સાબિત કરો કે $3+2 \sqrt{5}$ અસંમેય છે.

(N/A) ધારો કે $3+2 \sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણે બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવી રીતે શોધી શકીએ કે જેથી $3+2 \sqrt{5} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા,આપણને $2 \sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3$ મળે છે.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા,$2 \sqrt{5} = \frac{a-3b}{b}$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sqrt{5} = \frac{a-3b}{2b}$ મળે છે.
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{a-3b}{2b}$ એક સંમેય સંખ્યા છે. આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ સંમેય છે.
પરંતુ,આ હકીકત એ વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉભો થયો છે કે $3+2 \sqrt{5}$ સંમેય છે.
તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $3+2 \sqrt{5}$ અસંમેય છે.