text{ ms}^{-1} = 1.5 \times 10^5 \text{ ms}^{-1}$.
हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \times \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \Delta v$,इसलिए $\Delta x = \frac{h}{4 \pi m \Delta v}$.
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 1.66 \times 10^{-27} \times 1.5 \times 10^5}$.
$\Delta x = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{31.27 \times 10^{-22}} \approx 2.11 \times 10^{-13} \text{ m}$.

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \times \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \Delta v$,समीकरण $\Delta x \times m \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi}$ हो जाता है।
दी गई मान: $m = 9.1 \times 10^{-28} \ g$,$v = 3 \times 10^4 \ cm/s$,और वेग में अनिश्चितता $\Delta v = 0.02 \ \%$ of $v = 6 \ cm/s$.
$h = 6.626 \times 10^{-27} \ erg \ s$ का उपयोग करने पर,
$\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-27}}{4 \times 3.1416 \times 9.1 \times 10^{-28} \times 6} \approx 9.66 \times 10^{-3} \ cm$.

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi m}$ है।
दिया गया है: $\Delta x = 10.98 \ nm = 10.98 \times 10^{-9} \ m$,$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ Js$।
मान रखने पर:
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi m \Delta x} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times \pi \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10.98 \times 10^{-9}}$।
$\Delta v = \frac{1.6565 \times 10^4}{\pi} \ ms^{-1}$।

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
दिया गया है कि $\Delta x = \Delta p$,इसलिए $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
चूंकि $\Delta p = m \Delta v$,इसलिए $(m \Delta v)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
अतः $m^2 \Delta v^2 = \frac{h}{4\pi}$.
$\Delta v^2 = \frac{h}{4\pi m^2}$.
इसलिए $\Delta v = \frac{1}{m} \sqrt{\frac{h}{4\pi}}$.

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$.
दिया गया है कि स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ समान है: $\Delta x = \Delta p$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4 \pi}$.
अतः,$\Delta p = \sqrt{\frac{h}{4 \pi}}$.
चूंकि संवेग में अनिश्चितता और वेग में अनिश्चितता का संबंध $\Delta p = m \Delta v$ है,इसलिए $m \Delta v = \sqrt{\frac{h}{4 \pi}}$.
$\Delta v$ के लिए हल करने पर: $\Delta v = \frac{1}{m} \sqrt{\frac{h}{4 \pi}} = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और संवेग में अनिश्चितता $(\Delta p)$ का गुणनफल इस प्रकार है:
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}$
चूंकि संवेग $\Delta p = m \cdot \Delta v$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $\Delta v$ वेग में अनिश्चितता है,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\Delta x \cdot (m \cdot \Delta v) \geq \frac{h}{4 \pi}$
स्थिति और वेग में अनिश्चितता का गुणनफल ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta x \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4 \pi \cdot m}$
अतः,यह गुणनफल $\frac{h}{4 \pi \cdot m}$ से कम नहीं हो सकता है।

(D) श्रोडिंगर तरंग समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{d^2 \psi}{dy^2} + \frac{d^2 \psi}{dz^2} + \frac{8 \pi^2 m}{h^2}(E - V) \psi = 0$
जहाँ,$\psi =$ तरंग फलन,$m =$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान,$h =$ प्लांक नियतांक,$E =$ इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा,$V =$ इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p = \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta x \cdot m \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$
$\Delta v = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x \cdot m}$
दिया गया है: $m = 10 \ g = 10^{-2} \ kg$,$\Delta x = 10^{-33} \ m$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$,$v = 52.5 \ m \ s^{-1}$
$\Delta v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 10^{-33} \times 10^{-2}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{12.56 \times 10^{-35}} = \frac{66}{12.56} \approx 5.25 \ m \ s^{-1}$
गति में प्रतिशत सटीकता = $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = \frac{5.25}{52.5} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta p \cdot \Delta x = \frac{h}{4\pi}$.
दिया गया है $\Delta v = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
सबसे पहले,स्थिति में अनिश्चितता $\Delta x$ की गणना करें:
$\Delta x = \frac{h}{4\pi \cdot m \cdot \Delta v} = \frac{h}{4\pi \cdot m \cdot (\frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}})} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
इसके बाद,संवेग में अनिश्चितता $\Delta p$ की गणना करें:
$\Delta p = m \cdot \Delta v = m \cdot (\frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
स्थिति और संवेग में अनिश्चितता का अनुपात:
$\frac{\Delta x}{\Delta p} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}}{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}} = \frac{1}{1}$.
अतः,अनुपात $1: 1$ है।

(D) अनिश्चितता के सिद्धांत के अनुसार,$\Delta p \cdot \Delta x \geq \frac{h}{4\pi}$.
किसी सूक्ष्म कण की स्थिति और वेग (या संवेग) दोनों को एक साथ पूर्ण सटीकता के साथ मापना असंभव है।
यह सिद्धांत केवल सूक्ष्म कणों के लिए महत्वपूर्ण है क्योंकि $h$ का मान अत्यंत छोटा $(6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s)$ होता है।
स्थूल वस्तुओं के लिए द्रव्यमान इतना अधिक होता है कि अनिश्चितता नगण्य हो जाती है।
अतः,हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता का सिद्धांत सामान्यतः बहुत उच्च गति वाले सूक्ष्म कणों के लिए महत्वपूर्ण है।

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार:
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi m}$
दिया गया है:
$\Delta x = 0.001 \ nm = 10^{-12} \ m$
$m = 9.11 \times 10^{-31} \ kg$
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
मान रखने पर:
$\Delta v \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{4 \times 3.1416 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-12}}$
$\Delta v \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{1.144 \times 10^{-41}}$
$\Delta v \geq 5.79 \times 10^7 \ m/s$

(D) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,सूत्र $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$ हो जाता है।
दिया गया है: $\Delta x = 1 \times 10^{-8} \ m$,$\Delta v = 6.627 \times 10^{-20} \ m/s$,$h = 6.627 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
द्रव्यमान $(m)$ के लिए सूत्र: $m = \frac{h}{4 \pi \cdot \Delta x \cdot \Delta v}$
मान रखने पर: $m = \frac{6.627 \times 10^{-34}}{4 \pi \cdot (1 \times 10^{-8}) \cdot (6.627 \times 10^{-20})}$
$m = \frac{6.627 \times 10^{-34}}{4 \pi \cdot 6.627 \times 10^{-28}}$
$m = \frac{10^{-34}}{4 \pi \cdot 10^{-28}} = \frac{10^{-6}}{4 \pi} \ kg$

(D) दिया गया है,स्थिति में अनिश्चितता $(\Delta x)$ और वेग में अनिश्चितता $(\Delta v)$ का गुणनफल $\Delta x \cdot \Delta v = 5.79 \times 10^{-5} \ m^2 \ s^{-1}$ है।
स्थिति में अनिश्चितता $\Delta x = 1 \ nm = 1 \times 10^{-9} \ m$.
वेग में अनिश्चितता $(\Delta v)$ ज्ञात करने के लिए:
$\Delta v = \frac{\Delta x \cdot \Delta v}{\Delta x} = \frac{5.79 \times 10^{-5} \ m^2 \ s^{-1}}{1 \times 10^{-9} \ m} = 5.79 \times 10^4 \ m \ s^{-1}$.

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$.
दिया गया है कि स्थिति और संवेग में अनिश्चितता समान है,अर्थात $\Delta x = \Delta p$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(\Delta p)^2 = \frac{h}{4\pi}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\Delta p = \sqrt{\frac{h}{4\pi}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
चूंकि $\Delta p = m \cdot \Delta v$,इसलिए $m \cdot \Delta v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$.
अतः,वेग में अनिश्चितता $\Delta v = \frac{1}{2m} \sqrt{\frac{h}{\pi}}$ होगी।

(C) एक सुव्यवस्थित तरंग फलन के लिए,$BORN$ की शर्तें यह हैं कि $\psi$ परिमित,एकल-मान वाला और सतत होना चाहिए। इसलिए,यह शर्त कि $\psi$ अनंत होना चाहिए,गलत है।