જો f: R rightarrow C એ x in R માટે f(x)=e^{2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિધેય $f: R \rightarrow C$ એ $f(x) = e^{2 i x} = \cos(2x) + i \sin(2x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.વિધેય $f$ એક-એક હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથ

Vedclass · Accepted Answer

એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિધેય $f: R \rightarrow C$ એ $f(x) = e^{2 i x} = \cos(2x) + i \sin(2x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.વિધેય $f$ એક-એક હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળવું જોઈએ. પરંતુ,$f(x + \pi) = e^{2 i (x + \pi)} = e^{2 i x + 2 i \pi} = e^{2 i x} \cdot e^{2 i \pi} = e^{2 i x} \cdot 1 = f(x)$. દરેક $x \in R$ માટે $f(x) = f(x + \pi)$ હોવાથી,આ વિધેય અનેક-એક છે.વિધેય $f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર તેના સહપ્રદેશ $C$ જેટલો હોવો જોઈએ. $f(x) = \cos(2x) + i \sin(2x)$ નો વિસ્તાર એ બધી જ સંકર સંખ્યાઓ $z$ નો ગણ છે જ્યાં $|z| = 1$ (સંકર સમતલમાં એકમ વર્તુળ). સહપ્રદેશ એ તમામ સંકર સંખ્યાઓનો ગણ $C$ હોવાથી અને વિસ્તાર એ $C$ નો માત્ર એક ઉપગણ (એકમ વર્તુળ) હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.તેથી,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

જો $f: R \rightarrow C$ એ $x \in R$ માટે $f(x)=e^{2 i x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f$ એ (જ્યાં $C$ એ તમામ સંકર સંખ્યાઓનો ગણ દર્શાવે છે)

Similar Questions

વિધાન $-1$ : $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ એ $p \leftrightarrow q$ ને સમાન છે.
વિધાન $-2$ : $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ એ નિત્યસત્ય (tautology) છે.

ઉગમબિંદુ પર નાભિ અને $x$-અક્ષ એ ધરી હોય તેવા પરવલયોના કુળનું વિકલ સમીકરણ છે

જો $\frac{dy}{dx} + 2x \tan(x-y) = 1$ હોય,તો $\sin(x-y)$ કોના બરાબર થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module