TS EAMCET 2007 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $xy = ae^x + be^{-x}$ $(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$x \frac{dy}{dx} + y = ae^x - be^{-x}$ $(2)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = ae^x + be^{-x}$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $ae^x + be^{-x} = xy$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = xy$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy = 0$

(B) આપેલ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{xy - x^2}$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{(y/x)^2}{(y/x) - 1}$.
ધારો કે $v = y/x$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v^2 - v^2 + v}{v - 1} = \frac{v}{v - 1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v - 1}{v} dv = \frac{dx}{x}$.
$(1 - \frac{1}{v}) dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 - \frac{1}{v}) dv = \int \frac{dx}{x}$.
$v - \ln|v| = \ln|x| + C$.
$v = \ln|x| + \ln|v| + C = \ln|xv| + C = \ln|y| + C$.
કારણ કે $v = y/x$,તેથી $y/x = \ln|y| + C$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $e^{y/x} = e^{\ln|y| + C} = e^C \cdot y$.
ધારો કે $e^C = k$,તેથી $e^{y/x} = ky$.

(C) $40$ માંથી $4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{40}C_4 = 91390$ છે.
$4$ ક્રમિક સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $37$ છે.
$4$ સંખ્યાઓ ક્રમિક હોય તેની સંભાવના $P(C) = \frac{37}{91390} = \frac{1}{2470}$ છે.
તેથી,તેઓ ક્રમિક ન હોય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{2470} = \frac{2469}{2470}$ થાય.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 6 + 4 = 10$.
$10$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
$6$ માંથી $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
$4$ માંથી $2$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 15 + 6 = 21$.
$\therefore$ જરૂરી સંભાવના $= \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે,તેથી $A \cap B = \phi$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = 0$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$.
$A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$ હોવાથી,$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
આમ,$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - 0 = P(A)$.
વળી,$P(\bar{B}) = 1 - P(B)$.
તેથી,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A)}{1 - P(B)}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 4$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = (\sqrt{3})^2 = 3$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,$\frac{npq}{np} = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{3}{4}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ મળે.
$p = \frac{1}{4}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{4} = 4$,તેથી $n = 16$ મળે.
આપણે $P(X \geq 1)$ શોધવાનું છે. પૂરક ઘટનાના નિયમ મુજબ,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
આમ,$P(X = 0) = \binom{16}{0} (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^{16} = (\frac{3}{4})^{16}$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - (\frac{3}{4})^{16}$.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ પદાર્થના $1$ મોલમાં $6.022 \times 10^{23}$ ઘટક કણો (એવોગેડ્રો આંક) હોય છે. તેથી,વિવિધ પદાર્થોના સમાન મોલ સમાન સંખ્યામાં ઘટક કણો ધરાવે છે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જોકે,આપેલ વજનમાં કણોની સંખ્યા પદાર્થના મોલર દળ $(n = \frac{w}{M})$ પર આધાર રાખે છે. વિવિધ પદાર્થોના મોલર દળ અલગ-અલગ હોવાથી,વિવિધ પદાર્થોના સમાન વજનમાં મોલની સંખ્યા અલગ-અલગ હશે અને પરિણામે,ઘટક કણોની સંખ્યા પણ અલગ-અલગ હશે. તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(A) ઇથાઇલ આલ્કોહોલ $(C_2H_5OH)$ ના મોલની સંખ્યા $= \frac{138 \ g}{46 \ g/mol} = 3 \ mol$.
પાણી $(H_2O)$ ના મોલની સંખ્યા $= \frac{72 \ g}{18 \ g/mol} = 4 \ mol$.
આલ્કોહોલનો મોલ અંશ $(X_{C_2H_5OH})$ $= \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$.
પાણીનો મોલ અંશ $(X_{H_2O})$ $= \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$.
આલ્કોહોલ અને પાણીના મોલ અંશનો ગુણોત્તર $\frac{X_{C_2H_5OH}}{X_{H_2O}} = \frac{3/7}{4/7} = \frac{3}{4}$ છે.

(C) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ છે: $V_1 = 2 \ L$,$T_1 = 273 \ K$ ($STP$ પર),$V_2 = 4 \ L$ (બમણું કદ).
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{273} = \frac{4}{T_2}$.
$T_2 = \frac{273 \times 4}{2} = 546 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $546 - 273 = 273^{\circ} C$.

(C) લાયમન શ્રેણી માટે,રિડબર્ગ સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
આપેલ છે કે $\lambda = \frac{16}{15 R}$,તેથી $\frac{1}{\lambda} = \frac{15 R}{16}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{15 R}{16} = R \left[ 1 - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા: $\frac{15}{16} = 1 - \frac{1}{n_2^2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{n_2^2} = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$n_2^2 = 16$,જેનો અર્થ છે કે $n_2 = 4$.

(C) $N$ કક્ષા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $(n) = 4$ છે.
ઉપ-સ્તરોની સંખ્યા $n = 4$ છે.
કક્ષકોની સંખ્યા $n^2 = 4^2 = 16$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $2n^2 = 2 \times 4^2 = 32$ છે.
તેથી,સાચો જવાબ $4, 16, 32$ છે.

(D) એન્ઝાઇમ્સ (ઉત્સેચકો) એ જૈવિક ઉદ્દીપક છે. તેઓ પ્રકૃતિમાં અત્યંત વિશિષ્ટ હોય છે અને જૈવિક પ્રતિક્રિયાઓને ઉદ્દીપ્ત કરે છે.

(C) ઉદ્દીપક ઓછી સક્રિયકરણ ઊર્જા ધરાવતો વૈકલ્પિક માર્ગ પૂરો પાડીને પ્રક્રિયાનો વેગ વધારે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે પ્રક્રિયાનો વેગ વધે છે.
જોકે,કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે ઉદ્દીપકની હાજરીમાં પ્રક્રિયાની સક્રિયકરણ ઊર્જા ઘટે છે,વધતી નથી.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જા $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$E \propto T^4$.
ધારો કે $T_1 = T$ તાપમાને ઉર્જા $E_1 = E$ છે.
ધારો કે $T_2 = \frac{T}{2}$ તાપમાને વિકિરણ ઉર્જા $E_2$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E} = \left(\frac{T/2}{T}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4$.
તેથી,$E_2 = \frac{E}{16}$.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલન લેતા,આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ છે.
અહીં $\alpha = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$ અને $\Delta \theta = 40^{\circ} C - 20^{\circ} C = 20^{\circ} C$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-6} \times 20 = 120 \times 10^{-6} = 1.2 \times 10^{-4}$.
દરરોજ ગુમાવેલ કે મેળવેલ સમય $\Delta T = \frac{\Delta T}{T} \times T_{day}$ છે.
કારણ કે $T_{day} = 24 \times 60 \times 60 = 86400 \ s$,તેથી $\Delta T = 1.2 \times 10^{-4} \times 86400 = 10.368 \ s$.
નજીકની કિંમત લેતા,ઘડિયાળ $10.3 \ s/\text{day}$ જેટલો સમય ગુમાવે છે.

(D) સિલિન્ડર $B$ માટે (સ્થિર પિસ્ટન,સમકદ પ્રક્રિયા): $\Delta Q = n C_v \Delta T_B = n (\frac{3R}{2}) \Delta T_B$.
સિલિન્ડર $A$ માટે (મુક્ત પિસ્ટન,સમદાબ પ્રક્રિયા): $\Delta Q = n C_p \Delta T_A = n (\frac{5R}{2}) \Delta T_A$.
બંને માટે આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ સમાન હોવાથી: $n (\frac{3R}{2}) \Delta T_B = n (\frac{5R}{2}) \Delta T_A$.
આપેલ છે કે $\Delta T_A = 42 ~K$,તેથી: $3 \Delta T_B = 5 \times 42$.
$\Delta T_B = \frac{210}{3} = 70 ~K$.

(B) થર્મોકપલમાં ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(T_i)$,ન્યુટ્રલ તાપમાન $(T_n)$ અને કોલ્ડ જંકશનના તાપમાન $(T_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$T_n = \frac{T_i + T_0}{2}$
ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(T_i)$ શોધવા માટે આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$T_i = 2T_n - T_0$
આપેલ કિંમતો:
$T_0 = 10^{\circ} C$
$T_n = 270^{\circ} C$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_i = 2 \times 270^{\circ} C - 10^{\circ} C$
$T_i = 540^{\circ} C - 10^{\circ} C$
$T_i = 530^{\circ} C$

(B) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ તેના આસપાસના વાતાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $Q = 0$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
કારણ કે $Q = 0$,તેથી $\Delta U = -W$.
વિસ્તરણની પ્રક્રિયામાં,વાયુ આસપાસના વાતાવરણ પર કાર્ય કરે છે,તેથી $W > 0$.
તેથી,$\Delta U = -W < 0$,જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જા ઘટે છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા તેના તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી $(U \propto T)$,આંતરિક ઉર્જામાં ઘટાડો થવાથી સિસ્ટમનું તાપમાન ઘટે છે.

(A) બંધ વિયોજન ઊર્જાનો અંદાજિત ક્રમ નીચે મુજબ છે:
$H-H \approx 436 \ kJ/mol$
$C-H \approx 413 \ kJ/mol$
$C-C \approx 348 \ kJ/mol$
તેથી,ઘટતો ક્રમ $H-H > C-H > C-C$ છે.

(C) ઇથિલિનની સર્જન પ્રક્રિયા છે: $2C_{(graphite)} + 2H_{2(g)} \rightarrow C_2H_{4(g)}$
હેસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સર્જન એન્થાલ્પી: $\Delta H_f = 2 \times \Delta H_I + 2 \times \Delta H_{II} - \Delta H_{III}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta H_f = 2(-393.5 \ kJ) + 2(-286.2 \ kJ) - (-1410.8 \ kJ)$
$\Delta H_f = -787.0 \ kJ - 572.4 \ kJ + 1410.8 \ kJ$
$\Delta H_f = 51.4 \ kJ$

(D) $(1)$ પ્લાન્કનો અચળાંક: $E = h\nu \implies [h] = [E]/[\nu] = [ML^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [ML^2 T^{-1}]$. જે (iii) સાથે મેળ ખાય છે.
$(2)$ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક: $F = G(m_1 m_2)/r^2 \implies [G] = [Fr^2]/[M^2] = [MLT^{-2}][L^2]/[M^2] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$. જે (iv) સાથે મેળ ખાય છે.
$(3)$ બલ્ક મોડ્યુલસ: $B = \text{Stress} / \text{Strain} = [ML^{-1} T^{-2}] / [1] = [ML^{-1} T^{-2}]$. જે $(i)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(4)$ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક: $F = \eta A (dv/dx) \implies [\eta] = [F] / ([A][dv/dx]) = [MLT^{-2}] / ([L^2][LT^{-1}/L]) = [ML^{-1} T^{-1}]$. જે (ii) સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $(1)$-(iii),$(2)$-(iv),$(3)$-$(i)$,$(4)$-(ii) છે. આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) હ્યુજેન્સ આઈપીસને વિપથનો ઘટાડવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે. તે બે પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સને તેમની કેન્દ્રલંબાઈના સરવાળાના અડધા જેટલા અંતરે મૂકીને એક્રોમેટિઝમ (રંગીન વિપથનનું નિવારણ) માટેની શરતને સંતોષે છે. તે ન્યૂનતમ ગોલીય વિપથન માટેની શરત પણ સંતોષે છે.

(A) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
તાર સમાન હોવાથી,$L$ અને $\mu$ અચળ છે,તેથી $f \propto \sqrt{T}$.
તેથી,આપણે ગુણોત્તર લખી શકીએ: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
આપેલ છે કે $f_1 = 450 ~Hz$,$T_1 = 9 ~kg-wt$,અને $f_2 = 900 ~Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{900}{450} = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$.
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{9}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{T_2}{9}$.
$T_2 = 4 \times 9 = 36 ~kg-wt$.

(C) ડોલમાંથી પાણી સૌથી ઉપરના બિંદુએ બહાર ન ઢોળાય તે માટે,સૌથી ઉપરના બિંદુએ વેગ ઓછામાં ઓછો $\sqrt{gR}$ હોવો જોઈએ.
સૌથી નીચેના બિંદુ $(v_L)$ અને સૌથી ઉપરના બિંદુ $(v_H)$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{2}mv_H^2 + mg(2R)$
$v_L^2 = v_H^2 + 4gR$
કારણ કે $v_H = \sqrt{gR}$,તેથી $v_L^2 = gR + 4gR = 5gR$.
$v_L = \sqrt{5gR}$
આપેલ કિંમતો $g = 10 ~m/s^2$ અને $R = 0.5 ~m$ મૂકતા:
$v_L = \sqrt{5 \times 10 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5 ~m/s$.

(A) જ્યારે બ્લોક સ્પ્રિંગ સાથે અથડાય છે,ત્યારે બ્લોકની ગતિઊર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k x^2$
જ્યાં $x$ એ સ્પ્રિંગમાં થતું મહત્તમ સંકોચન છે.
$x = \sqrt{\frac{m v^2}{k}} = \sqrt{\frac{25 \times (3)^2}{100}} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{15}{10} = 1.5 \ m$.
જ્યારે બ્લોક મૂળ સ્થાને પાછો ફરે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે બ્લોકની ગતિઊર્જામાં પાછી રૂપાંતરિત થાય છે. સપાટી લીસી હોવાથી (ઘર્ષણ રહિત),ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. વેગનું મૂલ્ય સમાન રહે છે,પરંતુ દિશા ઉલટાય છે.
તેથી,બ્લોકનો વેગ $v = -3 \ ms^{-1}$ થશે.

(A) $1$. પિરિડિનિયમ ક્લોરોક્રોમેટ $(PCC)$ એ એક મંદ ઓક્સિડેશનકર્તા છે જે પ્રાથમિક આલ્કોહોલનું આલ્ડિહાઇડમાં અને દ્વિતીયક આલ્કોહોલનું કીટોનમાં ઓક્સિડેશન કરે છે.
$2$. સંયોજન '$Y$' આયોડોફોર્મ કસોટી આપે છે ($I_2$ અને આલ્કલી સાથે પ્રક્રિયા કરીને ટ્રાયઆયોડોમિથેન,$CHI_3$ બનાવે છે),જે સૂચવે છે કે '$Y$' માં $CH_3CO-$ સમૂહ હોવો જોઈએ અથવા તે ઇથેનોલ $(C_2H_5OH)$ હોવું જોઈએ જે એસિટાલડિહાઇડ $(CH_3CHO)$ માં ઓક્સિડાઇઝ થાય છે.
$3$. ઇથેનોલ $(C_2H_5OH)$ નું $PCC$ સાથે ઓક્સિડેશન કરતા એસિટાલડિહાઇડ $(CH_3CHO)$ મળે છે.
$4$. એસિટાલડિહાઇડ $(CH_3CHO)$ એ $I_2$ અને $NaOH$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને $CHI_3$ (આયોડોફોર્મ) આપે છે.
$5$. પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$C_2H_5OH + [O] \xrightarrow{PCC \text{ in } CH_2Cl_2} CH_3CHO$
$CH_3CHO + 4NaOH + 3I_2 \rightarrow CHI_3 + HCOONa + 3H_2O + 3NaI$
$6$. આમ,'$X$' એ $C_2H_5OH$ છે.

(D) ગોળીઓ દ્વારા રાઈફલ પર લાગતું બળ એ ગોળીઓના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
આપેલ છે:
રાઈફલનું દળ,$M = 20 ~kg$
પ્રતિ સેકન્ડ ગોળીઓની સંખ્યા,$n = 4$
દરેક ગોળીનું દળ,$m = 35 \times 10^{-3} ~kg$
દરેક ગોળીનો વેગ,$v = 400 ~ms^{-1}$
ગોળીઓ દ્વારા રાઈફલ પર લાગતું બળ (રિકોઇલ ફોર્સ) નીચે મુજબ છે:
$F_{recoil} = n \times (m \times v)$
$F_{recoil} = 4 \times (35 \times 10^{-3} ~kg) \times (400 ~ms^{-1})$
$F_{recoil} = 4 \times 35 \times 0.4 = 56 ~N$
રાઈફલને પાછળની તરફ જતી અટકાવવા માટે,રાઈફલ પર તેનાથી વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન બળ લગાડવું જરૂરી છે.
તેથી,જરૂરી બળ $56 ~N$ છે જે આગળની દિશામાં લગાડવું પડશે.

(C) $CO_3^{2-}$ આયનમાં,મધ્યસ્થ $C$ પરમાણુ $sp^2$ સંકરણ અનુભવે છે,જેના પરિણામે ત્રિકોણીય સમતલીય ભૂમિતિ મળે છે.
જ્યારે $BF_4^{-}$,$NH_4^{+}$,અને $SO_4^{2-}$ માં મધ્યસ્થ પરમાણુ $sp^3$ સંકરણ ધરાવે છે,જે તેમને સમચતુષ્ફલકીય બંધારણ આપે છે.

(D) $BeF_2$ સિવાયના આલ્કલાઇન અર્થ ધાતુઓના ફ્લોરાઈડ સામાન્ય રીતે પાણીમાં અદ્રાવ્ય હોય છે,કારણ કે તેમની લેટીસ ઉર્જા તેમની જલીયકરણ ઉર્જા કરતા વધારે હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$NaF$ અને $KF$ આલ્કલી ધાતુના ફ્લોરાઈડ છે અને તે પાણીમાં દ્રાવ્ય છે.
$BeF_2$ સહસંયોજક છે અને પાણીમાં દ્રાવ્ય છે.
$MgF_2$ એ આલ્કલાઇન અર્થ ધાતુનો ફ્લોરાઈડ છે જે પાણીમાં અદ્રાવ્ય છે.

(C) પ્રક્રિયા $SO_{2(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \rightleftharpoons SO_{3(g)}$ માટે,સંતુલન અચળાંક $K_1 = 5 \times 10^{-2}$ છે.
પ્રક્રિયા $2 SO_{3(g)} \rightleftharpoons 2 SO_{2(g)} + O_{2(g)}$ માટે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પ્રક્રિયા પ્રથમ પ્રક્રિયાની ઉલટી અને $2$ વડે ગુણાયેલી છે.
તેથી,નવો સંતુલન અચળાંક $K_2 = \frac{1}{K_1^2}$ દ્વારા મળે છે.
$K_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$K_2 = \frac{1}{(5 \times 10^{-2})^2} = \frac{1}{25 \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{25} = 400 = 4 \times 10^2$.

(B) અધાતુના ઓક્સાઈડ સામાન્ય રીતે સ્વભાવે એસિડિક હોય છે. કાર્બન એ અધાતુ છે જે $14$ $(IVA)$ સમૂહમાં આવે છે.
$C + O_2 \longrightarrow CO_2$
$CO_2 + H_2O \longrightarrow H_2CO_3$ (કાર્બોનિક એસિડ)
$CO_2$ વાયુ હોવાથી અને એસિડિક દ્રાવણ બનાવતું હોવાથી,આ તત્વ $IV$ $(IVA)$ સમૂહનું છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
નવા સમીકરણના બીજ $\gamma = \frac{1-\alpha}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}-1$ અને $\delta = \frac{1-\beta}{\beta} = \frac{1}{\beta}-1$ છે.
નવું સમીકરણ $x^2 - (\gamma+\delta)x + \gamma\delta = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\gamma+\delta = (\frac{1}{\alpha}-1) + (\frac{1}{\beta}-1) = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} - 2 = -\frac{b+2c}{c}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\gamma\delta = (\frac{1}{\alpha}-1)(\frac{1}{\beta}-1) = \frac{a+b+c}{c}$.
સમીકરણ $cx^2 + (b+2c)x + (a+b+c) = 0$ મળે છે.
$px^2+qx+r=0$ સાથે સરખાવતા,$r = a+b+c$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,$\frac{3x}{(x-a)(x-b)} = \frac{2}{x-a} + \frac{1}{x-b}$
બંને બાજુ $(x-a)(x-b)$ વડે ગુણતા:
$3x = 2(x-b) + 1(x-a)$
$3x = 2x - 2b + x - a$
$3x = 3x - (a + 2b)$
બંને બાજુ અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$0 = -(a + 2b)$
$a + 2b = 0$
$a = -2b$
તેથી,$\frac{a}{b} = -2$,જેનો અર્થ છે કે $a:b = -2:1$.

(D) પ્રથમ,$8$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$8$ પુરુષોને ગોઠવવાની રીતો $(8-1)! = 7!$ છે.
આ ગોઠવણી પુરુષોની વચ્ચે $8$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે.
કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $4$ સ્ત્રીઓને આ $8$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવી પડશે.
$8$ જગ્યાઓમાં $4$ સ્ત્રીઓને પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની રીતો ${}^{8}P_{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $7! \times {}^{8}P_{4}$ છે.

(A) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $275$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 275$
$n(n-3) = 550$
$n^2 - 3n - 550 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$n^2 - 25n + 22n - 550 = 0$
$n(n - 25) + 22(n - 25) = 0$
$(n - 25)(n + 22) = 0$
આથી $n = 25$ અથવા $n = -22$ મળે.
બાજુઓની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 25$.

(A) આપેલ છે કે,$5 \tan \theta = 4$.
પદાવલિના અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{\sin \theta + 2 \cos \theta} = \frac{5 \frac{\sin \theta}{\cos \theta} - 3}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + 2}$
$\tan \theta = \frac{4}{5}$ હોવાથી,આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{5(\frac{4}{5}) - 3}{(\frac{4}{5}) + 2}$
$= \frac{4 - 3}{\frac{4 + 10}{5}}$
$= \frac{1}{\frac{14}{5}} = \frac{5}{14}$

(A) આપેલ છે,$\sin A + \sin B = \sqrt{3}(\cos B - \cos A)$.
પદોને ગોઠવતા,$\sin A + \sqrt{3} \cos A = \sqrt{3} \cos B - \sin B$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{2} \sin A + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B - \frac{1}{2} \sin B$.
$\sin(x+y)$ અને $\sin(x-y)$ ના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(A + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3} - B)$.
આથી $A + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - B$,જેનું સાદું રૂપ $A = -B$ થાય છે.
હવે,$\sin 3A + \sin 3B$ ની કિંમત શોધતા:
$\sin 3A + \sin 3B = \sin(-3B) + \sin 3B = -\sin 3B + \sin 3B = 0$.

(D) આપેલ છે,$\cos (A-B)=3/5$ અને $\tan A \tan B=2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A \tan B = \frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} = 2$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} = \frac{1+2}{1-2}$.
આ $\frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} = \frac{3}{-1}$ માં પરિણમે છે.
$\cos (A-B) = 3/5$ મૂકતા:
$\frac{3/5}{\cos (A+B)} = -3$.
$\cos (A+B) = \frac{3/5}{-3} = -1/5$.

(B) ધ્રુવીય યામ $(r_1, \theta_1)$,$(r_2, \theta_2)$ અને $(r_3, \theta_3)$ ધરાવતા શિરોબિંદુઓવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |r_1 r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1) + r_2 r_3 \sin(\theta_3 - \theta_2) + r_3 r_1 \sin(\theta_1 - \theta_3)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો $(1, 0)$,$(2, \frac{\pi}{3})$ અને $(3, \frac{2\pi}{3})$ મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(1)(2) \sin(\frac{\pi}{3} - 0) + (2)(3) \sin(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) + (3)(1) \sin(0 - \frac{2\pi}{3})|$
$= \frac{1}{2} |2 \sin(\frac{\pi}{3}) + 6 \sin(\frac{\pi}{3}) + 3 \sin(-\frac{2\pi}{3})|$
$= \frac{1}{2} |2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 6(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 3(-\frac{\sqrt{3}}{2})|$
$= \frac{1}{2} |\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}|$
$= \frac{1}{2} |2.5\sqrt{3}| = \frac{5\sqrt{3}}{4} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) શિરોબિંદુઓ $A(6, 3), B(-6, 3)$ અને $C(-6, -3)$ છે.
$AB$ સમક્ષિતિજ છે અને $BC$ શિરોલંબ છે,તેથી $\triangle ABC$ એ $B(-6, 3)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$P$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે: $P = (\frac{-6-6}{2}, \frac{3-3}{2}) = (-6, 0)$. તેથી $(i) \rightarrow D$.
$Q$ માટે,રેખા $AC$ નું સમીકરણ $x = 2y$ છે. $y=0$ મૂકતા,$x=0$ મળે. તેથી $Q = (0, 0)$. તેથી $(ii) \rightarrow A$.
$R$ એ લંબકેન્દ્ર છે. કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો ધરાવતું શિરોબિંદુ $B(-6, 3)$ છે. તેથી $(iii) \rightarrow F$.
$S$ એ મધ્યકેન્દ્ર છે: $S = (\frac{6-6-6}{3}, \frac{3+3-3}{3}) = (-2, 1)$. તેથી $(iv) \rightarrow C$.
સાચો ક્રમ $D, A, F, C$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ મળે છે.
રેખાઓની જોડીનું છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-35-1} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ એ રેખા $5x+\lambda y-8=0$ નું સમાધાન કરે છે.
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$
$3$ વડે ગુણતા: $20 + 2\lambda - 24 = 0$
$2\lambda - 4 = 0$
$2\lambda = 4$
$\lambda = 2$

(A) $1$. મુખ્ય ક્રિયાશીલ સમૂહ $(-OH)$ અને દ્વિબંધ $(C=C)$ ધરાવતી સૌથી લાંબી કાર્બન શૃંખલા પસંદ કરો. આ શૃંખલામાં $6$ કાર્બન પરમાણુઓ છે,તેથી મુખ્ય આલ્કેન હેક્ઝેન છે.
$2$. શૃંખલાને એવા છેડેથી નંબર આપો કે જેથી મુખ્ય ક્રિયાશીલ સમૂહ $(-OH)$ ને સૌથી ઓછો નંબર મળે. જમણેથી ડાબે નંબર આપતા,$-OH$ સમૂહ $2$ નંબર પર આવે છે.
$3$. દ્વિબંધ કાર્બન $3$ પર શરૂ થાય છે,તેથી તે હેક્સ-$3$-ઈન વ્યુત્પન્ન છે.
$4$. સ્થાન $5$ પર એક મિથાઈલ સમૂહ $(-CH_3)$ છે.
$5$. આ બધાને જોડતા,$IUPAC$ નામ $5$-મિથાઈલહેક્સ-$3$-ઈન-$2$-ઓલ થાય છે.

(A) ફેલ્ડસ્પાર એ ખડક બનાવતા ટેક્ટોસિલિકેટ ખનિજોનો એક સમૂહ છે જે પૃથ્વીના ખંડીય પોપડાના લગભગ $41\%$ ભાગ બનાવે છે. પોટેશિયમ ફેલ્ડસ્પાર (ઓર્થોક્લેઝ) માટેનું સામાન્ય રાસાયણિક સૂત્ર $KAlSi_3O_8$ છે.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે $M_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $M_p$ અને $R_p$ એ ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M_p = \frac{M_e}{2}$ અને $R_p = \frac{R_e}{4}$.
ગ્રહ પર નિષ્ક્રમણ વેગ $v_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}}$ છે.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{1/2}{1} \times \frac{1}{1/4}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times 4} = \sqrt{2}$.
તેથી,$v_p = v_e \times \sqrt{2} = 11 \times 1.414 = 15.55 \ km \ s^{-1}$.

(D) ડાયકાર્બોક્સિલિક એસિડના ક્ષારોના જલીય દ્રાવણના વિદ્યુતવિભાજનને કોલ્બેનું વિદ્યુતવિભાજન કહેવામાં આવે છે.
એસિટિલીન $(C_2H_2)$ ની બનાવટ માટે પોટેશિયમ મેલેટ અથવા પોટેશિયમ ફ્યુમરેટનો ઉપયોગ થાય છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$CHCOOK=CHCOOK + 2H_2O \xrightarrow{\text{electrolysis}} CH \equiv CH + 2CO_2 + 2KOH + H_2$
એનોડ પર એસિટિલીન અને $CO_2$ મુક્ત થાય છે.
તેથી,'$A$' એ પોટેશિયમ મેલેટ છે.

(B) પગલું $1$: ઇથિન $(CH_2=CH_2)$ ની નિર્જળ $AlCl_3$ ની હાજરીમાં $HCl$ સાથેની પ્રક્રિયાથી ક્લોરોઇથેન $(CH_3CH_2Cl)$ મળે છે,જે નીપજ $A$ છે.
$CH_2=CH_2 + HCl \rightarrow CH_3CH_2Cl$ $(A)$
પગલું $2$: ઇથેનોલ $(C_2H_5OH)$ ની હાજરીમાં $Zn-Cu$ કપલનો ઉપયોગ કરીને આલ્કાઇલ હેલાઇડનું રિડક્શન એ આલ્કેન મેળવવાની પ્રમાણિત પદ્ધતિ છે.
$CH_3CH_2Cl + 2[H] \xrightarrow{Zn-Cu / C_2H_5OH} CH_3CH_3$ $(B)$ $+ HCl$
આમ,$B$ એ ઇથેન $(C_2H_6)$ છે.

(C) $ZnH_2$ એ આંતરાલીય (interstitial) હાઇડ્રાઇડનું ઉદાહરણ છે.
$NH_3$,$CH_4$ અને $H_2O$ એ સહસંયોજક (covalent) હાઇડ્રાઇડના ઉદાહરણો છે.

(A) $NaCl$ જેવા આયનીય સંયોજનની દ્રાવ્યતા દ્રાવકના ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક પર આધાર રાખે છે.
વધારે ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક આયનોના વધુ સારા સોલ્વેશન તરફ દોરી જાય છે,જે દ્રાવ્યતા વધારે છે.
સામાન્ય પાણી $(H_2O)$ નો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક આશરે $81$ છે,જ્યારે ભારે પાણી $(D_2O)$ નો આશરે $80$ છે.
સામાન્ય પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક વધારે હોવાથી,$NaCl$ સામાન્ય પાણીમાં વધુ દ્રાવ્ય છે અને ભારે પાણીમાં ઓછું દ્રાવ્ય છે.
તેથી,$(A)$ અને $(R)$ બંને સાચા છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 x^2-3 x y+y^2+x+2 y-8=0$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x}(2 x^2) - \frac{d}{d x}(3 x y) + \frac{d}{d x}(y^2) + \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(2 y) - \frac{d}{d x}(8) = 0$
$4 x - (3 y + 3 x \frac{d y}{d x}) + 2 y \frac{d y}{d x} + 1 + 2 \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x}$ વાળા પદોને એકસાથે લેતા:
$(2 y - 3 x + 2) \frac{d y}{d x} = 3 y - 4 x - 1$
તેથી,$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x - 1}{2 y - 3 x + 2}$

(B) આપેલ છે,$y=\log \left\{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{1 / 4}\right\}-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
ગુણધર્મ $\log(a^b) = b \log a$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{1}{4} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
કારણ કે $\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \tanh^{-1} x$,તેથી $y = \frac{1}{2} \tanh^{-1} x - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) - \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-x^2}\right) - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1+x^2 - (1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{2x^2}{1-x^4}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{1-x^4}$