Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $8 x^{2}+2 x-3=0$ છે.
$a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=8, b=2$ અને $c=-3$ મળે છે.
વિવેચક,$D = b^{2}-4 a c = (2)^{2}-4(8)(-3) = 4+96 = 100$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2(8)} = \frac{-2 \pm 10}{16}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-2+10}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-2-10}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$.
આમ,બીજ $\frac{1}{2}$ અને $-\frac{3}{4}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $-2x^{2} + 3x + 2 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = -2, b = 3, c = 2$.
વિવેચક $D = b^{2} - 4ac$ દ્વારા મળે છે.
$D = (3)^{2} - 4(-2)(2) = 9 + 16 = 25$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm 5}{-4}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-3 - 5}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$.
આમ,બીજ $-\frac{1}{2}$ અને $2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $5x^{2}-2x-10=0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=5, b=-2, c=-10$.
પ્રથમ,આપણે વિવેચક $D = b^{2}-4ac$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = (-2)^{2} - 4(5)(-10)$
$D = 4 + 200 = 204$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{204}}{2(5)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 \times 51}}{10}$
$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{51}}{10}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{51}}{5}$.
આમ,બીજ $\frac{1+\sqrt{51}}{5}$ અને $\frac{1-\sqrt{51}}{5}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{2x-3} + \frac{1}{x-5} = 1$ છે.
ડાબી બાજુનો લસાઅ લેતા:
$\frac{(x-5) + (2x-3)}{(2x-3)(x-5)} = 1$
$\frac{3x-8}{2x^2 - 13x + 15} = 1$
$3x - 8 = 2x^2 - 13x + 15$
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$2x^2 - 16x + 23 = 0$
અહીં $a = 2, b = -16, c = 23$ છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4(2)(23) = 256 - 184 = 72$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{72}}{4} = 4 \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ ઉકેલની ગણતરી મુજબ,જો સમીકરણ $2x^2 - 18x + 33 = 0$ હોય,તો બીજ $\frac{9 \pm \sqrt{15}}{2}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+5 \sqrt{5} x-70=0$ છે.
$ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=5 \sqrt{5}$ અને $c=-70$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (5 \sqrt{5})^{2}-4(1)(-70) = 125 + 280 = 405$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-5 \sqrt{5} \pm \sqrt{405}}{2(1)} = \frac{-5 \sqrt{5} \pm 9 \sqrt{5}}{2}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{-5 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5}}{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{2} = 2 \sqrt{5}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{-5 \sqrt{5} - 9 \sqrt{5}}{2} = \frac{-14 \sqrt{5}}{2} = -7 \sqrt{5}$.
આમ,બીજ $2 \sqrt{5}$ અને $-7 \sqrt{5}$ છે.

(D) ધારો કે જરૂરી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાના વર્ગમાંથી $84$ બાદ કરતાં $n^2 - 84$ મળે છે.
તે સંખ્યામાં $8$ ઉમેરીને તેને $3$ વડે ગુણતા $3(n + 8)$ મળે છે.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$n^2 - 84 = 3(n + 8)$
$n^2 - 84 = 3n + 24$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીએ:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
આથી $n = 12$ અથવા $n = -9$ મળે છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી $n = -9$ શક્ય નથી.
તેથી,જરૂરી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $12$ છે.

(A) ધારો કે પ્રાકૃતિક સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,
$x + 12 = \frac{160}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x^2 + 12x = 160$
$x^2 + 12x - 160 = 0$
હવે,દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 + 20x - 8x - 160 = 0$
$x(x + 20) - 8(x + 20) = 0$
$(x + 20)(x - 8) = 0$
આનાથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે:
$x = -20$ અથવા $x = 8$.
પ્રશ્નમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો ઉલ્લેખ હોવાથી,$x$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,જરૂરી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $8$ છે.

(B) ધારો કે ટ્રેનની મૂળ ઝડપ $x\, km/h$ છે.
તેથી,ટ્રેનની વધેલી ઝડપ $(x+5)\, km/h$ થશે.
અંતર $= 360\, km$.
મૂળ ઝડપે લાગતો સમય $= \frac{360}{x}\, h$.
વધેલી ઝડપે લાગતો સમય $= \frac{360}{x+5}\, h$.
આપેલ છે કે સમયનો તફાવત $48\, min = \frac{48}{60}\, h = \frac{4}{5}\, h$ છે.
શરત મુજબ: $\frac{360}{x} - \frac{360}{x+5} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 360 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+5} \right) = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 360 \left( \frac{x+5-x}{x(x+5)} \right) = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow \frac{360 \times 5}{x^2+5x} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 1800 \times 5 = 4(x^2+5x)$.
$\Rightarrow 9000 = 4x^2 + 20x$.
$\Rightarrow 4x^2 + 20x - 9000 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $x^2 + 5x - 2250 = 0$.
અવયવીકરણની રીતથી ઉકેલતા: $x^2 + 50x - 45x - 2250 = 0$.
$x(x+50) - 45(x+50) = 0$.
$(x+50)(x-45) = 0$.
ઝડપ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 45$.
આમ,ટ્રેનની મૂળ ઝડપ $45\, km/h$ છે.

(C) ધારો કે ઝેબાની અત્યારની ઉંમર $x\, \text{વર્ષ}$ છે.
જ્યારે તે $5\, \text{વર્ષ}$ નાની હતી ત્યારે તેની ઉંમર $(x - 5)\, \text{વર્ષ}$ હતી.
આપેલ શરત મુજબ:
$(x - 5)^2 = 5x + 11$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 10x + 25 = 5x + 11$
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા:
$x^2 - 10x - 5x + 25 - 11 = 0$
$x^2 - 15x + 14 = 0$
મધ્યમ પદના ભાગ પાડીને દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 14x - x + 14 = 0$
$x(x - 14) - 1(x - 14) = 0$
$(x - 1)(x - 14) = 0$
આથી $x$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $x = 1$ અથવા $x = 14$.
જો $x = 1$ લઈએ, તો $5\, \text{વર્ષ}$ પહેલા તેની ઉંમર $1 - 5 = -4$ થાય, જે શક્ય નથી કારણ કે ઉંમર ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે.
તેથી, ઝેબાની અત્યારની ઉંમર $14\, \text{વર્ષ}$ છે.

(D) ધારો કે નિશાની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
તેથી,આશાની હાલની ઉંમર $= x^2 + 2$ વર્ષ થાય.
નિશાને તેની માતાની હાલની ઉંમર સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(x^2 + 2) - x$ વર્ષ છે.
આ સમય પછી,આશાની ઉંમર $(x^2 + 2) + (x^2 + 2 - x) = 2x^2 - x + 4$ વર્ષ થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ઉંમર $10x - 1$ છે.
તેથી,$2x^2 - x + 4 = 10x - 1$.
$2x^2 - 11x + 5 = 0$.
$2x^2 - 10x - x + 5 = 0$.
$2x(x - 5) - 1(x - 5) = 0$.
$(x - 5)(2x - 1) = 0$.
અહીં $x = 1/2$ શક્ય નથી,તેથી $x = 5$.
નિશાની હાલની ઉંમર $= 5$ વર્ષ.
આશાની હાલની ઉંમર $= 5^2 + 2 = 27$ વર્ષ.

(A) ધારો કે તળાવની આસપાસની ઘાસની પટ્ટીની પહોળાઈ $x\, m$ છે.
આપેલ છે કે લંબચોરસ લૉનનું માપ $50\, m \times 40\, m$ છે.
તેથી,તળાવની લંબાઈ $(50 - 2x)\, m$ અને તળાવની પહોળાઈ $(40 - 2x)\, m$ થશે.
તળાવની આસપાસની ઘાસની જગ્યાનું ક્ષેત્રફળ એ લૉનનું ક્ષેત્રફળ અને તળાવના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
ઘાસનું ક્ષેત્રફળ = (લૉનનું ક્ષેત્રફળ) - (તળાવનું ક્ષેત્રફળ)
$1184 = (50 \times 40) - (50 - 2x)(40 - 2x)$
$1184 = 2000 - (2000 - 100x - 80x + 4x^{2})$
$1184 = 2000 - 2000 + 180x - 4x^{2}$
$4x^{2} - 180x + 1184 = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - 45x + 296 = 0$
$x^{2} - 37x - 8x + 296 = 0$
$x(x - 37) - 8(x - 37) = 0$
$(x - 37)(x - 8) = 0$
તેથી,$x = 37$ અથવા $x = 8$.
જો $x = 37$ હોય,તો તળાવનું માપ ઋણ મળે,જે શક્ય નથી. તેથી,$x = 8$.
તળાવની લંબાઈ = $50 - 2(8) = 50 - 16 = 34\, m$.
તળાવની પહોળાઈ = $40 - 2(8) = 40 - 16 = 24\, m$.
આમ,તળાવની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $34\, m$ અને $24\, m$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $2\, pm$ અને $3\, pm$ વચ્ચેનો સમય $60$ મિનિટ છે.
આપેલ છે કે $2\, pm$ પછી $t$ મિનિટે, $3\, pm$ સુધી પહોંચવા માટે બાકી રહેલો સમય $\left(\frac{t^{2}}{4} - 3\right)$ મિનિટ છે.
વીતેલો સમય અને બાકી રહેલો સમયનો સરવાળો એક કલાક ($60$ મિનિટ) જેટલો થવો જોઈએ:
$t + \left(\frac{t^{2}}{4} - 3\right) = 60$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$4t + t^{2} - 12 = 240$
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $at^{2} + bt + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$t^{2} + 4t - 252 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$t^{2} + 18t - 14t - 252 = 0$
$t(t + 18) - 14(t + 18) = 0$
$(t + 18)(t - 14) = 0$
આથી $t = -18$ અથવા $t = 14$ મળે.
સમય ઋણ હોઈ શકે નહીં, તેથી $t = -18$ ને અવગણતા.
તેથી, $t = 14$ મિનિટ.

(NO) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{4}-5x^{2}+3x-1$ છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x)$ માં,$x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $4$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણને $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપના સમીકરણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $a \neq 0$ અને સમીકરણની ઘાત $2$ હોય છે.
આપેલ બહુપદીની ઘાત $4$ હોવાથી,તે ચતુર્થઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
તેથી,$x^{4}-5x^{2}+3x-1=0$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $9x = 3x^3$.
પદોને એક બાજુ લાવતા,આપણને મળે છે: $3x^3 - 9x = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a \neq 0$ અને ચલની મહત્તમ ઘાત $2$ હોય છે.
સમીકરણ $3x^3 - 9x = 0$ માં,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે.
બહુપદીની ઘાત $3$ હોવાથી,તે ત્રિઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
તેથી,$9x = 3x^3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=-2$ $(x \neq 0)$
આખા સમીકરણને $x^{2}$ વડે ગુણતા:
$x^{2}(x^{2}) + x^{2}(\frac{1}{x^{2}}) = -2(x^{2})$
$x^{4} + 1 = -2x^{2}$
પદોને ગોઠવીને બહુપદી સમીકરણ બનાવતા:
$x^{4} + 2x^{2} + 1 = 0$
ધારો કે $p(x) = x^{4} + 2x^{2} + 1$.
આ બહુપદીની ઘાત $4$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણની ઘાત $2$ હોવી જોઈએ.
અહીં ઘાત $4$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x+6)(x+5)=0$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x(x+5) + 6(x+5) = 0$
$x^2 + 5x + 6x + 30 = 0$
$x^2 + 11x + 30 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a \neq 0$.
સમીકરણ $x^2 + 11x + 30 = 0$ માં,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a=1$ છે,તેથી તે એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(3x + 1)(3x + 2) = (9x - 1)(x + 1)$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$9x^2 + 6x + 3x + 2 = 9x^2 + 9x - x - 1$
$9x^2 + 9x + 2 = 9x^2 + 8x - 1$
બંને બાજુથી $(9x^2 + 8x - 1)$ બાદ કરતા:
$9x^2 - 9x^2 + 9x - 8x + 2 + 1 = 0$
$x + 3 = 0$
અહીં મળતી બહુપદી $p(x) = x + 3$ ની ઘાત $1$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણની વ્યાખ્યા મુજબ,સમીકરણની મહત્તમ ઘાત $2$ હોવી જોઈએ. અહીં ઘાત $1$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી,પરંતુ સુરેખ સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x+\frac{1}{x}=x^{2}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા (કારણ કે $x \neq 0$):
$x^{2}+1=x^{3}$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$x^{3}-x^{2}-1=0$
ધારો કે $p(x) = x^{3}-x^{2}-1$.
અહીં બહુપદી $p(x)$ ની ઘાત $3$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણની ઘાત $2$ હોવી જોઈએ.
આ સમીકરણની ઘાત $3$ હોવાથી,તે ત્રિઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
તેથી,$x+\frac{1}{x}=x^{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(B) ચલ $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$ છે. ચલ $x$ નો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,ખાસ કરીને $2$.
આપેલ સમીકરણ: $3x^{2} + 5sqrt{x} + 3 = 0$.
આપણે $\sqrt{x}$ પદને $x^{\frac{1}{2}}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,સમીકરણ $3x^{2} + 5x^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ બને છે.
આ સમીકરણમાં,બીજા પદમાં $x$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા (પૂર્ણાંક) નથી.
દ્વિઘાત સમીકરણની વ્યાખ્યા મુજબ ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જરૂરી હોવાથી,આ સમીકરણ શરતનું પાલન કરતું નથી.
તેથી,$3x^{2} + 5\sqrt{x} + 3 = 0$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{1}{x} = 5$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x(x) - x(\frac{1}{x}) = 5(x)$
$x^{2} - 1 = 5x$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$x^{2} - 5x - 1 = 0$
અહીં,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
આ સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}-3=\frac{2}{x}$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા (જ્યાં $x \neq 0$):
$x(x^{2}-3) = 2$
$x^{3}-3x = 2$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x^{3}-3x-2 = 0$
અહીં,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણની ઘાત $2$ હોવી જોઈએ.
તેથી,આ સમીકરણ ત્રિઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $p(x) = \sqrt{2} x^{2} - 5 \sqrt{3} x + 6 = 0$ છે.
અહીં,બહુપદી $p(x) = \sqrt{2} x^{2} - 5 \sqrt{3} x + 6$ માં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
બહુપદીની ઘાત $2$ હોવાથી,તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) ચલ $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$. ચલ $x$ નો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ: $x^{2} + 2\sqrt{x} + 3 = 0$.
આપણે $\sqrt{x}$ પદને $x^{\frac{1}{2}}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,સમીકરણ $x^{2} + 2x^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ બને છે.
આ સમીકરણમાં,બીજા પદમાં $x$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા (અનૃણ પૂર્ણાંક) નથી.
ચલ $x$ નો ઘાતાંક પૂર્ણાંક ન હોવાથી,આપેલ સમીકરણ બહુપદી નથી અને તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) જો $x = -\sqrt{2}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,$x = -\sqrt{2}$ ને દ્વિઘાત સમીકરણ $\sqrt{2} x^{2} + 7 x + 5 \sqrt{2} = 0$ માં મૂકો.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ $= \sqrt{2}(-\sqrt{2})^{2} + 7(-\sqrt{2}) + 5 \sqrt{2}$
$= \sqrt{2}(2) - 7 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}$
$= 2 \sqrt{2} - 7 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}$
$= (2 - 7 + 5) \sqrt{2}$
$= 0 \times \sqrt{2} = 0$
અહીં ડાબી બાજુ = જમણી બાજુ હોવાથી,$x = -\sqrt{2}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(B) જો $x=3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2}-x-2=0$ નો ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $x=3$ ને પદાવલિ $6x^{2}-x-2$ માં મૂકીશું.
$x=3$ મૂકતા:
$6(3)^{2} - (3) - 2$
$= 6(9) - 3 - 2$
$= 54 - 3 - 2$
$= 49$
અહીં પરિણામ $49 \neq 0$ હોવાથી,કિંમત $x=3$ સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,$x=3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2}-x-2=0$ નો ઉકેલ નથી.

(YES) $x = 5$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે સમીકરણની ડાબી બાજુ $(LHS)$ માં $x = 5$ મૂકીશું.
$LHS$ = $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}$
$x = 5$ મૂકતા:
$LHS$ = $\frac{5+1}{5-1} - \frac{5-1}{5+1}$
$LHS$ = $\frac{6}{4} - \frac{4}{6}$
અપૂર્ણાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$LHS$ = $\frac{3}{2} - \frac{2}{3}$
છેદ સમાન કરતા (જે $6$ છે):
$LHS$ = $\frac{3 \times 3}{6} - \frac{2 \times 2}{6} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$
અહીં $LHS$ = $RHS$ (જે $\frac{5}{6}$ છે),તેથી $x = 5$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{5}{6}$
ડાબી બાજુએ લસાઅ લેતા:
$\frac{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)}=\frac{5}{6}$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા અને છેદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{(x^{2}+2x+1)-(x^{2}-2x+1)}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
$\frac{x^{2}+2x+1-x^{2}+2x-1}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
$\frac{4x}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$24x = 5(x^{2}-1)$
$24x = 5x^{2}-5$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^{2}+bx+c=0$ માં ગોઠવતા:
$5x^{2}-24x-5=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા:
$5x^{2}-25x+x-5=0$
$5x(x-5)+1(x-5)=0$
$(x-5)(5x+1)=0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x-5=0 \implies x=5$
$5x+1=0 \implies x=-\frac{1}{5}$
આમ,ઉકેલ $5$ અને $-\frac{1}{5}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$
ડાબી બાજુએ લસાઅ લેતા:
$\frac{(x+5)-(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{6}$
અંશ અને છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x+5-x+3}{x^{2}+5x-3x-15}=\frac{1}{6}$
$\frac{8}{x^{2}+2x-15}=\frac{1}{6}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$x^{2}+2x-15 = 48$
$x^{2}+2x-15-48 = 0$
$x^{2}+2x-63 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા:
$x^{2}+9x-7x-63 = 0$
$x(x+9)-7(x+9) = 0$
$(x+9)(x-7) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x+9 = 0 \implies x = -9$
$x-7 = 0 \implies x = 7$
આમ,સમીકરણના બીજ $-9$ અને $7$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{1}{x} = \frac{45}{14}$
છેદ દૂર કરવા માટે $x$ વડે ગુણતા: $\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{45}{14}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $14(x^2 - 1) = 45x$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા: $14x^2 - 45x - 14 = 0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને અવયવ પાડતા: $14x^2 - 49x + 4x - 14 = 0$
પદોના જૂથ બનાવતા: $7x(2x - 7) + 2(2x - 7) = 0$
સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતા: $(2x - 7)(7x + 2) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $2x - 7 = 0$ અથવા $7x + 2 = 0$
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{7}{2}$ અથવા $x = -\frac{2}{7}$
આમ,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{7}{2}$ અને $-\frac{2}{7}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=\frac{7}{9}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9(x^{2}-1) = 7(x^{2}+1)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$9x^{2} - 9 = 7x^{2} + 7$
પદોને એક બાજુ લાવતા:
$9x^{2} - 7x^{2} - 9 - 7 = 0$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2x^{2} - 16 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} - 8 = 0$
તફાવતની રીત $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $8 = (\sqrt{8})^{2} = (2\sqrt{2})^{2}$:
$(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x - 2\sqrt{2} = 0$ અથવા $x + 2\sqrt{2} = 0$
તેથી,ઉકેલ:
$x = 2\sqrt{2}$ અથવા $x = -2\sqrt{2}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $6(2x+1)^2 - (2x+1) - 5 = 0$
ધારો કે $m = 2x+1$.
સમીકરણમાં $m$ મૂકતા: $6m^2 - m - 5 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $6m^2 - 6m + 5m - 5 = 0$.
$6m(m-1) + 5(m-1) = 0$.
$(6m+5)(m-1) = 0$.
તેથી,$m = 1$ અથવા $m = -\frac{5}{6}$.
કિસ્સો $1$: જો $m = 1$,તો $2x+1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $m = -\frac{5}{6}$,તો $2x+1 = -\frac{5}{6} \implies 2x = -\frac{5}{6} - 1 \implies 2x = -\frac{11}{6} \implies x = -\frac{11}{12}$.
આમ,સમીકરણના બીજ $0$ અને $-\frac{11}{12}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4x^{2} + 4x = 15$
સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$4x^{2} + 4x - 15 = 0$
અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ જેનો ગુણાકાર $4 \times (-15) = -60$ થાય અને સરવાળો $4$ થાય. આવી સંખ્યાઓ $10$ અને $-6$ છે.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા:
$4x^{2} + 10x - 6x - 15 = 0$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$2x(2x + 5) - 3(2x + 5) = 0$
સામાન્ય અવયવ બહાર કાઢતા:
$(2x + 5)(2x - 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x + 5 = 0$ અથવા $2x - 3 = 0$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}$
$2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$
આમ,ઉકેલ ગણ $\left\{-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right\}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{1}{x} - \frac{45}{14} = 0$.
છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (લ.સા.અ.) $14x$ વડે આખા સમીકરણને ગુણતા:
$14x^2 - 14 - 45x = 0$.
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$14x^2 - 45x - 14 = 0$.
અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $14 \times (-14) = -196$ થાય અને સરવાળો $-45$ થાય. આ સંખ્યાઓ $-49$ અને $4$ છે.
$14x^2 - 49x + 4x - 14 = 0$.
પદોને જૂથમાં વહેંચતા:
$7x(2x - 7) + 2(2x - 7) = 0$.
$(2x - 7)(7x + 2) = 0$.
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2}$.
$7x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{ \frac{7}{2}, -\frac{2}{7} \}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+3}=\frac{7}{2x}$
બંને બાજુ છેદનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$,જે $2x(x-2)(x+3)$ છે,તેના વડે ગુણતા:
$2x(x+3) + 2x(x-2) = 7(x-2)(x+3)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$2x^2 + 6x + 2x^2 - 4x = 7(x^2 + x - 6)$
$4x^2 + 2x = 7x^2 + 7x - 42$
પદોને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$7x^2 - 4x^2 + 7x - 2x - 42 = 0$
$3x^2 + 5x - 42 = 0$
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3x^2 + 14x - 9x - 42 = 0$
$x(3x + 14) - 3(3x + 14) = 0$
$(3x + 14)(x - 3) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$3x + 14 = 0 \implies x = -\frac{14}{3}$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
આમ,ઉકેલ ગણ $\left\{-\frac{14}{3}, 3\right\}$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $x=\sqrt{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+\sqrt{2}bx+2c=0$ નું એક બીજ છે.
કારણ કે $x=\sqrt{2}$ એ બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x=\sqrt{2}$ મૂકતા:
$a(\sqrt{2})^{2} + \sqrt{2}b(\sqrt{2}) + 2c = 0$
પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$a(2) + 2b + 2c = 0$
$2a + 2b + 2c = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$a + b + c = 0$
આમ,સાબિત થાય છે કે $a+b+c=0$.

(B) આપેલ છે કે $\sqrt{2}$ એ સમીકરણ $x^{2}-(1+k)x+\sqrt{2}=0$ નું એક બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = \sqrt{2}$ મૂકતા:
$(\sqrt{2})^{2} - (1+k)(\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 0$
$2 - \sqrt{2} - \sqrt{2}k + \sqrt{2} = 0$
$2 - \sqrt{2}k = 0$
$2 = \sqrt{2}k$
$k = \frac{2}{\sqrt{2}}$
$k = \sqrt{2}$

(B) સમીકરણ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે બંને બાજુઓનું સાદું રૂપ આપીએ:
ડાબી બાજુ $(LHS)$: $(2x + 1)(3x + 2) = 6x^2 + 4x + 3x + 2 = 6x^2 + 7x + 2$
જમણી બાજુ $(RHS)$: $6(x - 1)(x - 2) = 6(x^2 - 2x - x + 2) = 6(x^2 - 3x + 2) = 6x^2 - 18x + 12$
$LHS$ અને $RHS$ ને સરખાવતા: $6x^2 + 7x + 2 = 6x^2 - 18x + 12$
બંને બાજુથી $6x^2$ બાદ કરતા: $7x + 2 = -18x + 12$
પદોને ગોઠવતા: $7x + 18x + 2 - 12 = 0$
$25x - 10 = 0$
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ છે,$2$ નથી,તેથી આ સમીકરણ સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 3 = (2x + 5)(5x - 3)$ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(2x + 5)(5x - 3) = 2x(5x) + 2x(-3) + 5(5x) + 5(-3)$
$= 10x^2 - 6x + 25x - 15$
$= 10x^2 + 19x - 15$
હવે,આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$16x^2 - 3 = 10x^2 + 19x - 15$
બધા પદોને એક બાજુ લાવીને સમીકરણને $0$ ની બરાબર કરીએ:
$16x^2 - 10x^2 - 19x - 3 + 15 = 0$
$6x^2 - 19x + 12 = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x-2)^{2}+1=2x-3$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ નિત્યસમ $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને કરો:
$(x^{2}-4x+4)+1=2x-3$
$x^{2}-4x+5=2x-3$
બધા પદોને એક બાજુ લાવીને સમીકરણને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$x^{2}-4x-2x+5+3=0$
$x^{2}-6x+8=0$
આ સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 + x + 8 = x^2 - 4$
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા:
$x + 8 = -4$
$x + 12 = 0$
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ હોવાથી,આ એક સુરેખ સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી. દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ જ્યાં $a \neq 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{1}{x} = x^2$ $(x \neq 0)$.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x(x) + x(\frac{1}{x}) = x(x^2)$
$x^2 + 1 = x^3$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$x^3 - x^2 - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a \neq 0$. આપેલ સમીકરણમાં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે. સમીકરણની ઘાત $3$ હોવાથી,તે ત્રિઘાત સમીકરણ છે,દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) સમીકરણ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું સાદું રૂપ આપીએ:
$(x-3)(2x+1) = x(x+5)$
$2x^2 + x - 6x - 3 = x^2 + 5x$
$2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x$
બંને બાજુથી $(x^2 + 5x)$ બાદ કરતા:
$2x^2 - x^2 - 5x - 5x - 3 = 0$
$x^2 - 10x - 3 = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) સમીકરણ $(x+2)^{3} = x(x^{2}-1)$ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે બંને બાજુનું વિસ્તરણ કરીએ.
નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,ડાબી બાજુ:
$(x+2)^{3} = x^{3} + 2^{3} + 3(x)(2)(x+2) = x^{3} + 8 + 6x(x+2) = x^{3} + 8 + 6x^{2} + 12x$.
જમણી બાજુ:
$x(x^{2}-1) = x^{3} - x$.
બંને બાજુ સરખાવતા:
$x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 = x^{3} - x$.
બંને બાજુથી $x^{3}$ બાદ કરતા:
$6x^{2} + 12x + 8 = -x$.
પદોને $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$6x^{2} + 13x + 8 = 0$.
આ સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું છે જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) ચલ $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ એ $ax^{2} + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને $a \neq 0$.
આપેલ સમીકરણ $x^{2} + 5\sqrt{x} - 7 = 0$ માં,પદ $5\sqrt{x}$ ને $5x^{1/2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
ચલ $x$ નો ઘાતાંક $1/2$ હોવાથી,જે અનૃણ પૂર્ણાંક નથી,તેથી આ સમીકરણ $2$ ઘાતવાળું બહુપદી સમીકરણ નથી.
તેથી,તે દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{3}-4x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$.
નિત્યસમ $(a-b)^{3} = a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ નો ઉપયોગ કરીને જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)^{3} = x^{3}-3(x^{2})(2)+3(x)(2^{2})-(2)^{3} = x^{3}-6x^{2}+12x-8$.
હવે,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{3}-4x^{2}-x+1 = x^{3}-6x^{2}+12x-8$.
બંને બાજુથી $x^{3}$ બાદ કરતા:
$-4x^{2}-x+1 = -6x^{2}+12x-8$.
બધા પદોને એક બાજુ લાવતા:
$(-4x^{2}+6x^{2}) + (-x-12x) + (1+8) = 0$.
$2x^{2}-13x+9 = 0$.
આ સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $7x = 2x^2$ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં લખીએ.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $2x^2 - 7x = 0$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = -7$,અને $c = 0$ મળે છે.
અહીં ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે અને $a \neq 0$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{3}{7}$.
ડાબી બાજુ લસાઅ $(LCM)$ લેતા: $\frac{(x-2)^2 - (x+2)^2}{(x+2)(x-2)} = \frac{3}{7}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 4x + 4)}{x^2 - 4} = \frac{3}{7}$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{-8x}{x^2 - 4} = \frac{3}{7}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(x^2 - 4) = -56x$.
$3x^2 - 12 = -56x$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા: $3x^2 + 56x - 12 = 0$.
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) સમીકરણ $(3x - 4)^2 - (2x - 3)^2 = 7$ દ્વિઘાત છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે બંને વર્ગોનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$
$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$
હવે,આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(9x^2 - 24x + 16) - (4x^2 - 12x + 9) = 7$
$9x^2 - 24x + 16 - 4x^2 + 12x - 9 = 7$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$(9x^2 - 4x^2) + (-24x + 12x) + (16 - 9) = 7$
$5x^2 - 12x + 7 = 7$
બંને બાજુથી $7$ બાદ કરતા:
$5x^2 - 12x = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a = 5 \neq 0$,તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(B) $x = \frac{1}{2}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આ કિંમતને દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} - 6x + 3 = 0$ માં મૂકો.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$2(\frac{1}{2})^{2} - 6(\frac{1}{2}) + 3$
$= 2(\frac{1}{4}) - 3 + 3$
$= \frac{1}{2} - 3 + 3$
$= \frac{1}{2}$
અહીં પરિણામ $\frac{1}{2}$ મળે છે,જે $0$ નથી. તેથી,$x = \frac{1}{2}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ નથી.

(A) $x = \frac{2}{3}$ એ ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,$x$ ની કિંમતને દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2} - x - 2 = 0$ માં મૂકો.
ડા.બા. = $6(\frac{2}{3})^{2} - (\frac{2}{3}) - 2$
ડા.બા. = $6(\frac{4}{9}) - \frac{2}{3} - 2$
ડા.બા. = $\frac{24}{9} - \frac{2}{3} - 2$
ડા.બા. = $\frac{8}{3} - \frac{2}{3} - 2$
ડા.બા. = $\frac{6}{3} - 2$
ડા.બા. = $2 - 2 = 0$
અહીં ડા.બા. = જ.બા. હોવાથી,$x = \frac{2}{3}$ એ આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ છે.