સાબિત કરો કે $\sqrt{5}$ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $\sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે (એટલે કે,તેમનો સામાન્ય અવયવ માત્ર $1$ છે).
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $a^2 = 5b^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે,અને અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$a$ પણ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે $a = 5k$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમતને $a^2 = 5b^2$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(5k)^2 = 5b^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $25k^2 = 5b^2$ અથવા $b^2 = 5k^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંને $5$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો સામાન્ય અવયવ $5$ છે,જે આપણી શરૂઆતની ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $\sqrt{5}$ સંમેય છે તે ખોટી છે,અને આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $\sqrt{5}$ અસંમેય છે.