Mix Examples - Circles Questions in Gujarati

(D) વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
તેથી,સ્પર્શક અને સ્પર્શબિંદુએ દોરેલી ત્રિજ્યા વચ્ચે બનતા ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ હોય છે.

(C) વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે,તે પ્રમેય મુજબ,
અહીં $P$ એ બહારનું બિંદુ છે અને $\overline{ PA }$ તથા $\overline{ PB }$ એ $\odot( O , r)$ ના સ્પર્શકો છે,તેથી $PA = PB$ થાય.

(A) ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $AB$ એ વ્યાસ હોવાથી,$OA$ અને $OB$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ છે.
સ્પર્શકના ગુણધર્મ મુજબ,વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
તેથી,$l_{1} \perp OA$ અને $l_{2} \perp OB$ થાય.
$A, O$ અને $B$ એક જ રેખા પર આવેલા હોવાથી ($AB$ વ્યાસ છે),રેખાઓ $OA$ અને $OB$ એક જ સીધી રેખા $AB$ બનાવે છે.
જો બે રેખાઓ ($l_{1}$ અને $l_{2}$) એક જ રેખા $(AB)$ ને લંબ હોય,તો તે એકબીજાને સમાંતર હોય છે.
આમ,$l_{1} \parallel l_{2}$.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $PB = 5$ છે. વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે. તેથી,$\angle PBA = 90^\circ$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PBA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PA^2 = PB^2 + AB^2$
$13^2 = 5^2 + AB^2$
$169 = 25 + AB^2$
$AB^2 = 169 - 25 = 144$
$AB = \sqrt{144} = 12$.

(B) પ્રમેય મુજબ,વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
તેથી,$PA = PB$.
અહીં $PA = 8$ આપેલ છે,તેથી $PB = 8$ થાય.

(C) આપેલ છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $OM = 8$ અને $NP = 2$ છે.
$ON$ એ ત્રિજ્યા હોવાથી,$ON = 8$ થાય.
તેથી,અંતર $OP = ON + NP = 8 + 2 = 10$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OMP$ માં,ખૂણો $\angle OMP = 90^{\circ}$ છે કારણ કે સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $OP^2 = OM^2 + PM^2$.
$10^2 = 8^2 + PM^2$.
$100 = 64 + PM^2$.
$PM^2 = 100 - 64 = 36$.
$PM = \sqrt{36} = 6$.

(D) ચતુષ્કોણ $OAPB$ માં,ત્રિજ્યા એ સ્પર્શબિંદુ આગળ સ્પર્શકને લંબ હોય છે.
તેથી,$\angle OAP = 90^{\circ}$ અને $\angle OBP = 90^{\circ}$ થાય.
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોય છે.
આમ,$\angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ}$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $\angle AOB + 90^{\circ} + 65^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$.
$\angle AOB + 245^{\circ} = 360^{\circ}$.
$\angle AOB = 360^{\circ} - 245^{\circ} = 115^{\circ}$.

(D) રેખાખંડ $OP$ એ ખૂણા $\angle APB$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$m \angle OPB = \frac{1}{2} m \angle APB = \frac{1}{2} (70^\circ) = 35^\circ$.
$PB$ એ બિંદુ $B$ આગળ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OB$ એ સ્પર્શક $PB$ ને લંબ છે.
આમ,$m \angle OBP = 90^\circ$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OBP$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે.
$m \angle POB + m \angle OBP + m \angle OPB = 180^\circ$.
$m \angle POB + 90^\circ + 35^\circ = 180^\circ$.
$m \angle POB + 125^\circ = 180^\circ$.
$m \angle POB = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.

(B) $\Delta OAP$ માં,ત્રિજ્યા $OA$ એ સ્પર્શબિંદુ $A$ આગળ સ્પર્શક $PA$ ને લંબ છે.
તેથી,$m\angle OAP = 90^\circ$.
$\Delta OAP$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે.
$m\angle OAP + m\angle AOP + m\angle OPA = 180^\circ$
$90^\circ + 40^\circ + m\angle OPA = 180^\circ$
$130^\circ + m\angle OPA = 180^\circ$
$m\angle OPA = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

(D) $\Delta OAP$ માં,ત્રિજ્યા $OA$ એ સ્પર્શક $PA$ ને સ્પર્શબિંદુ $A$ આગળ લંબ છે. તેથી,$m\angle OAP = 90^\circ$.
આપેલ છે કે $m\angle AOP = 45^\circ$.
$\Delta OAP$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે.
$m\angle OPA = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
અહીં $m\angle AOP = m\angle OPA = 45^\circ$ હોવાથી,$\Delta OAP$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,સમાન ખૂણાઓની સામેની બાજુઓ સમાન હોય: $AP = OA$.
અહીં $OA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OA = 8$.
આમ,$AP = 8$.

(C) વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે,તેથી $\angle OAP = 90^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^{2} = OA^{2} + AP^{2}$
અહીં $OP = 10$ અને $AP = 8$ આપેલ છે,તેથી:
$10^{2} = OA^{2} + 8^{2}$
$100 = OA^{2} + 64$
$OA^{2} = 100 - 64 = 36$
$OA = \sqrt{36} = 6$
અહીં,$OA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $= 2 \times \text{ત્રિજ્યા} = 2 \times 6 = 12$.

(C) ધારો કે $O$ એ બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોનું સામાન્ય કેન્દ્ર છે.
ધારો કે $AB$ એ મોટા વર્તુળની જીવા છે જે નાના વર્તુળને બિંદુ $M$ પર સ્પર્શે છે.
$OM$ એ નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OM = 5$.
$OB$ એ મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OB = 13$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા સ્પર્શકને સ્પર્શબિંદુએ લંબ હોય છે,તેથી $\angle OMB = 90^{\circ}$.
કાટકોણ $\Delta OMB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OB^2 = OM^2 + MB^2$
$13^2 = 5^2 + MB^2$
$169 = 25 + MB^2$
$MB^2 = 169 - 25 = 144$
$MB = \sqrt{144} = 12$.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,$AB = 2 \times MB = 2 \times 12 = 24$.

(D) $\Delta ABC$ ની બાજુઓના માપ $a=5$,$b=12$ અને $c=13$ છે.
અહીં $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણનું માપ $13$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{a+b-c}{2}$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ છે અને $c$ કર્ણ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{5+12-13}{2} = \frac{17-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
આમ,ત્રણેય બાજુઓને સ્પર્શતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $2$ છે.

(D) $\Delta PQR$ માં,$\angle Q = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,$\overline{PR}$ એ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^2 = PQ^2 + QR^2$.
$PR^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.
$PR = \sqrt{289} = 17$.
કાટકોણ ત્રિકોણના અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{PQ + QR - PR}{2}$ છે.
$r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{23 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

(B) વર્તુળનો સ્પર્શક એ એક એવી રેખા છે જે વર્તુળને માત્ર એક જ બિંદુમાં છેદે છે.
વર્તુળની બહારના ભાગમાં આવેલા કોઈપણ બિંદુ $P$ માંથી વર્તુળ પર બરાબર બે સ્પર્શકો દોરી શકાય છે.
આ બંને સ્પર્શકો વર્તુળને બે અલગ-અલગ બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે.
તેથી,વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરી શકાતા સ્પર્શકોની મહત્તમ સંખ્યા $2$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ માંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ અનુક્રમે $x, y, z$ છે.
બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$AD = AF = x$
$BD = BE = y$
$CE = CF = z$
$\Delta ABC$ ની બાજુઓના માપ આપેલા છે:
$AB = x + y = 13$
$BC = y + z = 12$
$CA = z + x = 5$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (y + z) + (z + x) = 13 + 12 + 5$
$2(x + y + z) = 30$
$x + y + z = 15$
આપણે $AD = x$ શોધવાનું છે. $y + z = 12$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x + (y + z) = 15$
$x + 12 = 15$
$x = 15 - 12 = 3$
તેથી,$AD = 3$.

(D) વર્તુળ $\odot(O, 5)$ ની ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
વર્તુળ ચોરસની બધી બાજુઓને સ્પર્શતું હોવાથી,વર્તુળનો વ્યાસ એ ચોરસની બાજુની લંબાઈ જેટલો થાય.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $= 2 \times r = 2 \times 5 = 10$.
ચોરસની પરિમિતિ $= 4 \times \text{બાજુની લંબાઈ} = 4 \times 10 = 40$.

(D) જે ચતુષ્કોણ વર્તુળને પરિગત હોય તેને સ્પર્શક ચતુષ્કોણ કહેવામાં આવે છે. પિટોટના પ્રમેય મુજબ,જો કોઈ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની ચારેય બાજુઓ વર્તુળને સ્પર્શતી હોય,તો તેની સામસામેની બાજુઓના માપનો સરવાળો સમાન થાય છે. એટલે કે,$AB + CD = BC + DA$. તેથી,આવા ચતુષ્કોણને સ્પર્શક ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.

(C) ચક્રીય ચતુષ્કોણ જે લંબચોરસ પણ હોય,તેનો અર્થ એ છે કે તેના શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા છે અને તેના બધા ખૂણાઓ $90^{\circ}$ ના છે.
લંબચોરસ $ABCD$ માં,$\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $AC^{2} = 5^{2} + 12^{2}$.
$AC^{2} = 25 + 144 = 169$.
તેથી,$AC = \sqrt{169} = 13$.

(D) ધારો કે $O$ એ બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોનું સામાન્ય કેન્દ્ર છે. મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $OB = 41$ છે અને નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $OM = 9$ છે.
મોટા વર્તુળની જીવા $\overline{AB}$ એ નાના વર્તુળને $M$ બિંદુએ સ્પર્શતી હોવાથી,ત્રિજ્યા $OM$ એ સ્પર્શબિંદુ $M$ આગળ જીવા $AB$ ને લંબ છે.
તેથી,કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OMB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OB^2 = OM^2 + MB^2$
$41^2 = 9^2 + MB^2$
$1681 = 81 + MB^2$
$MB^2 = 1681 - 81 = 1600$
$MB = \sqrt{1600} = 40$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times MB = 2 \times 40 = 80$.

(C) ધારો કે $O$ એ બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોનું સામાન્ય કેન્દ્ર છે.
ધારો કે $R = 17$ એ બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $r = 15$ એ અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
બહારના વર્તુળની જીવા $\overline{AB}$ એ અંદરના વર્તુળને બિંદુ $M$ આગળ સ્પર્શે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા સ્પર્શકને સ્પર્શબિંદુએ લંબ હોય છે,તેથી $OM \perp AB$.
$\triangle OMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $OA^2 = OM^2 + AM^2$.
કિંમતો મૂકતા: $17^2 = 15^2 + AM^2$.
$289 = 225 + AM^2$.
$AM^2 = 289 - 225 = 64$.
$AM = \sqrt{64} = 8$.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times AM$.
$AB = 2 \times 8 = 16$.

(B) એક વર્તુળ $\square ABCD$ ની ચારેય બાજુઓને સ્પર્શે છે. સ્પર્શક ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,સામસામેની બાજુઓના સરવાળા સમાન હોય છે.
$\therefore AB + CD = AD + BC$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\therefore 5 + 6 = AD + 8$
$\therefore 11 = AD + 8$
$\therefore AD = 11 - 8 = 3$

(C) $\square PQRS$ એ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી, $m \angle P + m \angle R = 180^{\circ}$.
અહીં $m \angle P = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
કિંમત મૂકતા, $30^{\circ} + m \angle R = 180^{\circ}$.
આમ, $m \angle R = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.

(A) ધારો કે સ્પર્શક $\overleftrightarrow{PQ}$ વર્તુળને બિંદુ $R$ માં સ્પર્શે છે.
બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી:
$AB = AC$ (બિંદુ $A$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો)
$PB = PR$ (બિંદુ $P$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો)
$QC = QR$ (બિંદુ $Q$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો)
$\Delta APQ$ ની પરિમિતિ $= AP + PQ + AQ$.
$PQ = PR + QR$ મૂકતા,આપણને મળે:
પરિમિતિ $= AP + (PR + QR) + AQ$.
$PR = PB$ અને $QR = QC$ સમાનતાનો ઉપયોગ કરતા:
પરિમિતિ $= AP + PB + QC + AQ$.
$AP + PB = AB$ અને $AQ + QC = AC$ હોવાથી:
પરિમિતિ $= AB + AC$.
$AB = AC$ હોવાથી,પરિમિતિ $= AB + AB = 2 AB$ (અથવા $2 AC$).
આમ,સાચો વિકલ્પ $2 AB$ છે.

(A) વર્તુળને પરિગત ચતુષ્કોણ માટે,સામસામેની બાજુઓનો સરવાળો સમાન હોય છે,એટલે કે $AB + CD = BC + AD$.
આપેલ છે કે $\overline{AB}$ સૌથી મોટી બાજુ છે,ધારો કે $AB = x$.
વર્તુળ બધી બાજુઓને સ્પર્શતું હોવાથી,શિરોબિંદુઓમાંથી વર્તુળ પરના સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે. ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ માંથી સ્પર્શકોની લંબાઈ અનુક્રમે $a, b, c, d$ છે.
તેથી $AB = a + b$,$BC = b + c$,$CD = c + d$,અને $AD = a + d$.
$AB$ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,$a+b$ એ મહત્તમ મૂલ્ય છે.
પરિગત ચતુષ્કોણમાં,સૌથી મોટી બાજુની સામેની બાજુ સામાન્ય રીતે સૌથી નાની બાજુ હોય છે. આમ,$\overline{CD}$ એ સૌથી નાની બાજુ છે.

(C) ધારો કે સ્પર્શક $\overleftrightarrow{PQ}$ વર્તુળને બિંદુ $R$ માં સ્પર્શે છે.
બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$PB = PR$ અને $QC = QR$.
$\Delta APQ$ ની પરિમિતિ = $AP + PQ + AQ$.
$= AP + (PR + RQ) + AQ$.
$= AP + PB + QC + AQ$ (કારણ કે $PR = PB$ અને $RQ = QC$).
$= (AP + PB) + (AQ + QC)$.
$= AB + AC$.
$AB = AC$ હોવાથી (બહારના બિંદુ $A$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો),આપણી પાસે $AB = AC = 6$ છે.
તેથી,$\Delta APQ$ ની પરિમિતિ = $6 + 6 = 12$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{ PA }$ અને $\overline{ PB }$ એ બહારના બિંદુ $P$ માંથી વર્તુળ $\odot( O , r)$ ને દોરેલા સ્પર્શકો છે.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
તેથી,$\overline{ PA } = \overline{ PB }$.
$\Delta PAB$ માં,$\overline{ PA } = \overline{ PB }$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$m \angle PAB = m \angle PBA$.
આપેલ છે કે $m \angle PAB = 60^{\circ}$,તેથી $m \angle PBA = 60^{\circ}$ થાય.

(C) ધારો કે બિંદુ $A$ માંથી વર્તુળ પરના સ્પર્શકો $AB$ અને $AC$ છે. પ્રમેય મુજબ,વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે,તેથી $AB = AC$.
ધારો કે સ્પર્શક $PQ$ વર્તુળને બિંદુ $M$ પર સ્પર્શે છે. તો $PM = PB$ અને $QM = QC$ (અનુક્રમે બિંદુ $P$ અને $Q$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો).
$\Delta APQ$ ની પરિમિતિ $= AP + PQ + AQ = AP + (PM + MQ) + AQ$.
સમાન સ્પર્શકોની લંબાઈ મૂકતા: પરિમિતિ $= AP + PB + QC + AQ = (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC$.
કારણ કે $AB = AC$,તેથી પરિમિતિ $= 2 AB$.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $16$ છે,તેથી $2 AB = 16$,જેનો અર્થ છે કે $AB = 8$.

(C) આપેલ વર્તુળમાં,$\overline{ OB }$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\overline{ PB }$ એ બિંદુ $B$ આગળનો સ્પર્શક છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા સ્પર્શબિંદુ આગળ સ્પર્શકને લંબ હોય છે,તેથી $\angle OBP = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,$\Delta POB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $OP$ કર્ણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^{2} = OB^{2} + PB^{2}$
$13^{2} = 5^{2} + PB^{2}$
$169 = 25 + PB^{2}$
$PB^{2} = 169 - 25 = 144$
$PB = \sqrt{144} = 12$
તેથી,$PB = 12$.

(B) જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે,ત્યારે તેમની પાસે સ્પર્શબિંદુમાંથી પસાર થતો એક સામાન્ય સ્પર્શક અને બે અન્ય સામાન્ય સ્પર્શકો હોય છે.
તેથી,બે વર્તુળો માટે કુલ $3$ સામાન્ય સ્પર્શકો દોરી શકાય છે.

(C) વર્તુળનો સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
અહીં,$\stackrel{\leftrightarrow}{AB}$ એ વર્તુળ $\odot(P, r)$ નો $Q$ બિંદુએ સ્પર્શક છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $PQ$ એ સ્પર્શક $\stackrel{\leftrightarrow}{AB}$ ને $Q$ બિંદુએ લંબ છે.
આમ,$PQ \perp AB$ હોવાથી,$P$ માંથી રેખા $AB$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $Q$ છે.

(C) વર્તુળના કેન્દ્ર $P$ થી રેખા $AB$ સુધીનું અંતર એ લંબ રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $Q$ એ વર્તુળના અંદરના ભાગમાં આવેલું છે,તેથી $PQ$ ની લંબાઈ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ (એટલે કે,$PQ < r$).
વર્તુળના ગુણધર્મો અનુસાર,જો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતા ઓછું હોય,તો તે રેખા વર્તુળની છેદિકા છે અને તે વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(B) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $a = BC$,$c = AB$ અને કર્ણ $b = AC$ છે.
ધારો કે અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ છે.
અંતઃવૃત્તનું કેન્દ્ર $(O)$,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ પરના સ્પર્શબિંદુઓ અને શિરોબિંદુ $B$ સાથે એક ચોરસ બનાવે છે,કારણ કે ત્રિજ્યાઓ બાજુઓને લંબ હોય છે.
આમ,$B$ થી $AB$ અને $BC$ પરના સ્પર્શબિંદુઓનું અંતર $r$ છે.
બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના બાકીના ભાગો અનુક્રમે $(c - r)$ અને $(a - r)$ છે.
બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોના ગુણધર્મ મુજબ,આ ભાગો શિરોબિંદુઓ $A$ અને $C$ થી કર્ણ પરના સ્પર્શબિંદુઓ સુધીના અંતર જેટલા હોય છે.
તેથી,કર્ણ $b = (c - r) + (a - r)$.
$b = a + c - 2r$.
$2r = a + c - b$.
$r = \frac{a + c - b}{2}$.
બાજુઓની લંબાઈ મૂકતા: $r = \frac{BC + AB - AC}{2}$.

(B) $\Delta ABC$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 24$ અને $BC = 7$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = (24)^2 + (7)^2$
$AC^2 = 576 + 49$
$AC^2 = 625$
$AC = \sqrt{625} = 25$.
કાટકોણ ત્રિકોણના અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર:
$r = \frac{AB + BC - AC}{2}$
$r = \frac{24 + 7 - 25}{2}$
$r = \frac{31 - 25}{2}$
$r = \frac{6}{2} = 3$.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $3$ છે.

(D) જે ચતુષ્કોણની અંદર વર્તુળ દોરી શકાય તેને સ્પર્શક ચતુષ્કોણ કહેવામાં આવે છે।
વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે।
ધારો કે વર્તુળ બાજુઓ $AB, BC, CD,$ અને $DA$ ને અનુક્રમે $P, Q, R,$ અને $S$ બિંદુઓમાં સ્પર્શે છે।
તેથી, $AP = AS$, $BP = BQ$, $CQ = CR$, અને $DR = DS$।
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)$ implies $AB + CD = AD + BC$।
આ ગુણધર્મ કોઈપણ સ્પર્શક ચતુષ્કોણ માટે સાચો છે।
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એક એવો ચતુષ્કોણ છે જેની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને તે વર્તુળને પરિગત હોઈ શકે છે।
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે।

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ છે.
પ્રથમ,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કર્ણ $AC$ શોધીએ: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $r = \frac{4 + 3 - 5}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
આમ,અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $1$ છે.

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ ચાર સમાન બાજુઓ ધરાવતો ચતુષ્કોણ છે.
જો સમબાજુ ચતુષ્કોણ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોય,તો તેના બધા શિરોબિંદુઓ વર્તુળના પરિઘ પર આવેલા હોય છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત ચતુષ્કોણને ચક્રીય ચતુષ્કોણ કહેવાય છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માટે,સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,એટલે કે $\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$.
કારણ કે $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,તેથી $2\angle A = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
$90^{\circ}$ ના ખૂણાવાળા સમબાજુ ચતુષ્કોણને ચોરસ કહેવાય છે.
તેથી,સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ ચોરસ હોવો જોઈએ.

(D) કાટકોણ ત્રિકોણ માટે જેની બાજુઓ $a, b$ અને કર્ણ $c$ હોય,તેની અંતઃત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{a+b-c}{2}$ છે.
$1.$ $\Delta ABC$ માટે બાજુઓ $3, 4, 5$ છે: $r = \frac{3+4-5}{2} = \frac{2}{2} = 1$. જે $(b)$ સાથે જોડાય છે.
$2.$ $\Delta PQR$ માટે બાજુઓ $5, 12, 13$ છે: $r = \frac{5+12-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$. જે $(a)$ સાથે જોડાય છે.
$3.$ $\Delta XYZ$ માટે બાજુઓ $8, 15, 17$ છે: $r = \frac{8+15-17}{2} = \frac{6}{2} = 3$. જે $(d)$ સાથે જોડાય છે.
$4.$ $\Delta MNP$ માટે બાજુઓ $20, 21, 29$ છે: $r = \frac{20+21-29}{2} = \frac{12}{2} = 6$. જે $(c)$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-b), (2-a), (3-d), (4-c)$ છે.