Mix Examples - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બે વર્ષ પહેલાં માતા,પિતા અને બે પુત્રીઓની ઉંમરનો સરવાળો $S_{-2} = 40$ વર્ષ હતો.
કુલ $4$ વ્યક્તિઓ છે.
આજે (વર્તમાન ઉંમર) તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે દરેક $4$ વ્યક્તિ માટે $2$ વર્ષ ઉમેરીશું:
$S_{present} = 40 + (4 \times 2) = 40 + 8 = 48$ વર્ષ.
હવેથી $3$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે દરેક $4$ વ્યક્તિ માટે $3$ વર્ષ ઉમેરીશું:
$S_{+3} = 48 + (4 \times 3) = 48 + 12 = 60$ વર્ષ.
તેથી,ત્રણ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $60$ વર્ષ થશે.

(A) $1$. ધારો કે $x$ વર્ષ પહેલાં માતા,પિતા અને બે બાળકોની ઉંમરનો સરવાળો $y$ હતો.
$2$. કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $4$ છે (માતા,પિતા અને બે બાળકો).
$3$. તે સમયથી $x$ વર્ષ વીતી ગયા છે,તેથી દરેક વ્યક્તિની ઉંમરમાં $x$ વર્ષનો વધારો થયો છે. તેથી,તેમની હાલની ઉંમરનો સરવાળો $y + (4 \times x) = y + 4x$ થશે.
$4$. આપણે હાલના સમયથી $z$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો શોધવાનો છે.
$5$. $z$ વર્ષમાં,$4$ વ્યક્તિઓમાંથી દરેકની ઉંમર $z$ વર્ષ વધશે. આમ,તેમની ઉંમરના સરવાળામાં કુલ વધારો $4 \times z = 4z$ થશે.
$6$. $z$ વર્ષ પછી તેમની ઉંમરનો સરવાળો $(y + 4x) + 4z = y + 4x + 4z$ થશે.

(D) ધારો કે સફેદ લાકડીની લંબાઈ $W$ છે અને કાળી લાકડીની લંબાઈ $B$ છે.
આકૃતિના પ્રથમ ભાગ પરથી,બંને લાકડીઓની કુલ લંબાઈ $22 \ cm$ છે,તેથી $W + B = 22$.
આકૃતિના બીજા ભાગ પરથી,સફેદ લાકડી કાળી લાકડી કરતાં $5 \ cm$ લાંબી છે,તેથી $W - B = 5$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(W + B) + (W - B) = 22 + 5$,જે $2W = 27$ આપે છે.
તેથી,$W = 27 / 2 = 13.5 \ cm$.
સફેદ લાકડીની લંબાઈ $13.5 \ cm$ છે.

(B) દરેક સુરેખ સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ મેળવીએ:
$1.$ $2x - y = 4$ અને $3x - 2y = 5$. પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = 2x - 4$. બીજામાં કિંમત મૂકતા: $3x - 2(2x - 4) = 5 \implies 3x - 4x + 8 = 5 \implies -x = -3 \implies x = 3$. તેથી $y = 2(3) - 4 = 2$. એટલે કે,$(1-b)$.
$2.$ $5x - y = 14$ અને $4x - 3y = 9$. પ્રથમ પરથી,$y = 5x - 14$. બીજામાં કિંમત મૂકતા: $4x - 3(5x - 14) = 9 \implies 4x - 15x + 42 = 9 \implies -11x = -33 \implies x = 3$. તેથી $y = 5(3) - 14 = 1$. એટલે કે,$(2-c)$.
$3.$ $4x - 3y = 5$ અને $3x - y = 5$. બીજા પરથી,$y = 3x - 5$. પ્રથમમાં કિંમત મૂકતા: $4x - 3(3x - 5) = 5 \implies 4x - 9x + 15 = 5 \implies -5x = -10 \implies x = 2$. તેથી $y = 3(2) - 5 = 1$. એટલે કે,$(3-d)$.
$4.$ $3x - 2y = -1$ અને $2x - 5y = -8$. પ્રથમ સમીકરણને $5$ વડે અને બીજાને $2$ વડે ગુણતા: $15x - 10y = -5$ અને $4x - 10y = -16$. બાદબાકી કરતા: $11x = 11 \implies x = 1$. તેથી $3(1) - 2y = -1 \implies -2y = -4 \implies y = 2$. એટલે કે,$(4-a)$.
સાચી જોડ $(1-b), (2-c), (3-d), (4-a)$ છે.

(C) આપેલ આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે બંને રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને કોઈ પણ બિંદુએ છેદતી નથી.
રેખિક સમીકરણોની જોડીનો ઉકેલ એ રેખાઓનું છેદબિંદુ હોય છે,અને આ રેખાઓ એકબીજાને છેદતી ન હોવાથી,તેમની વચ્ચે કોઈ સામાન્ય બિંદુ નથી.
તેથી,આ રેખાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા સમીકરણોની જોડીને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) ધારો કે એક વર્તુળનું વજન $x$ છે અને એક ચોરસનું વજન $y$ છે.
પ્રથમ ત્રાજવા પરથી,ડાબી બાજુ $3$ વર્તુળો અને જમણી બાજુ $4$ ચોરસ છે,જે સંતુલનમાં છે. તેથી,$3x = 4y$.
બીજા ત્રાજવા પરથી,ડાબી બાજુ $1$ વર્તુળ અને $2$ ચોરસ છે,અને જમણી બાજુ $10$ એકમનું વજન છે. તેથી,$x + 2y = 10$.
આમ,સમીકરણોની જોડી $3x = 4y$ અને $x + 2y = 10$ છે.

(A) ધારો કે નરેશ પાસે રહેલા પૈસા $x$ છે અને યોગેશ પાસે રહેલા પૈસા $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ,નરેશ પાસે યોગેશ કરતાં બમણા પૈસા છે,તેથી $x = 2y$.
બીજી શરત મુજબ,જો નરેશ યોગેશને ₹ $20$ આપે,તો નરેશના પૈસા $(x - 20)$ થાય અને યોગેશના પૈસા $(y + 20)$ થાય.
હવે બંને પાસે સમાન રકમ હોવાથી,આપણને સમીકરણ $x - 20 = y + 20$ મળે છે.
આમ,સમીકરણોની જોડ $x = 2y$ અને $x - 20 = y + 20$ છે.

(A) આપેલી આકૃતિમાં,બે રેખાઓ એકબીજાને એક બિંદુમાં છેદે છે.
બે ચલવાળા સુરેખ સમીકરણોના ભૌમિતિક અર્થઘટન મુજબ,જો બે રેખાઓ એક બિંદુમાં છેદતી હોય,તો સુરેખ સમીકરણોની જોડને અનન્ય ઉકેલ (માત્ર એક જ ઉકેલ) હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) જ્યારે બે રેખાઓ સંપાતી હોય,ત્યારે રેખા પરનું દરેક બિંદુ બંને સમીકરણો માટે સામાન્ય ઉકેલ હોય છે.
રેખા અસંખ્ય બિંદુઓની બનેલી હોવાથી,સુરેખ સમીકરણોની જોડને અનંત ઉકેલો મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ માટે:
$1$. જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો સમીકરણ યુગ્મને કોઈ ઉકેલ નથી (ખાલી ગણ).
$2$. જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય,તો સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો છે (અનંત ગણ).
$3$. જો $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોય,તો સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ છે (એકાકી ગણ).
વિશ્લેષણ:
$1. x+2y=3, 2x+4y=5$: અહીં $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} \neq \frac{3}{5}$. આ $b$ (ખાલી ગણ) સાથે મેળ ખાય છે.
$2. 2x+3y=6, x+\frac{3}{2}y=3$: અહીં $\frac{2}{1} = \frac{3}{1.5} = \frac{6}{3} = 2$. આ $c$ (અનંત ગણ) સાથે મેળ ખાય છે.
$3. 3x-y=0, x-y+6=0$: અહીં $\frac{3}{1} \neq \frac{-1}{-1}$. આ $a$ (એકાકી ગણ) સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-b), (2-c), (3-a)$ છે.