Textbook - Real Numbers Questions in Gujarati

(B) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ છીએ.
જો $q = 2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તો દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય છે.
અહીં,$q = 455$.
$455$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $5 \times 7 \times 13$ છે.
અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $2$ અને $5$ સિવાયના અવયવો ($7$ અને $13$) હોવાથી,$\frac{64}{455}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.

(N/A) $\frac{15}{1600}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$1$. $15$ ને $1600$ વડે ભાગો.
$2$. $15 < 1600$ હોવાથી,આપણે દશાંશ ચિહ્ન મૂકીએ છીએ અને $15$ ની પાછળ શૂન્ય ઉમેરીને તેને $15.000000$ બનાવીએ છીએ.
$3$. $1600$ નો $15000$ માં નવ વાર ભાગ ચાલે છે $(1600 \times 9 = 14400)$,અને શેષ $600$ વધે છે.
$4$. $0$ નીચે ઉતારતા $6000$ મળે છે. $1600$ નો $6000$ માં ત્રણ વાર ભાગ ચાલે છે $(1600 \times 3 = 4800)$,અને શેષ $1200$ વધે છે.
$5$. $0$ નીચે ઉતારતા $12000$ મળે છે. $1600$ નો $12000$ માં સાત વાર ભાગ ચાલે છે $(1600 \times 7 = 11200)$,અને શેષ $800$ વધે છે.
$6$. $0$ નીચે ઉતારતા $8000$ મળે છે. $1600$ નો $8000$ માં પાંચ વાર ભાગ ચાલે છે $(1600 \times 5 = 8000)$,અને શેષ $0$ વધે છે.
આમ,$\frac{15}{1600}$ નું દશાંશ નિરૂપણ $0.009375$ છે.

(D) સંમેય સંખ્યા $\frac{29}{343}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે નહીં તે જાણવા માટે,આપણે છેદના અવિભાજ્ય અવયવો તપાસીએ.
$1$. છેદ $343 = 7^3$ છે.
$2$. સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ ત્યારે જ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
$3$. અહીં $343$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $7^3$ છે,જેમાં $2$ કે $5$ નો કોઈ અવયવ નથી.
$4$. તેથી,આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે. આમ,$\frac{29}{343}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી.

(N/A) સંમેય સંખ્યા $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$ નું દશાંશ નિરૂપણ મેળવવા માટે,આપણે પહેલા છેદનું સાદું રૂપ આપીએ:
$\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}} = \frac{23}{8 \times 25} = \frac{23}{200}$
હવે,આપણે $23$ ને $200$ વડે ભાગાકાર કરીએ:
$23 \div 200 = 0.115$
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે $2$ અને $5$ ના ઘાતાંક સમાન બનાવી શકીએ છીએ:
$\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}} = \frac{23 \times 5}{2^{3} \times 5^{2} \times 5} = \frac{115}{2^{3} \times 5^{3}} = \frac{115}{(2 \times 5)^{3}} = \frac{115}{10^{3}} = \frac{115}{1000} = 0.115$

(C) કોઈ સંમેય સંખ્યા $\frac{p}{q}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^n 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ સંમેય સંખ્યા $\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}$ માં,છેદમાં $2$ અને $5$ ઉપરાંત $7^5$ નો અવયવ પણ છે.
છેદના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $2$ અને $5$ સિવાયનો અન્ય અવિભાજ્ય અવયવ $(7)$ હોવાથી,આ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત છે.
તેથી,તેનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત નથી.

(N/A) સંમેય સંખ્યા $\frac{6}{15}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે પહેલા અંશ અને છેદને તેમના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (ગુ.સા.અ.),જે $3$ છે,તેના વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવીએ.
$\frac{6}{15} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{2}{5}$.
હવે,આપણે $2$ ને $5$ વડે ભાગીને $\frac{2}{5}$ ને દશાંશમાં ફેરવીએ:
$2 \div 5 = 0.4$.
આમ,$\frac{6}{15}$ નું દશાંશ નિરૂપણ $0.4$ છે.

(N/A) સંમેય સંખ્યા $\frac{35}{50}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરી શકીએ અથવા અપૂર્ણાંકને પહેલા સાદું રૂપ આપી શકીએ.
રીત $1$: ભાગાકારની રીત
$35$ ને $50$ વડે ભાગતા:
$35 \div 50 = 0.7$
રીત $2$: છેદને $10$ ના ઘાત સ્વરૂપમાં ફેરવીને
$\frac{35}{50} = \frac{35 \times 2}{50 \times 2} = \frac{70}{100} = 0.7$
આમ,$\frac{35}{50}$ નું દશાંશ નિરૂપણ $0.7$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંક $\frac{77}{210}$ ને તેના ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $7$ વડે ભાગીને સાદું રૂપ આપો.
$\frac{77 \div 7}{210 \div 7} = \frac{11}{30}$.
હવે,છેદ $30$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$30 = 2 \times 3 \times 5$.
કોઈપણ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ ત્યારે જ શાંત હોય જો તેના છેદના અવિભાજ્ય અવયવો (સાદા રૂપમાં) $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં છેદ $30$ માં $3$ નો અવયવ હોવાથી (જે $2$ કે $5$ નથી),$\frac{11}{30}$ નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત છે.
$11 \div 30$ નો ભાગાકાર કરતા આપણને $0.3666...$ અથવા $0.3\overline{6}$ મળે છે.

(A) આપેલી સંખ્યા $43.123456789$ છે.
આ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોવાથી,તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
કોઈ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત હોય,તો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^{m} \times 5^{n}$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m$ અને $n$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી,$q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો માત્ર $2$ અથવા $5$ અથવા બંને હશે.

(N/A) આપેલ દશાંશ નિરૂપણ $0.120120012000120000 \ldots$ છે.
$1$. જો કોઈ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત અથવા અનંત આવૃત હોય,તો તે સંખ્યા સંમેય છે.
$2$. જો કોઈ સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અનાવૃત હોય,તો તે સંખ્યા અસંમેય છે.
$3$. આપેલ સંખ્યા $0.120120012000120000 \ldots$ માં,અંકોની પેટર્ન કોઈ નિશ્ચિત બ્લોકમાં પુનરાવર્તિત થતી નથી અને તે શાંત પણ થતી નથી.
$4$. દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત હોવાથી,આપેલી સંખ્યા અસંમેય સંખ્યા છે.
$5$. તે અસંમેય હોવાથી,તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય નહીં,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.

(N/A) આપેલ સંખ્યા $43. \overline{123456789}$ છે.
અહીં દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત (પુનરાવર્તિત) હોવાથી,આપેલી સંખ્યા એક સંમેય સંખ્યા છે.
કોઈ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત ત્યારે જ હોય જો તેના છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^m \times 5^n$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
અહીં દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત હોવાથી,છેદ $q$ ના અવિભાજ્ય અવયવોમાં $2$ અથવા $5$ સિવાયના અન્ય અવિભાજ્ય અવયવો પણ હશે.