Mix Examples - Circles Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $OC$ ને જોડો. $OC$ એ ત્રિજ્યા છે અને $PC$ એ $C$ આગળનો સ્પર્શક હોવાથી,$OC \perp PC$ થાય. તેથી,$\angle PCO = 90^{\circ}.$
આપેલ છે કે $\angle PCA = 110^{\circ},$ તેથી $\angle OCA = \angle PCA - \angle PCO = 110^{\circ} - 90^{\circ} = 20^{\circ}.$
$\triangle OCA$ માં,$OC = OA$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ),તેથી $\angle OAC = \angle OCA = 20^{\circ}.$
$\angle COA = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 20^{\circ}) = 140^{\circ}$ હોવાથી,ચાપ $AC$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો $140^{\circ}$ છે.
ચાપ $AC$ દ્વારા પરિઘ પર બનતો ખૂણો $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle COA = \frac{1}{2} \times 140^{\circ} = 70^{\circ}.$
આમ,$\angle CBA = 70^{\circ}.$

(D) ધારો કે $O$ એ $R = 9\, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ધારો કે $AM$ એ $A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ છે. કારણ કે $\triangle ABC$ એ $AB = AC$ સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે, તેથી વેધ $AM$ એ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે $AM = x$. તો $OM = |x - 9|$.
$\triangle AMC$ માં, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $MC^2 = AC^2 - AM^2 = 6^2 - x^2 = 36 - x^2$.
$\triangle OMC$ માં, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $MC^2 = OC^2 - OM^2 = 9^2 - (x - 9)^2 = 81 - (x^2 - 18x + 81) = 18x - x^2$.
$MC^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $36 - x^2 = 18x - x^2$.
$18x = 36 \Rightarrow x = 2\, cm$.
આમ, $AM = 2\, cm$.
હવે, $MC^2 = 36 - 2^2 = 36 - 4 = 32$.
$MC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\, cm$.
કારણ કે $AM$ એ $BC$ ને દુભાગે છે, તેથી $BC = 2 \times MC = 8\sqrt{2}\, cm$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} \times 2 = 8\sqrt{2}\, cm^{2}$.

(A) આપેલ છે: કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળ પર બહારના બિંદુ $A$ માંથી બે સ્પર્શકો દોરવામાં આવ્યા છે。
$OA = 13\, cm$,ત્રિજ્યા $OP = OQ = 5\, cm$.
લઘુચાપ $PQ$ પરના બિંદુ $R$ આગળ સ્પર્શક $BC$ દોરવામાં આવ્યો છે。
શોધવાનું છે: $\triangle ABC$ ની પરિમિતિ。
સાબિતી: $\angle OPA = 90^{\circ}$ [વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક એ સંપર્ક બિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે]。
કાટકોણ $\triangle OPA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OP^2 + PA^2$
$(13)^2 = 5^2 + PA^2$
$169 = 25 + PA^2$
$PA^2 = 144$
$PA = 12\, cm$.
બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી,$AP = AQ = 12\, cm$.
વળી,$BP = BR$ અને $CR = CQ$ (અનુક્રમે બિંદુ $B$ અને $C$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો)。
$\triangle ABC$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + CA$
$= AB + (BR + RC) + CA$
$= AB + BP + CQ + CA$
$= (AB + BP) + (CQ + CA)$
$= AP + AQ$
$= 12 + 12 = 24\, cm$.

(B) $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $P$ એ સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા હંમેશા સ્પર્શબિંદુ આગળ સ્પર્શકને લંબ હોય છે,તેથી $\angle OPQ = 90^\circ$.
આપેલ છે: $OP = 7 \, cm$ (ત્રિજ્યા) અને $PQ = 24 \, cm$.
કાટકોણ $\Delta OPQ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OQ^2 = OP^2 + PQ^2$
$OQ^2 = (7)^2 + (24)^2$
$OQ^2 = 49 + 576$
$OQ^2 = 625$
$OQ = \sqrt{625} = 25 \, cm$.

(C) $\odot(P, 5)$ ની જીવા $\overline{AB}$ એ $\odot(P, 3)$ ને $M$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા સ્પર્શબિંદુએ સ્પર્શકને લંબ હોય છે,તેથી $\overline{PM} \perp \overline{AB}$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે. તેથી,$M$ એ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
અહીં $PM = 3$ (નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા) અને $PB = 5$ (મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા) આપેલ છે.
કાટકોણ $\Delta PMB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PB^2 = PM^2 + MB^2$
$5^2 = 3^2 + MB^2$
$25 = 9 + MB^2$
$MB^2 = 25 - 9 = 16$
$MB = \sqrt{16} = 4$.
$M$ એ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AB = 2 \times MB = 2 \times 4 = 8$.

(N/A) ધારો કે $P$ એ બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોનું સામાન્ય કેન્દ્ર છે. ધારો કે $\overline{AB}$ એ $R = 13$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા વર્તુળની જીવા છે,જે $r = 8$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના વર્તુળને બિંદુ $M$ પર સ્પર્શે છે.
ત્યારબાદ,$\overline{AB}$ એ નાના વર્તુળને $M$ બિંદુએ સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $\overline{PM}$ એ જીવા $\overline{AB}$ ને લંબ છે. તેથી,$\angle PMB = 90^{\circ}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PMB$ માં:
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PB^2 = PM^2 + MB^2$.
અહીં,$PB = 13$ (મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા) અને $PM = 8$ (નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા) છે.
$13^2 = 8^2 + MB^2$
$169 = 64 + MB^2$
$MB^2 = 169 - 64 = 105$
$MB = \sqrt{105}$.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times MB$ થાય.
$AB = 2\sqrt{105}$.

(A) આપેલ છે કે બિંદુ $A$ એ કેન્દ્ર $P$ અને ત્રિજ્યા $r = 10$ વાળા વર્તુળની બહારના ભાગમાં છે.
$A$ માંથી પસાર થતી રેખા વર્તુળને $B$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $AB$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
સ્પર્શબિંદુએ દોરેલી ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ હોય છે. તેથી,$\angle PBA = 90^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PBA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PA^2 = PB^2 + AB^2$.
અહીં $PA = 26$ અને $PB = r = 10$ આપેલ છે.
$26^2 = 10^2 + AB^2$.
$676 = 100 + AB^2$.
$AB^2 = 676 - 100 = 576$.
$AB = \sqrt{576} = 24$.

(B) આપેલ છે કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $r = 8$ છે.
બિંદુ $A$ વર્તુળની બહારના ભાગમાં છે.
$A$ માંથી પસાર થતી રેખા વર્તુળને $B$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,જેનો અર્થ છે કે $AB$ એ $B$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
સ્પર્શકના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિજ્યા $OB$ એ સ્પર્શક $AB$ ને સ્પર્શબિંદુ $B$ આગળ લંબ હોય છે.
તેથી,$\triangle OBA$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OBA = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle OBA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OB^2 + AB^2$
અહીં $OB = r = 8$ અને $AB = 15$ આપેલ છે.
$OA^2 = 8^2 + 15^2$
$OA^2 = 64 + 225$
$OA^2 = 289$
$OA = \sqrt{289} = 17$.
આમ,$OA$ ની લંબાઈ $17$ છે.

(B) ધારો કે બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોની ત્રિજ્યા $R = 41$ અને $r = 40$ છે.
ધારો કે $O$ એ સામાન્ય કેન્દ્ર છે.
ધારો કે $AB$ એ મોટા વર્તુળની જીવા છે જે નાના વર્તુળને બિંદુ $P$ પર સ્પર્શે છે.
જીવા નાના વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,$OP$ એ $AB$ ને લંબ છે અને $OP = r = 40$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ riangle OPA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$41^2 = 40^2 + AP^2$
$1681 = 1600 + AP^2$
$AP^2 = 1681 - 1600 = 81$
$AP = 9$.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી જીવાની લંબાઈ $AB = 2 \times AP = 2 \times 9 = 18$ થાય.

(D) કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળમાં,ત્રિજ્યા $OQ$ એ સ્પર્શબિંદુ $Q$ આગળ સ્પર્શક $PQ$ ને લંબ હોય છે. તેથી,$\triangle OQP$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OQP = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle OQP$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$OQ^2 + PQ^2 = OP^2$
અહીં $OP = 34$ અને $PQ = 16$ આપેલ છે:
$OQ^2 + 16^2 = 34^2$
$OQ^2 + 256 = 1156$
$OQ^2 = 1156 - 256 = 900$
$OQ = \sqrt{900} = 30$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $30$ છે. વર્તુળનો વ્યાસ $2 \times \text{ત્રિજ્યા} = 2 \times 30 = 60$ થાય.

(A) ધારો કે સમકેન્દ્રી વર્તુળોનું કેન્દ્ર $O$ છે. મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 17$ અને નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 8$ છે.
ધારો કે $AB$ એ મોટા વર્તુળની જીવા છે જે નાના વર્તુળને બિંદુ $P$ પર સ્પર્શે છે.
કારણ કે $AB$ એ નાના વર્તુળને $P$ પર સ્પર્શક છે,તેથી ત્રિજ્યા $OP$ એ જીવા $AB$ ને લંબ છે $(OP \perp AB)$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OPA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$17^2 = 8^2 + AP^2$
$289 = 64 + AP^2$
$AP^2 = 289 - 64 = 225$
$AP = \sqrt{225} = 15$.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times AP = 2 \times 15 = 30$.
તેથી,જીવાની લંબાઈ $30$ છે.

(A) આપેલ છે કે $r = OX = 12$ અને $XP = 5$.
$PX$ એ વર્તુળનો $X$ બિંદુએ સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OX$ એ સ્પર્શક $PX$ ને સ્પર્શબિંદુએ લંબ હોય છે.
તેથી,$\angle OXP = 90^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OXP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OX^2 + XP^2$
$OP^2 = (12)^2 + (5)^2$
$OP^2 = 144 + 25$
$OP^2 = 169$
$OP = \sqrt{169} = 13$.
આમ,$OP$ ની લંબાઈ $13$ છે.

(C) ચતુષ્કોણ $OXPY$ માં,ત્રિજ્યાઓ $OX$ અને $OY$ એ અનુક્રમે સ્પર્શબિંદુઓ આગળ સ્પર્શકો $PX$ અને $PY$ ને લંબ છે.
તેથી,$\angle OXP = 90^\circ$ અને $\angle OYP = 90^\circ$.
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^\circ$ થાય છે.
$\angle XOY + \angle OXP + \angle XPY + \angle OYP = 360^\circ$
$100^\circ + 90^\circ + \angle XPY + 90^\circ = 360^\circ$
$280^\circ + \angle XPY = 360^\circ$
$\angle XPY = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$.
કારણ કે $OP$ એ $\angle XPY$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી:
$m \angle XPO = \frac{1}{2} m \angle XPY$
$m \angle XPO = \frac{1}{2} (80^\circ) = 40^\circ$.

(D) ત્રિજ્યા $OY$ એ સ્પર્શબિંદુ $Y$ આગળ સ્પર્શક $PY$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,$\Delta PYO$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OYP = 90^{\circ}$ છે.
$\Delta PYO$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OY^2 + PY^2$
અહીં $OP = 30$ અને $PY = 24$ આપેલ છે,અને $OY = r$ છે:
$30^2 = r^2 + 24^2$
$900 = r^2 + 576$
$r^2 = 900 - 576$
$r^2 = 324$
$r = \sqrt{324} = 18$
આમ,ત્રિજ્યા $r$ નું મૂલ્ય $18$ છે.

(A) $\overline{OX}$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\overleftrightarrow{PX}$ એ $X$ બિંદુએ સ્પર્શક છે.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
તેથી,$\overline{OX} \perp \overleftrightarrow{PX}$,જેનો અર્થ છે કે $m\angle OXP = 90^\circ$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PXO$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે.
તેથી,$m\angle OXP + m\angle XPO + m\angle XOP = 180^\circ$.
$90^\circ + 65^\circ + m\angle XOP = 180^\circ$.
$155^\circ + m\angle XOP = 180^\circ$.
$m\angle XOP = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$.

(B) ધારો કે અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ છે.
અહીં,$AB = 8$,$BC = 15$ અને $\angle B = 90^{\circ}$ આપેલ છે.
$\Delta ABC$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$
$AC^{2} = 8^{2} + 15^{2}$
$AC^{2} = 64 + 225 = 289$
$AC = \sqrt{289} = 17$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\Delta AOB$,$\Delta BOC$ અને $\Delta AOC$ ના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું થાય,જ્યાં $O$ એ અંતઃકેન્દ્ર છે:
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\text{Area}(\Delta AOB) + \text{Area}(\Delta BOC) + \text{Area}(\Delta AOC)$
$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times r + \frac{1}{2} \times BC \times r + \frac{1}{2} \times AC \times r$
$\frac{1}{2} \times 8 \times 15 = \frac{1}{2} \times r \times (AB + BC + AC)$
$60 = \frac{1}{2} \times r \times (8 + 15 + 17)$
$60 = \frac{1}{2} \times r \times 40$
$60 = 20r$
$r = \frac{60}{20} = 3$.
વૈકલ્પિક રીતે,કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{AB + BC - AC}{2} = \frac{8 + 15 - 17}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

(240/17) ધારો કે $R$ એ $OP$ અને $AB$ નું છેદબિંદુ છે. $OP$ એ જીવા $AB$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,$OP \perp AB$ એ $R$ પર થાય છે.
કાટકોણ $\Delta OAP$ માં,$\angle OAP = 90^{\circ}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OP^2 = OA^2 + AP^2$.
$(17)^2 = (8)^2 + AP^2 \implies 289 = 64 + AP^2 \implies AP^2 = 225 \implies AP = 15$.
$\Delta OAP$ માં,$AR$ એ કર્ણ $OP$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$OA^2 = OR \cdot OP$.
$(8)^2 = OR \cdot 17 \implies OR = \frac{64}{17}$.
કાટકોણ $\Delta OAR$ માં,$AR^2 = OA^2 - OR^2$.
$AR^2 = 8^2 - \left(\frac{64}{17}\right)^2 = 64 - \frac{4096}{289} = \frac{18496 - 4096}{289} = \frac{14400}{289}$.
$AR = \sqrt{\frac{14400}{289}} = \frac{120}{17}$.
$OP$ એ $AB$ ને દુભાગતું હોવાથી,$AB = 2 \cdot AR = 2 \cdot \left(\frac{120}{17}\right) = \frac{240}{17}$.

(D) ધારો કે એકકેન્દ્રીય વર્તુળોનું કેન્દ્ર $P$ છે. ત્રિજ્યાઓ $R = 13$ અને $r = 8$ છે.
$\overline{AB}$ એ મોટા વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી $AB = 2 \times 13 = 26$ અને $PB = 13$.
$\overline{BD}$ એ નાના વર્તુળને $D$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $\overline{PD} \perp \overline{BD}$ અને $PD = 8$.
કાટકોણ $\Delta PDB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$BD^2 = PB^2 - PD^2 = 13^2 - 8^2 = 169 - 64 = 105$.
ધારો કે $\overline{BD}$ મોટા વર્તુળને $C$ બિંદુએ છેદે છે. $\overline{PD} \perp \overline{BC}$ હોવાથી,$D$ એ જીવા $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $CD = BD$. આમ,$CD^2 = 105$.
મોટા વર્તુળમાં,$\angle ACB$ એ અર્ધવર્તુળમાં આવેલો ખૂણો છે,તેથી $\angle ACB = 90^\circ$.
$\Delta ABC$ અને $\Delta PBD$ માં,$\angle ACB = \angle PDB = 90^\circ$ અને $\angle B$ સામાન્ય છે. તેથી,$AA$ સમરૂપતા મુજબ $\Delta ABC \sim \Delta PBD$.
તેથી,$\frac{AB}{PB} = \frac{AC}{PD} \implies \frac{26}{13} = \frac{AC}{8} \implies 2 = \frac{AC}{8} \implies AC = 16$.
કાટકોણ $\Delta ACD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AD^2 = AC^2 + CD^2 = 16^2 + 105 = 256 + 105 = 361$.
$AD = \sqrt{361} = 19$.

(N/A) આપેલ છે: $\overline{AB}$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની જીવા છે. રેખા $l$ એ વર્તુળને $B$ બિંદુએ સ્પર્શક છે. $D$ એ $A$ માંથી રેખા $l$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે (એટલે કે $\overline{AD} \perp l$).
સાબિત કરવાનું છે: $\angle BAO \cong \angle BAD$.
સાબિતી:
$1$. $\Delta OAB$ માં,$\overline{OA} \cong \overline{OB}$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
$2$. તેથી,$\angle ABO \cong \angle BAO$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે) ... $(1)$.
$3$. રેખા $l$ એ વર્તુળને $B$ બિંદુએ સ્પર્શક છે અને $\overline{OB}$ એ સ્પર્શબિંદુ $B$ માંથી પસાર થતી ત્રિજ્યા છે. તેથી,$\overline{OB} \perp l$.
$4$. આપણને આપેલ છે કે $\overline{AD} \perp l$.
$5$. $\overline{OB}$ અને $\overline{AD}$ બંને એક જ રેખા $l$ ને લંબ હોવાથી,તેઓ એકબીજાને સમાંતર થાય $(\overline{OB} \parallel \overline{AD})$.
$6$. $\overline{OB} \parallel \overline{AD}$ અને $\overleftrightarrow{AB}$ ને છેદિકા તરીકે લેતા,યુગ્મકોણ સમાન થાય.
$7$. તેથી,$\angle ABO \cong \angle BAD$ (યુગ્મકોણ) ... $(2)$.
$8$. સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,$\angle BAO$ અને $\angle BAD$ બંને $\angle ABO$ ને સમાન હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $\angle BAO \cong \angle BAD$.

(N/A) $O$ કેન્દ્રિત વર્તુળ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બાજુઓ $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CD}$ અને $\overline{DA}$ ને અનુક્રમે $P, Q, R$ અને $S$ બિંદુઓમાં સ્પર્શે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $m \angle AOB + m \angle COD = 180^{\circ}$ અને $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$.
સાબિતી: $\overline{OP}, \overline{OQ}, \overline{OR}$ અને $\overline{OS}$ દોરો.
બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકો સમાન હોવાથી,$\overline{AS} \cong \overline{AP}$.
$\Delta ASO$ અને $\Delta APO$ માં:
$\overline{AS} \cong \overline{AP}$ (બિંદુ $A$ માંથી સ્પર્શકો)
$\overline{OS} \cong \overline{OP}$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$\overline{AO} \cong \overline{AO}$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$\Delta ASO \cong \Delta APO$ ($SSS$ એકરૂપતાની શરત).
આથી $m \angle OAS = m \angle OAP$,તેથી $m \angle OAB = \frac{1}{2} m \angle DAB$.
તે જ રીતે,આપણે દર્શાવી શકીએ કે:
$m \angle OBA = \frac{1}{2} m \angle ABC$
$m \angle OCD = \frac{1}{2} m \angle BCD$
$m \angle ODC = \frac{1}{2} m \angle CDA$
$\Delta AOB$ માં,$m \angle AOB = 180^{\circ} - (m \angle OAB + m \angle OBA) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle DAB + m \angle ABC)$.
$\Delta COD$ માં,$m \angle COD = 180^{\circ} - (m \angle OCD + m \angle ODC) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle BCD + m \angle CDA)$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા:
$m \angle AOB + m \angle COD = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(m \angle DAB + m \angle ABC + m \angle BCD + m \angle CDA)$.
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
$m \angle AOB + m \angle COD = 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$.
તે જ રીતે,સાબિત કરી શકાય છે કે $m \angle AOD + m \angle BOC = 180^{\circ}$.

(D) ધારો કે $OP$ અને $AB$ નું છેદબિંદુ $R$ છે. $P$ એ બહારનું બિંદુ હોવાથી $PA$ અને $PB$ સ્પર્શકો છે,તેથી $PA = PB$ અને $\triangle OAP \cong \triangle OBP$. આમ,$OP$ એ જીવા $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
આપેલ છે $AB = 24$,તેથી $AR = RB = 12$.
કાટકોણ $\triangle ORA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OR^2 = OA^2 - AR^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$.
તેથી,$OR = 5$.
$\triangle OAP$ માં,$\angle OAP = 90^\circ$ (સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે). $AR$ એ કર્ણ $OP$ પરનો વેધ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$OA^2 = OR \cdot OP$.
$13^2 = 5 \cdot OP \implies 169 = 5 \cdot OP \implies OP = \frac{169}{5} = 33.8$.
કાટકોણ $\triangle OAP$ માં,$PA^2 = OP^2 - OA^2 = (33.8)^2 - 13^2 = 1142.44 - 169 = 973.44$.
$PA = \sqrt{973.44} = 31.2 = \frac{156}{5}$.

(D) $\odot(O, 15)$ માં,$OA = OB = 15$ (ત્રિજ્યા) અને $AB = 30$ (વ્યાસ).
$\odot(O, 9)$ માં,$OD = 9$ (ત્રિજ્યા).
$BD$ એ $D$ આગળ $\odot(O, 9)$ નો સ્પર્શક હોવાથી,$\overline{OD} \perp \overline{BD}$ થાય. તેથી,$\triangle ODB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle ODB = 90^{\circ}$.
$AB$ એ $\odot(O, 15)$ નો વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત ખૂણો કાટખૂણો હોય છે. તેથી,$\angle ACB = 90^{\circ}$.
હવે,$\triangle ODB$ અને $\triangle ACB$ ને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $\angle ODB = \angle ACB = 90^{\circ}$
$2$. $\angle DBO = \angle CBA$ (સામાન્ય ખૂણો)
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ODB \sim \triangle ACB$.
તેથી,અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય:
$\frac{AC}{OD} = \frac{AB}{OB}$
$\frac{AC}{9} = \frac{30}{15}$
$\frac{AC}{9} = 2$
$AC = 9 \times 2 = 18$.

(A) વર્તુળની ત્રિજ્યા $OP = 9$ છે.
$PQ$ એ $P$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OP$ એ સ્પર્શબિંદુએ સ્પર્શક $PQ$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,$\angle OPQ = 90^{\circ}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OPQ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OQ^2 = OP^2 + PQ^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$OQ^2 = 9^2 + 40^2$.
$OQ^2 = 81 + 1600$.
$OQ^2 = 1681$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$OQ = \sqrt{1681} = 41$.
આમ,$OQ$ ની લંબાઈ $41$ છે.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કર્ણ $AC$ શોધો: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 30^2} = \sqrt{256 + 900} = \sqrt{1156} = 34$.
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકો: $r = \frac{16 + 30 - 34}{2}$.
$r = \frac{46 - 34}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $6$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P$ એ કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળની બહારનું બિંદુ છે. $\overleftrightarrow{PQ}$ એ $Q$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
સ્પર્શકના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિજ્યા $OQ$ એ સ્પર્શક $PQ$ ને સ્પર્શબિંદુ $Q$ આગળ લંબ હોય છે. તેથી,$\triangle OQP$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OQP = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle OQP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
અહીં $OP = 26$ અને $PQ = 10$ આપેલ છે,તેથી:
$26^2 = r^2 + 10^2$
$676 = r^2 + 100$
$r^2 = 676 - 100 = 576$
$r = \sqrt{576} = 24$.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 24 = 48$ થાય.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે જે અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામે છે. અહીં,$a = BC = 24$,$b = AC$,અને $c = AB$ છે.
આપેલ છે કે $AB + AC = 32$,તેથી $c + b = 32$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 + c^2 = b^2$.
$a = 24$ મૂકતા,આપણને $24^2 + c^2 = b^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 - c^2 = 576$.
$(b - c)(b + c) = 576$.
કારણ કે $b + c = 32$,તેથી $(b - c)(32) = 576$,એટલે કે $b - c = 18$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(b + c) + (b - c) = 32 + 18 \implies 2b = 50 \implies b = 25$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(b + c) - (b - c) = 32 - 18 \implies 2c = 14 \implies c = 7$.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{a + c - b}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{24 + 7 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

(A) ધારો કે $AP = AR = x$, $BP = BQ = y$, અને $CQ = CR = z$ (બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે).
આપેલ છે:
$AB = x + y = 14$ $(1)$
$BC = y + z = 11$ $(2)$
$CA = z + x = 7$ $(3)$
સમીકરણ $(1)$, $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(x + y + z) = 14 + 11 + 7 = 32$
$x + y + z = 16$
હવે, સરવાળામાંથી દરેક સમીકરણ બાદ કરતા:
$z = (x + y + z) - (x + y) = 16 - 14 = 2$
$x = (x + y + z) - (y + z) = 16 - 11 = 5$
$y = (x + y + z) - (z + x) = 16 - 7 = 9$
આમ, $AP = x = 5$, $BQ = y = 9$, અને $RC = z = 2$.

(B) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ $AC$ પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
કાટકોણ ત્રિકોણના અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{8 + 6 - 10}{2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $2$ છે.

(C) $1$. વર્તુળ બાજુઓને $P, Q, R$ અને $S$ માં સ્પર્શે છે,તેથી બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે. તેથી $DR = DS = r$. $\angle D = 90^\circ$ હોવાથી $ORDS$ એ $r$ બાજુવાળો ચોરસ બને છે,તેથી $DR = DS = r$.
$2$. $CD = 25$ આપેલ છે,તેથી $CR = CD - DR = 25 - r$. સ્પર્શકો સમાન હોવાથી $CQ = CR = 25 - r$.
$3$. $BC = 38$ આપેલ છે,તેથી $BQ = BC - CQ = 38 - (25 - r) = 13 + r$.
$4$. $BP = 25$ આપેલ છે. $BP = BQ$ હોવાથી,$25 = 13 + r$,એટલે કે $r = 12$.

(A) જે ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની અંદર વર્તુળ આવેલું હોય,તો તેની સામસામેની બાજુઓનો સરવાળો સમાન થાય છે.
આનું કારણ એ છે કે વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
ધારો કે વર્તુળ બાજુઓ $AB, BC, CD,$ અને $DA$ ને અનુક્રમે $P, Q, R,$ અને $S$ બિંદુઓમાં સ્પર્શે છે.
તેથી $AP = AS, BP = BQ, CQ = CR,$ અને $DR = DS$ થાય.
સામસામેની બાજુઓનો સરવાળો: $AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD) = (AS + BQ) + (CQ + DS) = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC$.
આપેલ છે કે $AB = 8, BC = 10, CD = 7$.
કિંમતો મૂકતા: $8 + 7 = AD + 10$.
$15 = AD + 10$.
$AD = 15 - 10 = 5$.

(A) આપેલ છે: વર્તુળની ત્રિજ્યા $OQ = 21$ અને કેન્દ્રથી બહારના બિંદુનું અંતર $OP = 25$ છે.
$PQ$ એ $Q$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OQ$ એ સ્પર્શક $PQ$ ને સ્પર્શબિંદુએ લંબ હોય છે $(OQ \perp PQ)$.
તેથી,$\triangle OQP$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OQP = 90^\circ$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
$25^2 = 21^2 + PQ^2$
$625 = 441 + PQ^2$
$PQ^2 = 184$
નોંધ: જો ત્રિજ્યા $15$ હોય,તો $PQ = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $20$ છે.

(40/3) ધારો કે $O$ એ $r = 10$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ધારો કે $M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $AB = 16$ હોવાથી,$AM = MB = 8$ થાય. $\triangle OMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$. ધારો કે $PA = x$. $\triangle OAP$ માં,$\angle OAP = 90^\circ$ (ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ હોય છે). ધારો કે $\angle AOP = \theta$. તો $AA$ સમરૂપતા મુજબ,$\triangle OMA \sim \triangle OAP$ થાય. તેથી,$\frac{PA}{AM} = \frac{OA}{OM}$,જે આપણને $\frac{x}{8} = \frac{10}{6}$ આપે છે. $x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{80}{6} = \frac{40}{3}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $r = 9$ છે.
બિંદુ $P$ વર્તુળની બહારના ભાગમાં છે અને $PT$ એ $T$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક છે.
સ્પર્શકના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિજ્યા સ્પર્શબિંદુએ સ્પર્શકને લંબ હોય છે. તેથી,$\angle OTP = 90^\circ$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OTP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OT^2 + PT^2$
અહીં $OT = r = 9$ અને $PT = 40$ આપેલ છે.
$OP^2 = 9^2 + 40^2$
$OP^2 = 81 + 1600$
$OP^2 = 1681$
$OP = \sqrt{1681} = 41$.
આમ,$OP$ ની લંબાઈ $41$ છે.

(D) અહીં $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને ત્રિજ્યા $r = 30$ છે.
$PQ$ એ $Q$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OQ$ એ સ્પર્શક $PQ$ ને સ્પર્શબિંદુએ લંબ હોય છે.
તેથી,$\triangle OQP$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle OQP = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle OQP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
અહીં $OP = 34$ અને $OQ = r = 30$ આપેલ છે.
$34^2 = 30^2 + PQ^2$
$1156 = 900 + PQ^2$
$PQ^2 = 1156 - 900$
$PQ^2 = 256$
$PQ = \sqrt{256} = 16$.
આમ,સ્પર્શક $PQ$ ની લંબાઈ $16$ છે.

(A) વર્તુળ $\odot(O, r)$ માં,$PA$ અને $PB$ એ બહારના બિંદુ $P$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો છે જે વર્તુળને $A$ અને $B$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
સ્પર્શકના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિજ્યા સ્પર્શકને સ્પર્શબિંદુએ લંબ હોય છે. તેથી,$\angle OAP = 90^\circ$ અને $\angle OBP = 90^\circ$.
ચતુષ્કોણ $OAPB$ માં,ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો $360^\circ$ થાય છે.
તેથી,$\angle AOB + \angle OAP + \angle OBP + \angle APB = 360^\circ$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $100^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle APB = 360^\circ$.
$280^\circ + \angle APB = 360^\circ$,જેથી $\angle APB = 80^\circ$ મળે.
રેખા $OP$ એ $\angle APB$ નો દ્વિભાજક છે. તેથી,$m\angle OPB = \frac{1}{2} \angle APB = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$.

(B) ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $r$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
$PQ$ એ $Q$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OQ$ એ સ્પર્શક $PQ$ ને લંબ હોય છે (એટલે કે,$\angle OQP = 90^\circ$).
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OQP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OP^2 = OQ^2 + PQ^2$
અહીં $OP = 29$ અને $PQ = 20$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$29^2 = r^2 + 20^2$
$841 = r^2 + 400$
$r^2 = 841 - 400$
$r^2 = 441$
$r = \sqrt{441} = 21$.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 21 = 42$ થાય.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે તપાસીએ કે $\Delta ABC$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે કે નહીં.
આપેલ બાજુઓ $7, 24, 25$ છે.
કારણ કે $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$,તેથી આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $AC = 25$ છે.
ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓને સ્પર્શતું વર્તુળ એ અંતઃવૃત્ત (incircle) છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{a + b - c}{2}$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓ છે અને $c$ કર્ણ છે.
અહીં,$a = 7, b = 24, c = 25$.
$r = \frac{7 + 24 - 25}{2} = \frac{31 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
વર્તુળનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 3 = 6$ થાય.

(D) $1$. $\triangle OBP$ માં,$PB$ એ વર્તુળનો $B$ બિંદુએ સ્પર્શક હોવાથી,ત્રિજ્યા $OB$ એ સ્પર્શક $PB$ ને લંબ છે. તેથી,$\angle OBP = 90^\circ$.
$2$. કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OBP$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે. તેથી,$\angle POB + \angle OBP + \angle OPB = 180^\circ$.
$3$. જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\angle POB + 90^\circ + 35^\circ = 180^\circ$,જે આપણને $\angle POB = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$ આપે છે.
$4$. બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો કેન્દ્રને જોડતી રેખા સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\triangle OAP \cong \triangle OBP$. આમ,$\angle AOP = \angle POB = 55^\circ$.
$5$. તેથી,$m\angle AOB = \angle AOP + \angle POB = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ$.

(A) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓના માપનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\angle B$ અને $\angle D$ સામસામેના ખૂણા છે.
તેથી,$m \angle B + m \angle D = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$60^{\circ} + m \angle D = 180^{\circ}$.
આમ,$m \angle D = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

(B) ધારો કે બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો $C_1$ છે જેની ત્રિજ્યા $R = 34$ છે અને $C_2$ છે જેની ત્રિજ્યા $r = 16$ છે.
ધારો કે $AB$ એ મોટા વર્તુળ $C_1$ ની જીવા છે જે નાના વર્તુળ $C_2$ ને બિંદુ $P$ પર સ્પર્શે છે.
જેহেতু $AB$ એ $C_2$ ને $P$ પર સ્પર્શક છે,તેથી ત્રિજ્યા $OP$ એ $AB$ ને લંબ છે $(OP \perp AB)$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OPA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$34^2 = 16^2 + AP^2$
$1156 = 256 + AP^2$
$AP^2 = 1156 - 256 = 900$
$AP = \sqrt{900} = 30$.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times AP$.
$AB = 2 \times 30 = 60$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે અને બે ત્રિજ્યાઓ $OA$ અને $OB$ છે. ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\angle AOB = 48^{\circ}$ છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શકો દોરવામાં આવ્યા છે. ધારો કે આ સ્પર્શકો બિંદુ $P$ આગળ મળે છે.
વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે,તેથી $\angle OAP = 90^{\circ}$ અને $\angle OBP = 90^{\circ}$ થાય.
ચતુષ્કોણ $OAPB$ માં,અંતઃકોણોનો સરવાળો $360^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle AOB + \angle OAP + \angle OBP + \angle APB = 360^{\circ}$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $48^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$.
$228^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$.
$\angle APB = 360^{\circ} - 228^{\circ} = 132^{\circ}$.
આમ,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $132^{\circ}$ છે.

(D) આકૃતિ પરથી,$PA$ અને $PB$ એ બિંદુ $P$ માંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકો છે.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે,તેથી $PA = PB$.
$\triangle PAB$ માં,$PA = PB$ હોવાથી,તે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $m \angle PBA = m \angle PAB$.
આકૃતિમાં,સ્પર્શક $PA$ અને જીવા $AB$ વચ્ચેનો ખૂણો $55^{\circ}$ આપેલ છે.
આમ,$m \angle PAB = 55^{\circ}$.
$m \angle PBA = m \angle PAB$ હોવાથી,$m \angle PBA = 55^{\circ}$ થાય.

(A) આપેલ આકૃતિમાં,$OP$ એ કેન્દ્ર $O$ ને બાહ્ય બિંદુ $P$ સાથે જોડતો રેખાખંડ છે. રેખા $OP$ એ જીવા $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
કારણ કે $OP \perp AB$ અને $OP$ એ $AB$ ને દુભાગે છે,તેથી $AC = CB = \frac{AB}{2}$ થાય.
અહીં $AB = 10$ આપેલ છે,તેથી $AC = \frac{10}{2} = 5$.

(B) ધારો કે બે સમકેન્દ્રીય વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $R$ અને $r$ છે અને તેમનું કેન્દ્ર $O$ છે.
ધારો કે $OM$ એ કેન્દ્ર $O$ થી મોટા વર્તુળની જીવા $AB$ પરનો લંબ છે. $AB$ એ નાના વર્તુળને $M$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $OM = r$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OA^2 = OM^2 + AM^2$,તેથી $R^2 = r^2 + AM^2$.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AM = AB / 2 = 15 / 2 = 7.5$.
આમ,$R^2 - r^2 = AM^2 = (7.5)^2$.
તે જ રીતે,મોટા વર્તુળની જીવા $CD$ માટે,ધારો કે $ON$ એ $O$ થી $CD$ પરનો લંબ છે. $CD$ એ નાના વર્તુળને $N$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી $ON = r$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ONC$ માં,$OC^2 = ON^2 + CN^2$,તેથી $R^2 = r^2 + CN^2$.
આમ,$CN^2 = R^2 - r^2 = (7.5)^2$.
તેથી,$CN = 7.5$.
કેન્દ્રમાંથી દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $CD = 2 \times CN = 2 \times 7.5 = 15$.

(C) પ્રમેય મુજબ,વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
બિંદુ $A$ માંથી,$AB$ અને $AC$ વર્તુળના સ્પર્શકો છે,તેથી $AB = AC = 3$.
બિંદુ $P$ માંથી,$PB$ અને $PS$ વર્તુળના સ્પર્શકો છે,તેથી $PB = PS$.
બિંદુ $Q$ માંથી,$QC$ અને $QS$ વર્તુળના સ્પર્શકો છે,તેથી $QC = QS$.
$\Delta APQ$ ની પરિમિતિ $= AP + PQ + AQ$.
કારણ કે $PQ = PS + SQ$,આપણે $PS$ ની જગ્યાએ $PB$ અને $SQ$ ની જગ્યાએ $QC$ મૂકી શકીએ છીએ.
પરિમિતિ $= AP + (PB + QC) + AQ$.
પરિમિતિ $= (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC$.
કારણ કે $AB = 3$ અને $AC = 3$,તેથી પરિમિતિ $= 3 + 3 = 6$.

(D) વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે,તેથી $PA = PB = 8$ થાય.
$\triangle PAB$ માં,$PA = PB$ હોવાથી તે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય,એટલે કે $m \angle PBA = m \angle PAB = 60^\circ$.
હવે,ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$m \angle APB + m \angle PAB + m \angle PBA = 180^\circ$.
$m \angle APB + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$.
$m \angle APB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
આમ,$\triangle PAB$ ના બધા ખૂણાઓ $60^\circ$ હોવાથી તે સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$AB = PA = PB = 8$.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. આ વર્તુળ કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ નું અંતઃવર્તુળ છે,જ્યાં $AB = 3$ અને $BC = 4$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કર્ણ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ મળે.
કાટકોણ ત્રિકોણના અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ શોધવાનું સૂત્ર $r = \frac{AB + BC - AC}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ મળે.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $1$ છે.

(D) વર્તુળનો સ્પર્શક એ એવી રેખા છે જે વર્તુળને માત્ર એક જ બિંદુમાં સ્પર્શે છે. આ બિંદુને સ્પર્શબિંદુ કહેવામાં આવે છે. તેથી,સ્પર્શક વર્તુળને માત્ર એક અને એક જ બિંદુમાં છેદે છે.

(D) જે રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે તેને વર્તુળની છેદિકા કહેવામાં આવે છે.
- ત્રિજ્યા એ વર્તુળના કેન્દ્રને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડતો રેખાખંડ છે.
- વ્યાસ એ જીવા છે જે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
- ચાપ એ વર્તુળના પરિઘનો એક ભાગ છે.
- છેદિકા એ એક રેખા છે જે વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(B) વર્તુળના પ્રમેય મુજબ: વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે. આ ભૂમિતિમાં વર્તુળનો એક પાયાનો ગુણધર્મ છે. તેથી,સ્પર્શક એ સ્પર્શબિંદુમાંથી દોરેલી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.