Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Gujarati

(A) કોઈ સમીકરણ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ માં ફેરવીએ છીએ,જ્યાં $a \neq 0$.
વિકલ્પ $(A)$ ચકાસો: $(x+2)(x-1) = x^{2}-x+2x-2 = x^{2}+x-2$. આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+x-2 = x^{2}-2x-3$. સાદું રૂપ આપતા,$3x+1=0$. આ એક સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
વિકલ્પ $(B)$ ચકાસો: $(x+2)^{2} = 2(x+3) \implies x^{2}+4x+4 = 2x+6 \implies x^{2}+2x-2=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $(C)$ ચકાસો: $x^{2}+3x = (-1)(1-3x)^{2} \implies x^{2}+3x = -(1-6x+9x^{2}) \implies x^{2}+3x = -1+6x-9x^{2} \implies 10x^{2}-3x+1=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
વિકલ્પ $(D)$ ચકાસો: $x^{3}-x^{2}+2x+1 = (x+1)^{3} \implies x^{3}-x^{2}+2x+1 = x^{3}+3x^{2}+3x+1 \implies -x^{2}+2x = 3x^{2}+3x \implies 4x^{2}+x=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^{2} - \sqrt{3}x - 5 = 0$ ને પૂર્ણવર્ગની રીતથી ઉકેલવા માટે,આપણે પહેલા એ સુનિશ્ચિત કરીએ છીએ કે $x^{2}$ નો સહગુણક $1$ અથવા પૂર્ણવર્ગ હોય. અહીં,$4x^{2} = (2x)^{2}$ છે.
આપણે સમીકરણને $(2x)^{2} - 2(2x)(\frac{\sqrt{3}}{4}) - 5 = 0$ તરીકે ફરીથી લખીએ છીએ.
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ સ્વરૂપમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $a = 2x$ અને $b = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ઓળખીએ છીએ.
ઉમેરવા અને બાદ કરવા માટેનો પદ $b^{2} = (\frac{\sqrt{3}}{4})^{2} = \frac{3}{16}$ છે.
આમ,અચળાંક $\frac{3}{16}$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ હોવા માટે,સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ,જ્યાં $a \neq 0$ હોય.
$(A)$ $x^{2}+2x+1 = (4-x)^{2}+3$
$\Rightarrow x^{2}+2x+1 = 16-8x+x^{2}+3$
$\Rightarrow 10x-18=0$. આ એક સુરેખ સમીકરણ છે.
$(B)$ $-2x^{2} = (5-x)(2x-\frac{2}{5})$
$\Rightarrow -2x^{2} = 10x-2-2x^{2}+\frac{2x}{5}$
$\Rightarrow 0 = \frac{52x}{5}-2$. આ એક સુરેખ સમીકરણ છે.
$(C)$ $x^{3}-x^{2} = (x-1)^{3}$
$\Rightarrow x^{3}-x^{2} = x^{3}-3x^{2}+3x-1$
$\Rightarrow 2x^{2}-3x+1=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે કારણ કે તે $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a=2 \neq 0$ છે.
$(D)$ $(k+1)x^{2}+\frac{3}{2}x=7$,જ્યાં $k=-1$
$\Rightarrow (-1+1)x^{2}+\frac{3}{2}x=7$
$\Rightarrow \frac{3}{2}x-7=0$. આ એક સુરેખ સમીકરણ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણનું સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ હોય છે,જ્યાં $a \neq 0$.
$(A)$ $2(x-1)^{2}=4 x^{2}-2 x+1 \Rightarrow 2(x^{2}-2x+1)=4x^{2}-2x+1 \Rightarrow 2x^{2}-4x+2=4x^{2}-2x+1 \Rightarrow 2x^{2}+2x-1=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$(B)$ $2 x-x^{2}=x^{2}+5 \Rightarrow 2x^{2}-2x+5=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$(C)$ $(-\sqrt{2} x+\sqrt{3})^{2}=3 x^{2}-5 x \Rightarrow 2x^{2}-2\sqrt{6}x+3=3x^{2}-5x \Rightarrow x^{2}-(5-2\sqrt{6})x-3=0$. આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
$(D)$ $(x^{2}+2 x)^{2}=x^{4}+3+4 x^{2} \Rightarrow x^{4}+4x^{3}+4x^{2}=x^{4}+3+4x^{2} \Rightarrow 4x^{3}-3=0$. અહીં $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ હોવાથી,આ ત્રિઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) કોઈ સમીકરણનું બીજ $x = 2$ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકીશું અને તપાસીશું કે પરિણામ $0$ મળે છે કે નહીં.
$(A)$ $2x^2 - 7x + 6 = 0$ માટે:
$2(2)^2 - 7(2) + 6 = 2(4) - 14 + 6 = 8 - 14 + 6 = 0$.
પરિણામ $0$ હોવાથી,$x = 2$ એ આ સમીકરણનું બીજ છે.
$(B)$ $x^2 + 3x - 12 = 0$ માટે:
$(2)^2 + 3(2) - 12 = 4 + 6 - 12 = -2 \neq 0$.
તેથી,$x = 2$ એ બીજ નથી.
$(C)$ $x^2 - 4x + 5 = 0$ માટે:
$(2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \neq 0$.
તેથી,$x = 2$ એ બીજ નથી.
$(D)$ $3x^2 - 6x - 2 = 0$ માટે:
$3(2)^2 - 6(2) - 2 = 12 - 12 - 2 = -2 \neq 0$.
તેથી,$x = 2$ એ બીજ નથી.
આમ,સાચું સમીકરણ $2x^2 - 7x + 6 = 0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{1}{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+kx-\frac{5}{4}=0$ નું બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{1}{2})^{2} + k(\frac{1}{2}) - \frac{5}{4} = 0$
$\frac{1}{4} + \frac{k}{2} - \frac{5}{4} = 0$
$\frac{1 + 2k - 5}{4} = 0$
$2k - 4 = 0$
$2k = 4$
$k = 2$

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\frac{-b}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(A)$ $2x^2 - 3x + 6 = 0$ માટે,$a=2, b=-3$. બીજનો સરવાળો $= -(-3)/2 = 3/2 = 1.5$.
$(B)$ $\sqrt{2}x^2 - \frac{3}{\sqrt{2}}x + 1 = 0$ માટે,$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા $2x^2 - 3x + \sqrt{2} = 0$ મળે. અહીં $a=2, b=-3$. બીજનો સરવાળો $= -(-3)/2 = 3/2 = 1.5$.
$(C)$ $-x^2 + 3x - 3 = 0$ માટે,$a=-1, b=3$. બીજનો સરવાળો $= -(3)/(-1) = 3$.
$(D)$ $3x^2 - 3x + 3 = 0$ માટે,$3$ વડે ભાગતા $x^2 - x + 1 = 0$ મળે. અહીં $a=1, b=-1$. બીજનો સરવાળો $= -(-1)/1 = 1$.
આમ,જે સમીકરણના બીજનો સરવાળો $3$ છે તે $-x^2 + 3x - 3 = 0$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2}-kx+k=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2$,$b=-k$ અને $c=k$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D$ નું મૂલ્ય $0$ હોવું જોઈએ.
$D = b^{2}-4ac = 0$
કિંમતો મૂકતા,$(-k)^{2}-4(2)(k) = 0$ મળે છે.
$k^{2}-8k = 0$
$k$ સામાન્ય લેતા,$k(k-8) = 0$ મળે છે.
તેથી,$k=0$ અથવા $k=8$.
આમ,$k$ ની જરૂરી કિંમતો $0$ અને $8$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^{2} + \frac{3}{4}x - \sqrt{2} = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરવા માટે,આપણે સમીકરણને $(ax)^{2} + 2(ax)(b) + b^{2}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવું પડે.
આપણે સમીકરણને $(3x)^{2} + 2(3x)(\frac{1}{8}) - \sqrt{2} = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
અહીં,પદ $b = \frac{1}{8}$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે,આપણે $b^{2} = (\frac{1}{8})^{2} = \frac{1}{64}$ ઉમેરવા અને બાદ કરવા પડે.
આમ,જે અચળાંક ઉમેરવો અને બાદ કરવો જોઈએ તે $\frac{1}{64}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^{2} - \sqrt{5}x + 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 2, b = -\sqrt{5}, c = 1$.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-\sqrt{5})^{2} - 4(2)(1) = 5 - 8 = -3$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી (એટલે કે,તેના બીજ કાલ્પનિક છે).

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,જો વિવેચક $D = b^{2}-4ac > 0$ હોય,તો તેના બીજ ભિન્ન અને વાસ્તવિક હોય છે.
$(a)$ $2x^{2}-3\sqrt{2}x+\frac{9}{4}=0$ માટે,$a=2, b=-3\sqrt{2}, c=\frac{9}{4}$.
$D = (-3\sqrt{2})^{2}-4(2)(\frac{9}{4}) = 18-18 = 0$. અહીં $D=0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.
$(b)$ $x^{2}+3x+2\sqrt{2}=0$ માટે,$a=1, b=3, c=2\sqrt{2}$.
$D = (3)^{2}-4(1)(2\sqrt{2}) = 9-8\sqrt{2} < 0$. અહીં $D < 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક નથી.
$(c)$ $x^{2}+x-5=0$ માટે,$a=1, b=1, c=-5$.
$D = (1)^{2}-4(1)(-5) = 1+20 = 21$. અહીં $D>0$ હોવાથી,બીજ ભિન્ન અને વાસ્તવિક છે.
$(d)$ $5x^{2}-3x+1=0$ માટે,$a=5, b=-3, c=1$.
$D = (-3)^{2}-4(5)(1) = 9-20 = -11 < 0$. અહીં $D < 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને વાસ્તવિક બીજ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ ની ગણતરી કરીએ છીએ. જો $D < 0$ હોય,તો સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
$A)$ $3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4 = 0$ માટે,$D = (4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4) = 48 - 48 = 0$. $D = 0$ હોવાથી,તેના વાસ્તવિક અને સમાન બીજ છે.
$B)$ $x^2 - 4x - 3\sqrt{2} = 0$ માટે,$D = (-4)^2 - 4(1)(-3\sqrt{2}) = 16 + 12\sqrt{2} > 0$. તેના વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ છે.
$C)$ $x^2 + 4x - 3\sqrt{2} = 0$ માટે,$D = (4)^2 - 4(1)(-3\sqrt{2}) = 16 + 12\sqrt{2} > 0$. તેના વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ છે.
$D)$ $x^2 - 4x + 3\sqrt{2} = 0$ માટે,$D = (-4)^2 - 4(1)(3\sqrt{2}) = 16 - 12\sqrt{2}$. $\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,$12\sqrt{2} \approx 16.968$ થાય. તેથી,$D = 16 - 16.968 = -0.968 < 0$. આમ,આ સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=0$ છે.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{4}+1+2x^{2}-x^{2}=0$,જેનું સાદું રૂપ $x^{4}+x^{2}+1=0$ થાય છે.
ધારો કે $x^{2}=y$. કારણ કે $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી $x^{2} \ge 0$,એટલે કે $y \ge 0$.
સમીકરણ $y^{2}+y+1=0$ બને છે.
$ay^{2}+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=1, c=1$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (1)^{2}-4(1)(1) = 1-4 = -3$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,$y$ માંના દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
તેથી,મૂળ સમીકરણ $(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(NO) સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા તેને સાદું રૂપ આપીશું:
$(x-1)^{2}+2(x+1)=0$
$(x^{2}-2x+1)+2x+2=0$
$x^{2}+3=0$
હવે,આપણે આને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવીએ,જ્યાં $a=1, b=0, c=3$ છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
$D = (0)^{2}-4(1)(3) = -12$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,આ સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ ધ્યાનમાં લો.
જો $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોય,તો $b = 0$ થાય અને સમીકરણ $ax^2 + c = 0$ બને છે.
આ સમીકરણના બીજ $x^2 = -c/a$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \sqrt{-c/a}$.
બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,આપણે $-c/a \geq 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $c/a \leq 0$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $a$ અને $c$ વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતા હોય અથવા જો $c = 0$ હોય.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $x^2 - 4 = 0$ હોય,તો $x^2 = 4$,તેથી $x = \pm 2$,જે વાસ્તવિક બીજ છે.
આમ,વિધાન ખોટું છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-3x+4=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=1, b=-3, c=4$.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-3)^{2} - 4(1)(4)$
$D = 9 - 16$
$D = -7$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-3x+4=0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી. તેથી,તેને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2 x^{2}+x-1=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=2$,$b=1$ અને $c=-1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4 a c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (1)^{2}-4(2)(-1) = 1+8 = 9$ મળે છે.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2 x^{2}-6 x+\frac{9}{2}=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=2, b=-6, c=\frac{9}{2}$.
બીજના સ્વરૂપને નક્કી કરવા માટે,આપણે વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$D = (-6)^{2} - 4(2)(\frac{9}{2})$
$D = 36 - 36 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને બે સમાન વાસ્તવિક બીજ છે. તેથી,તેને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ નથી.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3 x^{2}-4 x+1=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=3, b=-4, c=1$.
વિવેચક $D$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-4)^{2} - 4(3)(1)$
$D = 16 - 12$
$D = 4$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(NO) આપેલ સમીકરણ $(x+4)^{2}-8x=0$ છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2}+16+8x-8x=0$ ($(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા).
સાદું રૂપ આપતા: $x^{2}+16=0$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ માં લખતા: $x^{2}+0x+16=0$.
$ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=0, c=16$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D=b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D=(0)^{2}-4(1)(16) = 0-64 = -64$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી (તેને બે કાલ્પનિક બીજ છે).

(A) આપેલ સમીકરણ $(x-\sqrt{2})^{2}-2(x+1)=0$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^{2}-2\sqrt{2}x+2-2x-2=0$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^{2}-(2+2\sqrt{2})x=0$.
તેને $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-(2+2\sqrt{2}), c=0$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (-(2+2\sqrt{2}))^{2}-4(1)(0)$.
$D = (2+2\sqrt{2})^{2} = 4 + 8 + 8\sqrt{2} = 12+8\sqrt{2}$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2} x^{2}-\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=\sqrt{2}$,$b=-\frac{3}{\sqrt{2}}$,અને $c=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = \left(-\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{2} - 4(\sqrt{2})\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$D = \frac{9}{2} - 4$
$D = \frac{9-8}{2} = \frac{1}{2}$.
અહીં $D = \frac{1}{2} > 0$ હોવાથી,વિવેચક ધન છે.
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2} x^{2}-\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(NO) આપેલ સમીકરણ $x(1-x)-2=0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x-x^{2}-2=0$ મળે છે.
સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ માં ગોઠવતા,આપણને $x^{2}-x+2=0$ મળે છે.
આને $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=-1, c=2$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D=b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D=(-1)^{2}-4(1)(2) = 1-8 = -7$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-x+2=0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી (તેને બે ભિન્ન કાલ્પનિક બીજ છે).

(A) આપેલ સમીકરણ $(x-1)(x+2)+2=0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^{2} + 2x - x - 2 + 2 = 0$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપતા,$x^{2} + x = 0$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = 1, c = 0$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$D = (1)^{2} - 4(1)(0) = 1 - 0 = 1$ મળે છે.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x+1)(x-2)+x=0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 2x + x - 2 + x = 0$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2 - 2 = 0$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 1, b = 0, c = -2$
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (0)^2 - 4(1)(-2) = 0 + 8 = 8$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(N/A) $(i)$ ખોટું. $ax^{2} + bx + c = 0$ (જ્યાં $a \neq 0$) સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણને બરાબર બે બીજ હોય છે,જે વાસ્તવિક અથવા સંકર હોઈ શકે છે.
$(ii)$ ખોટું. દરેક દ્વિઘાત સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ હોય તે જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,સમીકરણ $x^{2} + 4 = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી કારણ કે $x^{2} = -4$,અને કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ક્યારેય ઋણ હોઈ શકે નહીં.

(A) $(i)$ સાચું. દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $a \neq 0$. બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$n$ ઘાતવાળી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ બીજ હોય છે. દ્વિઘાત સમીકરણની ઘાત $2$ હોવાથી,તેને વધુમાં વધુ $2$ બીજ હોય છે.
$(ii)$ સાચું. દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ છે. જો $x^{2}$ નો સહગુણક $(a)$ અને અચળ પદ $(c)$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તો $ac < 0$ થાય. પરિણામે,$-4ac > 0$ થાય. $b^{2} \geq 0$ હોવાથી,$D = b^{2} - 4ac > 0$ મળે. વિવેચક ધન હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોય છે.

(A) $(i)$ સાચું. દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ છે. આપેલ છે કે $b = 0$,તેથી $D = -4ac$ મળે. જો $a$ અને $c$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તો $ac > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $D = -4ac < 0$. વિવેચક ઋણ હોવાથી,સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
$(ii)$ ખોટું. દ્વિઘાત સમીકરણને બરાબર બે જ બીજ હોય છે (જે વાસ્તવિક અને ભિન્ન,વાસ્તવિક અને સમાન,અથવા સંકર/કાલ્પનિક હોઈ શકે છે). વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સંદર્ભમાં તેને "ઓછામાં ઓછા" બે બીજ હોવા જરૂરી નથી,અને તેને બેથી વધુ બીજ હોઈ શકે નહીં.

(B) આ વિધાન ખોટું છે. પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ પૂર્ણાંક હોય તે જરૂરી નથી.
દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + x - 6 = 0$ ધ્યાનમાં લો, જ્યાં સહગુણકો $2, 1, \text{અને } -6$ પૂર્ણાંક છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm 7}{4}$
આનાથી બે બીજ મળે છે: $x_1 = \frac{6}{4} = 1.5$ અને $x_2 = \frac{-8}{4} = -2$.
અહીં $1.5$ એ પૂર્ણાંક નથી, તેથી પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ પૂર્ણાંક જ હોય તેવો દાવો ખોટો છે.

(A) હા,આવું દ્વિઘાત સમીકરણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + x - 4 = 0$ ને ધ્યાનમાં લો. અહીં,સહગુણકો $2, 1$ અને $-4$ એ સંમેય સંખ્યાઓ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$
તેથી બીજ $\frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ અને $\frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ છે. કારણ કે $\sqrt{33}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી બંને બીજ અસંમેય છે.

(C) હા,આવું દ્વિઘાત સમીકરણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{3}x^2 - 7\sqrt{3}x + 12\sqrt{3} = 0$ ધ્યાનમાં લો.
અહીં,સહગુણકો $a = \sqrt{3}$,$b = -7\sqrt{3}$,અને $c = 12\sqrt{3}$ છે,જે તમામ ભિન્ન અસંમેય સંખ્યાઓ છે.
આખા સમીકરણને $\sqrt{3}$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 - 7x + 12 = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x - 3)(x - 4) = 0$ મળે છે.
આમ,બીજ $x = 3$ અને $x = 4$ છે,જે બંને સંમેય સંખ્યાઓ છે.

(B) શું $0.2$ એ સમીકરણ $x^{2}-0.4=0$ નું બીજ છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $x = 0.2$ મૂકીશું.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ માં $x = 0.2$ મૂકતા:
$(0.2)^{2} - 0.4 = 0.04 - 0.4 = -0.36$.
અહીં પરિણામ $-0.36$ મળે છે,જે $0$ નથી.
તેથી,$0.2$ એ સમીકરણ $x^{2}-0.4=0$ નું બીજ નથી.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $x^{2}+bx+c=0$ ....$(i)$
સમીકરણ $(i)$ માં $b=0$ મૂકતા:
$x^{2}+0(x)+c=0$
$x^{2}+c=0$
$x^{2}=-c$
અહીં આપેલ છે કે $c < 0$,ધારો કે $c = -k$ જ્યાં $k > 0$. તો:
$x^{2} = -(-k) = k$
$x = \pm \sqrt{k}$
આમ,બીજ $\sqrt{k}$ અને $-\sqrt{k}$ મળે છે.
આ બીજ સંખ્યાત્મક રીતે સમાન છે (બંનેનું મૂલ્ય $\sqrt{k}$ છે) અને ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ છે (એક ધન અને એક ઋણ છે). તેથી,આ વિધાન સત્ય છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ માટે,બીજ શોધવાનું દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
અહીં,$a=2$,$b=-\sqrt{5}$,અને $c=-2$ છે.
સૌ પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ ની ગણતરી કરો:
$D = (-\sqrt{5})^{2} - 4 \times 2 \times (-2) = 5 + 16 = 21$.
હવે,આ કિંમતોને દ્વિઘાત સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-(-\sqrt{5}) \pm \sqrt{21}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{5} \pm \sqrt{21}}{4}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{21}}{4}$ અને $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{21}}{4}$ છે.

(D) $6x^{2} - \sqrt{2}x - 2 = 0$ ના બીજ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત બહુપદીના અવયવ પાડીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $6 \times (-2) = -12$ થાય અને સરવાળો $-\sqrt{2}$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $-3\sqrt{2}$ અને $2\sqrt{2}$ છે.
$6x^{2} - 3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}x - 2 = 0$
$3x(2x - \sqrt{2}) + \sqrt{2}(2x - \sqrt{2}) = 0$
$(3x + \sqrt{2})(2x - \sqrt{2}) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x + \sqrt{2} = 0 \implies x = -\frac{\sqrt{2}}{3}$
$2x - \sqrt{2} = 0 \implies x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
આમ,બીજ $-\frac{\sqrt{2}}{3}$ અને $\frac{\sqrt{2}}{2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^{2} - 3x - 5 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 2, b = -3, c = -5$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4(2)(-5)}}{2(2)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4}$
$x = \frac{3 \pm 7}{4}$.
બે બીજની ગણતરી કરતા:
$x_{1} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$x_{2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
આમ,આપેલ સમીકરણના બીજ $\frac{5}{2}$ અને $-1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $5x^{2} + 13x + 8 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 5, b = 13, c = 8$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(13) \pm \sqrt{(13)^{2} - 4(5)(8)}}{2(5)}$
$x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 160}}{10}$
$x = \frac{-13 \pm \sqrt{9}}{10}$
$x = \frac{-13 \pm 3}{10}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-13 + 3}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-13 - 3}{10} = \frac{-16}{10} = -\frac{8}{5}$.
આમ,બીજ $-1$ અને $-\frac{8}{5}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $-3x^{2} + 5x + 12 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -3$,$b = 5$ અને $c = 12$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{-(5) \pm \sqrt{(5)^{2} - 4(-3)(12)}}{2(-3)}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{-6} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{-6}$.
અહીં $\sqrt{169} = 13$ હોવાથી,$x = \frac{-5 \pm 13}{-6}$ મળે.
ધન ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-5 + 13}{-6} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{-5 - 13}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$.
આમ,સમીકરણના બીજ $-\frac{4}{3}$ અને $3$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $-x^{2}+7x-10=0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = -1, b = 7, c = -10$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(7) \pm \sqrt{(7)^{2}-4(-1)(-10)}}{2(-1)}$
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49-40}}{-2}$
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{-2}$
$x = \frac{-7 \pm 3}{-2}$.
બે બીજની ગણતરી કરતા:
$x_1 = \frac{-7 + 3}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$
$x_2 = \frac{-7 - 3}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5$.
આમ,સમીકરણના બીજ $2$ અને $5$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+2 \sqrt{2} x-6=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=2 \sqrt{2}$ અને $c=-6$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \frac{-(2 \sqrt{2}) \pm \sqrt{(2 \sqrt{2})^{2}-4(1)(-6)}}{2(1)}$.
$x = \frac{-2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8+24}}{2} = \frac{-2 \sqrt{2} \pm \sqrt{32}}{2}$.
અહીં $\sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ હોવાથી,$x = \frac{-2 \sqrt{2} \pm 4 \sqrt{2}}{2}$.
બે બીજ શોધતા:
$x_1 = \frac{-2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-2 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{2} = \frac{-6 \sqrt{2}}{2} = -3 \sqrt{2}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $\sqrt{2}$ અને $-3 \sqrt{2}$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-3 \sqrt{5} x+10=0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=1, b=-3 \sqrt{5}, c=10$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(-3 \sqrt{5}) \pm \sqrt{(-3 \sqrt{5})^{2}-4(1)(10)}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \sqrt{5} \pm \sqrt{45-40}}{2}$
$x = \frac{3 \sqrt{5} \pm \sqrt{5}}{2}$
કિસ્સો $1$: $x = \frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{2} = 2 \sqrt{5}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{3 \sqrt{5} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $2 \sqrt{5}$ અને $\sqrt{5}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{11} x+1=0$ છે.
તેને $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=\frac{1}{2}, b=-\sqrt{11}, c=1$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-(-\sqrt{11}) \pm \sqrt{(-\sqrt{11})^{2}-4 \times \frac{1}{2} \times 1}}{2 \times \frac{1}{2}}$
$x = \frac{\sqrt{11} \pm \sqrt{11-2}}{1}$
$x = \sqrt{11} \pm \sqrt{9}$
$x = \sqrt{11} \pm 3$.
તેથી,સમીકરણના બીજ $3+\sqrt{11}$ અને $\sqrt{11}-3$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^{2} + \frac{5}{3}x - 2 = 0$ છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$6x^{2} + 5x - 6 = 0$.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને એવી રીતે વિભાજિત કરીએ છીએ કે જેથી બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $6 \times (-6) = -36$ થાય અને તેમનો સરવાળો $5$ થાય. તે સંખ્યાઓ $9$ અને $-4$ છે.
$6x^{2} + 9x - 4x - 6 = 0$
સામાન્ય પદો લેતા:
$3x(2x + 3) - 2(2x + 3) = 0$
$(2x + 3)(3x - 2) = 0$
હવે,દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$
$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
આમ,સમીકરણના બીજ $-\frac{3}{2}$ અને $\frac{2}{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{2}{5} x^{2}-x-\frac{3}{5}=0$ છે.
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$2x^{2}-5x-3=0$
અવયવીકરણ કરવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $-5x$ ને $-6x + x$ માં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$2x^{2}-6x+x-3=0$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$2x(x-3)+1(x-3)=0$
$(x-3)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$(x-3)(2x+1)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x-3=0 \Rightarrow x=3$
$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}$
આમ,સમીકરણના બીજ $-\frac{1}{2}$ અને $3$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3 \sqrt{2} x^{2}-5 x-\sqrt{2}=0$ છે.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદ $-5x$ ને $-6x + x$ માં વિભાજિત કરીએ છીએ જેથી તેમનો ગુણાકાર $(3 \sqrt{2}) \times (-\sqrt{2}) = -6$ થાય.
$3 \sqrt{2} x^{2}-6 x+x-\sqrt{2}=0$
$3 \sqrt{2} x(x-\sqrt{2})+1(x-\sqrt{2})=0$
$(x-\sqrt{2})(3 \sqrt{2} x+1)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x-\sqrt{2}=0 \Rightarrow x=\sqrt{2}$
$3 \sqrt{2} x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3 \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $x = -\frac{1 \times \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3 \times 2} = -\frac{\sqrt{2}}{6}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $-\frac{\sqrt{2}}{6}$ અને $\sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3x^{2} + 5\sqrt{5}x - 10 = 0$ છે.
અવયવીકરણ કરવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને એવી રીતે વિભાજિત કરીએ છીએ કે જેથી તેમનો ગુણાકાર $3 \times (-10) = -30$ થાય અને સરવાળો $5\sqrt{5}$ થાય.
આ અવયવો $6\sqrt{5}$ અને $-\sqrt{5}$ છે,કારણ કે $(6\sqrt{5}) \times (-\sqrt{5}) = -6 \times 5 = -30$ અને $6\sqrt{5} - \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ થાય છે.
$3x^{2} + 6\sqrt{5}x - \sqrt{5}x - 10 = 0$
$3x(x + 2\sqrt{5}) - \sqrt{5}(x + 2\sqrt{5}) = 0$
$(x + 2\sqrt{5})(3x - \sqrt{5}) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x + 2\sqrt{5} = 0 \Rightarrow x = -2\sqrt{5}$
$3x - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{5}}{3}$
આમ,સમીકરણના બીજ $-2\sqrt{5}$ અને $\frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $21 x^{2}-2 x+\frac{1}{21}=0$ છે.
સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે,બંને બાજુ $21$ વડે ગુણતા:
$21(21 x^{2}-2 x+\frac{1}{21}) = 21(0)$
$441 x^{2}-42 x+1=0$
હવે,મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને અવયવ પાડો:
$441 x^{2}-21 x-21 x+1=0$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$(441 x^{2}-21 x)-(21 x-1)=0$
$21 x(21 x-1)-1(21 x-1)=0$
$(21 x-1)$ સામાન્ય લેતા:
$(21 x-1)(21 x-1)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$21 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{21}$
$21 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{21}$
આમ,સમીકરણના બીજ $\frac{1}{21}$ અને $\frac{1}{21}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $6x^2 - 7x + 2 = 0$.
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા, $a = 6, b = -7, c = 2$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(6)(2) = 49 - 48 = 1$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી, સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
પૂર્ણવર્ગની રીત માટે, સમીકરણને $6$ વડે ભાગતા: $x^2 - (7/6)x + 1/3 = 0$.
તેને $x^2 - 2(7/12)x = -1/3$ તરીકે લખો.
બંને બાજુ $(7/12)^2$ ઉમેરતા: $x^2 - 2(7/12)x + (7/12)^2 = -1/3 + 49/144$.
$(x - 7/12)^2 = (-48 + 49) / 144 = 1/144$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x - 7/12 = \pm 1/12$.
કિસ્સો $1$: $x = 7/12 + 1/12 = 8/12 = 2/3$.
કિસ્સો $2$: $x = 7/12 - 1/12 = 6/12 = 1/2$.
આમ, બીજ $1/2$ અને $2/3$ છે.

(A) ધારો કે તેના વાસ્તવિક ગુણ $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જો તેણે $10$ ગુણ વધુ મેળવ્યા હોત,તો નવા ગુણ $(x + 10)$ થયા હોત.
શરત મુજબ,આ ગુણના $9$ ગણા તેના વાસ્તવિક ગુણના વર્ગ જેટલા થાય છે:
$9(x + 10) = x^2$
$9x + 90 = x^2$
દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$x^2 - 9x - 90 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 15x + 6x - 90 = 0$
$x(x - 15) + 6(x - 15) = 0$
$(x + 6)(x - 15) = 0$
આથી $x = -6$ અથવા $x = 15$ મળે છે.
ગુણ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = -6$ શક્ય નથી.
તેથી,અજીતાએ મેળવેલા વાસ્તવિક ગુણ $15$ છે.

(B) ધારો કે ટ્રેનની મૂળ સરેરાશ ઝડપ $x \, km/h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ ભાગ માટે લાગતો સમય $\frac{63}{x} \, \text{કલાક}$ અને બીજા ભાગ માટે $\frac{72}{x+6} \, \text{કલાક}$ છે.
કુલ સમય $3 \, \text{કલાક}$ લાગે છે,તેથી:
$\frac{63}{x} + \frac{72}{x+6} = 3$
આખા સમીકરણને $9$ વડે ભાગતા:
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x+6} = \frac{1}{3}$
છેદ દૂર કરવા માટે $3x(x+6)$ વડે ગુણતા:
$21(x+6) + 24x = x(x+6)$
$21x + 126 + 24x = x^2 + 6x$
$45x + 126 = x^2 + 6x$
$x^2 - 39x - 126 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 42)(x + 3) = 0$
આથી $x = 42$ અથવા $x = -3$ મળે.
ઝડપ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી મૂળ સરેરાશ ઝડપ $42 \, km/h$ છે.