Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણો $3x - 2y = 2$ અને $6x - 4y = 4$ છે.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ સાથે સરખાવતા:
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $a_1 = 3, b_1 = -2, c_1 = 2$.
બીજા સમીકરણ માટે: $a_2 = 6, b_2 = -4, c_2 = 4$.
હવે,ગુણોત્તર શોધો:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,આ રેખાઓ સંપાતી રેખાઓ છે.

(C) બે રેખાઓ સમાંતર હોય જો તેમના ઢાળ સમાન હોય.
આપેલ રેખા $x+3y=5$ છે,જેને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં લખતા $3y = -x + 5$ અથવા $y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$ મળે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{3}$ છે.
આ રેખાને સમાંતર રેખાનો ઢાળ પણ $m = -\frac{1}{3}$ જ હોય અને તે $x+3y=k$ સ્વરૂપની હોય,જ્યાં $k$ કોઈ અચળાંક છે.
આપેલા વિકલ્પોને તપાસતા,સમીકરણ $x+3y=10$ માં $x$ અને $y$ ના સહગુણકો મૂળ રેખા જેવા જ છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો ઢાળ સમાન છે.
તેથી,$x+3y=10$ એ $x+3y=5$ ને સમાંતર છે.

(A) રેખા $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $y$-યામને $0$ લઈએ છીએ.
સમીકરણ $2x - y = 6$ માં $y = 0$ મૂકતા:
$2x - 0 = 6$
$2x = 6$
$x = 3$
તેથી,છેદબિંદુ $(3, 0)$ છે.

(C) રેખા $Y$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x$-યામને $0$ લઈએ છીએ.
સમીકરણ $x-2y=2$ માં $x=0$ મૂકતા:
$0-2y=2$
$-2y=2$
$y=-1$
તેથી,રેખા $Y$-અક્ષને $(0,-1)$ બિંદુએ છેદે છે.

(D) બે અંકની સંખ્યા તેના દશકના અંકની કિંમત અને એકમના અંકની કિંમતના સરવાળા દ્વારા બને છે.
અહીં દશકના સ્થાનનો અંક $y$ આપેલ છે,તેથી તેની કિંમત $10 \times y = 10y$ થાય.
એકમના સ્થાનનો અંક $x$ આપેલ છે,તેથી તેની કિંમત $1 \times x = x$ થાય.
તેથી,તે સંખ્યા આ કિંમતોનો સરવાળો એટલે કે $10y + x$ થશે.

(B) બે અંકની સંખ્યાને $10 \times (\text{દશકનો અંક}) + (\text{એકમનો અંક})$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં દશકનો અંક $y$ અને એકમનો અંક $x$ આપેલ છે,તેથી મૂળ સંખ્યા $10y + x$ થાય.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો દશકનો અંક $x$ અને નવો એકમનો અંક $y$ બને છે.
તેથી,અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી નવી સંખ્યા $10x + y$ થાય છે.

(C) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
જ્યારે અંકોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10y + x$ બને છે.
આ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $(10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y$ થાય છે.
$11$ સામાન્ય લેતા,આપણને $11(x + y)$ મળે છે.
આમ,સરવાળો $11(x + y)$ હોવાથી,તે હંમેશા $11$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) ધારો કે દશકનો અંક $x$ $(x \neq 0)$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો અને અંકોનો તફાવત સમાન છે.
તેથી,$x + y = x - y$.
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા,આપણને $y = -y$ મળે છે.
બંને બાજુ $y$ ઉમેરતા,આપણને $2y = 0$ મળે છે.
તેથી,$y = 0$.
આમ,એકમનો અંક $0$ હોવો જોઈએ.

(D) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો અને અંકોનો ગુણાકાર સમાન છે:
$x + y = xy$
$y$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$x = xy - y$
$x = y(x - 1)$
$y = \frac{x}{x - 1}$
અહીં $x$ અને $y$ એ $1$ થી $9$ ની વચ્ચેના પૂર્ણાંકો હોવા જોઈએ (બે અંકની સંખ્યા માટે $x \neq 0$):
જો $x = 2$ લઈએ,તો $y = \frac{2}{2 - 1} = 2$ મળે.
તેથી સંખ્યા $10(2) + 2 = 22$ થાય.
ચકાસણી: અંકોનો સરવાળો $= 2 + 2 = 4$; અંકોનો ગુણાકાર $= 2 \times 2 = 4$. બંને સમાન છે.
આમ,તે સંખ્યા $22$ છે.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે,જ્યાં $x > y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$x + y = 15$ (સમીકરણ $1$)
$x - y = 1$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 15 + 1$
$2x = 16$
$x = 8$
$x = 8$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$8 + y = 15$
$y = 15 - 8$
$y = 7$
આમ,બે સંખ્યાઓ $8$ અને $7$ છે. તેથી નાની સંખ્યા $7$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x$ એ મોટી સંખ્યા છે અને $y$ એ નાની સંખ્યા છે.
મોટી સંખ્યાના બમણા $2x$ થાય.
નાની સંખ્યાના પાંચ ગણા $5y$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,મોટી સંખ્યાના બમણા એ નાની સંખ્યાના પાંચ ગણા કરતાં $4$ વધારે છે.
તેથી,સમીકરણ $2x = 5y + 4$ થશે,જેને $2x - 5y = 4$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(C) ધારો કે મોટી સંખ્યા $x$ છે અને નાની સંખ્યા $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બે સંખ્યાઓનો તફાવત $5$ છે.
તેથી,સમીકરણ $x - y = 5$ થશે.
નાની સંખ્યા $y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં મેળવવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$x - 5 = y$
આમ,$y = x - 5$.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બે સંખ્યાઓનો સરવાળો $8$ છે.
તેથી,$x + y = 8$.
નાની સંખ્યા $y$ ના સંદર્ભમાં મોટી સંખ્યા $x$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$x = 8 - y$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે માતાની વર્તમાન ઉંમર $M$ છે અને બે પુત્રીઓની વર્તમાન ઉંમર $D_1$ અને $D_2$ છે.
ચાર વર્ષ પહેલાં,તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(M-4) + (D_1-4) + (D_2-4) = x$ હતો.
આનું સાદું રૂપ આપતા $M + D_1 + D_2 - 12 = x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની વર્તમાન ઉંમરનો સરવાળો $M + D_1 + D_2 = x + 12$ છે.
આપણે બે વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $(M+2) + (D_1+2) + (D_2+2)$ થશે.
આ પદાવલિ $(M + D_1 + D_2) + 6$ ને સમાન છે.
વર્તમાન સરવાળો $(x + 12)$ આ પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $(x + 12) + 6 = x + 18$ મળે છે.
તેથી,બે વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $x + 18$ વર્ષ થશે.

(C) ધારો કે રમેશની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
મહેશ રમેશ કરતાં $5$ વર્ષ મોટો છે,તેથી મહેશની ઉંમર $(x + 5)$ વર્ષ થાય.
મહેશ સુરેશ કરતાં $3$ વર્ષ નાનો છે,જેનો અર્થ છે કે સુરેશ મહેશ કરતાં $3$ વર્ષ મોટો છે.
તેથી,સુરેશની ઉંમર = (મહેશની ઉંમર) $+ 3$.
સુરેશની ઉંમર = $(x + 5) + 3 = x + 8$ વર્ષ.
આમ,સુરેશની હાલની ઉંમર $(x + 8)$ વર્ષ છે.

(C) બે અંકની સંખ્યાને $10 \times (\text{દશકના સ્થાનનો અંક}) + (\text{એકમના સ્થાનનો અંક})$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
અહીં આપેલ છે કે દશકના સ્થાનનો અંક $2x$ છે અને એકમના સ્થાનનો અંક $3x$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
સંખ્યા $= 10(2x) + 3x$
સંખ્યા $= 20x + 3x$
સંખ્યા $= 23x$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) એકમના સ્થાનનો અંક $(x+1)$ છે.
દશકના સ્થાનનો અંક $(x+2)$ છે.
બે અંકની સંખ્યાને $10 \times (\text{દશકના સ્થાનનો અંક}) + (\text{એકમના સ્થાનનો અંક})$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સંખ્યા $= 10(x+2) + (x+1)$.
$= 10x + 20 + x + 1$.
$= 11x + 21$.

(C) ધારો કે પિતા અને બે પુત્રોની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $F$,$S_1$ અને $S_2$ છે.
પાંચ વર્ષ પહેલાં,તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(F-5) + (S_1-5) + (S_2-5) = x$ હતો.
આનું સાદું રૂપ આપતા $F + S_1 + S_2 - 15 = x$ મળે,જેનો અર્થ છે કે તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $F + S_1 + S_2 = x + 15$ છે.
આપણે અત્યારથી પાંચ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવાનો છે.
પાંચ વર્ષ પછીનો સરવાળો $(F+5) + (S_1+5) + (S_2+5) = (F + S_1 + S_2) + 15$ થશે.
હાલના સરવાળાની કિંમત $(x + 15)$ આ પદમાં મૂકતા:
સરવાળો $= (x + 15) + 15 = x + 30$.
તેથી,પાંચ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $x + 30$ વર્ષ થશે.

(A) ધારો કે દશકનો અંક $x$ છે અને એકમનો અંક $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો સરવાળો $6$ છે,તેથી $x + y = 6$.
વળી,એકમનો અંક એ દશકના અંક કરતા બમણો છે,તેથી $y = 2x$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $y = 2x$ મૂકતા: $x + 2x = 6$.
$3x = 6$,જે આપણને $x = 2$ આપે છે.
હવે,$y$ શોધો: $y = 2(2) = 4$.
તેથી,સંખ્યા $10x + y$ એટલે કે $10(2) + 4 = 24$ છે.

(A) બે ચલ $x$ અને $y$ માં સુરેખ સમીકરણોની જોડને યામ બિંદુ $(x, y)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણો $x = 4$ અને $y = 5$ મુજબ,$x$ ની કિંમત $4$ અને $y$ ની કિંમત $5$ નિશ્ચિત છે.
તેથી,આ બંને રેખાઓ જ્યાં છેદે છે તે અનન્ય ઉકેલ બિંદુ $(4, 5)$ છે.
આમ,ઉકેલ ગણ ${(4, 5)}$ છે.

(D) બે અંકની સંખ્યાને $10 \times (\text{દશકનો અંક}) + (\text{એકમનો અંક})$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
અહીં આપેલ છે કે એકમનો અંક $x$ છે અને દશકનો અંક $2x$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
સંખ્યા $= 10(2x) + x$
સંખ્યા $= 20x + x$
સંખ્યા $= 21x$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $x+y-1=0$ અને $2x+2y-2=0$ છે.
$a_1x+b_1y+c_1=0$ અને $a_2x+b_2y+c_2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1=1, b_1=1, c_1=-1$ અને $a_2=2, b_2=2, c_2=-2$ મળે છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
સંપાતી રેખાઓને અનંત ઉકેલો હોય છે,તેથી ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$3x + 3y - 3 = 0$ ... $(1)$
$5x + 5y - 5 = 0$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ભાગતા: $x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
સમીકરણ $(2)$ ને $5$ વડે ભાગતા: $x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
બંને સમીકરણો એક જ રેખા $(x + y = 1)$ દર્શાવે છે,તેથી તે સંપાતી રેખાઓ છે.
સંપાતી રેખાઓને અનંત ઉકેલો હોય છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(D) ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$.
આપેલ સમીકરણો નીચે મુજબ બને છે:
$5u - 3v = 9$ ---$(1)$
$3u - 5v = 7$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(5u - 3v) - (3u - 5v) = 9 - 7$
$2u + 2v = 2$
$u + v = 1$ ---$(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(5u - 3v) + (3u - 5v) = 9 + 7$
$8u - 8v = 16$
$u - v = 2$ ---$(4)$
અહીં $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ ની કિંમત $u - v = 2$ થાય.

(A) ધારો કે પાંચ વ્યક્તિઓની હાલની ઉંમર $x_1, x_2, x_3, x_4,$ અને $x_5$ છે.
પાંચ વર્ષ પહેલાં,તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(x_1 - 5) + (x_2 - 5) + (x_3 - 5) + (x_4 - 5) + (x_5 - 5) = 50$ હતો.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) - 25 = 50$ મળે,જેનો અર્થ છે કે તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 75$ છે.
પાંચ વર્ષ પછી,તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(x_1 + 5) + (x_2 + 5) + (x_3 + 5) + (x_4 + 5) + (x_5 + 5)$ થશે.
આ $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) + 25$ જેટલું થાય.
હાલનો સરવાળો મૂકતા,આપણને $75 + 25 = 100$ વર્ષ મળે છે.

(D) ધારો કે ચાર વ્યક્તિઓની હાલની ઉંમર $x_1, x_2, x_3,$ અને $x_4$ છે.
પાંચ વર્ષ પહેલાં,તેમની ઉંમર $(x_1 - 5), (x_2 - 5), (x_3 - 5),$ અને $(x_4 - 5)$ હતી.
પ્રશ્ન મુજબ,પાંચ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો સરવાળો $60$ વર્ષ હતો:
$(x_1 - 5) + (x_2 - 5) + (x_3 - 5) + (x_4 - 5) = 60$
$(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) - 20 = 60$
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 60 + 20$
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 80$
આમ,તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $80$ વર્ષ છે.

(B) બે ચલ ધરાવતા સુરેખ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $5y = -2x + 3$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવવા માટે,આપણે બધા પદોને સમીકરણની ડાબી બાજુએ લાવીશું.
બંને બાજુ $2x$ ઉમેરતા: $2x + 5y = 3$.
બંને બાજુથી $3$ બાદ કરતા: $2x + 5y - 3 = 0$.
આને $ax + by + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $2x + 5y - 3 = 0$ મળે છે.

(A) બે અંકની સંખ્યાને $10 \times (\text{દશકનો અંક}) + (\text{એકમનો અંક})$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ છે:
એકમનો અંક $= 2x - 1$
દશકનો અંક $= 2x + 1$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
સંખ્યા $= 10(2x + 1) + (2x - 1)$
$= 20x + 10 + 2x - 1$
$= 22x + 9$
આમ, તે સંખ્યા $22x + 9$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 3y + 5 = 0$ --- $(1)$
$4x + 6y + 10 = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$2x + 3y + 5 = 0$
બંને સમીકરણો સમાન હોવાથી,તે એક જ રેખા દર્શાવે છે.
સંપાતી રેખાઓની જોડ માટે,અનંત ઉકેલો મળે છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ એ અનંત ગણ છે.

(C) સમીકરણ $x=0$ એ $y$-અક્ષ દર્શાવે છે.
સમીકરણ $y=0$ એ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે.
$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષનું છેદબિંદુ એ ઉગમબિંદુ છે.
ઉગમબિંદુના યામ $(0,0)$ છે.
તેથી,રેખાઓ $x=0$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $(0,0)$ છે.

(D) ધારો કે પાંચ મિત્રોની હાલની ઉંમર $a_1, a_2, a_3, a_4,$ અને $a_5$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$y$ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો સરવાળો $x$ હતો.
તેથી,$(a_1 - y) + (a_2 - y) + (a_3 - y) + (a_4 - y) + (a_5 - y) = x$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) - 5y = x$.
તેથી,તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) = x + 5y$ થાય.

(A) ધારો કે સચિન અને સેહવાગની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $S$ અને $W$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $y$ વર્ષ થશે.
તેથી,$(S + x) + (W + x) = y$.
$S + W + 2x = y$.
તેથી,તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $S + W = y - 2x$ છે.
આપણે $3$ વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવાનો છે.
$3$ વર્ષ પહેલાં ઉંમરનો સરવાળો $= (S - 3) + (W - 3) = (S + W) - 6$.
$(S + W)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $(y - 2x) - 6 = y - 2x - 6$ વર્ષ મળે છે.

(A) ધારો કે એક ટેબલની કિંમત $x$ છે અને એક ખુરશીની કિંમત $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,આપણી પાસે બે સુરેખ સમીકરણો છે:
$3x + 2y = 3400$ --- (સમીકરણ $1$)
$2x + 3y = 3100$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x + 2y) + (2x + 3y) = 3400 + 3100$
$5x + 5y = 6500$
આખા સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$x + y = 1300$
આમ,એક ટેબલ અને એક ખુરશીની કુલ કિંમત ₹ $1300$ છે.

(A) $1$. $x$ વર્ષ પહેલાં મહેશની ઉંમર $y$ વર્ષ હતી.
$2$. તેથી,તેની હાલની ઉંમર $(y + x)$ વર્ષ થાય.
$3$. $z$ વર્ષ પછી,તેની ઉંમર તેની હાલની ઉંમરમાં $z$ ઉમેરવાથી મળશે.
$4$. $z$ વર્ષ પછીની ઉંમર = $(y + x) + z = y + x + z$ વર્ષ.

(B) બે અંકની સંખ્યા જેમાં દશકનો અંક $x$ અને એકમનો અંક $y$ હોય તેને $10x + y$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે આ બે અંકોની વચ્ચે શૂન્ય મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવી સંખ્યા ત્રણ અંકની બને છે.
અંક $x$ એ સોના સ્થાન પર જાય છે,અંક $0$ એ દશકના સ્થાન પર જાય છે,અને અંક $y$ એ એકમના સ્થાન પર રહે છે.
તેથી,નવી સંખ્યાનું મૂલ્ય $100(x) + 10(0) + y = 100x + y$ થાય છે.

(C) બે અંકની સંખ્યા જેમાં દશકના સ્થાનનો અંક $y$ અને એકમના સ્થાનનો અંક $x$ હોય,તેને $10y + x$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ સંખ્યા તેના અંકોના સરવાળા કરતાં ત્રણ ગણી છે.
અંકોનો સરવાળો $(x + y)$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ $10y + x = 3(x + y)$ થશે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ માટે અનંત ઉકેલો હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $3x + ky - 9 = 0$ અને $x + 2y - 3 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 3, b_1 = k, c_1 = -9$ અને $a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = -3$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{3}{1} = \frac{k}{2} = \frac{-9}{-3}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $3 = \frac{k}{2} = 3$ મળે છે.
$\frac{k}{2} = 3$ પરથી,$k = 3 \times 2 = 6$ મળે છે.

(C) $5 \%$ ના દરે $x$ રકમ પરનું વ્યાજ $\frac{5}{100} \times x = 0.05x$ દ્વારા મળે છે.
તે જ રીતે,$7 \%$ ના દરે $y$ રકમ પરનું વ્યાજ $\frac{7}{100} \times y = 0.07y$ દ્વારા મળે છે.
કુલ વાર્ષિક વ્યાજ ₹ $310$ છે.
તેથી,સમીકરણ $0.05x + 0.07y = 310$ થાય.
દશાંશ ચિહ્ન દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $100$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$5x + 7y = 31000$.

(A) ધારો કે ઈના,મીના અને ડિકાની હાલની ઉંમર અનુક્રમે $I, M$ અને $D$ છે.
સરેરાશ ઉંમરનું સૂત્ર $\frac{I + M + D}{3} = x$ છે.
તેથી,તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $I + M + D = 3x$ થાય.
$y$ વર્ષ પછી,દરેક વ્યક્તિની ઉંમરમાં $y$ વર્ષનો વધારો થશે.
તેથી,તેમની નવી ઉંમરનો સરવાળો $(I + y) + (M + y) + (D + y) = (I + M + D) + 3y$ થશે.
હાલની ઉંમરનો સરવાળો મૂકતા: $3x + 3y$.
તેથી,નવી સરેરાશ ઉંમર $\frac{3x + 3y}{3} = x + y$ થશે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x = -2$ અને $y = 3$ છે.
આ સમીકરણો કાર્તેઝિયન સમતલમાં બે રેખાઓ દર્શાવે છે.
રેખા $x = -2$ એ $x$-અક્ષ પરના બિંદુ $(-2, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે.
રેખા $y = 3$ એ $y$-અક્ષ પરના બિંદુ $(0, 3)$ માંથી પસાર થતી સમક્ષિતિજ રેખા છે.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ એ આ સમીકરણ સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,છેદબિંદુ $(-2, 3)$ મળે છે.
ઉકેલ ગણને યામ બિંદુ ધરાવતા ગણ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તેથી સાચો જવાબ $\{(-2, 3)\}$ છે.

(C) $(-1, 3)$ એ સમીકરણનો ઉકેલ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે દરેક સમીકરણમાં $x = -1$ અને $y = 3$ મૂકીશું:
$A) x - y + 4 = (-1) - (3) + 4 = -4 + 4 = 0$. આ ઉકેલ છે.
$B) 3x + y = 3(-1) + 3 = -3 + 3 = 0$. આ ઉકેલ છે.
$C) x + 3y + 8 = (-1) + 3(3) + 8 = -1 + 9 + 8 = 16 \neq 0$. આ ઉકેલ નથી.
$D) x + 2y - 5 = (-1) + 2(3) - 5 = -1 + 6 - 5 = 0$. આ ઉકેલ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કોઈ બિંદુ $(x, y)$ એ સમીકરણ $2x - y = 1$ ના આલેખ પર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે બિંદુના $x$ અને $y$ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ.
જો ડાબી બાજુની કિંમત જમણી બાજુની કિંમત જેટલી થાય,તો તે બિંદુ આલેખ પર છે.
$A) (0, 0): 2(0) - 0 = 0 \neq 1$. તેથી,આલેખ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતો નથી.
$B) (1, 1): 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1$. આલેખ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
$C) (3, 5): 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$. આલેખ $(3, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.
$D) (2, 3): 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$. આલેખ $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
આમ,આલેખ $(0, 0)$ બિંદુમાંથી પસાર થતો નથી.

(B) આપેલ બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણ: $2x + 3y = 8$.
$y$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે $y$ વાળા પદને સમીકરણની એક બાજુએ અલગ કરીએ.
બંને બાજુથી $2x$ બાદ કરતા: $3y = 8 - 2x$.
હવે,$y$ ની કિંમત શોધવા માટે બંને બાજુને $3$ વડે ભાગતા: $y = \frac{8 - 2x}{3}$.
આમ,સાચું પદ $\frac{8 - 2x}{3}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4x - 12y = 20$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા:
$\frac{4x}{4} - \frac{12y}{4} = \frac{20}{4}$
$x - 3y = 5$.
આપણે $5x - 15y$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદાવલિમાંથી $5$ સામાન્ય લેતા:
$5x - 15y = 5(x - 3y)$.
હવે $(x - 3y) = 5$ ની કિંમત મૂકતા:
$5(5) = 25$.
તેથી,$5x - 15y = 25$.

(C) $Y-\text{અક્ષ}$ ને લંબ રેખા એ સમક્ષિતિજ રેખા હોય છે.
કોઈપણ સમક્ષિતિજ રેખાનું સામાન્ય સ્વરૂપ $y = k$ હોય છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આપેલા વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A) 3x + 2y = 5$ એ ત્રાસી રેખા દર્શાવે છે.
$B) x = 3$ એ શિરોલંબ રેખા ($X-\text{અક્ષ}$ ને લંબ) દર્શાવે છે.
$C) 2y - 3 = 0$ ને $2y = 3$ અથવા $y = 1.5$ તરીકે લખી શકાય છે. આ એક સમક્ષિતિજ રેખા છે,જે $Y-\text{અક્ષ}$ ને લંબ છે.
$D) x - y = 0$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રાસી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $X$-અક્ષને લંબ રેખા એ શિરોલંબ રેખા હોય છે,જે $x = k$ સ્વરૂપના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં:
$A) x - y = 0 \implies y = x$ (ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $1$ ઢાળવાળી રેખા)
$B) x + y = 0 \implies y = -x$ (ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $-1$ ઢાળવાળી રેખા)
$C) 3x + 2 = 0 \implies 3x = -2 \implies x = -2/3$ (આ એક શિરોલંબ રેખા છે,જે $X$-અક્ષને લંબ છે)
$D) 2y - 3 = 0 \implies 2y = 3 \implies y = 3/2$ (આ એક સમક્ષિતિજ રેખા છે,જે $X$-અક્ષને સમાંતર છે)
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) જો કોઈ રેખાનું સમીકરણ $x = k$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $k$ અચળાંક છે,તો તે રેખા $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$) $3y - 1 = 0 \implies y = 1/3$ (આ રેખા $X$-અક્ષને સમાંતર છે).
$B$) $2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -2.5$ (આ રેખા $Y$-અક્ષને સમાંતર છે).
$C$) $2x + 3y = 1$ (આ રેખા બંને અક્ષોને છેદતી ત્રાંસી રેખા છે).
$D$) $2x - 3y = 1$ (આ રેખા બંને અક્ષોને છેદતી ત્રાંસી રેખા છે).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $X$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સ્વરૂપ $y = k$ હોય છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
આનું કારણ એ છે કે $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે,$y$-યામ સમાન રહે છે,જેના પરિણામે આડી રેખા મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરતા:
$A$) $x=y$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $1$ ઢાળવાળી રેખા દર્શાવે છે.
$B$) $2x-y=0$ અથવા $y=2x$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $2$ ઢાળવાળી રેખા દર્શાવે છે.
$C$) $x-2y=0$ અથવા $y=x/2$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $0.5$ ઢાળવાળી રેખા દર્શાવે છે.
$D$) $2y=3$ ને $y = 1.5$ તરીકે લખી શકાય છે,જે $x$ ની કોઈપણ કિંમત માટે $y$ ની અચળ કિંમત છે.
તેથી,$2y=3$ નો આલેખ $X$-અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા છે.

(A) બે ચલ ધરાવતું સુરેખ સમીકરણ $ax + by + c = 0$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી ત્યારે જ પસાર થાય જો અચળ પદ $c$ ની કિંમત $0$ હોય.
આપેલા વિકલ્પોમાં:
$A) 4x = 5y \implies 4x - 5y = 0$. અહીં,$c = 0$ છે,તેથી તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$B) 4x + 1 = 5y \implies 4x - 5y + 1 = 0$. અહીં,$c = 1 \neq 0$ છે.
$C) 5x - 1 = 4y \implies 5x - 4y - 1 = 0$. અહીં,$c = -1 \neq 0$ છે.
$D) 4x + 5y = 1 \implies 4x + 5y - 1 = 0$. અહીં,$c = -1 \neq 0$ છે.
તેથી,સમીકરણ $4x = 5y$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ એ દશકનો અંક છે અને $y$ એ એકમનો અંક છે.
આપેલ છે કે દશકનો અંક $x = 4$ છે.
બંને અંકોનો ગુણાકાર $x \times y = 4y$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,અંકોનો ગુણાકાર એ દશકના અંક કરતા ચાર ગણો છે:
$x \times y = 4 \times x$
સમીકરણમાં $x = 4$ મૂકતા:
$4 \times y = 4 \times 4$
$4y = 16$
$y = 4$
તેથી,એકમનો અંક $4$ છે.
આમ,સંખ્યા $10x + y = 10(4) + 4 = 44$ થાય.